Theoretische Mechanik Vorlesungen 1 Kurs. Technische Mechanik

Drehwinkel während dieser Zeit φ=2πz\u003d 2 * 3,14 * 360 \u003d 2261 rad

4. 3 Runden arbeiten:W\u003d 1 * 0,02 * 2261 \u003d 45,2 kJ

Referenzliste

Olofinskaja, V.P. "Technische Mechanik", Moskauer "Forum" 2011

Erdedi A.A. Erdedi N.A. Theoretische Mechanik. Festigkeit von Materialien.- R-n-D; Phönix, 2010

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Vorlesung Theoretische Mechanik Dynamik (I. Teil) Bondarenko A.N. Moskau - 2007 Der elektronische Schulungskurs wurde auf der Grundlage von Vorlesungen geschrieben, die der Autor für Studenten der Fachrichtungen SZhD, PGS und SDM am NIIZhT und MIIT (1974-2006) gehalten hat. Das Unterrichtsmaterial entspricht den Kalenderplänen in Höhe von drei Semestern. Für die vollständige Implementierung von Animationseffekten während der Präsentation müssen Sie einen PowerPoint-Viewer verwenden, der nicht niedriger ist als der in Microsoft Office des Betriebssystems Windows XP Professional integrierte. Kommentare und Anregungen können per E-Mail gesendet werden: [E-Mail geschützt]. Moskauer Staatliche Universität für Eisenbahntechnik (MIIT) Abteilung für Theoretische Mechanik Wissenschaftliches und technisches Zentrum für Verkehrstechnologien

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Inhalt Vorlesung 1. Einführung in die Dynamik. Gesetze und Axiome der Materialpunktdynamik. Grundgleichung der Dynamik. Differential- und natürliche Bewegungsgleichungen. Zwei Hauptaufgaben der Dynamik. Beispiele zur Lösung des direkten Problems der Dynamik Vorlesung 2. Lösung des inversen Problems der Dynamik. Allgemeine Anweisungen zur Lösung des inversen Problems der Dynamik. Beispiele zur Lösung des inversen Problems der Dynamik. Die Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands. Vorlesung 3. Geradlinige Schwingungen eines materiellen Punktes. Die Bedingung für das Auftreten von Schwingungen. Klassifizierung von Schwingungen. Freischwingungen ohne Berücksichtigung der Widerstandskräfte. gedämpfte Schwingungen. Schwingungsdekrement. Vorlesung 4. Erzwungene Schwingungen eines materiellen Punktes. Resonanz. Einfluss des Bewegungswiderstandes bei erzwungenen Schwingungen. Vorlesung 5. Relativbewegung eines materiellen Punktes. Trägheitskräfte. Besondere Fälle von Bewegung für verschiedene Arten von tragbaren Bewegungen. Einfluss der Erdrotation auf das Gleichgewicht und die Bewegung von Körpern. Vorlesung 6. Dynamik eines mechanischen Systems. Mechanisches System. Äußere und innere Kräfte. Schwerpunkt des Systems. Der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes. Naturschutzgesetze. Ein Beispiel für die Lösung des Problems der Verwendung des Satzes über die Bewegung des Massenschwerpunkts. Vorlesung 7. Kraftimpuls. Die Menge an Bewegung. Satz über die Impulsänderung. Naturschutzgesetze. Satz von Euler. Ein Beispiel für die Lösung des Problems bei der Verwendung des Satzes über die Änderung des Impulses. Moment der Dynamik. Der Satz über die Änderung des Drehimpulses Vorlesung 8. Erhaltungssätze. Elemente der Theorie der Trägheitsmomente. Kinetisches Moment eines starren Körpers. Differentialgleichung der Drehung eines starren Körpers. Ein Beispiel für die Lösung des Problems der Verwendung des Satzes zur Änderung des Drehimpulses des Systems. Elementare Theorie des Kreisels. Empfohlene Literatur 1. Yablonsky A.A. Lehrgang Theoretische Mechanik. Teil 2. M.: Höhere Schule. 1977. 368 S. 2. Meshchersky I.V. Sammlung von Problemen der Theoretischen Mechanik. M.: Wissenschaft. 1986 416 S. 3. Aufgabensammlung für Hausarbeiten /Hrsg. AA Jablonsky. M.: Höhere Schule. 1985. 366 S. 4. Bondarenko A.N. „Theoretische Mechanik in Beispielen und Aufgaben. Dynamik“ (elektronisches Handbuch www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

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Vorlesung 1 Dynamik ist ein Abschnitt der Theoretischen Mechanik, der die mechanische Bewegung aus allgemeinster Sicht untersucht. Die Bewegung wird im Zusammenhang mit den auf das Objekt wirkenden Kräften betrachtet. Der Abschnitt besteht aus drei Abschnitten: Dynamik eines materiellen Punktes Dynamik Dynamik eines mechanischen Systems Analytische Mechanik ■ Dynamik eines Punktes - untersucht die Bewegung eines materiellen Punktes unter Berücksichtigung der Kräfte, die diese Bewegung verursachen. Das Hauptobjekt ist ein materieller Punkt - ein materieller Körper mit einer Masse, deren Abmessungen vernachlässigt werden können. Grundannahmen: - es gibt einen absoluten Raum (er hat rein geometrische Eigenschaften, die nicht von Materie und ihrer Bewegung abhängen. - es gibt eine absolute Zeit (hängt nicht von Materie und ihrer Bewegung ab). Daraus folgt: - es gibt ein absolut unbeweglicher Bezugsrahmen - die Zeit hängt nicht von der Bewegung des Bezugsrahmens ab - die Massen sich bewegender Punkte hängen nicht von der Bewegung des Bezugsrahmens ab Diese Annahmen werden in der klassischen Mechanik verwendet, die von Galileo und Newton geschaffen wurde Es hat immer noch einen ziemlich weiten Anwendungsbereich, da die in den angewandten Wissenschaften betrachteten mechanischen Systeme nicht so große Massen und Bewegungsgeschwindigkeiten haben, für die ihr Einfluss auf die Geometrie von Raum, Zeit, Bewegung usw. berücksichtigt werden muss geschieht in der relativistischen Mechanik (der Relativitätstheorie) ■ Die Grundgesetze der Dynamik - erstmals von Galilei entdeckt und von Newton formuliert - bilden die Grundlage aller Methoden zur Beschreibung und Analyse der Bewegung mechanischer Systeme und ihrer dynamischen Wechselwirkung Aktion unter dem Einfluss verschiedener Kräfte. ■ Trägheitsgesetz (Galileo-Newton-Gesetz) – Ein isolierter materieller Punkt eines Körpers behält seinen Ruhezustand oder seine gleichmäßige geradlinige Bewegung bei, bis ihn die aufgebrachten Kräfte zwingen, diesen Zustand zu ändern. Dies impliziert die Äquivalenz von Ruhe- und Bewegungszustand durch Trägheit (das Relativitätsgesetz von Galilei). Das Bezugssystem, in Bezug auf das das Trägheitsgesetz erfüllt ist, heißt inertial. Die Eigenschaft eines materiellen Punktes, danach zu streben, die Geschwindigkeit seiner Bewegung (seinen kinematischen Zustand) unverändert zu halten, wird als Trägheit bezeichnet. ■ Das Proportionalitätsgesetz von Kraft und Beschleunigung (Grundgleichung der Dynamik – Newtonsches II. Gesetz) – Die auf einen materiellen Punkt durch Kraft ausgeübte Beschleunigung ist direkt proportional zur Kraft und umgekehrt proportional zur Masse dieses Punktes: oder Hier ist m die Masse des Punktes (ein Maß für die Trägheit), gemessen in kg, numerisch gleich Gewicht dividiert durch die Erdbeschleunigung: F ist die wirkende Kraft, gemessen in N (1 N verleiht einem Punkt mit a eine Beschleunigung von 1 m/s2 Masse von 1 kg, 1 N \u003d 1/9. 81 kg-s). ■ Dynamik eines mechanischen Systems – untersucht die Bewegung einer Reihe von materiellen Punkten und festen Körpern, die durch die allgemeinen Wechselwirkungsgesetze vereint sind, unter Berücksichtigung der Kräfte, die diese Bewegung verursachen. ■ Analytische Mechanik – untersucht die Bewegung nicht-freier mechanischer Systeme unter Verwendung allgemeiner analytischer Methoden. eines

