Теория игр в экономике и других областях человеческой деятельности. Основные понятия теории игр и игровых моделей

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

Концепции игр, основанные на принципе доминирования, равновесие по Нэшу, что такое обратная индукция и т. д.; концептуальные подходы решения игры, значение понятия рациональности и равновесия в рамках стратегии взаимодействия;

уметь

Различать игры в стратегической и развернутой формах, строить "дерево игры"; формулировать игровые модели конкуренции для различных типов рынков;

владеть

Методами определения исходов игры.

Игры: основные понятия и принципы

Первую попытку создать математическую теорию игр предпринял в 1921 г. Э. Борель. Как самостоятельная область науки впервые теория игр была систематизированно изложена в монографии Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение" в 1944 г. C тех пор многие разделы экономической теории (например, теория несовершенной конкуренции, теория экономического стимулирования и др.) развивались в тесном контакте с теорией игр . Теория игр с успехом применяется и в социальных науках (например, анализ процедур голосования, поиск равновесных концепций, определяющих кооперативные и некооперативные поведения лиц). Как правило, избиратели отводят кандидатов, представляющих крайние точки зрения, но при избрании одного из двух кандидатов, предлагающих различные компромиссные решения, возникает борьба. Даже идея Руссо об эволюции от "естественной свободы" к "гражданской свободе" формально соответствует с позиций теории игр точке зрения на кооперацию.

Игра – это идеализированная математическая модель коллективного поведения нескольких лиц (игроков), интересы которых различны, что и порождает конфликт. Конфликт необязательно предполагает наличие антагонистических противоречий сторон, но всегда связан с определенного рода разногласиями. Конфликтная ситуация будет антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину и наоборот. Антагонизм интересов порождает конфликт, а совпадение интересов сводит игру к координации действий (кооперации).

Примерами конфликтной ситуации являются ситуации, складывающиеся во взаимоотношениях покупателя и продавца; в условиях конкуренции различных фирм; в ходе боевых действий и др. Примерами игр являются и обычные игры: шахматы, шашки, карточные, салонные и др. (отсюда и название "теория игр", и ее терминология).

В большинстве игр, возникающих из анализа финансово- экономических, управленческих ситуаций, интересы игроков (сторон) не являются строго антагонистическими ни абсолютно совпадающими. Покупатель и продавец согласны, что в их общих интересах договориться о купле-продаже, однако они энергично торгуются при выборе конкретной цены в пределах взаимной выгодности.

Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций.

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила устанавливают последовательность ходов, объем информации каждой стороны о поведении другой и результат игры в зависимости от сложившейся ситуации. Правилами устанавливаются также конец игры, когда некоторая последовательность ходов уже сделана, и больше ходов делать не разрешается.

Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной (идеальной) разумности противников. В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник глуп, и воспользоваться этой глупостью в свою пользу .

Еще одним недостатком теории игр является то, что каждому из игроков должны быть известны все возможные действия (стратегии) противника, неизвестно лишь то, каким именно из них он воспользуется в данной партии. В реальном конфликте это обычно не так: перечень всех возможных стратегий противника как раз и неизвестен, а наилучшим решением в конфликтной ситуации нередко будет именно выход за пределы известных противнику стратегий, "ошарашивание" его чем-то совершенно новым, непредвиденным.

Теория игр не включает элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. Она определяет наиболее осторожное, перестраховочное поведение участников конфликта.

Кроме того, в теории игр находятся оптимальные стратегии по одному показателю (критерию). В практических ситуациях часто приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых критериев. Стратегия, оптимальная по одному показателю, может быть неоптимальной по другим.

Сознавая эти ограничения и потому не придерживаясь слепо рекомендаций даваемых теорий игр, можно все же выработать вполне приемлемую стратегию для многих реальных конфликтных ситуаций.

В настоящее время ведутся научные исследования, направленные на расширение областей применения теории игр.

В литературе встречаются следующие определения элементов, составляющих игру.

Игроки – это субъекты, вовлеченные во взаимодействие, представимое в форме игры. В нашем случае это домохозяйства, фирмы, правительство. Однако в случае неопределенности внешних обстоятельств достаточно удобно представлять случайные составляющие игры, не зависящие от поведения игроков, как действия "природы".

Правила игры. Под правилами игры подразумеваются наборы действий или ходов, доступные игрокам. При этом действия могут быть самые разнообразные: решения покупателей об объемах покупаемых товаров или услуг; фирмы – об объемах выпуска продукции; уровень налогов, назначаемый правительством.

Определение исхода (результата) игры. Для каждой комбинации действий игроков исход игры устанавливается почти механически. Результатом может быть: состав потребительской корзины, вектор выпусков фирмы или набор других количественных показателей.

Выигрыши. Смысл, вкладываемый в понятие выигрыша, может различаться для разных видов игр. При этом надо четко различать выигрыши, измеренные на порядковой шкале (например, уровень полезности), и величины, для которых имеет смысл и интервальное сравнение (например, прибыль, уровень благосостояния).

Информация и ожидания. Неопределенность и постоянное изменение информации могут чрезвычайно серьезно влиять на возможные исходы взаимодействия. Именно поэтому необходимо учесть роль информации в развитии игры. В связи с этим на первый план выходит понятие информационного множества игрока, т.е. совокупности всех сведений о состоянии игры, которыми он обладает в ключевые моменты времени.

При рассмотрении доступа игроков к информации очень полезна интуитивно понятная идея общего знания, или общеизвестности, означающая следующее: какой-либо факт является общеизвестным, если все игроки осведомлены о нем и все игроки знают, что другие игроки также знают об этом.

Для случаев, в которых применения концепции общеизвестности недостаточно, вводится понятие индивидуальных ожиданий участников – представлений о том, как обстоит игровая ситуации на данном этапе.

В теории игр предполагается, что игра состоит из ходов, выполняемых игроками одновременно или последовательно.

Ходы бывают личными и случайными. Ход называется личным, если игрок сознательно выбирает его из совокупности возможных вариантов действий и осуществляет его (например, любой ход в шахматной игре). Ход называется случайным, если его выбор производится не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, по результатам бросания монеты).

Совокупность ходов, предпринятых игроками от начала до окончания игры, называется партией.

Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. В простых (одноходовых) играх, когда в каждой партии игрок может сделать лишь по одному ходу, понятие стратегии и возможного варианта действий совпадают. В этом случае совокупность стратегий игрока охватывает все возможные его действия, а любое возможное для игрока i действие является его стратегией. В сложных (многоходовых играх) понятия "вариант возможных действий" и "стратегия" могут отличаться друг от друга.

Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш, независимо от того, какие стратегии применяет противник. Могут быть использованы и другие критерии оптимальности.

Возможно, что стратегия, обеспечивающая максимальный выигрыш, не обладает другим важным представлением оптимальности, как устойчивостью (равновесностью) решения. Решение игры является устойчивым (равновесным), если соответствующие этому решению стратегии образуют ситуацию, которую ни один из игроков не заинтересован изменить.

Повторим, что задача теории игр – нахождение оптимальных стратегий.

Классификация игр представлена на рис. 8.1.

• 1. В зависимости от видов ходов игры подразделяются на стратегические и азартные. Азартные игры состоят только из случайных ходов, которыми теория игр не занимается. Если наряду со случайными ходами есть личные ходы или все ходы личные, то такие игры называются стратегическими.
• 2. В зависимости от числа игроков игры подразделяются на парные и множественные. В парной игре число участников равно двум, в множественной – более двух.
• 3. Участники множественной игры могут образовывать коалиции, как постоянные, так и временные. По характеру взаимоотношений игроков игры делятся на бескоалиционные, коалиционные и кооперативные.

Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, и целью каждого игрока является получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша.

Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиций) без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными.

Рис. 8.1.

Исходом кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.

В соответствии с этим в кооперативных играх сравниваются по предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи; и сравнение это не ограничивается рассмотрением индивидуальных выигрышей, а носит более сложный характер.

• 4. По количеству стратегий каждого игрока игры подразделяются на конечные (число стратегий каждого игрока конечно) и бесконечные (множество стратегий каждого игрока бесконечно).
• 5. По количеству информации, имеющейся у игроков относительно прошлых ходов, игры подразделяются на игры с полной информацией (имеется вся информация о предыдущих ходах) и неполной информацией. Примерами игр с полной информацией могут быть шахматы, шашки и т.п.
• 6. По виду описания игры подразделяются на позиционные игры (или игры в развернутой форме) и игры в нормальной форме. Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена к нормальной форме, в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. В позиционных играх ходы делаются в дискретные моменты времени. Существуют дифференциальные игры, в которых ходы делаются непрерывно. Эти игры изучают задачи преследования управляемого объекта другим управляемым объектом с учетом динамики их поведения, которая описывается дифференциальными уравнениями.

Существуют также рефлексивные игры, которые рассматривают ситуации с учетом мысленного воспроизведения возможного образа действий и поведения противника.

7. Если любая возможная партия некоторой игры имеет нулевую сумму выигрышей всех N игроков (), то говорят об игре с нулевой суммой. В противном случае игры называются играми с ненулевой суммой.

Очевидно, что парная игра с нулевой суммой является антагонистической, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, а следовательно, цели этих игроков прямо противоположны.

Конечная парная игра с нулевой суммой называется матричной игрой. Такая игра описывается платежной матрицей, в которой задаются выигрыши первого игрока. Номер строки матрицы соответствует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец – номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца находится соответствующий выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока).

Конечная парная игра с ненулевой суммой называется биматричной игрой. Такая игра описывается двумя платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока.

