Zerlege ein quadratisches Trinom in ein Binom. Faktorisierung eines quadratischen Trinoms

Die Faktorisierung von Quadrattrinomen gehört zu den Schulaufgaben, denen sich jeder früher oder später stellen muss. Wie es geht? Wie lautet die Formel zum Faktorisieren eines quadratischen Trinoms? Gehen wir es Schritt für Schritt mit Beispielen durch.

Allgemeine Formel

Die Faktorisierung quadratischer Trinome erfolgt durch Lösen einer quadratischen Gleichung. Dies ist eine einfache Aufgabe, die mit mehreren Methoden gelöst werden kann - durch Finden der Diskriminante mit dem Vieta-Theorem gibt es auch einen grafischen Weg, sie zu lösen. Die ersten beiden Methoden werden in der High School studiert.

Die allgemeine Formel sieht so aus:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algorithmus zur Aufgabenausführung

Um quadratische Trinome zu faktorisieren, muss man den Satz von Wit kennen, ein Lösungsprogramm zur Hand haben, eine Lösung grafisch finden können oder die Wurzeln einer Gleichung zweiten Grades durch die Diskriminanzformel suchen. Wenn ein quadratisches Trinom gegeben ist und es faktorisiert werden muss, lautet der Aktionsalgorithmus wie folgt:

1) Setzen Sie den ursprünglichen Ausdruck mit Null gleich, um die Gleichung zu erhalten.

2) Geben Sie ähnliche Begriffe an (falls erforderlich).

3) Finden Sie die Wurzeln durch irgendein bekanntes Verfahren. Die grafische Methode wird am besten verwendet, wenn im Voraus bekannt ist, dass die Wurzeln ganze Zahlen und kleine Zahlen sind. Es muss daran erinnert werden, dass die Anzahl der Wurzeln gleich dem maximalen Grad der Gleichung ist, dh die quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln.

4) Ersatzwert X in Ausdruck (1).

5) Schreiben Sie die Faktorisierung von quadratischen Trinomen auf.

Beispiele

Durch Übung können Sie endlich verstehen, wie diese Aufgabe ausgeführt wird. Beispiele veranschaulichen die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms:

Sie müssen den Ausdruck erweitern:

Verwenden wir unseren Algorithmus:

1) x 2 -17x+32=0

2) ähnliche Begriffe werden reduziert

3) nach der Vieta-Formel ist es schwierig, die Wurzeln für dieses Beispiel zu finden, daher ist es besser, den Ausdruck für die Diskriminante zu verwenden:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Ersetzen Sie die Wurzeln, die wir in der Hauptformel für die Erweiterung gefunden haben:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Dann lautet die Antwort:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Prüfen wir, ob die von der Diskriminante gefundenen Lösungen den Vieta-Formeln entsprechen:

14,845 . 2,155=32

Für diese Wurzeln wird der Satz von Vieta angewendet, sie wurden korrekt gefunden, was bedeutet, dass die von uns erhaltene Faktorisierung auch korrekt ist.

In ähnlicher Weise erweitern wir 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Im vorherigen Fall waren die Lösungen nicht ganzzahlige, sondern reelle Zahlen, die mit einem Taschenrechner leicht zu finden sind. Betrachten Sie nun ein komplexeres Beispiel, in dem die Wurzeln komplex sind: Faktorisieren Sie x 2 + 4x + 9. Nach der Vieta-Formel können die Wurzeln nicht gefunden werden und die Diskriminante ist negativ. Die Wurzeln liegen auf der komplexen Ebene.

D=-20

Darauf basierend erhalten wir die uns interessierenden Wurzeln -4 + 2i * 5 1/2 und -4-2i * 5 1/2 weil (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Die gewünschte Erweiterung erhalten wir durch Einsetzen der Wurzeln in die allgemeine Formel.

Ein weiteres Beispiel: Sie müssen den Ausdruck 23x 2 -14x + 7 faktorisieren.

Wir haben die Gleichung 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Die Wurzeln sind also 14+21,166i und 14-21,166i. Die Antwort wird sein:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das ohne die Hilfe der Diskriminante gelöst werden kann.

Es sei notwendig, die quadratische Gleichung x 2 -32x + 255 zu zerlegen. Natürlich kann es auch mit der Diskriminante gelöst werden, aber in diesem Fall ist es schneller, die Wurzeln zu finden.

x 1 = 15

x2=17

Meint x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Dieser Online-Rechner wurde entwickelt, um eine Funktion zu faktorisieren.

Faktorisiere zum Beispiel: x 2 /3-3x+12 . Schreiben wir es als x^2/3-3*x+12 . Sie können auch diesen Dienst nutzen, bei dem alle Berechnungen im Word-Format gespeichert werden.