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Vorlesung 1 (Fortsetzung - 1.2) Differentialgleichungen der Bewegung eines materiellen Punktes: - Differentialgleichung der Bewegung eines Punktes in Vektorform. - Differentialgleichungen der Punktbewegung in Koordinatenform. Dieses Ergebnis kann durch formale Projektion der Vektordifferentialgleichung (1) erhalten werden. Nach der Gruppierung wird die Vektorbeziehung in drei skalare Gleichungen zerlegt: In Koordinatenform: Wir verwenden die Beziehung des Radius-Vektors mit Koordinaten und des Kraftvektors mit Projektionen: Differentialgleichung der Bewegung auf natürlichen (bewegten) Koordinatenachsen: oder: - natürliche Bewegungsgleichungen eines Punktes. ■ Grundgleichung der Dynamik: - entspricht der vektoriellen Art, die Bewegung eines Punktes anzugeben. ■ Das Gesetz der Unabhängigkeit der Wirkung von Kräften - Die Beschleunigung eines materiellen Punktes unter der Wirkung mehrerer Kräfte ist gleich der geometrischen Summe der Beschleunigungen eines Punktes durch die Wirkung jeder der Kräfte getrennt: oder Das Gesetz ist gültig für jeden kinematischen Zustand von Körpern. Die Wechselwirkungskräfte, die auf verschiedene Punkte (Körper) wirken, sind nicht ausgeglichen. ■ Das Gesetz der Gleichheit von Aktion und Reaktion (Newtonsches III. Gesetz) - Jeder Aktion entspricht eine gleiche und entgegengesetzt gerichtete Reaktion: 2

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Zwei Hauptprobleme der Dynamik: 1. Direktes Problem: Bewegung ist gegeben (Bewegungsgleichungen, Trajektorie). Es ist erforderlich, die Kräfte zu bestimmen, unter deren Wirkung eine bestimmte Bewegung auftritt. 2. Umkehrproblem: Die Kräfte, unter deren Wirkung die Bewegung erfolgt, sind gegeben. Es ist erforderlich, Bewegungsparameter (Bewegungsgleichungen, Bewegungsbahn) zu finden. Beide Probleme werden mit Hilfe der Grundgleichung der Dynamik und ihrer Projektion auf die Koordinatenachsen gelöst. Betrachtet man die Bewegung eines unfreien Punktes, so wird wie in der Statik das Prinzip der Bindungslösung verwendet. Durch die Reaktion werden die Bindungen in die Zusammensetzung der auf den Materialpunkt einwirkenden Kräfte einbezogen. Die Lösung des ersten Problems ist mit Differenzierungsoperationen verbunden. Die Lösung des inversen Problems erfordert die Integration der entsprechenden Differentialgleichungen, und dies ist viel schwieriger als die Differentiation. Das inverse Problem ist schwieriger als das direkte Problem. Die Lösung des direkten Dynamikproblems - sehen wir uns Beispiele an: Beispiel 1. Eine Kabine mit einem Gewicht G eines Aufzugs wird an einem Seil mit einer Beschleunigung a angehoben. Seilspannung ermitteln. 1. Wählen Sie ein Objekt aus (die Aufzugskabine bewegt sich vorwärts und kann als materieller Punkt betrachtet werden). 2. Wir verwerfen die Verbindung (Kabel) und ersetzen sie durch die Reaktion R. 3. Stellen Sie die Grundgleichung der Dynamik auf: Bestimmen Sie die Reaktion des Kabels: Bestimmen Sie die Kabelspannung: Bei gleichförmiger Bewegung der Kabine ay = 0 und die Die Seilspannung ist gleich dem Gewicht: T = G. Wenn das Seil reißt, ist T = 0 und die Beschleunigung der Kabine gleich der Beschleunigung des freien Falls: ay = -g. 3 4. Wir projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf die y-Achse: y Beispiel 2. Ein Massenpunkt m bewegt sich entlang einer horizontalen Fläche (der Oxy-Ebene) gemäß den Gleichungen: x = a coskt, y = b coskt. Bestimmen Sie die auf den Punkt wirkende Kraft. 1. Wählen Sie ein Objekt (Materialpunkt) aus. 2. Wir verwerfen den Zusammenhang (Ebene) und ersetzen ihn durch die Reaktion N. 3. Fügen dem Kräftesystem eine unbekannte Kraft F hinzu 4. Stellen Sie die Grundgleichung der Dynamik auf: 5. Projizieren Sie die Grundgleichung der Dynamik auf das x , y-Achsen: Bestimmung der Kraftprojektionen: Kraftmodul: Richtungskosinus : Der Betrag der Kraft ist also proportional zum Abstand des Punktes vom Koordinatenmittelpunkt und ist entlang der Verbindungslinie des Punktes zum Mittelpunkt zum Mittelpunkt gerichtet . Die Trajektorie der Punktbewegung ist eine Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung: O r Vorlesung 1 (Fortsetzung - 1.3)

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Vorlesung 1 (Fortsetzung 1.4) Beispiel 3: Eine Last vom Gewicht G hängt an einem Seil der Länge l und bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn in einer horizontalen Ebene. Der Abweichungswinkel des Kabels von der Vertikalen ist gleich. Bestimmen Sie die Spannung des Kabels und die Geschwindigkeit der Last. 1. Wählen Sie ein Objekt (Fracht) aus. 2. Verwerfen Sie die Verbindung (Seil) und ersetzen Sie sie durch die Reaktion R. 3. Stellen Sie die Grundgleichung der Dynamik auf: Bestimmen Sie aus der dritten Gleichung die Reaktion des Kabels: Bestimmen Sie die Spannung des Kabels: Ersetzen Sie den Wert der Reaktion des Seils, Normalbeschleunigung in die zweite Gleichung und bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Last: 4. Stellen Sie die Hauptgleichung Achsdynamik,n,b auf: Beispiel 4: Ein Auto mit dem Gewicht G bewegt sich auf einer konvexen Brücke (Krümmungsradius ist R ) mit einer Geschwindigkeit V. Bestimmen Sie den Druck des Autos auf der Brücke. 1. Wir wählen ein Objekt aus (ein Auto, wir vernachlässigen die Abmessungen und betrachten es als Punkt). 2. Wir verwerfen die Verbindung (raue Oberfläche) und ersetzen sie durch die Reaktionen N und die Reibungskraft Ffr. 3. Wir stellen die Grundgleichung der Dynamik auf: 4. Wir projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf die n-Achse: Daraus bestimmen wir die normale Reaktion: Wir bestimmen den Druck des Autos auf der Brücke: Daraus können wir die Geschwindigkeit bestimmen entspricht Nulldruck auf der Brücke (Q = 0): 4

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Vorlesung 2 Nach dem Einsetzen der gefundenen Werte der Konstanten erhalten wir: Somit kann ein materieller Punkt unter der Wirkung desselben Kräftesystems eine ganze Klasse von Bewegungen ausführen, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind. Die Anfangskoordinaten berücksichtigen die Anfangsposition des Punktes. Die durch die Projektionen gegebene Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigt den Einfluss der Kräfte, die auf den Punkt einwirkten, bevor er diesen Abschnitt erreichte, auf seine Bewegung entlang des betrachteten Abschnitts der Bahn, d.h. Kinematischer Ausgangszustand. Lösung des inversen Problems der Dynamik - Im allgemeinen Fall der Bewegung eines Punktes sind die auf den Punkt wirkenden Kräfte Größen, die von Zeit, Koordinaten und Geschwindigkeit abhängen. Die Bewegung eines Punktes wird durch ein System von drei Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben: Nach deren Integration ergeben sich jeweils sechs Konstanten C1, C2,…., C6: Die Werte der Konstanten C1, C2,… ., C6 ergeben sich aus sechs Anfangsbedingungen bei t = 0: Beispiel 1 des lösungsinversen Problems: Ein freier materieller Punkt der Masse m bewegt sich unter der Wirkung einer Kraft F, die nach Betrag und Betrag konstant ist. . Im Anfangsmoment war die Geschwindigkeit des Punktes v0 und fiel in Richtung mit der Kraft zusammen. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung eines Punktes. 1. Die Grundgleichung der Dynamik aufstellen: 3. Die Ordnung der Ableitung verringern: 2. Ein kartesisches Bezugssystem wählen, die x-Achse entlang der Kraftrichtung richten und die Grundgleichung der Dynamik auf diese Achse projizieren: oder x y z 4 Trennen Sie die Variablen: 5. Berechnen Sie die Integrale beider Gleichungsteile: 6. Stellen Sie die Geschwindigkeitsprojektion als Ableitung der Koordinate nach der Zeit dar: 8. Berechnen Sie die Integrale beider Gleichungsteile: 7. Trennen Sie die Variablen: 9. Um die Werte der Konstanten C1 und C2 zu bestimmen, verwenden wir die Anfangsbedingungen t = 0, vx = v0 , x = x0: Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung der gleichförmig veränderlichen Bewegung (entlang der x-Achse): 5