Приведем следующий пример. Игра "Зачет". Пусть игрок 1 – студент, готовящийся к зачету, а игрок 2 – преподаватель, принимающий зачет. Будем считать, что у студента две стратегии: A1 – хорошо подготовиться к зачету; A 2 – не подготовиться. У преподавателя имеется тоже две стратегии: B1 – поставить зачет; B 2 – не поставить зачет. В основу оценки значений выигрышей игроков можно положить, например, следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей:

Данная игра в соответствии с приведенной выше классификацией является стратегической, парной, бескоалиционной, конечной, описана в нормальной форме, с ненулевой суммой. Более кратко данную игру можно назвать биматричной.

Задача состоит в определении оптимальных стратегий для студента и для преподавателя.

Еще один пример хорошо известной биматричной игры "Дилемма заключенного".

Каждый из двух игроков располагает двумя стратегиями: A 2 и B 2 – стратегии агрессивного поведения, a A i и B i – миролюбивое поведение. Предположим, что "мир" (оба игрока миролюбивы) лучше для обоих игроков, чем "война". Случай, когда один игрок агрессивный, а другой миролюбивый, выгоднее агрессору. Пусть матрицы выигрышей игроков 1 и 2 в данной биматричной игре имеют вид

Для обоих игроков агрессивные стратегии A2 и B2 доминируют мирные стратегии Ах и B v Таким образом, единственное равновесие в доминирующих стратегиях имеет вид (А2, B 2), т.е. постулируется, что результатом некооперативного поведения является война. В то же время исход (A1, B1) (мир) дает больший выигрыш для обоих игроков. Таким образом, некооперативное эгоистическое поведение вступает в противоречие с коллективными интересами. Коллективные интересы диктуют выбор мирных стратегий. В то же время, если игроки не обмениваются информацией, война является наиболее вероятным исходом.

В данном случае ситуация (A1, B1) является оптимальной по Парето. Однако эта ситуация неустойчива, что ведет к возможности нарушения игроками установленного соглашения. Действительно, если первый игрок нарушит соглашение, а второй не нарушит, то выигрыш первого игрока увеличится до трех, а второго упадет до нуля и, наоборот. Причем каждый игрок, не нарушающий соглашение, теряет больше при нарушении соглашения вторым игроком, нежели в том случае, когда они оба нарушают соглашение.

Существует две основные формы игры. Игра в экстенсивной форме представляется как диаграмма типа "дерево" принятия решений, при этом "корень" соответствует точке начала игры, а начало каждой новой "ветки", называемое узлом, – состоянию, достигнутому на данном этапе при данных действиях, уже предпринятых игроками. Каждому конечному узлу – каждой точке окончания игры – ставится в соответствие вектор выигрышей, по одной компоненте для каждого игрока.

Стратегическая, иначе называемая нормальной, форма представления игры соответствует многомерной матрице, при этом каждое измерение (в двумерном случае строки и столбцы) включает набор возможных действий для одного агента.

Отдельная ячейка матрицы содержит вектор выигрышей, соответствующих данному сочетанию стратегий игроков.

На рис. 8.2 представлена экстенсивная форма игры, а в табл. 8.1 – стратегическая форма.

Рис. 8.2.

Таблица 8.1. Игра с одновременным принятием решений в стратегической форме

Существует достаточно подробная классификация составных частей теории игр. Одним из самых общих критериев такой классификации является деление теории игр на теорию некооперативных игр, в которых субъектами принятия решений являются собственно индивиды, и теорию кооперативных игр, в которых субъектами принятия решений являются группы, или коалиции индивидов.

Некооперативные игры обычно представляются в нормальной (стратегической) и развернутой (экстенсивной) формах.

• Воробьев Η. Н. Теория игр для экоиомистов-кибериетиков. М.: Наука, 1985.
• Вентцель Е. С. Исследование операций. М.: Наука, 1980.

В каждой ситуации мы придерживаемся определённой стратегии. Обычно это происходит бессознательно, отсюда и частые ошибки. Избежать их можно, если научиться угадывать действия другого человека.

Взять, к примеру, свидания. Мы все выбираем одну главную стратегию: пытаемся скрыть отрицательные черты характера и показать положительные.

Пока не буду рассказывать, что каждый вечер люблю полежать с пивком на диване. Расскажу, когда она узнает меня поближе и поймёт, что в остальном я в порядке.

Павел, диванный эксперт

Такая стратегия - это, скорее, не ложь, а умалчивание.

Пример

Представьте ситуацию: мужчина и женщина встречаются несколько месяцев и однажды . У мужчины квартира небольшая, поэтому логично, что речь идёт о переезде в квартиру женщины.

Надо сказать, что мужчина работает экономистом. Он проанализировал ситуацию и понял, что отказываться от аренды квартиры пока невыгодно. Сейчас он платит небольшие деньги и в случае разрыва отношений не найдёт такой же хороший вариант. Женщина, узнав об этом, немедленно бросает кавалера.

В чём ошиблась эта пара? Мужчина, верно просчитав ситуацию с экономической точки зрения, не учёл психологического фактора. Жест с квартирой женщина восприняла как несерьёзность намерений. Но она не подумала о том, что её ухажёр - экономист, стало быть, принимает решения в первую очередь с позиции «выгодно - невыгодно». Таким образом, эта игра была проиграна обоими участниками.

Что делать

Просчитывайте не только свои действия, но и реакцию других людей. Почаще спрашивайте себя: а как можно интерпретировать мой поступок? Совет специально для мужчин: объясняйте свои действия и помните, что любая недоговорённость - повод для вашей второй половины пофантазировать. Стратегическое мышление - это не только математика, но и психология!

2. Игра на 90 баллов

Загадки, квесты, и логику перестанут быть проблемой после изучения теории игр. Вы научитесь искать все существующие варианты ответов и выбирать среди них наиболее подходящий.

Пример

Два студента попросили профессора отсрочить экзамен. Они рассказали душещипательную историю о том, как поехали на выходные в другой город, но на обратной дороге у них спустило шину. Помощь пришлось искать всю ночь, поэтому они не выспались и плохо себя чувствуют. (На самом деле друзья отмечали окончание сессии, а этот экзамен был заключительным и не самым тяжёлым.)

Профессор согласился. На следующий день он рассадил студентов в разные аудитории и раздал по листку, где было лишь два вопроса. Первый стоил всего 10 баллов, а второй - 90 и звучал так: «Какое колесо спустило?»

Если опираться на логику, то ответ будет «Правое переднее колесо»: именно справа, ближе к обочине чаще всего валяется всякий мусор, на который в первую очередь наезжает передняя шина. Но не спешите.

В этой ситуации важно дать не столько правильный (логичный) ответ, сколько ответ, который будет написан на бумажке друга.

Поэтому очевидно, что оба студента будут строить догадки исходя из предположения, как думает другой.

Можно рассуждать так: есть ли у студентов что-то «общее» с одним из колёс? Возможно, год назад им вместе приходилось уже менять какое-то колесо. Или одна шина измазана краской, и оба студента знают об этом. Если такой момент будет найден, именно этот вариант и стоит выбрать. Даже если другой студент не знаком с теорией игр, он может вспомнить этот случай и указать нужное колесо.

Что делать

В рассуждениях опирайтесь не только на логику, но и на жизненные обстоятельства. Помните: не всё то, что логично для вас, так же логично и для другого. Чаще привлекайте друзей и родственников к играм на мышление. Это позволит понять, как думают близкие вам люди, и в дальнейшем избежать сложных ситуаций, как в примере выше.

3. Игра с собой

Знания о стратегических играх помогают глубже анализировать собственные решения.

Пример

Некая Ольга решает, пробовать ей курить или нет.

Дерево игры

На рисунке представлено так называемое дерево игры: его полезно рисовать каждый раз, когда вам нужно принять какое-либо решение. Ветви этого дерева - варианты развития событий. Цифры (0, 1 и -1) - выигрыш, то есть будет ли игрок победителем, если изберёт тот или иной вариант.

Итак, с чего начинать. Вначале надо определить, какое решение будет лучшим и худшим. Предположим, что самое предпочтительное развитие событий для Ольги - попробовать курить, но не продолжать этого делать. Присвоим этому варианту выигрыш 1 (первая цифра левой нижней ветки). В худшем случае девушка станет зависимой от курения: присваиваем этому варианту выигрыш -1 (первая цифра правой нижней ветки). Таким образом, ветка дерева с вариантом вообще не пробовать курить получает 0.

Предположим, что Ольга решила попробовать курить. Что дальше? Бросит она или нет? Это уже будет решать Будущая Ольга, на рисунке она вступает в игру по ветке «Попробовать». Если у неё уже сформировалась зависимость, то бросать курить она не захочет, поэтому варианту «Продолжать» ставим выигрыш 1 (вторая цифра правой нижней ветки).

Что мы получаем? Нынешняя Ольга будет в выигрыше в том случае, если попробует курить, но не попадёт в зависимость. А это, в свою очередь, зависит от Будущей Ольги, для которой выгоднее курить (она уже курит довольно давно, значит, у неё есть зависимость, стало быть, бросать она не захочет). Так стоит ли так рисковать? Может, сыграть вничью: получить выигрыш 0 и вообще не пробовать курить?

Что делать

Просчитывать стратегию можно не только в игре с кем-то, но и в игре с самим собой. Попробуйте нарисовать дерево игры, и вы увидите, приведёт ли ваше нынешнее решение к выигрышу.

