Gorlach B.A., Shigaeva N.V. Die Verwendung von Fourierreihen zur Prognose und Optimierung der Belieferung eines Großhandelsunternehmens im Hinblick auf die Verwaltung von eigenen und angemieteten Fahrzeugen

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Die Möglichkeit, Fourier-Reihen bei einem linearen Signal zu approximieren, ist für die Konstruktion von Funktionen bei unstetigen periodischen Elementen notwendig. Die Möglichkeiten, diese Methode zu verwenden, um sie unter Verwendung der endlichen Summen der Fourier-Reihen zu konstruieren und zu zerlegen, die zur Lösung vieler Probleme verschiedener Wissenschaften wie Physik, Seismologie usw. verwendet werden. Prozesse der Meeresgezeiten, Sonnenaktivität werden durch Erweiterung von oszillatorischen Prozessen betrachtet, Funktionen, die durch diese Transformationen beschrieben werden. Mit der Entwicklung der Computertechnologie wurden Fourier-Reihen für immer komplexere Probleme verwendet, und dank dessen wurde es auch möglich, diese Transformationen in indirekten Wissenschaften wie Medizin und Chemie zu verwenden. Die Fourier-Transformation wird sowohl in realer als auch in komplexer Form beschrieben, die zweite Verteilung ermöglichte den Durchbruch in der Weltraumforschung. Das Ergebnis dieser Arbeit ist die Anwendung von Fourier-Reihen auf die Linearisierung einer unstetigen Funktion und die Auswahl der Anzahl von Koeffizienten der Reihe für eine genauere Auferlegung der Reihe auf die Funktion. Außerdem ist diese Funktion bei Verwendung der Entwicklung in einer Fourier-Reihe nicht mehr unstetig und es wird bereits bei hinreichend kleiner Größe eine gute Annäherung an die verwendete Funktion durchgeführt.

die Fourierreihe

Fourier-Transformation

Phasenspektrum.

1. Alasheeva E.A., Rogova N.V. Numerisches Verfahren zur Lösung des Problems der Elektrodynamik in der Dünndrahtnäherung. Wissenschaft und Frieden. International Scientific Journal, Nr. 8(12), 2014. Band 1. Wolgograd. S. 17-19.

2. Worobjow N.N. Reihentheorie. Ed. Nauka, Hauptausgabe der physikalischen und mathematischen Literatur, M., 1979, -408 S.

3. Kalinina V. N., Pankin V. F. Mathematische Statistiken. - M.: Gymnasium, 2001.

4. R. Edwards Fourier-Reihe in moderner Darstellung. Ed. Welt. In 2 Bänden. Band 1. 1985. 362 Seiten

5. Sigorsky V.P. Mathematischer Apparat eines Ingenieurs. Ed. 2. Stereotyp. "Technik", 1997. – 768 S.

Die Darstellung einer willkürlich genommenen Funktion mit einer bestimmten Periode als Reihe wird als Fourier-Reihe bezeichnet. Eine Erweiterung auf orthogonaler Basis ist ein allgemeiner Begriff für diese Lösung. Die Erweiterung von Funktionen in einer Fourier-Reihe ist ein ziemlich mächtiges Werkzeug zur Lösung verschiedener Probleme. Da Die Eigenschaften dieser Transformation sind gut bekannt und untersucht, wenn der Ausdruck in Bezug auf das Argument und die Faltung integriert, differenziert und verschoben wird. Eine Person, die mit höherer Mathematik sowie mit den Werken des französischen Wissenschaftlers Fourier nicht vertraut ist, wird höchstwahrscheinlich nicht verstehen, was diese „Reihen“ sind und wozu sie dienen. Diese Fourier-Transformation ist zu einem sehr dichten Teil unseres Lebens geworden. Es wird nicht nur von Mathematikern verwendet, sondern auch von Physikern, Chemikern, Medizinern, Astronomen, Seismologen, Ozeanographen und vielen anderen.