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Allgemeine Anweisungen zum Lösen direkter und inverser Probleme. Lösungsverfahren: 1. Aufstellung der Bewegungsdifferentialgleichung: 1.1. Wählen Sie ein Koordinatensystem - rechteckig (fest) mit unbekannter Bewegungsbahn, natürlich (bewegt) mit bekannter Bewegungsbahn, z. B. einen Kreis oder eine gerade Linie. Im letzteren Fall kann eine geradlinige Koordinate verwendet werden. Der Referenzpunkt sollte mit der Anfangsposition des Punktes (bei t = 0) oder mit der Gleichgewichtsposition des Punktes kombiniert werden, falls sie vorhanden ist, z. B. wenn der Punkt schwankt. 6 1.2. Zeichnen Sie einen Punkt an einer Position, die einem beliebigen Zeitpunkt entspricht (für t > 0), sodass die Koordinaten positiv sind (s > 0, x > 0). Wir nehmen auch an, dass die Geschwindigkeitsprojektion in dieser Position ebenfalls positiv ist. Bei Schwingungen ändert die Geschwindigkeitsprojektion beispielsweise bei der Rückkehr in die Gleichgewichtslage das Vorzeichen. Dabei ist anzunehmen, dass sich der Punkt zum betrachteten Zeitpunkt von der Gleichgewichtslage wegbewegt. Die Umsetzung dieser Empfehlung ist zukünftig wichtig bei der Arbeit mit geschwindigkeitsabhängigen Widerstandskräften. 1.3. Lösen Sie den materiellen Punkt von Bindungen, ersetzen Sie ihre Aktion durch Reaktionen, fügen Sie aktive Kräfte hinzu. 1.4. Schreiben Sie das Grundgesetz der Dynamik in Vektorform, projizieren Sie auf die ausgewählten Achsen, drücken Sie die gegebenen oder reaktiven Kräfte durch die Variablen Zeit, Koordinaten oder Geschwindigkeiten aus, falls sie davon abhängen. 2. Lösung von Differentialgleichungen: 2.1. Reduzieren Sie die Ableitung, wenn die Gleichung nicht auf die kanonische (Standard-)Form reduziert wird. zum Beispiel: oder 2.2. Separate Variablen, zB: oder 2.4. Berechnen Sie die unbestimmten Integrale auf der linken und rechten Seite der Gleichung, zum Beispiel: 2.3. Wenn die Gleichung drei Variablen enthält, ändern Sie die Variablen, zum Beispiel: und trennen Sie dann die Variablen. Kommentar. Anstatt unbestimmte Integrale auszuwerten, kann man bestimmte Integrale mit variabler Obergrenze auswerten. Die unteren Grenzen stellen die Anfangswerte der Variablen (Anfangsbedingungen) dar. Dann muss die Konstante nicht extra gefunden werden, sie wird beispielsweise automatisch in die Lösung aufgenommen: Unter Verwendung der Anfangsbedingungen ist beispielsweise t = 0 , vx = vx0, bestimme die Integrationskonstante: 2.5. Drücken Sie zum Beispiel die Geschwindigkeit in Bezug auf die zeitliche Ableitung der Koordinate aus und wiederholen Sie die Schritte 2.2-2.4 Hinweis. Wenn die Gleichung auf eine kanonische Form reduziert wird, die eine Standardlösung hat, wird diese fertige Lösung verwendet. Die Integrationskonstanten ergeben sich noch aus den Anfangsbedingungen. Siehe zum Beispiel Oszillationen (Vortrag 4, S. acht). Vorlesung 2 (Fortsetzung 2.2)

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Vorlesung 2 (Fortsetzung 2.3) Beispiel 2 zur Lösung des inversen Problems: Kraft hängt von der Zeit ab. Eine Gewichtslast P beginnt sich unter der Wirkung einer Kraft F, deren Größe proportional zur Zeit ist (F = kt), entlang einer glatten horizontalen Oberfläche zu bewegen. Bestimmen Sie den Weg, den die Last in der Zeit t zurückgelegt hat. 3. Wir stellen die Hauptgleichung der Dynamik auf: 5. Wir erniedrigen die Ordnung der Ableitung: 4. Wir projizieren die Hauptgleichung der Dynamik auf die x-Achse: oder 7 6. Wir trennen die Variablen: 7. Wir berechnen die Integrale aus beiden Gleichungsteilen: 9. Wir stellen die Projektion der Geschwindigkeit als Ableitung der Koordinate nach der Zeit dar: 10. Berechnen Sie die Integrale beider Gleichungsteile: 9. Trennen Sie die Variablen: 8. Bestimmen Sie den Wert der Konstanten C1 aus der Anfangsbedingung t = 0, vx = v0=0: Als Ergebnis erhalten wir die Bewegungsgleichung (entlang der x-Achse), die den Wert der zurückgelegten Strecke für die Zeit t angibt: 1. We wähle das Bezugssystem (kartesische Koordinaten) so, dass der Körper eine positive Koordinate hat: 2. Wir nehmen das Bewegungsobjekt als materiellen Punkt (der Körper bewegt sich vorwärts), lösen ihn aus der Verbindung (Bezugsebene) und ersetzen ihn durch den Reaktion (normale Reaktion einer glatten Oberfläche) : 11. Bestimme den Wert der Konstanten C2 aus der Anfangsbedingung t = 0, x = x0=0: Beispiel 3 zur Lösung des inversen Problems: Die Kraft hängt von der Koordinate ab. Ein materieller Massenpunkt m wird mit der Geschwindigkeit v0 von der Erdoberfläche nach oben geschleudert. Die Schwerkraft der Erde ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung vom Punkt zum Schwerpunkt (dem Erdmittelpunkt). Bestimmen Sie die Abhängigkeit der Geschwindigkeit vom Abstand y zum Erdmittelpunkt. 1. Wir wählen ein Bezugssystem (kartesische Koordinaten) so, dass der Körper eine positive Koordinate hat: 2. Wir stellen die Grundgleichung der Dynamik auf: 3. Wir projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf die y-Achse: oder Der Proportionalitätskoeffizient kann mit dem Gewicht eines Punktes auf der Erdoberfläche gefunden werden: R Daraus ergibt sich das Differential, so sieht die Gleichung aus: oder 4. Verringern Sie die Ordnung der Ableitung: 5. Ändern Sie die Variable: 6. Trennen Sie die Variablen: 7. Berechnen Sie die Integrale beider Seiten der Gleichung: 8. Ersetzen Sie die Grenzen: Als Ergebnis erhalten wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit als Funktion der y-Koordinate: Die maximale Flughöhe kann durch Gleichsetzen der Geschwindigkeit mit Null ermittelt werden: Die maximale Flughöhe wenn der Nenner auf Null geht: Von hier aus wird bei der Einstellung des Erdradius und der Beschleunigung des freien Falls die II kosmische Geschwindigkeit erhalten:

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Vorlesung 2 (Fortsetzung 2.4) Beispiel 2 zur Lösung des inversen Problems: Kraft hängt von Geschwindigkeit ab. Ein Schiff der Masse m hatte eine Geschwindigkeit v0. Der Widerstand des Wassers gegen die Bewegung des Schiffes ist proportional zur Geschwindigkeit. Bestimmen Sie die Zeit, die es dauert, bis die Schiffsgeschwindigkeit nach dem Abstellen des Motors um die Hälfte gesunken ist, sowie die Strecke, die das Schiff bis zum vollständigen Stillstand zurückgelegt hat. 8 1. Wir wählen ein Bezugssystem (kartesische Koordinaten) so, dass der Körper eine positive Koordinate hat: 2. Wir nehmen das Bewegungsobjekt als materiellen Punkt (das Schiff bewegt sich vorwärts), befreien es von Bindungen (Wasser) und ersetzen es mit einer Reaktion (Auftriebskraft - Archimedes-Kraft) und auch der Kraft des Widerstands gegen die Bewegung. 3. Wirkkraft hinzufügen (Schwerkraft). 4. Wir stellen die Hauptgleichung der Dynamik auf: 5. Wir projizieren die Hauptgleichung der Dynamik auf die x-Achse: oder 6. Wir erniedrigen die Ordnung der Ableitung: 7. Wir trennen die Variablen: 8. Wir berechnen die Integrale aus beide Teile der Gleichung: 9. Wir setzen die Grenzen ein: Man erhält einen Ausdruck, der die Geschwindigkeit und die Zeit t in Beziehung setzt, aus der man die Bewegungszeit bestimmen kann: Die Bewegungszeit, während der die Geschwindigkeit um die Hälfte sinkt: It Es ist interessant festzustellen, dass, wenn sich die Geschwindigkeit Null nähert, die Bewegungszeit gegen unendlich tendiert, d.h. Endgeschwindigkeit kann nicht Null sein. Warum nicht „Perpetuum mobile“? Allerdings ist in diesem Fall die zurückgelegte Strecke bis zur Haltestelle ein endlicher Wert. Um die zurückgelegte Distanz zu bestimmen, wenden wir uns dem Ausdruck zu, den wir erhalten, nachdem wir die Ordnung der Ableitung verringert haben, und nehmen eine Änderung der Variablen vor: Nach Integration und Substitution von Grenzen erhalten wir: Zurückgelegte Distanz bis zu einem Stopp: ■ Bewegung eines angeworfenen Punktes ein Winkel zum Horizont in einem gleichmäßigen Schwerefeld ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands Eliminiert man die Zeit aus den Bewegungsgleichungen, erhält man die Bahngleichung: Die Flugzeit wird durch Gleichsetzen der y-Koordinate mit Null bestimmt: Die Flugreichweite wird durch Einsetzen bestimmt die Flugzeit:

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Vorlesung 3 Geradlinige Schwingungen eines materiellen Punktes - Die oszillierende Bewegung eines materiellen Punktes erfolgt unter der Bedingung: Es gibt eine Rückstellkraft, die den Punkt bei jeder Abweichung von dieser Lage wieder in die Gleichgewichtslage zurückführt. 9 Es gibt eine Rückstellkraft, die Gleichgewichtslage ist stabil Keine Rückstellkraft, die Gleichgewichtslage ist instabil Keine Rückstellkraft, die Gleichgewichtslage ist indifferent Es ist immer auf die Gleichgewichtsposition gerichtet, der Wert ist direkt proportional zur linearen Dehnung (Verkürzung) der Feder, die gleich der Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtsposition ist: c ist der Federsteifigkeitskoeffizient, numerisch gleich dem Kraft, unter der die Feder ihre Länge um eins ändert, gemessen in N/m im System SI. x y O Schwingungsarten eines materiellen Punktes: 1. Freie Schwingungen (ohne Berücksichtigung des Widerstandes des Mediums). 2. Freie Schwingungen unter Berücksichtigung des Widerstandes des Mediums (gedämpfte Schwingungen). 3. Erzwungene Schwingungen. 4. Erzwungene Schwingungen unter Berücksichtigung des Widerstandes des Mediums. ■ Freie Schwingungen - treten nur unter Einwirkung einer Rückstellkraft auf. Schreiben wir das Grundgesetz der Dynamik auf: Wählen wir ein Koordinatensystem, dessen Mittelpunkt die Gleichgewichtsposition (Punkt O) ist, und projizieren wir die Gleichung auf die x-Achse: Bringen wir die resultierende Gleichung auf die Standardform (kanonische Form): Diese Gleichung ist eine homogene Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Lösungsform durch die Wurzeln der Charakteristik der durch universelle Substitution erhaltenen Gleichung bestimmt wird: Die Wurzeln der Charakteristikgleichung sind imaginär und gleich: Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung hat die Form: Die Geschwindigkeit des Punktes: Anfangsbedingungen: Definieren Sie die Konstanten: Die Gleichung der freien Schwingungen hat also die Form: Die Gleichung kann durch einen Eintermausdruck dargestellt werden: wobei a die Amplitude ist, - Anfangsphase. Die neuen Konstanten a und - stehen in Beziehung zu den Konstanten C1 und C2 durch die Beziehungen: Definieren wir a und: Der Grund für das Auftreten freier Schwingungen ist die Anfangsverschiebung x0 bzw. die Anfangsgeschwindigkeit v0.

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10 Vorlesung 3 (Fortsetzung 3.2) Gedämpfte Schwingungen eines materiellen Punktes - Die oszillierende Bewegung eines materiellen Punktes erfolgt bei Vorhandensein einer Rückstellkraft und einer Bewegungswiderstandskraft. Die Abhängigkeit der Bewegungswiderstandskraft von Verschiebung oder Geschwindigkeit wird durch die physikalische Natur des Mediums oder der Verbindung bestimmt, die die Bewegung behindert. Die einfachste Abhängigkeit ist eine lineare Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (viskoser Widerstand): - Viskositätskoeffizient x y O aus den Werten der Wurzeln: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - Fall von hohem viskosem Widerstand: - echte Wurzeln, anders. oder - diese Funktionen sind aperiodisch: 3. n = k: - Wurzeln sind reell, mehrfach. diese Funktionen sind ebenfalls aperiodisch:

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Vorlesung 3 (Fortsetzung 3.3) Klassifikation von Lösungen freier Schwingungen. Federanschlüsse. gleichwertige Härte. j j 11 Diff. Gleichungszeichen. Gleichung Wurzeln char. Gleichung Lösen von Differentialgleichungen Grafik nk n=k

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Vorlesung 4 Erzwungene Schwingungen eines materiellen Punktes - Neben der Rückstellkraft wirkt eine sich periodisch ändernde Kraft, die sogenannte Störkraft. Die Störkraft kann unterschiedlicher Natur sein. Beispielsweise verursacht in einem speziellen Fall die Trägheitswirkung einer Unwuchtmasse m1 eines rotierenden Rotors harmonisch wechselnde Kraftprojektionen: Die Hauptgleichung der Dynamik: Die Projektion der Dynamikgleichung auf die Achse: Bringen wir die Gleichung auf den Standard form: 12 Die Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung besteht aus zwei Teilen x = x1 + x2: x1 ist die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung und x2 ist eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung: Wir wählen die partikuläre Lösung in der Form von die rechte Seite: Die resultierende Gleichheit muss für jedes t erfüllt sein. Dann: oder So führt der materielle Punkt bei gleichzeitiger Wirkung der Rückstell- und Störkräfte eine komplexe Schwingungsbewegung aus, die das Ergebnis der Addition (Überlagerung) von freien (x1) und erzwungenen (x2) Schwingungen ist. Wenn P< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (erzwungene Schwingungen hoher Frequenz), dann ist die Phase der Schwingungen entgegengesetzt zur Phase der Störkraft:

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Vorlesung 4 (Fortsetzung 4.2) 13 Dynamischer Koeffizient - das Verhältnis der Amplitude erzwungener Schwingungen zur statischen Abweichung eines Punktes unter Einwirkung einer konstanten Kraft H = const: Die Amplitude erzwungener Schwingungen: Die statische Abweichung kann aus der ermittelt werden Gleichgewichtsgleichung: Hier: Daher: Also, bei p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (hohe Frequenz der erzwungenen Schwingungen) dynamischer Koeffizient: Resonanz - tritt auf, wenn die Frequenz der erzwungenen Schwingungen mit der Frequenz der natürlichen Schwingungen übereinstimmt (p = k). Dies tritt am häufigsten beim Starten und Stoppen der Drehung von schlecht ausgewuchteten Rotoren auf, die auf elastischen Aufhängungen montiert sind. Die Differentialgleichung von Schwingungen mit gleichen Frequenzen: Eine bestimmte Lösung in Form der rechten Seite kann nicht genommen werden, weil man erhält eine linear abhängige Lösung (siehe allgemeine Lösung). Allgemeine Lösung: Ersatz in der Differentialgleichung: Nimm eine bestimmte Lösung in der Form und berechne die Ableitungen: Damit erhält man die Lösung: oder Erzwungene Schwingungen bei Resonanz haben eine Amplitude, die proportional zur Zeit unendlich zunimmt. Einfluss des Bewegungswiderstandes bei erzwungenen Schwingungen. Die Differentialgleichung bei viskosem Widerstand hat die Form: Die allgemeine Lösung wird aus der Tabelle (Vorlesung 3, S. 11) in Abhängigkeit vom Verhältnis von n und k ausgewählt (siehe). Wir nehmen eine bestimmte Lösung in der Form und berechnen die Ableitungen: Einsetzen in die Differentialgleichung: Durch Gleichsetzen der Koeffizienten für identische trigonometrische Funktionen erhalten wir ein Gleichungssystem: Potenzieren wir beide Gleichungen und addieren sie, erhalten wir die Amplitude der erzwungene Schwingungen: Durch Division der zweiten Gleichung durch die erste erhält man die Phasenverschiebung der erzwungenen Schwingungen: Also , die Bewegungsgleichung für erzwungene Schwingungen, unter Berücksichtigung des Bewegungswiderstandes zB für n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