4. Игра в аукцион

Есть разные типы аукционов. Например, в фильме «Двенадцать стульев» проходил так называемый английский аукцион. Его схема проста: побеждает тот, кто предлагает наибольшую сумму за выставленный лот. Обычно устанавливается минимальный шаг для поднятия цены, в остальном ограничений нет.

Пример

В эпизоде с аукционом из «Двенадцати стульев» Остап Бендер допустил стратегическую ошибку. Вслед за предложением в 145 рублей за лот он поднял цену сразу до двухсот.

С точки зрения теории игр Остапу следовало повышать ставку, но минимально до тех пор, пока не останется конкурентов. Таким образом, он смог бы сэкономить деньги и не попасть впросак: Остапу не хватило 30 рублей, чтобы оплатить комиссионный сбор.

Что делать

Есть игры, такие как аукцион, в которые нужно играть только головой. Заранее определитесь с тактикой и подумайте о максимальной сумме, которую вы готовы отдать за лот. Дайте себе слово не превышать лимит. Этот шаг поможет справиться с азартом, если он вдруг вас настигнет.

5. Игра на обезличенном рынке

Обезличенный рынок - это банки, страховые компании, подрядчики, консульства. В общем, те участники игры, у которых нет имён и фамилий. Они обезличены, но при этом ошибочно полагать, что правила теории игр к ним неприменимы.

Пример

Максим обращается в банк в надежде получить кредит. Его кредитная история не идеальна: два года назад он шесть месяцев отказывался гасить другой заём. Сотрудник, который принимает документы, говорит, что, скорее всего, Максим кредит не получит.

Тогда Максим просит разрешения донести документы. Он приносит выписку из больницы, подтверждающую, что его отец в те полгода был серьёзно болен. Максим пишет заявление, где указывает причины задержки выплаты предыдущего заёма (деньги нужны были на лечение отца). И через некоторое время получает новый кредит.

Что делать

Когда вы ведёте дела с обезличенными игроками, всегда помните, что за ними скрываются личности. Придумывайте, как втянуть соперников в игру, и устанавливайте свои правила.

Теория игр - новая наука, но её уже изучают в лучших университетах мира. В издательстве «МИФ» вышел учебник «Стратегические игры». Он пригодится, если вы хотите научиться анализировать каждое своё действие, принимать взвешенные решения, лучше понимать не только других, но и себя.

Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №___

городского округа - город Волжский Волгоградской области

Городская конференция творческих и исследовательских работ обучающихся

«С математикой по жизни»

Научное направление – математика

«Теория игр и её практическое применение»

обучающаяся 9б класса

МОУ СОШ №2

Научный руководитель:

учитель математики Григорьева Н.Д.

Введение

Актуальность выбранной темы предопределена широтой сфер ее применения. Теория игр играет центральную роль в теории отраслевой организации, теории контрактов, теории корпоративных финансов и многих других областях. Область применения теории игр включает не только экономические дисциплины, но и биологию, политологию, военное дело и др.

Целью данного проекта является разработка исследования существующих типов игр, а также возможность их практического применения в различных отраслях.

Цель проекта предопределила его задачи:

Ознакомиться с историей зарождения теории игр;

Определить понятие и сущность теории игр;

Дать характеристику основным типам игр;

Рассмотреть возможные сферы применения данной теории на практике.

Объектом проекта выступила теория игр.

Предмет исследования – сущность и применение теории игр на практике.

Теоретической основой написания работы явилась экономическая литература таких авторов, как Дж. фон Нейман, Оуэн Г., Васин А.А., Морозов В.В., Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н.

1. Введение в теорию игр

1.1 История

Игра, как особая форма отображения деятельности, возникла необычайно давно. Археологические раскопки обнаруживают предметы, служившие для игры. Наскальные рисунки показывают нам первые признаки межплеменных тактических игр. Со временем, игра совершенствовалась, и достигла привычной формы конфликта нескольких сторон. Родственные связи игры с практической деятельностью становились менее заметными, игра превращалась в особую деятельность общества.

Если история шахмат или карточных игр насчитывает несколько тысячелетий, то первые наброски теории появились, лишь три столетия назад в работах Бернулли. Сначала работы Пуанкаре и Бореля частично давали нам сведения о природе теории игр, и лишь фундаментальный труд Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна представил нам всю целостность и многогранность данного раздела науки.

Принято считать монографию Дж. Неймана и О. Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение”, моментом рождения теории игр. После её публикации в 1944 г., многие ученые предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эта теория описывала рациональное поведение принятия решений во взаимосвязанных ситуациях, помогая решать многие актуальные проблемы в разных научных областях. Монография подчеркивала, что стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются главными элементами в теории игр и непосредственно связаны с задачами управления.

Начальные работы по теории игр отличались простотой предположений, что делало их менее пригодными для практического использования. За последние 10 – 15 лет положение резко изменилось. Прогресс в промышленности показал плодотворность методов игр в прикладной деятельности.

В последнее время эти методы проникли и в практику управления. Следует отметить, что уже в конце 20 века М. Портер ввел в обиход некоторые понятия теории, такие, как “стратегический ход” и “игрок”, которые впоследствии стали одними из ключевых.

В настоящее время значение теории игр значительно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения разных задач общехозяйственного значения, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок структур управления и систем стимулирования.

В 1958-1959 гг. к 1965-1966 гг. была создана советская школа в теории игр, для которой была характерно скопление усилий в области антагонистических игр и строго военных приложений. Изначально это стало причиной отставания от американской школы, так как в то время основные открытия в антагонистических играх уже были сделаны. В СССР математиков до середины 1970-х гг. не допускали в область управления и экономики. И даже тогда, когда советская экономическая система начала рушиться, экономика не стала главным направлением для теоретико-игровых исследований. Профильный институт, занимавшийся и сейчас занимающийся теорией игр - Институт системного анализа РАН.

1.2 Определение теории игр

Теорией игр называют математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за осуществление своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от своего поведения и поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать наиболее выгодные стратегии с учётом соображений о других участниках, их ресурсах и их предполагаемых действиях.

Эта теория представляет собой раздел математики, изучающий конфликтные ситуации.

Как поделить пирог, чтобы все члены семьи признали это справедливым? Как разрешить спор о зарплате между спортивным клубом и профсоюзом игроков? Как предотвратить ценовые войны при проведении аукционов? Это всего лишь три примера задач, которыми занимается одно из главных направлений экономической науки - теория игр

Данный раздел науки анализирует конфликты, используя математические методы. Теория получила своё название, так как простейшим примером конфликта является игра (например, шахматы или крестики-нолики). Как в игре, так и в конфликте каждый игрок имеет свои цели и пытается их достигнуть, принимая разные стратегические решения.

1.3 Виды конфликтных ситуаций

Одна из характерных черт всякого общественного, социально - экономического явления состоит в количестве и разнообразии интересов, а также наличии сторон, которые способны выразить эти интересы. Классическими примерами здесь являются ситуации, где, с одной стороны, имеется один покупатель, с другой - продавец, когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара. Более сложные ситуации возникают, когда имеются объединения или группы лиц, участвующих в столкновении интересов, например, в том случае, когда ставки заработной платы определяются союзами или объ­единениями рабочих и предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте и т.п.

Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, раз­работчик экономической политики обычно преследует разные цели, согласуя противоречивые требования, предъявляемые к ситуации (рост объемов производства, повышение доходов, сниже­ние экологической нагрузки и т.п.). Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участни­ков, но и как результат действия тех или иных "стихийных сил" (случай так называемых "игр с природой")

Игра – математическая модель описания конфликта.

Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий.

И наконец, примерами игр являются обычные игры: салонные, спортивные, карточные и др. Математическая теория игр начиналась именно с анализа подобных игр; они и по сей день служат прекрасным материалом для изображения утверждений и выводов этой теории. Эти игры актуальны и на сегодняшний день.

Итак, каждая математическая модель социально-экономического явления, должна иметь при­сущие ему черты конфликта, т.е. описывать:

а) множество заинтересованных сторон. В случае, если число игроков ограниченно (конечно), они различаются по своим номерам или по присваиваемым им именам;

б) возможные действия каждой из сторон, именуемые также стратегиями или ходами;

в) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множес­тво стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выиграша и стра­тегии всех остальных игроков, и в соответствии с этой информа­цией формирует свое поведение.

2 Виды игр

2.1 Дилемма заключенного

Одним из самых известных и классических примеров теории игр, который способствовал её популяризации, - дилемма заключенного. В теории игрдилемма заключённого (реже употребляется название «дилемма бандита ») - некооперативная игра, в которой игроки стремятся получить выгоду, при этом они либо сотрудничают, либо предают друг друга. Как во всей теории игр , предполагается, что игрок максимизирует, т.е увеличивает свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.

Рассмотрим такую ситуацию. Двое подозреваемых находятся под следствием. У следствия недостаточно улик, поэтому разделив подозреваемых, каждому из них предложили сделку. Если один из них будет по-прежнему молчать, а другой свидетельствовать против него, то первый получит 10 лет, а второго отпустят за содействие следствию. Если они оба будут молчать, то получат по 6 месяцев. Наконец, если они оба заложат друг друга, то они получат по 2 года. Вопрос: какой выбор они сделают?

Таблица 1 – Матрица выигрышей в игре «Дилемма заключенного»

Предположим, что эти двое - рациональные люди, которые хотят минимизировать свои потери. Тогда первый может рассуждать так: если второй меня заложит, то мне лучше тоже его заложить: так мы получим по 2 года, а иначе я получу 10 лет. Но если второй меня не будет закладывать, то мне всё равно лучше его заложить - тогда меня отпустят сразу. Поэтому не зависимо от того, что будет делать другой, мне выгоднее его заложить. Второй также понимает, что в любом случае ему лучше заложить первого. В результате оба из них получают по два года. Хотя если бы они не свидетельствовали друг против друга, то получили бы только по 6 месяцев.