Zum Beispiel in Terme zerlegen. Schreiben wir es als (1-x^2)/(x^3+x) . Um den Fortschritt der Lösung anzuzeigen, klicken Sie auf Schritte anzeigen . Wenn Sie das Ergebnis im Word-Format benötigen, verwenden Sie diesen Dienst.

Notiz: die Zahl "pi" (π) wird als pi geschrieben; Quadratwurzel als sqrt , z.B. sqrt(3) , der Tangens von tg wird als tan geschrieben. Eine Antwort finden Sie im Abschnitt Alternative.

Wenn ein einfacher Ausdruck angegeben wird, beispielsweise 8*d+12*c*d , dann bedeutet das Faktorisieren des Ausdrucks, den Ausdruck zu faktorisieren. Dazu müssen Sie gemeinsame Faktoren finden. Wir schreiben diesen Ausdruck als: 4*d*(2+3*c) .
Drücken Sie das Produkt als zwei Binome aus: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Hier müssen wir bereits mehrere gemeinsame Faktoren finden: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Wir nehmen (x+7z) heraus und erhalten: (x+7z)(x + 3y) .

siehe auch Division von Polynomen durch eine Ecke (alle Schritte der Division durch eine Spalte werden angezeigt)

Nützlich beim Erlernen der Regeln der Faktorisierung abgekürzte Multiplikationsformeln, mit dem klar wird, wie man Klammern mit einem Quadrat öffnet:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a2 - b2
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 + ab + b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Factoring-Methoden

Nachdem Sie ein paar Tricks gelernt haben Faktorisierung Lösungen lassen sich wie folgt einteilen:

Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln.
Suchen Sie nach einem gemeinsamen Faktor.

In dieser Lektion lernen wir, wie man quadratische Trinome in lineare Faktoren zerlegt. Dazu ist es notwendig, sich an den Satz von Vieta und seine Umkehrung zu erinnern. Diese Fähigkeit wird uns helfen, quadratische Trinome schnell und bequem in lineare Faktoren zu zerlegen und auch die Reduktion von Brüchen zu vereinfachen, die aus Ausdrücken bestehen.

Also zurück zur quadratischen Gleichung, wo .

Was wir auf der linken Seite haben, nennt man das quadratische Trinom.

Der Satz ist wahr: Wenn die Wurzeln eines quadratischen Trinoms sind, dann ist die Identität wahr

Wo ist der führende Koeffizient, sind die Wurzeln der Gleichung.

Wir haben also eine quadratische Gleichung – ein quadratisches Trinom, wobei die Wurzeln der quadratischen Gleichung auch die Wurzeln des quadratischen Trinoms genannt werden. Wenn wir also die Wurzeln eines quadratischen Trinoms haben, dann wird dieses Trinom in lineare Faktoren zerlegt.

Nachweisen:

Der Beweis dieser Tatsache wird mit dem Satz von Vieta geführt, den wir in den vorherigen Lektionen betrachtet haben.

Erinnern wir uns, was uns der Satz von Vieta sagt:

Wenn sind die Wurzeln eines quadratischen Trinoms, für das , dann .

Dieser Satz impliziert die folgende Behauptung, dass .

Wir sehen, dass wir gemäß dem Vieta-Theorem, d. H. Wenn wir diese Werte in die obige Formel einsetzen, den folgenden Ausdruck erhalten

Q.E.D.

Denken Sie daran, dass wir den Satz bewiesen haben, dass die Zerlegung gültig ist, wenn die Wurzeln eines quadratischen Trinoms sind.

Erinnern wir uns nun an ein Beispiel einer quadratischen Gleichung, für die wir die Wurzeln mit dem Satz von Vieta ausgewählt haben. Aus dieser Tatsache können wir dank des bewiesenen Satzes die folgende Gleichheit erhalten:

Überprüfen wir nun die Richtigkeit dieser Tatsache, indem wir einfach die Klammern erweitern:

Wir sehen, dass wir richtig faktorisiert haben, und jedes Trinom, wenn es Wurzeln hat, kann gemäß diesem Satz in lineare Faktoren gemäß der Formel zerlegt werden

Prüfen wir jedoch, ob für irgendeine Gleichung eine solche Faktorisierung möglich ist:

Nehmen wir zum Beispiel die Gleichung. Lassen Sie uns zuerst das Vorzeichen der Diskriminante überprüfen

Und wir erinnern uns, dass D größer als 0 sein muss, um das gelernte Theorem zu erfüllen, daher ist in diesem Fall eine Faktorisierung gemäß dem studierten Theorem unmöglich.

Deshalb formulieren wir einen neuen Satz: Wenn ein quadratisches Trinom keine Wurzeln hat, dann kann es nicht in lineare Faktoren zerlegt werden.

Wir haben also den Vieta-Satz betrachtet, die Möglichkeit, ein quadratisches Trinom in lineare Faktoren zu zerlegen, und werden jetzt mehrere Probleme lösen.