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Vorlesung 5 Relativbewegung eines materiellen Punktes - Nehmen wir an, dass sich das bewegte (nicht-träge) Koordinatensystem Oxyz nach einem Gesetz relativ zum festen (trägen) Koordinatensystem O1x1y1z1 bewegt. Die Bewegung eines materiellen Punktes M (x, y, z) relativ zum beweglichen System Oxyz ist relativ, relativ zum bewegungslosen System O1x1y1z1 ist sie absolut. Die Bewegung des beweglichen Systems Oxyz relativ zum festen System O1x1y1z1 ist eine tragbare Bewegung. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Grundgleichung der Dynamik: Absolute Beschleunigung eines Punktes: Setzen Sie die absolute Beschleunigung eines Punktes in die Grundgleichung der Dynamik ein: Übertragen wir die Terme mit Translations- und Coriolisbeschleunigung auf die rechte Seite: Die übertragene Terme haben die Dimension von Kräften und sind den entsprechenden Trägheitskräften gleichgestellt: Dann kann die Relativbewegung eines Punktes als absolut betrachtet werden, wenn wir die Translations- und Coriolis-Trägheitskräfte zu den wirkenden Kräften addieren: In Projektionen auf die Achsen des bewegten Koordinatensystems haben wir: Rotation ist gleichmäßig, dann ist εe = 0: 2. Translationale krummlinige Bewegung: Wenn die Bewegung geradlinig ist, dann = : Wenn die Bewegung geradlinig und gleichmäßig ist, dann ist das bewegte System inertial und die relative Bewegung kann als absolut betrachtet werden: Keine mechanischen Phänomene können eine geradlinige Gleichförmigkeit erkennen Bewegung (Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik). Einfluss der Erdrotation auf das Gleichgewicht von Körpern - Nehmen wir an, der Körper befinde sich auf der Erdoberfläche auf einem beliebigen Breitengrad φ (Parallelen) im Gleichgewicht. Die Erde dreht sich von Westen nach Osten mit einer Winkelgeschwindigkeit um ihre Achse: Der Radius der Erde beträgt etwa 6370 km. S R ist die Gesamtreaktion einer nicht glatten Oberfläche. G - Anziehungskraft der Erde zum Zentrum. Ф - Zentrifugalkraft der Trägheit. Relativer Gleichgewichtszustand: Die Resultierende der Anziehungs- und Trägheitskräfte ist die Gewichtskraft (Gewichtskraft): Der Betrag der Gewichtskraft (Gewichtskraft) auf der Erdoberfläche ist P = mg. Die Fliehkraft der Trägheit ist ein kleiner Bruchteil der Schwerkraft: Auch die Abweichung der Schwerkraft von der Richtung der Anziehungskraft ist gering: Dadurch ist der Einfluss der Erdrotation auf das Gleichgewicht der Körper äußerst gering und wird in praktischen Berechnungen nicht berücksichtigt. Der maximale Wert der Trägheitskraft (bei φ = 0 - am Äquator) beträgt nur 0,00343 des Wertes der Schwerkraft

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Vorlesung 5 (Fortsetzung 5.2) 15 Einfluss der Erdrotation auf die Bewegung von Körpern im Schwerefeld der Erde - Angenommen, ein Körper fällt aus einer bestimmten Höhe H über der Erdoberfläche am Breitengrad φ auf die Erde. Wählen wir ein starr mit der Erde verbundenes bewegliches Bezugssystem, dessen x-, y-Achsen tangential zur Parallelen und zum Meridian ausgerichtet sind: Relativbewegungsgleichung: Hier wird die Kleinheit der Fliehkraft der Trägheit gegenüber der Schwerkraft berücksichtigt . Somit wird die Schwerkraft mit der Schwerkraft identifiziert. Außerdem nehmen wir an, dass die Schwerkraft aufgrund der geringen Ablenkung, wie oben diskutiert, senkrecht zur Erdoberfläche gerichtet ist. Die Coriolis-Beschleunigung ist gleich und parallel zur y-Achse nach Westen gerichtet. Die Coriolis-Trägheitskraft ist in die entgegengesetzte Richtung gerichtet. Wir projizieren die Relativbewegungsgleichung auf die Achse: Die Lösung der ersten Gleichung ergibt: Anfangsbedingungen: Die Lösung der dritten Gleichung ergibt: Anfangsbedingungen: Die dritte Gleichung nimmt die Form an: Anfangsbedingungen: Ihre Lösung ergibt: Die resultierende Lösung zeigt, dass der Körper beim Fallen nach Osten abweicht. Berechnen wir den Wert dieser Abweichung beispielsweise bei einem Sturz aus 100 m Höhe Die Fallzeit finden wir aus der Lösung der zweiten Gleichung: Damit ist der Einfluss der Erdrotation auf die Bewegung von Körpern äußerst gering für praktische Höhen und Geschwindigkeiten und wird in technischen Berechnungen nicht berücksichtigt. Die Lösung der zweiten Gleichung impliziert auch die Existenz einer Geschwindigkeit entlang der y-Achse, die auch die entsprechende Beschleunigung und die Coriolis-Trägheitskraft verursachen sollte und verursacht. Der Einfluss dieser Geschwindigkeit und der damit verbundenen Trägheitskraft auf die Bewegungsänderung wird noch geringer sein als die betrachtete Coriolis-Trägheitskraft, die der vertikalen Geschwindigkeit zugeordnet ist.

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Vorlesung 6 Dynamik eines mechanischen Systems. System materieller Punkte oder mechanisches System - Eine Reihe von materiellen Punkten oder jene materiellen Punkte, die durch allgemeine Wechselwirkungsgesetze verbunden sind (die Position oder Bewegung jedes der Punkte oder eines Körpers hängt von der Position und Bewegung aller anderen ab). freie Punkte - deren Bewegung durch keine Verbindungen begrenzt ist (z. B. ein Planetensystem, in dem die Planeten als materielle Punkte betrachtet werden). Ein System unfreier Punkte oder ein unfreies mechanisches System – die Bewegung von materiellen Punkten oder Körpern wird durch die dem System auferlegten Beschränkungen begrenzt (z. B. ein Mechanismus, eine Maschine usw.). 16 Auf das System einwirkende Kräfte. Zusätzlich zu der bisher bestehenden Klassifikation von Kräften (aktive und reaktive Kräfte) wird eine neue Klassifikation von Kräften eingeführt: 1. Äußere Kräfte (e) - wirken auf Punkte und Körper des Systems von Punkten oder Körpern, die nicht Teil dieses Systems sind System. 2. Innere Kräfte (i) - Wechselwirkungskräfte zwischen materiellen Punkten oder Körpern, die in dem gegebenen System enthalten sind. Dieselbe Kraft kann sowohl eine äußere als auch eine innere Kraft sein. Es hängt alles davon ab, welches mechanische System betrachtet wird. Zum Beispiel: Im System von Sonne, Erde und Mond sind alle Gravitationskräfte zwischen ihnen intern. Betrachtet man das System Erde und Mond, so sind die von der Seite der Sonne aufgebrachten Gravitationskräfte extern: C Z L Basierend auf dem Gesetz von Aktion und Reaktion entspricht jeder inneren Kraft Fk eine andere innere Kraft Fk', die im absoluten Wert gleich und entgegengesetzt ist Richtung. Daraus folgen zwei bemerkenswerte Eigenschaften von Schnittgrößen: Der Hauptvektor aller Schnittgrößen des Systems ist gleich Null: Das Hauptmoment aller Schnittgrößen des Systems bezogen auf einen beliebigen Mittelpunkt ist gleich Null: Oder in Projektionen auf die Koordinate Achsen: Hinweis. Obwohl diese Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen ähneln, sind sie es nicht, da innere Kräfte auf verschiedene Punkte oder Körper des Systems wirken und bewirken können, dass sich diese Punkte (Körper) relativ zueinander bewegen. Aus diesen Gleichungen folgt, dass Schnittgrößen die Bewegung eines als Ganzes betrachteten Systems nicht beeinflussen. Der Massenmittelpunkt des Systems materieller Punkte. Um die Bewegung des Systems als Ganzes zu beschreiben, wird ein geometrischer Punkt eingeführt, genannt Massenmittelpunkt, dessen Radiusvektor durch den Ausdruck bestimmt wird, wobei M die Masse des gesamten Systems ist: Oder in Projektionen auf die Koordinate Achsen: Die Formeln für den Massenschwerpunkt sind ähnlich denen für den Schwerpunkt. Der Begriff des Massenschwerpunkts ist jedoch allgemeiner, da er nicht mit den Gewichtskräften oder den Schwerkraftkräften zusammenhängt.