В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудничеством, поэтому единственное возможное равновесие - предательство обоих участников. Проще говоря, неважно, что сделает другой игрок, каждый выиграет больше, если предаст. Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все рациональные игроки выберут предательство.

Ведя себя по отдельности рационально, вместе участники приходят к нерациональному решению. В этом и заключается дилемма.

Конфликты, подобные этой дилемме, часто встречаются в жизни, например, в экономике (определение бюджета на рекламу), политике (гонка вооружений), спорте (использование стероидов). Поэтому дилемма заключенного и грустное предсказание теории игр получили широкую известность, а работа в области теории игр - единственная возможность для математика получить Нобелевскую премию.

2.2 Классификация игр

Классификацию различных игр проводят, основываясь на некотором принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

Различают игры с двумя, тремя и более участниками - в зависимости от количества игроков. В принципе возможны также игры с бесконечным числом игроков.

Согласно другому принципу классификации различают игры по количеству стра­тегий - конечные и бесконечные. В конечных играх участники имеют конечное число возможных стратегий (на­пример, в игре в орлянку игроки имеют по два возможных хода - они могут выбрать "орел" или "решку"). Сами стратегии в конеч­ных играх зачастую называются чистыми стратегиями. Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий - так, в ситуации Продавец-Покупатель каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (поку­паемого) товара.

Третьим по счету является способ классификации игр - по свойствам функций выигрыша (платежных функций). Важным случаем в теории игр явля­ется ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо виден прямой конфликт между игроками. Такие игры называют играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми. Игры в орлянку или в очко - типичные примеры антаго­нистических игр. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, а которых игроки и выиг­рывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно дей­ствовать сообща. Между этими крайними случаями имеется мно­жество игр с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согла­сованные действия игроков.

В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Кооперативной – называется игра, в которой до её начала игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Некооперативной – называется такая игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом. Очевид­но, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы учас­тников голосования.

2.3 Типы игр

Симметричные и несимметричные

А	Б
А	1, 2	0, 0
Б	0, 0	1, 2
Несимметричная игра

Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут иметь одинаковые платежи, то есть будут равны. Т.е. если выигрыши за одни и те же ходы не изменятся, при том, что игроки поменяются местами. Многие изучаемые игры для двух игроков - симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».

В примере справа игра, на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так - ведь выигрыш второго игрока при любой из стратегий (1, 1) и (2, 2) будет больше, чем у первого.

С нулевой суммой и с ненулевой суммой

Игры с нулевой суммой - особый вид игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо - числа означают платежи игрокам - и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.

Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме - это делается введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» избыток или восполняет недостаток средств.

Также игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где каждый участник извлекает выгоду. К этому виду относятся такие игры, как шашки и шахматы; в двух последних игрок может превратить свою рядовую фигуру в более сильную, получив преимущество. Во всех этих случаях сумма игры увеличивается.

Кооперативные и некооперативные

Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. Но это не всегда верно, так как существуют игры, где коммуникация разрешена, но участники преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр.

Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Параллельные и последовательные

В параллельных играх игроки ходят одновременно, или они не информированы о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предыдущих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.

С полной или неполной информацией

Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация недоступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр - с неполной информацией. Например, вся суть «Дилеммы заключённого» заключается в ее неполноте.

В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: шахматы, шашки и другие.

Зачастую понятие полной информации путают со сходным понятием - совершенной информации. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.

Игры с бесконечным числом шагов

Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов…

Здесь вопрос обычно состоит в том, чтобы найти не оптимальное решение, а хотя бы выигрышную стратегию. (Используя аксиому выбора можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами - «выиграл» или «проиграл» - ни один из игроков не имеет такой стратегии.)

Дискретные и непрерывные игры

В большинстве изучаемых игр число игроков, ходов, исходов и событий конечно, т.е. они - дискретны. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных (материальных) чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они всегда связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно - шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры находят своё применение в технике и технологиях, физике .

3. Применение теории игр

Теория игр - это раздел прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение этот раздел математики имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Нейман и Моргенштерн на­писали оригинальную книгу, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования страте­гических решений. Далее главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам. В наше время ведется большая работа, направ­ленная на расширение сферы применения теории игр.

Двумя основными областями применения являются военное дело и экономика. Теоретико-игровые разработки применяются при проектировании автоматических систем управления для ракетного/противоракетного оружия, выборе форм аукционов по продаже радиочастот, прикладном моделировании закономерностей денежного обращения в интересах центральных банков, и т.п. Международные отношения и стратегическая безопасность обязаны теории игр (и теории принятия решений) в первую очередь концепцией гарантированного взаимного уничтожения. Это заслуга плеяды блестящих умов (в том числе связанных с RAND Corporation в Санта Монике, Калиф.), дух которой до высших руководящих постов дошел в лице Роберта Макнамары. Следует, правда, признать, что сам Макнамара теорией игр не злоупотреблял.

3.1 В военном деле

Информация – один из наиболее значимых в настоящее время ресурсов. И сейчас все

также справедливо высказывание «Кто владеет информацией, тот владеет миром». Более того, на первый план выходит необходимость эффективно использовать имеющуюся информацию. Теория игр в купе с теорией оптимального управления позволяют принимать правильные решения в разнообразных конфликтных и неконфликтных ситуациях.

Теория игр – математическая дисциплина, касающаяся конфликтных задач. Военное

дело, как ярко выраженное существо конфликта, стало одним из первых полигонов применения на практике разработок теории игр.

Изучение задач военных сражений с помощью теории игр (в том числе дифференциальных) – это большой и трудный предмет. Применение теории игр к задачам военного дела означает, что для всех участников могут быть найдены эффективные решения – оптимальные действия, позволяющие максимально решить поставленные задачи.

Попытки разбирать военные игры на настольных моделях делались много раз. Но эксперимент в военном деле (как и во всякой другой науке) есть средство, как для подтверждения теории, так и для нахождения новых путей для анализа.

Военный анализ есть вещь гораздо более неопределенная в смысле законов, предсказаний и логики, нежели физические науки. По этой причине моделирование с подробно и тщательно подобранными реалистическими деталями не может дать общего достоверного результата, если партия не будет повторена очень большое число раз. С точки зрения дифференциальных игр единственное, на что можно надеяться, – это на подтверждение заключений теории. Особенно важен случай, когда такие заключения выведены исходя из упрощенной модели (по необходимости это случается всегда).

В некоторых случаях дифференциальные игры в задачах военного дела играют совершенно явную и не требующую особых комментариев роль. Это верно, например, для

большинства моделей, включающих преследование, отступление и другое маневрирование подобного рода. Так, в случае управления автоматизированными сетями связи в условиях сложной радиоэлектронной обстановки были предприняты попытки использовать лишь стохастические многошаговые антагонистические игры. Целесообразным представляется использование дифференциальных игр, поскольку их применение позволяет во многих случаях с большой долей достоверности описать необходимые процессы и найти оптимальное решение задачи.

Довольно таки часто в конфликтных ситуациях противоборствующие стороны объединяются в союзы для достижения лучших результатов. Поэтому возникает необходимость изучения коалиционных дифференциальных игр. Кроме того, идеальных ситуаций, не имеющих каких-либо помех, в мире не существует. А значит, целесообразно исследовать коалиционные дифференциальные игры при неопределенности. Существуют различные подходы к построению решений дифференциальных игр .

Во время второй мировой войны научные разработки фон Неймана оказались бесценными для американской армии – военные начальники говорили, что для Пентагона ученый представляет такое же значение, как целая армейская дивизия. Вот пример использования Теории игр в военном деле. На американских торговых судах устанавливались зенитные установки. Однако за все время войны этими установками так и не был сбит ни один вражеский самолет. Возникает справедливый вопрос: стоит ли вообще оснащать суда, не предназначенные для ведения боевых действий, таким оружием. Группа ученых под руководством фон Неймана, изучив вопрос, пришла к выводу - само знание неприятелем о наличии таких орудий на торговых судах резко уменьшает вероятность и точность их обстрелов и бомбежек, а потому размещение «зениток» на этих судах, вполне доказало свою эффективность .

ЦРУ, Министерство обороны США и крупнейшие корпорации из списка Fortune 500 активно сотрудничают с футурологами. Разумеется, речь идёт о строго научной футурологии, то есть о математических вычислениях объективной вероятности будущих событий. Этим занимается теория игр - одна из новых областей математической науки, применимой практически ко всем областям человеческой жизни. Возможно, вычисления будущего, которые раньше велись в условиях строгой секретности для «элитных» клиентов, скоро выйдут на общедоступный коммерческий рынок. По крайней мере, об этом говорит то, что в одно время сразу два крупных американских журнала опубликовали материалы на данную тему, и оба напечатали интервью с профессором Нью-йоркского университета Брюсом Буэно де Мескита (BruceBuenodeMesquita). Профессору принадлежит консалтинговая фирма, которая занимается компьютерными вычислениями на основе теории игр. За двадцать лет сотрудничества с ЦРУ учёный точно вычислил несколько важных и неожиданных событий (например, приход Андропова к власти в СССР и захват Гонконга китайцами). В общей сложности он рассчитал более тысячи событий с точностью более 90%.Сейчас Брюс консультирует американские спецслужбы относительно политики в Иране. Например, его расчёты показывают, что США не имеет никаких шансов предотвратить запуск Ираном ядерного реактора для гражданских нужд .