Aufgabe 1

In dieser Gruppe werden wir das Problem tatsächlich invers zu dem gestellten lösen. Wir hatten eine Gleichung, und wir fanden ihre Wurzeln, indem wir sie in Faktoren zerlegten. Hier werden wir das Gegenteil tun. Nehmen wir an, wir haben die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Das umgekehrte Problem ist folgendes: Schreiben Sie eine quadratische Gleichung so, dass sie ihre Wurzeln hat.

Es gibt 2 Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen.

Da sind dann die Wurzeln der Gleichung ist eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln gegebene Zahlen sind. Jetzt öffnen wir die Klammern und prüfen:

Auf diese Weise haben wir zum ersten Mal eine quadratische Gleichung mit gegebenen Wurzeln erstellt, die keine anderen Wurzeln hat, da jede quadratische Gleichung höchstens zwei Wurzeln hat.

Dieses Verfahren beinhaltet die Verwendung des inversen Vieta-Theorems.

Wenn die Wurzeln der Gleichung sind, dann erfüllen sie die Bedingung, dass .

Für die reduzierte quadratische Gleichung , , also in diesem Fall , und .

Somit haben wir eine quadratische Gleichung erstellt, die die gegebenen Wurzeln hat.

Aufgabe Nr. 2

Du musst den Bruch kürzen.

Wir haben ein Trinom im Zähler und ein Trinom im Nenner, und die Trinome können faktorisiert werden oder nicht. Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner faktorisiert werden, kann es unter ihnen gleiche Faktoren geben, die reduziert werden können.

Zunächst muss der Zähler faktorisiert werden.

Zuerst müssen Sie prüfen, ob diese Gleichung faktorisiert werden kann, finden Sie die Diskriminante . Da , dann hängt das Vorzeichen vom Produkt ab (muss kleiner als 0 sein), in diesem Beispiel , d.h. die gegebene Gleichung hat Wurzeln.

Zur Lösung verwenden wir das Vieta-Theorem:

Da wir es in diesem Fall mit Wurzeln zu tun haben, wird es ziemlich schwierig sein, die Wurzeln einfach aufzuheben. Aber wir sehen, dass die Koeffizienten ausgeglichen sind, d.h. wenn wir annehmen, dass und diesen Wert in die Gleichung einsetzen, dann ergibt sich folgendes System: d.h. 5-5=0. Daher haben wir eine der Wurzeln dieser quadratischen Gleichung gewählt.

Wir suchen die zweite Wurzel, indem wir das bereits Bekannte in das Gleichungssystem einsetzen, z. B. , d.h. .

Somit haben wir beide Wurzeln der quadratischen Gleichung gefunden und können ihre Werte in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um sie zu faktorisieren:

Erinnern Sie sich an das ursprüngliche Problem, wir mussten den Bruch kürzen.

Versuchen wir, das Problem zu lösen, indem wir anstelle des Zählers .

Es darf nicht vergessen werden, dass der Nenner in diesem Fall nicht gleich 0 sein kann, d.h.

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, haben wir den ursprünglichen Bruch auf die Form reduziert.

Aufgabe Nr. 3 (Aufgabe mit einem Parameter)

Bei welchen Werten des Parameters ist die Summe der Wurzeln der quadratischen Gleichung

Wenn die Wurzeln dieser Gleichung existieren, dann , die Frage ist wann.

Ein quadratisches Trinom ist ein Polynom der Form ax^2+bx+c, wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind und a ungleich Null ist.
Das Erste, was wir wissen müssen, um das unselige Trinom zu faktorisieren, ist der Satz. Es sieht so aus: „Wenn x1 und x2 die Wurzeln des quadratischen Trinoms ax^2+bx+c sind, dann ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)“. Natürlich gibt es auch für dieses Theorem einen Beweis, aber er erfordert einige theoretische Kenntnisse (wenn wir den Faktor a im Polynom ax^2+bx+c herausnehmen, erhalten wir ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) Nach dem Satz von Viette x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, also b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), also ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Manchmal lassen dich Lehrer den Beweis lernen, aber wenn es so ist nicht erforderlich, ich rate Ihnen, sich nur an die endgültige Formel zu erinnern.

2 Schritt

Nehmen wir als Beispiel das Trinom 3x^2-24x+21. Als erstes müssen wir das Trinom mit Null gleichsetzen: 3x^2-24x+21=0. Die Wurzeln der resultierenden quadratischen Gleichung sind jeweils die Wurzeln des Trinoms.

3 Schritt

Lösen Sie die Gleichung 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Also, lass uns entscheiden. Wer nicht weiß, wie man quadratische Gleichungen löst, schaut sich meine Anleitung mit 2 Lösungsmöglichkeiten am Beispiel derselben Gleichung an. Wir haben die Wurzeln x1=7, x2=1.