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Vorlesung 6 (Fortsetzung 6.2) 17 Satz über die Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems - Betrachten Sie ein System aus n materiellen Punkten. Wir teilen die an jedem Punkt angreifenden Kräfte in äußere und innere Kräfte auf und ersetzen sie durch die entsprechenden Resultierenden Fke und Fki. Schreiben wir für jeden Punkt die Grundgleichung der Dynamik auf: oder summieren wir diese Gleichungen über alle Punkte: Auf der linken Seite der Gleichung führen wir die Massen unter dem Vorzeichen der Ableitung ein und ersetzen die Summe der Ableitungen durch die Ableitung der Summe: Aus der Definition des Massenschwerpunktes: Setzen Sie in die resultierende Gleichung ein: wir erhalten oder: Das Produkt aus der Masse des Systems und der Beschleunigung seines Massenschwerpunktes ist gleich dem Hauptvektor der äußeren Kräfte. In Projektionen auf die Koordinatenachsen: Der Massenmittelpunkt des Systems bewegt sich als materieller Punkt mit einer Masse gleich der Masse des Gesamtsystems, an dem alle auf das System wirkenden äußeren Kräfte angreifen. Konsequenzen aus dem Satz über die Bewegung des Massenmittelpunkts des Systems (Erhaltungssätze): 1. Wenn im Zeitintervall der Hauptvektor der äußeren Kräfte des Systems gleich Null ist, Re = 0, dann ist die Geschwindigkeit von der Massenschwerpunkt ist konstant, vC = const (der Massenschwerpunkt bewegt sich gleichmäßig geradlinig - Massenerhaltungssatz des Massenschwerpunktes). 2. Wenn in dem Zeitintervall die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte des Systems auf die x-Achse gleich Null ist, Rxe = 0, dann ist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts entlang der x-Achse konstant, vCx = const (der Massenmittelpunkt bewegt sich gleichmäßig entlang der Achse). Ähnliche Aussagen gelten für die y- und z-Achse. Beispiel: Zwei Personen der Massen m1 und m2 befinden sich in einem Boot der Masse m3. Im ersten Moment war das Boot mit Menschen in Ruhe. Bestimmen Sie die Verdrängung des Bootes, wenn sich eine Person der Masse m2 im Abstand a zum Bug des Bootes bewegt. 3. Wenn im Zeitintervall der Hauptvektor der äußeren Kräfte des Systems gleich Null ist, Re = 0, und im Anfangsmoment die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts gleich Null ist, vC = 0, dann der Radiusvektor des Massenschwerpunktes konstant bleibt, rC = const (der Massenschwerpunkt ist in Ruhe ist das Erhaltungsgesetz der Lage des Massenschwerpunktes). 4. Wenn im Zeitintervall die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte des Systems auf die x-Achse gleich Null ist, ist Rxe = 0, und im Anfangsmoment ist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts entlang dieser Achse Null , vCx = 0, dann bleibt die Koordinate des Massenschwerpunkts entlang der x-Achse konstant, xC = const (der Massenschwerpunkt bewegt sich nicht entlang dieser Achse). Ähnliche Aussagen gelten für die y- und z-Achse. 1. Bewegungsobjekt (Boot mit Personen): 2. Verbindungen verwerfen (Wasser): 3. Verbindung durch Reaktion ersetzen: 4. Wirkkräfte hinzufügen: 5. Schwerpunktsatz aufschreiben: Auf die x-Achse projizieren : O Bestimmen Sie, wie weit Sie auf eine Person der Masse m1 umsteigen müssen, damit das Boot an Ort und Stelle bleibt: Das Boot bewegt sich um eine Strecke l in die entgegengesetzte Richtung.

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Vorlesung 7 Der Kraftstoß ist ein Maß für die mechanische Wechselwirkung, das die Übertragung der mechanischen Bewegung von den auf den Punkt wirkenden Kräften für eine gegebene Zeitspanne charakterisiert: 18 In Projektionen auf die Koordinatenachsen: Bei konstanter Kraft: In Projektionen auf die Koordinatenachsen: zum Kraftpunkt im selben Zeitintervall: Multiplizieren mit dt: Integrieren über ein gegebenes Zeitintervall: Der Betrag der Bewegung des Punktes ist ein Maß für die mechanische Bewegung, bestimmt durch einen Vektor gleich dem Produkt von die Masse des Punktes und den Vektor seiner Geschwindigkeit: Satz über die Änderung des Bewegungsbetrages des Systems – Betrachten Sie das System aus n materiellen Punkten. Wir teilen die an jedem Punkt angreifenden Kräfte in äußere und innere Kräfte auf und ersetzen sie durch die entsprechenden Resultierenden Fke und Fki. Schreiben wir für jeden Punkt die Grundgleichung der Dynamik: oder Der Impuls des Systems materieller Punkte ist die geometrische Summe der Bewegungsgrößen materieller Punkte: Nach Definition des Massenmittelpunktes: Der Vektor des Impulses des Systems ist gleich dem Produkt aus der Masse des gesamten Systems und dem Geschwindigkeitsvektor des Massenmittelpunkts des Systems. Dann: In Projektionen auf die Koordinatenachsen: Die zeitliche Ableitung des Impulsvektors des Systems ist gleich dem Hauptvektor der äußeren Kräfte des Systems. Fassen wir diese Gleichungen über alle Punkte zusammen: Auf der linken Seite der Gleichung führen wir die Massen unter dem Vorzeichen der Ableitung ein und ersetzen die Summe der Ableitungen durch die Ableitung der Summe: Aus der Definition des Impulses des Systems: In Projektionen auf die Koordinatenachsen:

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Satz von Euler - Anwendung des Satzes über die Impulsänderung eines Systems auf die Bewegung eines kontinuierlichen Mediums (Wasser). 1. Wir wählen als Bewegungsobjekt das Wasservolumen, das sich im gekrümmten Kanal der Turbine befindet: 2. Wir verwerfen die Bindungen und ersetzen ihre Wirkung durch Reaktionen (Rpov - die Resultierende der Oberflächenkräfte) 3. Fügen wir aktive Kräfte hinzu (Rb - Resultierende der Körperkräfte): 4. Schreiben Sie den Satz über die Änderung des Impulses des Systems auf: Der Impuls des Wassers zu den Zeiten t0 und t1 wird als Summen dargestellt: Änderung des Impulses des Wassers im Zeitintervall : Änderung in der Impuls von Wasser über ein infinitesimales Zeitintervall dt: , wobei F1 F2 Wenn man das Produkt aus Dichte, Querschnittsfläche und Geschwindigkeit pro Sekunde Masse nimmt, erhält man: Setzt man das Differential des Impulses des Systems in den Änderungssatz ein, erhält man : Konsequenzen aus dem Satz über die Änderung des Impulses des Systems (Erhaltungssätze): 1. Ist im Zeitintervall der Hauptvektor der äußeren Kräfte des Systems gleich Null, Re = 0, dann ist der Größenvektor Bewegung konstant ist, Q = const ist das Impulserhaltungsgesetz des Systems). 2. Wenn im Zeitintervall die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte des Systems auf die x-Achse gleich Null ist, Rxe = 0, dann ist die Projektion des Impulses des Systems auf die x-Achse konstant, Qx = konst. Ähnliche Aussagen gelten für die y- und z-Achse. Vorlesung 7 (Fortsetzung von 7.2) Beispiel: Eine mit der Geschwindigkeit v fliegende Granate der Masse M explodierte in zwei Teile. Die Geschwindigkeit eines der Massenfragmente m1 stieg in Bewegungsrichtung auf den Wert v1 an. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des zweiten Fragments. 1. Das Objekt der Bewegung (Granate): 2. Das Objekt ist ein freies System, es gibt keine Verbindungen und deren Reaktionen. 3. Wirkkräfte addieren: 4. Satz zur Impulsänderung aufschreiben: Auf die Achse projizieren: β Variablen dividieren und integrieren: Das rechte Integral ist fast Null, weil Explosionszeit t