3.2 В управлении

В качестве примеров применения теории игр в управлении можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций и т.д. Положения данной теории в принципе можно использовать для всех видов решений, если на их принятие влияют другие действующие лица. Этими лицами, или игроками, необязательно должны быть рыночные конкуренты; в их роли могут выступать субпоставщики, ведущие клиенты, сотрудники организаций, а также коллеги по работе.

Какую пользу могут извлечь компании из анализа на базе теории игр? Известен, например, случай столкновения интересов компаний IВМ и Telex. Компания Telex объявила о вступлении на рынок продаж, в связи с этим состоялось “кризисное” совещание руководства IВМ, на котором были проанализированы действия, направленные на то, чтобы заставить нового конкурента отказаться от намерения проникнуть на новый рынок. Об этих действиях, видимо, стало известно компании Telex. Но проведенный анализ на базе теории игр показал, что угрозы IВМ из-за высоких затрат безосновательны. Это доказывает, что компаниям полезно обдумывать возможные реакции партнеров по игре. Изолированные хозяйственные расчеты, даже опирающиеся на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. Так, компания-аутсайдер могла бы и выбрать ход “невступление”, если бы предварительный анализ убедил ее в том, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию компании-монополиста. В этой ситуации разумно выбрать ход “невступление” при вероятности агрессивного ответа 0,5, в соответствии с критерием ожидаемой стоимости.

Важный вклад в использование теории игр вносят экспериментальные работы . Многие теоретические выкладки отрабатываются в лабораторных условиях, а полученные результаты служат важным элементом для практиков. Теоретически было выяснено, при каких условиях двум эгоистически настроенным партнерам выгодно сотрудничать и добиваться лучших для себя результатов.

Эти знания можно использовать в практике предприятий, чтобы помочь двум фирмам достичь ситуации “выигрыш/выигрыш”. Сегодня консультанты с подготовкой в области игр быстро и однозначно выявляют возможности, которыми предприятия могут воспользоваться для заключения стабильных и долгосрочных договоров с клиентами, субпоставщиками, партнерами по разработкам и т.п. .

3.3 Применение в прочих областях

В биологии

Очень важное направление - это попытки применить теорию игр в биологии и понять, как сама эволюция строит оптимальные стратегии. Здесь, в сущности, тот же метод, который помогает нам объяснить человеческое поведение. Ведь теория игр не говорит, что люди всегда действуют осознанно, стратегически, рационально. Скорее речь идет об эволюции определенных правил, которые дают более полезный результат, если их придерживаться. То есть люди зачастую не просчитывают свою стратегию, она постепенно формируется сама по мере накопления опыта. Эта идея воспринята теперь и в биологии.

В компьютерных технологиях

Еще больше востребованы исследования в сфере компьютерных технологий, например анализ аукционов, которые проводятся компьютерами в автоматическом режиме. Кроме того, теория игр сегодня позволяет еще раз задуматься над тем, как работают компьютеры, каким образом строится кооперация между ними. Скажем, серверы в сети можно рассматривать как игроков, которые пытаются скоординировать свои действия.

В играх (шахматы)

Шахматы - это предельный случай теории игр, поскольку все, что вы делаете, направлено исключительно на вашу победу и вам не нужно заботиться о том, как на это отреагирует партнер. Достаточно убедиться, что он не сможет отреагировать эффективно. То есть это игра с нулевой суммой. И конечно, в других играх культура может иметь определенное значение.

Примеры из другой области

Теория игр используется при поиске подходящей пары донора и реципиента почки. Один человек хочет отдать почку другому, но оказывается, что их группы крови несовместимы. И что следует сделать в этом случае? Прежде всего – расширить список доноров и реципиентов, а потом применить методы подбора, которые дает теория игр. Это очень похоже на брак по расчету. Вернее, на брак это совсем не похоже, но математическая модель этих ситуаций одинакова, применяются те же методы и расчеты. Сейчас на идеях таких теоретиков, как Дэвид Гейл, Ллойд Шапли и другие, выросла настоящая индустрия – практические применения теории в кооперативных играх.

3.4 Почему теорию игр не применяют еще шире

И в политике, и в экономике, и в военном деле специалисты-практики натолкнулись на принципиальные ограничения фундамента современной теории игр – Нэшевской рациональности.

Во-первых, человек не настолько совершенен, чтобы все время мыслить стратегически. Для преодоления этого ограничения теоретики начали исследовать эволюционные формулировки равновесия, для которых свойственны более слабые допущения по уровню рациональности.

В-вторых, исходные предпосылки теории игр по информированности игроков о структуре игры и платежах в реальной жизни соблюдаются не так часто, как хотелось бы. Теория игр весьма болезненно реагирует на малейшие (с точки зрения обывателя) изменения в правилах игры резкими сдвигами в предсказываемых равновесиях.

Как следствие этих проблем, современная теория игр находится в "плодотворном тупике". Лебедь, рак и щука предлагаемых решений тянут теорию игр в разные стороны. По каждому направлению пишутся десятки работ... однако "воз и ныне там".

Примеры задач

Определения, необходимые для решения задач

1. Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

2. Игра - это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремиться к достижению собственных целей.

3. Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.

4. Количественная оценка результатов игры называется платежом.

5. Игра называется парной, если в ней участвуют только две стороны (два лица).

6. Парная игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма платежей равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.

7. Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.

8. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный выигрыш (или, что то же самое, минимально возможный средний проигрыш).

Пусть имеются два игрока, один из которых может выбрать i-ю стратегию из m возможных стратегий (i=1,m), а второй, не зная выбора первого, выбирает j-ю стратегию из n возможных стратегий (j=1,n) В результате первый игрок выигрывает величину aij, а второй проигрывает эту величину.

Из чисел aij составим матрицу

Строки матрицы A соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы - стратегиям второго. Эти стратегии называются чистыми.

9. Матрица A называется платежной (или матрицей игры).

10. Игру, определяемую матрицей A, имеющей m строк и n столбцов, называют конечной игрой размерности m x n.

11. Число называется нижней ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) - максиминной.

12. Число называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая ему стратегия (столбец) - минимаксной.

13. Если α=β=v, то число v называется ценой игры.

14. Игра, для которой α=β, называется игрой с седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегией, которые являются оптимальными.

Если игра, заданная матрицей, не имеет седловой точки, то для нахождения ее решения используют смешанные стратегии.
Задачи

1.Орлянка. Это игра с нулевой суммой. Принцип состоит в том, что, когда игроки выбирают одинаковые стратегии, то первый выигрывает один рубль, а когда разные – проигрывает один рубль.

Если рассчитывать стратегии по принципу maxmin и minmax, то можно увидеть, что нельзя высчитать оптимальную стратегию, в этой игре вероятности проигрыша и выигрыша равны.

2. Числа. Суть игры состоит, в том, что каждый из игроков загадывает целые числа от 1 до 4, причем выигрыш первого игрока равен разности загаданного им числа и числа, загаданного другим игроком.

имена	Игрок В
Игрок А	стратегии	1	2	3	4
	1	0	-1	-2	-3
	2	1	0	-1	-2
	3	2	1	0	-1
	4	3	2	1	0

Решаем задачу по теории maxmin и minmax, аналогично предыдущей задаче получается, что maxmin = 0, minmax = 0, появилась седловая точка, т.к. верхняя и нижняя цены равны. Стратегии обоих игроков равны 4.

3. Рассмотрим задачу эвакуации людей в пожарном случае.

Пожарная ситуация 1:Время возникновения пожара - 10 часов, лето.

Плотность людского потока D = 0,2 ч /м 2 , скорость движения потока v = 60

м /мин. Необходимое время эвакуации Tэв = 0,5 мин.

Пожарная ситуация 2:Время возникновения пожара 20 ч, лето. Плотность людского потока D = 0,83 ч /мин. скорость движения потока

v = 17 м /мин. Необходимое время эвакуации Tэв = 1,6 мин.

Возможны различные варианты эвакуации Li которые определяются

конструкционными и планировочными особенностями здания, наличием

незадымляемых лестничных клеток, этажностью здания и другими факторами.

В примере мы рассматриваем вариант эвакуации как маршрут, по которому должны пройти люди при эвакуации из здания. Пожарной ситуации 1 будет соответствовать такой вариант эвакуации L1, при котором эвакуация происходит по коридору в две лестничные клетки. Но возможен и худший вариант эвакуации – L2, при котором эвакуация

происходит в одну лестничную клетку и путь эвакуации максимальный.

Для ситуации 2, очевидно, подходят варианты эвакуации L1 и L2, хотя

L1 предпочтительней. Описание возможных пожарных ситуаций на объекте защиты и вариантов эвакуации оформляется в виде платежной матрицы, при этом:

N - возможные ситуации на пожаре:

L - варианты эвакуации;

а 11 – а nm результат эвакуации: "a" меняется от 0 (абсолютный проигрыш) - до 1 (максимальный выигрыш).

Например, при пожарных ситуациях:

N1- задымление общего коридора и охват его пламенем происходят

через 5 мин. после возникновения пожара;

N2 - задымление и охват пламенем коридора происходят через 7 мин;

N3 - задымление и охват коридора пламенем происходят через 10 мин.

Возможны следующие варианты эвакуации:

L1 - обеспечивающий эвакуацию за 6 мин;

L2 - обеспечивающий эвакуацию за 8 мин;

L3 - обеспечивающий эвакуацию за 12 мин.