4 Schritt

Jetzt, da wir die Trinomwurzeln haben, können wir sie sicher in die Formel einsetzen =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
wir erhalten: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Sie können den Begriff a loswerden, indem Sie ihn in Klammern setzen: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
als Ergebnis erhalten wir: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Hinweis: Jeder der erhaltenen Faktoren ((x-7), (3x-3) sind Polynome ersten Grades. Das ist die ganze Erweiterung =) Wenn Sie an der erhaltenen Antwort zweifeln, können Sie sie immer überprüfen, indem Sie die Klammern multiplizieren.

5 Schritt

Überprüfung der Lösung. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Jetzt wissen wir sicher, dass unsere Lösung richtig ist! Ich hoffe, meine Anleitung hilft jemandem =) Viel Glück mit deinem Studium!

In unserem Fall ist in der Gleichung D > 0 und wir haben jeweils 2 Wurzeln. Wenn es D wäre<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
Wenn ein quadratisches Trinom keine Wurzeln hat, kann es nicht in Faktoren zerlegt werden, die Polynome ersten Grades sind.

Ein quadratisches Trinom ist ein Polynom der Form ax^2 + bx + c, wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind, außerdem a ≠ 0.

Um ein Trinom zu faktorisieren, müssen Sie die Wurzeln dieses Trinoms kennen. (im Folgenden ein Beispiel zum Trinom 5x^2 + 3x- 2)

Hinweis: Der Wert des quadratischen Trinoms 5x^2 + 3x - 2 hängt vom Wert von x ab. Zum Beispiel: Wenn x = 0, dann 5x^2 + 3x - 2 = -2

Wenn x = 2, dann 5x^2 + 3x - 2 = 24

Wenn x = -1, dann 5x^2 + 3x - 2 = 0

Wenn x \u003d -1, verschwindet das quadratische Trinom 5x ^ 2 + 3x - 2, in diesem Fall wird die Zahl -1 genannt Wurzel eines quadratischen Trinoms.

So erhalten Sie die Wurzel der Gleichung

Lassen Sie uns erklären, wie wir die Wurzel dieser Gleichung bekommen haben. Zuerst müssen Sie das Theorem und die Formel, mit der wir arbeiten werden, genau kennen:

„Wenn x1 und x2 die Wurzeln des quadratischen Trinoms ax^2 + bx + c sind, dann ist ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).“

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Diese Formel zum Finden der Wurzeln eines Polynoms ist die primitivste Formel, durch deren Lösung Sie niemals verwirrt werden.

Ausdruck 5x^2 + 3x - 2.

1. Gleich Null: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Wir finden die Wurzeln der quadratischen Gleichung, dafür ersetzen wir die Werte in der Formel (a ist der Koeffizient für X ^ 2, b ist der Koeffizient für X, ein freier Term, dh a Abbildung ohne X):

Wir finden die erste Wurzel mit einem Pluszeichen vor der Quadratwurzel:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Die zweite Wurzel mit einem Minuszeichen vor der Quadratwurzel:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Wir haben also die Wurzeln des quadratischen Trinoms gefunden. Um sicherzustellen, dass sie korrekt sind, können Sie Folgendes überprüfen: Zuerst ersetzen wir die erste Wurzel in der Gleichung, dann die zweite:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Wenn nach dem Einsetzen aller Wurzeln die Gleichung verschwindet, dann ist die Gleichung richtig gelöst.

3. Verwenden wir nun die Formel aus dem Theorem: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), denken Sie daran, dass X1 und X2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind. Also: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Um sicherzustellen, dass die Zerlegung stimmt, können Sie einfach die Klammern multiplizieren:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Was die Richtigkeit bestätigt der Entscheidung.

Die zweite Möglichkeit, die Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu finden

Eine weitere Möglichkeit, die Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu finden, ist der Umkehrsatz des Satzes von Viette. Hier werden die Wurzeln der quadratischen Gleichung durch die Formeln gefunden: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Es ist jedoch wichtig zu verstehen, dass dieser Satz nur verwendet werden kann, wenn der Koeffizient a \u003d 1 ist, dh die Zahl vor x ^ 2 \u003d 1.

Zum Beispiel: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Lösung: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Jetzt ist es wichtig zu überlegen, welche Zahlen im Produkt eine Einheit ergeben? Natürlich dies 1 * 1 und -1 * (-1) . Aus diesen Zahlen wählen wir natürlich diejenigen aus, die dem Ausdruck x1 + x2 = 2 entsprechen - das ist 1 + 1. Wir haben also die Wurzeln der Gleichung gefunden: x1 = 1, x2 = 1. Dies ist leicht zu überprüfen Wir setzen x ^ 2 in den Ausdruck - 2x + 1 = 0 ein.