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Vorlesung 7 (Fortsetzung 7.3) 20 Der Drehimpuls eines Punktes oder das kinetische Bewegungsmoment relativ zu einem bestimmten Zentrum ist ein Maß für die mechanische Bewegung, bestimmt durch einen Vektor gleich dem Vektorprodukt des Radiusvektors eines materiellen Punktes und des Vektor seines Impulses: Das kinetische Moment eines Systems von materiellen Punkten relativ zu einem bestimmten Zentrum ist geometrisch die Summe der Momente des Impulses aller materiellen Punkte relativ zu demselben Zentrum: In Projektionen auf die Achse: In Projektionen auf die Achse : Satz über die Änderung des Impulsmoments des Systems - Betrachten wir ein System aus n materiellen Punkten. Wir teilen die an jedem Punkt angreifenden Kräfte in äußere und innere Kräfte auf und ersetzen sie durch die entsprechenden Resultierenden Fke und Fki. Schreiben wir für jeden Punkt die Grundgleichung der Dynamik: oder summieren wir diese Gleichungen über alle Punkte: Ersetzen wir die Summe der Ableitungen durch die Ableitung der Summe: Der Ausdruck in Klammern ist das Moment des Impulses des Systems. Von hier aus: Wir multiplizieren vektoriell jede der Gleichheiten mit dem Radius-Vektor auf der linken Seite: Mal sehen, ob es möglich ist, das Vorzeichen der Ableitung über die Grenzen des Vektorprodukts hinaus zu nehmen: So erhalten wir: Zentrum. In Projektionen auf die Koordinatenachsen: Die Ableitung des Impulsmoments des Systems relativ zu einer Zeitachse ist gleich dem Hauptmoment der äußeren Kräfte des Systems relativ zu derselben Achse.

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8. Vorlesung 21 ■ Folgerungen aus dem Satz über die Änderung des Drehimpulses des Systems (Erhaltungssätze): 1. Wenn im Zeitintervall der Vektor des Hauptmomentes der äußeren Kräfte des Systems relativ zu einem bestimmten Zentrum gleich ist auf Null, MOe = 0, dann ist der Vektor des Drehimpulses des Systems relativ zum gleichen Zentrum konstant, KO = const ist das Gesetz der Impulserhaltung des Systems). 2. Wenn in dem Zeitintervall das Hauptmoment der äußeren Kräfte des Systems relativ zur x-Achse gleich Null ist, Mxe = 0, dann ist der Drehimpuls des Systems relativ zur x-Achse konstant, Kx = const. Ähnliche Aussagen gelten für die y- und z-Achse. 2. Trägheitsmoment eines starren Körpers um eine Achse: Das Trägheitsmoment eines materiellen Punktes um eine Achse ist gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und dem Quadrat des Abstandes des Punktes von der Achse. Das Trägheitsmoment eines starren Körpers um eine Achse ist gleich der Summe der Produkte aus der Masse jedes Punktes und dem Quadrat des Abstandes dieses Punktes von der Achse. ■ Elemente der Theorie der Trägheitsmomente - Bei der Rotationsbewegung eines starren Körpers ist das Trägheitsmaß (Widerstand gegen Bewegungsänderung) das Trägheitsmoment um die Rotationsachse. Betrachten Sie die grundlegenden Konzepte der Definition und Methoden zur Berechnung der Trägheitsmomente. 1. Trägheitsmoment eines materiellen Punktes um die Achse: Beim Übergang von einer diskreten kleinen Masse zu einer unendlich kleinen Masse eines Punktes wird die Grenze einer solchen Summe durch das Integral bestimmt: axiales Trägheitsmoment eines starren Körpers . Neben dem axialen Trägheitsmoment eines starren Körpers gibt es noch andere Arten von Trägheitsmomenten: das Fliehkraftträgheitsmoment eines starren Körpers. polares Trägheitsmoment eines starren Körpers. 3. Der Satz über die Trägheitsmomente eines starren Körpers um parallele Achsen - die Formel für den Übergang zu parallelen Achsen: Trägheitsmoment um die Bezugsachse Statische Trägheitsmomente um die Bezugsachsen Körpermassenmomente sind Null:

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Vorlesung 8 (Fortsetzung 8.2) 22 Trägheitsmoment eines gleichförmigen Stabes konstanten Querschnitts um die Achse: x z L Wähle das Elementarvolumen dV = Adx im Abstand x: x dx Elementarmasse: Zur Berechnung des Trägheitsmoments um die Mittelachse (durch den Schwerpunkt) reicht es aus, die Lage der Achse zu ändern und die Integrationsgrenzen (-L/2, L/2) einzustellen. Hier demonstrieren wir die Formel für den Übergang zu parallelen Achsen: zС 5. Das Trägheitsmoment eines homogenen Vollzylinders um die Symmetrieachse: H dr r Nehmen wir das Elementarvolumen dV = 2πrdrH heraus (dünner Zylinder mit Radius r) : Elementarmasse: Hier verwenden wir die Zylindervolumenformel V=πR2H. Um das Trägheitsmoment eines hohlen (dicken) Zylinders zu berechnen, genügt es, die Integrationsgrenzen von R1 bis R2 (R2> R1) festzulegen: 6. Das Trägheitsmoment eines dünnen Zylinders um die Symmetrieachse (t

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Vorlesung 8 (Fortsetzung 8.3) 23 ■ Differentialgleichung der Drehung eines starren Körpers um eine Achse: Schreiben wir einen Satz über die Änderung des Drehimpulses eines um eine feste Achse rotierenden starren Körpers: Der Impuls eines rotierenden starren Körpers ist: Das Moment der äußeren Kräfte um die Rotationsachse ist gleich dem Drehmoment (Reaktionen und Kraft erzeugen keine Gravitationsmomente): Wir setzen das kinetische Moment und das Drehmoment in den Satz ein. Beispiel: Zwei gleich schwere Personen G1 = G2 hängen an einem Seil mit einem Gewicht G3 = G1/4 über einen festen Block geworfen. Irgendwann begann einer von ihnen das Seil mit einer Relativgeschwindigkeit u zu erklimmen. Bestimmen Sie die Hubgeschwindigkeit jeder Person. 1. Wir wählen das Bewegungsobjekt (Block mit Personen): 2. Wir verwerfen die Verbindungen (die Stützvorrichtung des Blocks): 3. Wir ersetzen die Verbindung durch Reaktionen (Lagerung): 4. Fügen wir aktive Kräfte hinzu (Schwerkraft): 5. Schreiben Sie den Satz über die Änderung des kinetischen Moments des Systems relativ zur Rotationsachse des Blocks auf: R Da das Moment der äußeren Kräfte gleich Null ist, muss das kinetische Moment konstant bleiben: Zum Anfangszeitpunkt t = 0, Gleichgewicht und Kz0 = 0. Nach dem Beginn der Bewegung einer Person relativ zum Seil begann sich das gesamte System zu bewegen, aber das kinetische Moment des Systems muss gleich Null bleiben: Kz = 0. Der Drehimpuls des Systems ist die Summe der Drehimpulse beider Personen und des Blocks: Hier ist v2 die Geschwindigkeit der zweiten Person, gleich der Geschwindigkeit des Seilendes um eine feste Drehachse. Oder: Bei kleinen Schwingungen sinφ φ: Schwingungsdauer: Trägheitsmoment des Stabes:

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Vorlesung 8 (Fortsetzung 8.4 - Zusatzmaterial) 24 ■ Elementare Theorie des Kreisels: Ein Kreisel ist ein starrer Körper, der sich um die materielle Symmetrieachse dreht und dessen einer Punkt fest ist. Ein freier Kreisel wird so fixiert, dass sein Massenmittelpunkt ortsfest bleibt, die Rotationsachse durch den Massenmittelpunkt geht und jede beliebige Lage im Raum einnehmen kann, d.h. die Rotationsachse verändert ihre Lage wie die Achse der körpereigenen Rotation bei einer sphärischen Bewegung. Die Hauptannahme der angenäherten (elementaren) Theorie des Kreisels ist, dass der Impulsvektor (kinetisches Moment) des Rotors als entlang seiner eigenen Rotationsachse gerichtet angesehen wird. Somit wird trotz der Tatsache, dass der Rotor im allgemeinen Fall an drei Rotationen teilnimmt, nur die Winkelgeschwindigkeit seiner eigenen Rotation ω = dφ/dt berücksichtigt. Der Grund dafür ist, dass sich in der modernen Technologie der Kreiselrotor mit einer Winkelgeschwindigkeit in der Größenordnung von 5000–8000 rad/s (etwa 50000–80000 U/min) dreht, während die anderen beiden Winkelgeschwindigkeiten mit Präzession und Nutation der eigenen Achse verbunden sind der Drehung Zehntausendmal weniger als diese Geschwindigkeit. Die Haupteigenschaft eines freien Kreisels besteht darin, dass die Rotorachse eine konstante Richtung im Raum in Bezug auf das inertiale (stellare) Referenzsystem beibehält (dargestellt durch das Foucault-Pendel, das die Schwingebene in Bezug auf die Sterne unverändert hält, 1852). Daraus folgt aus dem Erhaltungssatz des kinetischen Moments bezogen auf den Masseschwerpunkt des Rotors, sofern die Reibung in den Lagern der Rotoraufhängungsachsen, des Außen- und Innenrahmens vernachlässigt wird: Kraftwirkung auf die Achse a frei Gyroskop. Bei einer auf die Rotorachse ausgeübten Kraft ist das Moment der äußeren Kräfte relativ zum Schwerpunkt ungleich Null: ω ω С Kraft, und zum Vektor des Moments dieser Kraft, d.h. dreht sich nicht um die x-Achse (interne Aufhängung), sondern um die y-Achse (externe Aufhängung). Nach Beendigung der Kraft bleibt die Rotorachse in der gleichen Position, die der letzten Zeit der Kraft entspricht, weil ab diesem Zeitpunkt wird das Moment äußerer Kräfte wieder gleich Null. Bei einer kurzzeitigen Krafteinwirkung (Stoß) verändert die Kreiselachse ihre Lage praktisch nicht. Die schnelle Rotation des Rotors verleiht dem Gyroskop also die Fähigkeit, zufälligen Einflüssen entgegenzuwirken, die die Position der Rotationsachse des Rotors zu ändern suchen, und behält bei konstanter Krafteinwirkung die Position der senkrechten Ebene bei die wirkende Kraft, in der die Achse des Rotors liegt. Diese Eigenschaften werden beim Betrieb von Trägheitsnavigationssystemen verwendet.

Als Teil eines jeden Lehrplans beginnt das Studium der Physik mit der Mechanik. Nicht aus theoretischer, nicht aus angewandter und nicht rechnerischer, sondern aus der guten alten klassischen Mechanik. Diese Mechanik wird auch als Newtonsche Mechanik bezeichnet. Der Legende nach ging der Wissenschaftler im Garten spazieren, sah einen Apfel fallen, und dieses Phänomen veranlasste ihn, das Gesetz der universellen Gravitation zu entdecken. Natürlich hat das Gesetz schon immer existiert, und Newton hat ihm nur eine für die Menschen verständliche Form gegeben, aber sein Verdienst ist unbezahlbar. In diesem Artikel werden wir die Gesetze der Newtonschen Mechanik nicht so detailliert wie möglich beschreiben, aber wir werden die Grundlagen, Grundkenntnisse, Definitionen und Formeln skizzieren, die Ihnen immer in die Hände spielen können.

Mechanik ist ein Zweig der Physik, einer Wissenschaft, die die Bewegung materieller Körper und die Wechselwirkungen zwischen ihnen untersucht.

Das Wort selbst ist griechischen Ursprungs und bedeutet übersetzt „die Kunst, Maschinen zu bauen“. Aber bevor wir Maschinen bauen, haben wir noch einen langen Weg vor uns, also lasst uns in die Fußstapfen unserer Vorfahren treten und die Bewegung von Steinen untersuchen, die schräg zum Horizont geworfen werden, und Äpfel, die aus einer Höhe h auf den Kopf fallen.

Warum beginnt das Studium der Physik mit der Mechanik? Weil es völlig natürlich ist, nicht vom thermodynamischen Gleichgewicht aus zu starten?!

Die Mechanik ist eine der ältesten Wissenschaften, und historisch gesehen begann das Studium der Physik genau mit den Grundlagen der Mechanik. Eingebettet in den Rahmen von Zeit und Raum konnten die Menschen tatsächlich nicht von etwas anderem ausgehen, ganz gleich, wie sehr sie es wollten. Bewegte Körper sind das erste, worauf wir achten.

Was ist Bewegung?

Mechanische Bewegung ist eine Änderung der Position von Körpern im Raum relativ zueinander im Laufe der Zeit.

Nach dieser Definition kommen wir ganz natürlich zum Begriff des Bezugsrahmens. Veränderung der Position von Körpern im Raum relativ zueinander. Stichworte hier: relativ zueinander . Schließlich bewegt sich ein Insasse in einem Auto relativ zu einer am Straßenrand stehenden Person mit einer bestimmten Geschwindigkeit und ruht relativ zu seinem Nachbarn auf einem Sitz in der Nähe und bewegt sich mit einer anderen Geschwindigkeit relativ zu einem Insassen in einem Auto überholt sie.

Deshalb brauchen wir, um die Parameter von sich bewegenden Objekten normalerweise zu messen und nicht verwirrt zu werden Bezugssystem - fest miteinander verbundener Bezugskörper, Koordinatensystem und Uhr. Beispielsweise bewegt sich die Erde in einem heliozentrischen Bezugssystem um die Sonne. Im Alltag führen wir fast alle unsere Messungen in einem der Erde zugeordneten geozentrischen Bezugssystem durch. Die Erde ist ein Bezugskörper, relativ zu dem sich Autos, Flugzeuge, Menschen, Tiere bewegen.

Die Mechanik als Wissenschaft hat ihre eigene Aufgabe. Die Aufgabe der Mechanik ist es, jederzeit die Position des Körpers im Raum zu kennen. Mit anderen Worten, die Mechanik konstruiert eine mathematische Beschreibung der Bewegung und findet Verbindungen zwischen den physikalischen Größen, die sie charakterisieren.

Um weiterzukommen, brauchen wir den Begriff „ materieller Punkt ". Sie sagen, dass die Physik eine exakte Wissenschaft ist, aber Physiker wissen, wie viele Annäherungen und Annahmen gemacht werden müssen, um sich auf genau diese Genauigkeit zu einigen. Niemand hat jemals einen materiellen Punkt gesehen oder ein ideales Gas geschnüffelt, aber es gibt sie! Es ist einfach viel einfacher, mit ihnen zu leben.

Ein materieller Punkt ist ein Körper, dessen Größe und Form im Rahmen dieses Problems vernachlässigt werden können.

Abschnitte der klassischen Mechanik

Mechanik besteht aus mehreren Abschnitten

• Kinematik
• Dynamik
• Statik

Kinematik untersucht aus physikalischer Sicht genau, wie sich der Körper bewegt. Mit anderen Worten befasst sich dieser Abschnitt mit den quantitativen Merkmalen der Bewegung. Geschwindigkeit finden, Weg finden – typische Aufgaben der Kinematik

Dynamik löst die Frage, warum es sich so bewegt, wie es sich bewegt. Das heißt, es berücksichtigt die auf den Körper einwirkenden Kräfte.

Statik untersucht das Gleichgewicht von Körpern unter Einwirkung von Kräften, das heißt, es beantwortet die Frage: Warum fällt es überhaupt nicht?

Grenzen der Anwendbarkeit der klassischen Mechanik

Die klassische Mechanik erhebt nicht mehr den Anspruch, eine Wissenschaft zu sein, die alles erklärt (zu Beginn des letzten Jahrhunderts war alles ganz anders) und einen klaren Anwendungsbereich hat. Generell gelten die Gesetze der klassischen Mechanik für die uns der Größe nach vertraute Welt (Makrowelt). Sie funktionieren nicht mehr im Fall der Teilchenwelt, wenn die klassische Mechanik durch die Quantenmechanik ersetzt wird. Außerdem ist die klassische Mechanik nicht auf Fälle anwendbar, in denen die Bewegung von Körpern mit einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit erfolgt. In solchen Fällen werden relativistische Effekte ausgeprägt. Grob gesagt ist dies im Rahmen der Quanten- und relativistischen Mechanik – der klassischen Mechanik – ein Sonderfall, wenn die Abmessungen des Körpers groß und die Geschwindigkeit klein ist.

Quanten- und relativistische Effekte verschwinden im Allgemeinen nie; sie treten auch während der üblichen Bewegung makroskopischer Körper mit einer Geschwindigkeit auf, die viel niedriger als die Lichtgeschwindigkeit ist. Eine andere Sache ist, dass die Wirkung dieser Effekte so gering ist, dass sie nicht über die genauesten Messungen hinausgeht. Die klassische Mechanik wird daher nie ihre grundlegende Bedeutung verlieren.

Wir werden die physikalischen Grundlagen der Mechanik in zukünftigen Artikeln weiter untersuchen. Für ein besseres Verständnis der Mechanik können Sie sich jederzeit auf beziehen unsere Autoren, die individuell den dunklen Fleck der schwierigsten Aufgabe beleuchten.