а 11 = N1 / L1 = 5/ 6 = 0,83

а 12 = N1 / L2 = 5/ 8 = 0,62

а 13 = N1 / L3 = 5/ 12 = 0,42

а 21 = N2 / L1 = 7/ 6 = 1

а 22 = N2 / L2 = 7/ 8 = 0,87

а 23 = N2 / L3 = 7/ 12 = 0,58

а 31 = N3 / L1 = 10/ 6 = 1

а 32 = N3 / L2 = 10/ 8 = 1

а 33 = N3 / L3 = 10/ 12 = 0,83

Таблица. Платёжная матрица результатов эвакуации

L1	L2	L3
N1	0,83	0,6	0,42
N2	1	0,87	0,58
N3	1	1	0,83

Необходимое время эвакуации рассчитывать в процессе руководства

эвакуацией нет необходимости, его можно заложить в программу в готовом виде.

Данная матрица заносится в ЭВМ и по численному значению величины а ij подсистема автоматически подбирает оптимальный вариант эвакуации.

Заключение

В заключение следует особо подчеркнуть, что теория игр является очень сложной областью знания. При обращении с ней надо соблюдать известную осторожность и четко знать границы применения. Слишком простые толкования, принимаемые фирмой самостоятельно или с помощью консультантов, таят в себе скрытую опасность. Анализ и консультации на основе теории игр из-за их сложности рекомендуются лишь для особо важных проблемных областей. Опыт фирм показывает, что использование соответствующего инструментария предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных плановых стратегических решений, в том числе при подготовке крупных кооперационных договоров. Однако применение теории игр облегчает нам понимание сущности происходящего, а многогранность данного раздела науки позволяет нам успешно использовать методы и свойства этой теории в различных областях нашей деятельности.

Теория игр прививает человеку дисциплину ума. От лица, принимающего решения, она требует систематической формулировки возможных альтернатив поведения, оценки их результатов, и самое главное - учета поведения других объектов. Человек, знакомый с теорией игр, реже считает других глупее себя, - и потому избегает многих непростительных ошибок. Однако теория игр не может, да и не рассчитана на то, чтобы придать решительности, настойчивости в достижении целей, невзирая на неопределенность и риск. Знание основ теории игр не дает нам явного выигрыша, но оберегает нас от свершения глупых и ненужных ошибок.

Теория игр всегда имеет дело с особым типом мышления, стратегическим.

Библиографический список

1. Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. «Теория игр и экономическое поведение», Наука, 1970.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. «Математические методы в экономике», Москва 1997, изд. «ДИС».

3. Оуэн Г. «Теория Игр». – М.: Мир, 1970.

4. Раскин М. А. «Введение в теорию игр» // Летняя школа «Современная математика». – Дубна: 2008.

5. http://ru.wikipedia.org/wiki

6. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/104891

7. http://ru.wikipedia.org/wiki

8. http://www.rae.ru/zk/arj/2007/12/Stepanenko.pdf

9. http://banzay-kz.livejournal.com/13890.html

10. http://propolis.com.ua/node/21

11. http://www.cfin.ru/management/game_theory.shtml

12. http://konflickt.ru/16/

13. http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/IGR_TEORIYA.html

14. http://matmodel.ru/article.php/20081126162627533

15. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ec_cs/kokgames/prog3k.htm

Теория игр - совокупность математических методов решения конфликтных ситуаций (столкновений интересов). В теории игр игрой называется математическая модель конфликтной ситуации. Предмет особого интереса теории игр - исследование стратегий принятия решений участников игры в условиях неопределённости. Неопределённость связана с тем, что две или более стороны преследуют противоположные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от ходов партнёра. При этом каждая из сторон стремится принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени.

Наиболее последовательно теория игр применяется в экономике, где конфликтные ситуации возникают, например, в отношениях между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Применение теории игр можно найти и в политике, социологии, биологии, военном искусстве.

Из истории теории игр

История теории игр как самостоятельной дисциплины начинается в 1944 году, когда Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн опубликовали книгу "Теория игр и экономическое поведение" ("Theory of Games and Economic Behavior"). Хотя примеры теории игр встречались и раньше: трактат Вавилонского Талмуда о разделе имущества умершего мужа между его жёнами, карточные игры в 18-м веке, развитие теории шахматной игры в начале 20-го века, доказательство теоремы о минимаксе того же Джона фон Неймана в 1928 году, без которой не было бы никакой теории игр.

В 50-х годах 20-го века Мелвин Дрешер и Мерил Флод из Rand Corporation первыми экспериментально применили дилемму заключённого, Джон Нэш в работах о состоянии равновесия в играх двух лиц развил понятие равновесия Нэша.

Рейнхард Сэлтен в 1965 году опубликовал книгу "Обработка олигополии в теории игр по требованию" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit"), с которой применение теории игр в экономике получило новую движущую силу. Шагом вперёд в эволюции теории игр связан с работой Джона Мейнарда Смита "Эволюционно стабильная стратегия" ("Evolutionary Stable Strategy", 1974). Дилемма заключённого была популяризована в книге Роберта Аксельрода "Эволюция кооперации" ("The Evolution of Cooperation"), опубликованной в 1984 году. В 1994 году именно за вклад в теорию игр Нобелевской премии были удостоены Джон Нэш, Джон Харсаньи и Рейнхард Сэлтен.

Теория игр в жизни и бизнесе

Остановимся подробнее на сути кофликтной ситуации (столкновении интересов) в том смысле, как он понимается в теории игр для дальнейшего моделирования различных ситуаций в жизни и бизнесе. Пусть индивидуум находится в таком положении, которое приводит к одному из нескольких возможных исходов, причём у индивидуума имеются по отношению к этим исходам некоторые личные предпочтения. Но хотя он может до некоторой степени управлять переменными факторами, определяющими исход, он не имеет полной власти над ними. Иногда управление находится в руках нескольких индивидуумов, которые, подобно ему, имеют какие-то предпочтения по отношению к возможным исходам, но в общем случае интересы этих индивидуумов не согласуются. В других случаях конечный исход может зависеть как от случайностей (которые в юридических науках иногда именуются стихийными бедствиями), так и от других индивидуумов. Теория игр систематизирует наблюдения за такими ситуациями и формулировки общих принципов для руководства разумными действиями в таких ситуациях.

В некоторых отношениях название "теория игр" неудачно, так как наводит на мысль, что теория игр рассматривает лишь не имеющие социального значения столкновения, происходящие в салонных играх, но всё же эта теория имеет значительно более широкое значение.

О применении теории игр может дать представление следующая экономическая ситуация. Пусть имеется несколько предпринимателей, каждый из которых стремится получить максимум прибыли, имея при этом лишь ограниченную власть над переменными, определяющими эту прибыль. Предприниматель не имеет власти над переменными, которыми распоряжается другой предприниматель, но которые могут сильно влиять на доход первого. Трактовка этой ситуации как игры может вызвать следующее возражение. В игровой модели предполагается, что каждый предприниматель делает один выбор из области возможных выборов и этими единичными выборами определяются прибыли. Очевидно, что этого почти не может быть в действительности, так как при этом в промышленности не были бы нужны сложные управленческие аппараты. Просто есть ряд решений и модификаций этих решений, которые зависят от выборов, совершённых другими участниками экономической системы (игроками). Но в принципе можно вообразить, что какой-либо администратор предвидит все возможные случайности и подробно описывает действие, которое нужно предпринимать в каждом случае, вместо того чтобы решать каждую задачу по мере её возникновения.

Военный кофликт, по определению, есть столкновение интересов, в котором ни одна из сторон не распоряжается полностью переменными, определяющими исход, который решается рядом битв. Можно просто считать исход выигрышем или проигрышем и приписать им численные значения 1 и 0.

Одна из самых простых конфликтных ситуаций, которая может быть записана и решена в теории игр - дуэль, представляющая собой конфликт двух игроков 1 и 2, имеющих соответственно p и q выстрелов. Для каждого игрока существует функция, указывающая вероятность того, что выстрел игрока i в момент времени t даст попадание, которое окажется смертельным.

В итоге теория игр приходит к такой формулировке некоторого класса столкновений интересов: имеются n игроков, и каждому нужно выбрать одну возможность из стого определённого набора, причём при совершении выбора у игрока нет никаких сведений о выборах других игроков. Область возможных выборов игрока может содержать такие элементы, как "ход тузом пик", "производство танков вместо автомобилей", или в общем смысле, стратегию, определяющую все действия, которые нужно совершить во всех возможных обстоятельствах. Перед каждым игроком стоит задача: какой выбор он должен сделать, чтобы его частное влияние на исход принесло ему как можно больший выигрыш?

Математическая модель в теории игр и формализация задач

Как мы уже отмечали, игра является математической моделью конфликтной ситуации и требует наличия следующих компонент:

1. заинтересованных сторон;
2. возможных действий с каждой стороны;
3. интересов сторон.

Заинтересованные в игре стороны называются игроками , каждый из них может предпринять не менее двух действий (если в распоряжении игрока только одно действие, то он фактически не участвует в игре, так как заранее известно, что он предпримет). Исход игры называется выигрышем .

Реальная конфликтная ситуация не всегда, а игра (в понятии теории игр) - всегда - протекает по определённым правилам , которые точно определяют:

1. варианты действий игроков;
2. объём информации каждого игрока о поведении партнёра;
3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Примерами формализованных игр могут служить футбол, карточная игра, шахматы.

Но в экономике модель поведения игроков возникает, например, когда несколько фирм стремятся занять более выгодное место на рынке, несколько лиц пытаются поделить между собой какое-либо благо (ресурсы, финансы) так, чтобы каждому досталось по возможности больше. Игроками в конфликтных ситуациях в экономике, которые можно моделировать в виде игры, являются фирмы, банки, отдельные люди и другие экономические агенты. В свою очередь в условиях войны модель игры используется, например, в выборе более лучшего оружия (из имеющегося или потенциально возможного) для разгрома противника или защиты от нападения.

Для игры характерна неопределённость результата . Причины неопределённости можно распределить по следующим группам:

1. комбинаторные (как в шахматах);
2. влияние случайных факторов (как в игре "орёл или решка", кости, карточные игры);
3. стратегические (игрок не знает, какое действие предпримет противник).

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих его действия при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. Определить такую стратегию - значит решить игру. Оптимальность стратегии достигается, когда один из игроков должен получить максимальный выигрыш, при том, что второй придерживается своей стратегии. А второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.

Классификация игр

1. Классификация по числу игроков (игра двух и более лиц). Игры двух лиц занимают центральное место во всей теории игр. Основным понятием теории игр для игры двух лиц является обобщение весьма существенной идеи равновесия, которая естественно появляется в играх двух лиц. Что же касается игр n лиц, то одна часть теории игр посвящена играм, в которых сотрудничество между игроками запрещено. В другой части теории игр n лиц предполагается, что игроки могут сотрудничать для взаимной пользы (см. далее в этом параграфе о некооперативных и кооперативных играх).
2. Классификация по числу игроков и их стратегиям (число стратегий не менее двух, может быть бесконечностью).
3. Классификация по количеству информации относительно прошлых ходов: игры с полной информацией и неполной информацией. Пусть есть игрок 1 - покупатель и игрок 2 - продавец. Если у игрока 1 нет полной информации о действиях игрока 2, то игрок 1 может и не различить две альтернативы, между которыми ему предстоит сделать выбор. Например, выбирая между двумя видами некоторого товара и не зная о том, что по некоторым признакам товар A хуже товара B , игрок 1 может не видеть различия между альтернативами.
4. Классификация по принципам деления выигрыша : кооперативные, коалиционные с одной стороны и некооперативные, бескоалиционные с другой стороны. В некооперативной игре , или иначе - бескоалиционной игре , игроки выбирают стратегии одновременно, не зная, какую стратегию выберет второй игрок. Коммуникация между игроками невозможна. В кооперативной игре , или иначе - коалиционной игре , игроки могут объединяться в коалиции и предпринимать коллективные действия, чтобы увеличить свои выигрыши.
5. Конечная игра двух лиц с нулевой суммой или антогонистическая игра – это стратегическая игра с полной информацией, в которой участвуют стороны с противоположными интересами. Анатагонистическими играми являются матричные игры .

Классический пример из теории игр - дилемма заключённого

Двух подозреваемых берут под стражу и изолируют друг от друга. Окружной прокурор убеждён, что они совершили тяжкое преступление, но не имеет достаточных доказательств, чтобы предъявить им обвинение на суде. Он говорит каждому из заключённых, что у него имеется две альтернативы: признаться в преступлении, которое по убеждению полиции он совершил, или не признаваться. Если оба не признаются, то окружной прокурор предъявит им обвинение в каком-либо незначительном преступлении, например, мелкая кража или незаконное владение оружием, и они оба получат небольшое наказание. Если они оба признаются, то будут подлежать судебной ответственности, но он не потребует самого строгого приговора. Если же один признается, а другой нет, то признавшемуся приговор будет смягчён за выдачу сообщника, в то время как упорствующий получит "на полную катушку".

Если эту стратегическую задачу сформулировать в сроках заключения, то она сводится к следующему:

Таким образом, если оба заключённых не признаются, они получат по 1 году каждый. Если оба признаются, то каждый получит по 8 лет. А если один признается, другой не признается, то тот, который признался отделается тремя месяцами заключения, а тот, который не признается, получит 10 лет. Приведённая выше матрица правильно отражает дилемму заключённого: перед каждым стоит вопрос - признаться или не признаться. Игра, которую окружной прокурор предлагает заключённым, представляет собой некооперативную игру или иначе - бескоалиционную игру . Если бы оба заключённых имели возможность сотрудничать (то есть игра была бы кооперативной или иначе коалиционной игрой ), то оба не признались бы и получили по году тюрьмы каждый.

Примеры использования математических средств теории игр

Переходим теперь к рассмотрению решений примеров распространённых классов игр, для которых в теории игр существуют методы исследования и решения.

Пример формализации некооперативной (бескоалиционной) игры двух лиц

В предыдущем параграфе мы уже рассмотрели пример некооперативной (бескоалиционной) игры (дилемма заключённого). Давайте закрепим наши навыки. Для этого подойдёт также классический сюжет, навеянный "Приключениями Шерлока Холмса" Артура Конан Дойля. Можно, конечно, возразить: пример не из жизни, а из литературы, но ведь Конан Дойль не зарекомендовал себя как писатель-фантаст! Классический ещё и потому, что задание выполнено Оскаром Моргенштерном, как мы уже установили - одним из основателей теории игр.

Пример 1. Будет приведено сокращённое изложение фрагмента одного из "Приключений Шерлока Холмса". Согласно известным понятиям теории игр составить модель конфликтной ситуации и формально записать игру.

Шерлок Холмс намерен отправиться из Лондона в Дувр с дальнейшей целю попасть на континент (европейский), чтобы спастись от профессора Мориарти, который преследует его. Сев в поезд, он увидел на вокзальной платформе профессора Мориарти. Шерлок Холмс допускает, что Мориарти может выбрать особый поезд и обогнать его. У Шерлока Холмса две альтернативы: продолжать поездку до Дувра или сойти на станции Кентерберри, являющейся единственной промежуточной станцией на его маршруте. Мы принимаем, что его противник достаточно разумен, чтобы определить возможности Холмса, поэтому перед ним те же две альтернативы. Оба противника должны выбрать станцию, чтобы сойти на ней с поезда, не зная, какое решение примет каждый из них. Если в результате принятия решения оба окажутся на одной и той же станции, то можно однозначно считать, что Шерлок Холмс будет убит профессором Мориарти. Если же Шерлок Холмс благополучно доберётся до Дувра, то он будет спасён.

Решение. Героев Конан Дойля можем рассматривать как участников игры, то есть игроков. В распоряжении каждого игрока i (i =1,2) две чистые стратегии:

• сойти в Дувре (стратегия s i1 (i =1,2) );
• сойти на промежуточной станции (стратегия s i2 (i =1,2) )

В зависимости от того, какую из двух стратегий выберет каждый из двух игроков, будет создана особая комбинация стратегий как пара s = (s 1 , s 2 ) .

Каждой комбинации можно поставить в соответствие событие - исход попытки убийства Шерлока Холмса профессором Мориарти. Составляем матрицу данной игры с возможными событиями.

Под каждым из событий указан индекс, означающий приобретение профессора Мориарти, и рассчитываемый в зависимости от спасения Холмса. Оба героя выбирают стратегию одновременно, не зная, что выберет противник. Таким образом, игра является некооперативной, поскольку, во-первых, игроки находятся в разных поездах, а во-вторых, имеют противоположные интересы.

Пример формализации и решения кооперативной (коалиционной) игры n лиц

В этом пункте практическая часть, то есть ход решения примера задачи, будет предварена теоретической частью, в которой будем знакомиться с понятиями теории игр для решения кооперативных (бескоалиционных) игр. Для этой задачи теория игр предлагает:

• характеристическую функцию (если говорить упрощённо, она отражает величину выгоды объединения игроков в коалицию);
• понятие аддитивности (свойства величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, в некотором классе разбиений объекта на части) и супераддитивности (значение величины, соответствующее целому объекту, больше суммы значений величин, соответствующих его частям) характеристической функции.

Супераддитивность характеристической функции говорит о том, что объединение в коалиции выгодна игрокам, так как в этом случае величина выигрыша коалиции увеличивается с увеличением числа игроков.

Для формализации игры нам нужно ввести формальные обозначения вышеназванных понятий.

Для игры n обозначим множество всех её игроков как N = {1,2,...,n} Любое непустое подмножество множества N обозначим как Т (включая само N и все подмножества, состоящие из одного элемента). На сайте есть занятие "Множества и операции над множествами ", которое при переходе по ссылке открывается в новом окне.

Характеристическая функция обозначается как v и область её определения состоит из возможных подмножеств множества N . v (T ) - значение характеристической функции для того или иного подмножества, например, доход, полученный коалицией, в том числе, возможно, состоящей из одного игрока. Это важно по той причине, что теория игр требует проверить наличие супераддитивности для значений характеристической функции всех непересекающихся коалиций.

Для двух непустых коалиций из подмножеств T 1 и T 2 аддитивность характеристической функции кооперативной (коалиционной) игры записывается так:

А супераддитивность так:

Пример 2. Трое студентов музыкальной школы подрабатывают в разных клубах, свою выручку они получают от посетителей клубов. Установить, выгодно ли им объединять свои силы (если да, то с какими условиями), используя понятия теории игр для решения кооперативных игр n лиц, при следующих исходных данных.

В среднем их выручка за один вечер составляла:

• у скрипача 600 единиц;
• у гитариста 700 единиц;
• у певицы 900 единиц.

Пытаясь увеличить выручку, студенты в течение нескольких месяцев создавали различные группы. Результаты показали, что, объединившись, они могут увеличить свою выручку за вечер следующим образом:

• скрипач + гитарист зарабатывали 1500 единиц;
• скрипач + певица зарабатывали 1800 единиц;
• гитарист + певица зарабатывали 1900 единиц;
• скрипач + гитарист + певица зарабатывали 3000 единиц.

Решение. В этом примере число участников игры n = 3 , следовательно, область определения характеристической функции игры состоит из 2³ = 8 возможных подмножеств множества всех игроков. Перечислим все возможные коалиции T :

• коалиции из одного элемента, каждая из которых состоит из одного игрока - музыканта: T {1} , T {2} , T {3} ;
• коалиции из двух элементов: T {1,2} , T {1,3} , T {2,3} ;
• коалиция из трёх элементов: T {1,2,3} .

Каждому из игроков присвоим порядковый номер:

• скрипач - 1-й игрок;
• гитарист - 2-й игрок;
• певица - 3-й игрок.

По данным задачи определим характеристическую функцию игры v :

v(T{1}) = 600 ; v(T{2}) = 700 ; v(T{3}) = 900 ; эти значения характеристической функции определены исходя из выигрышей соответственно первого, второго и третьего игроков, когда они не объединяются в коалиции;

v(T{1,2}) = 1500 ; v(T{1,3}) = 1800 ; v(T{2,3}) = 1900 ; эти значения характеристической функции определены по выручке каждой пары игроков, объединившихся в коалиции;

v(T{1,2,3}) = 3000 ; это значение характеристической функции определено по средней выручке в случае, когда игроки объединялись в тройки.

Таким образом, мы перечислили все возможные коалиции игроков, их получилось восемь, как и должно быть, так как область определения характеристической функции игры состоит именно из восьми возможных подмножеств множества всех игроков. Что и требует теория игр, так как нам нужно проверить наличие супераддитивности для значений характеристической функции всех непересекающихся коалиций.

Как выполняются условия супераддитивности в этом примере? Определим, как игроки образуют непересекающиеся коалиции T 1 и T 2 . Если часть игроков входят в коалицию T 1 , то все остальные игроки входят в коалицию T 2 и по определению эта коалиция образуется как разность всего множества игроков и множества T 1 . Тогда, если T 1 - коалиция из одного игрока, то в коалиции T 2 будут второй и третий игроки, если в коалиции T 1 будут первый и третий игроки, то коалиция T 2 будет состоять только из второго игрока, и так далее.

Теория игр является математическим методом исследования оптимальных стратегий в играх. Под термином «игра» следует понимать взаимодействие двух или более сторон, которые стремятся реализовать свои интересы. У каждой стороны есть и своя стратегия, способная привести к победе или поражению, что зависит от того, каким образом ведут себя игроки. Благодаря теории игр появляется возможность найти максимально эффективную стратегию, беря во внимание представления о других игроках и их потенциале.

Теория игр представляет собой особый раздел исследования операций. В большинстве случаев методы теории игр используются в экономике, но иногда и в других социальных науках, например, в , политологии, социологии, этике и некоторых других. С 70-х годов XX века она также стала использоваться и биологами с целью изучения поведения животных и теории эволюции. Кроме того, сегодня теория игр имеет очень большое значение в области кибернетики и . Именно поэтому мы и хоти вам о ней рассказать.

История теории игр

Наиболее оптимальные стратегии в области математического моделирования учёные предлагали ещё в XVIII веке. В XIX веке задачи ценообразования и производства в условиях рынка с малой конкуренцией, впоследствии ставшие классическими примерами теории игр, рассматривались такими учёными, как Жозеф Бертран и Антуан Курно. А в начале XX столетия выдающимися математиками Эмилем Борелем и Эрнстом Цермело была выдвинута идея математической теории конфликта интересов.

Истоки математической теории игр следует искать в неоклассической экономике. Изначально основы и аспекты этой теории излагались в работе Оскара Моргенштерна и Джона фон Неймана «Теория игр и экономическое поведение» в 1944 году.

Представленная математическая область также нашла некоторое отражение и в социальной культуре. Например, в 1998 году Сильвия Назар (американская журналистка и писательница) выпустила книгу, посвящённую Джону Нэшу – лауреату Нобелевской премии по экономике и специалисту по теории игр. В 2001 году по мотивам данной работы сняли фильм «Игры разума». А ряд американских телешоу, таких как «NUMB3RS», «Alias» и «Friend or Foe» время от времени в своих эфирах также ссылаются на теорию игр.

Но отдельно следует сказать о Джоне Нэше.

В 1949 году им была написана диссертация на тему теории игр, а через 45 лет он был удостоен Нобелевской премии по экономике. В самых первых концепциях теории игр подвергались анализу игры антагонистического типа, в которых имеются игроки, выигравшие за счёт проигравших. Но Джон Нэш разработал такие аналитические методы, согласно которым все игроки либо проигрывают, либо выигрывают.

Разработанные Нэшем ситуации впоследствии назвали «равновесием по Нэшу». Отличаются они тем, что все стороны игры применяют наиболее оптимальные стратегии, благодаря чему и создаётся устойчивое равновесие. Сохранять равновесие очень выгодно для игроков, ведь в противном случае какое-то одно изменение может негативно сказаться на их положении.

Благодаря деятельности Джона Нэша теория игр получила мощный толчок в своём развитии. Кроме того, были подвергнуты серьёзному пересмотру математические инструменты экономического моделирования. Джон Нэш смог доказать, что классическая точка зрения на вопрос конкуренции, где каждый играет только за себя, не является оптимальной, и самыми эффективными стратегиями являются такие, в которых игроки делают лучше себе, изначально делая лучше другим.

Несмотря на то, что изначально в поле зрения теории игр находились и экономические модели, до 50-х годов прошлого века она была лишь формальной теорией, ограниченной рамками математики. Однако со второй половины XX века предпринимаются попытки её использования и в экономике, и в антропологии, и в технике, и в кибернетике, и в биологии. В период Второй мировой войны и по её окончании теорию игр начали рассматривать военные, разглядевшие в ней серьёзный аппарат в деле развития стратегических решений.

В период 60-70-х годов интерес к данной теории угас, невзирая даже на то, что она давала хорошие математические результаты. Но с 80-х годов начинается активное применение теории игр на практике, главным образом, в менеджменте и экономике. В течение же нескольких последних десятилетий актуальность её значительно выросла, а некоторые современные экономические направления и вовсе невозможно представить без неё.

Не будет лишним сказать также и о том, что существенный вклад в развитие теории игр внёс труд «Стратегия конфликта» 2005 года лауреата Нобелевской премии по экономике Томаса Шеллинга. В своей работе Шеллинг рассмотрел множество стратегий, которыми пользуются участники конфликтного взаимодействия. Данные стратегии совпали с тактиками конфликт-менеджмента и аналитическими принципами, применяющимися в , а также с тактиками, которые используются для управления конфликтами в организациях.

В психологической науке и ряде других дисциплин понятие «игра» имеет несколько иной смысл, чем в математике. Культурологическая интерпретация термина «игра» была представлена в книге «Homo Ludens» Йохана Хёйзинга, где автор толкует о применении игр в этике, культуре и правосудии, а также указывает на то, что сама игра существенно превосходит человека по возрасту, ведь и животные тоже склонны играть.

Также понятие «игра» можно встретить в концепции Эрика Бёрна, известного по книге « ». Здесь, правда, идёт речь об исключительно психологических играх, основой которых является трансакционный анализ.

Применение теории игр

Если говорить о математической теории игр, то в настоящее время она находится на стадии активного развития. Но математическая база по своей сути является очень затратной, по причине чего применяется она, главным образом, только если цели оправдывают средства, а именно: в политике, экономике монополий и распределения рыночной власти и т.д. В остальном же, теория игр применяется в исследованиях поведения людей и животных в огромном количестве ситуаций.

Как уже и было сказано, сначала теория игр развивалась в пределах границ экономической науки, благодаря чему стало возможным определить и интерпретировать поведение в различных ситуациях экономических агентов. Но позже область её применения значительно расширилась и стала включать в себя множество социальных наук, благодаря чему с помощью теории игр сегодня объясняется поведение человека в психологии, социологии и политологии.

Специалисты используют теорию игр не только для того чтобы объяснить и предсказать человеческое поведение – было предпринято множество попыток по использованию этой теории с целью разработать эталонное поведение. Кроме того, философы и экономисты долгое время при помощи неё старались как можно лучше понять хорошее или достойное поведение.

Таким образом, можно заключить, что теория игр стала настоящим переломным моментом в развитии множества наук, и сегодня является неотъемлемой частью процесса изучения различных аспектов поведения человека.

ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ: Как вы заметили, теория игр довольно тесно взаимосвязана с конфликтологией – наукой, посвящённой изучению поведения людей в процессе конфликтного взаимодействия. И, на наш взгляд, эта область является одной из самых главных не только среди тех, в которых теория игр должна применяться, но и среди тех, которые должен изучать сам человек, ведь конфликты, как ни крути, являются частью нашей жизни.

Если у вас есть желание разобраться в том, и какие вообще существуют стратегии поведения в них, мы предлагаем вам пройти наш курс по самопознанию, который в полной мере предоставит вам такую информацию. Но, помимо этого, пройдя наш курс, вы сможете провести всестороннюю оценку своей личности вообще. А это значит, что вы будете знать и о том, как вести себя в случае конфликта, и каковы ваши личностные преимущества и недостатки, жизненные ценности и приоритеты, предрасположенности к работе и творчеству, и много чего ещё. В общем, это очень полезный и нужный инструмент для каждого, кто стремится к развитию.

Наш курс находится – смело приступайте к самопознанию и совершенствуйте себя.

Мы желаем вам успехов и умения быть победителем в любой игре!