Fourier-Reihen werden zur Lösung vieler angewandter Probleme verwendet. Die Fourier-Transformation kann durch analytische, numerische und andere Verfahren durchgeführt werden. Prozesse wie Meeresgezeiten und Lichtwellen vor Sonnenaktivitätszyklen beziehen sich auf die numerische Art und Weise, beliebige Schwingungsprozesse in einer Fourier-Reihe zu erweitern. Mit diesen mathematischen Techniken ist es möglich, Funktionen zu analysieren, die beliebige oszillatorische Prozesse als eine Reihe von sinusförmigen Komponenten darstellen, die vom Minimum zum Maximum und umgekehrt verlaufen. Die Fourier-Transformation ist eine Funktion, die die Phase und Amplitude von Sinuskurven beschreibt, die einer bestimmten Frequenz entsprechen. Diese Transformation dient zur Lösung sehr komplexer Gleichungen, die dynamische Prozesse beschreiben, die unter Einwirkung von Wärme-, Licht- oder elektrischer Energie ablaufen. Außerdem ermöglichen Fourier-Reihen die Isolierung der konstanten Komponenten in komplexen Schwingungssignalen, wodurch die erhaltenen experimentellen Beobachtungen in Medizin, Chemie und Astronomie richtig interpretiert werden konnten.

Mit dem technologischen Fortschritt, d.h. Das Aufkommen und die Entwicklung des Computers brachten die Fourier-Transformation auf eine neue Ebene. Diese Technik ist in fast allen Bereichen der Wissenschaft und Technik fest verankert. Ein Beispiel ist ein digitales Audio- und Videosignal. Was zu einer visuellen Umsetzung des Wachstums des wissenschaftlichen Prozesses und der Anwendung von Fourier-Reihen wurde. So ermöglichte die Fourier-Reihe in komplexer Form einen Durchbruch in der Erforschung des Weltraums. Darüber hinaus beeinflusste es das Studium der Physik von Halbleitermaterialien und Plasma, Mikrowellenakustik, Ozeanographie, Radar und Seismologie.

Betrachten Sie das Phasenspektrum eines periodischen Signals, das aus dem folgenden Ausdruck bestimmt wird:

wobei die Symbole und jeweils den Imaginär- und den Realteil des in eckige Klammern eingeschlossenen Werts bezeichnen.

Multipliziert mit einem reellen konstanten Wert K hat die Entwicklung in einer Fourier-Reihe folgende Form:

Aus Ausdruck (1) folgt, dass das Phasen-Fourier-Spektrum die folgenden Eigenschaften hat:

1) ist eine Funktion, d. h. anders als das Leistungsspektrum, das nicht von , abhängt, ändert sich, wenn das Signal entlang der Zeitachse verschoben wird;

2) hängt nicht von K ab, d.h. es ist unveränderlich gegenüber Verstärkung oder Dämpfung des Signals, während das Leistungsspektrum eine Funktion von K ist.

3) d.h. ist eine ungerade Funktion von n.

Notiz. Angesichts der geometrischen Interpretation der obigen Argumentation kann dies in Form des Leistungsspektrums und des Phasenspektrums wie folgt ausgedrückt werden:

Weil die

dann folgt aus (2) und (3), dass es eindeutig zurückgewonnen werden kann, wenn das Amplituden- (oder Leistungsspektrum) und das Phasenspektrum bekannt sind.

Betrachten Sie ein Beispiel. Uns wird eine Funktion gegeben zwischen

Gesamtansicht der Fourier-Reihe:

Ersetzen Sie unsere Werte und erhalten Sie:

Ersetzen Sie Ihre Werte und erhalten Sie.

ANWENDUNG DER FOURIER-REIHE ZUR PROGNOSE UND OPTIMIERUNG DER VERSORGUNG EINES GROSSHANDELSUNTERNEHMENS UNTER DEM ASPEKT DER VERWALTUNG VON EIGENEN UND GEMIETTEN TRANSPORTEN

Gorlach Boris Alekseevich 1 , Shigaeva Natalia Valerievna 2
1 Samara State Aerospace University, benannt nach Akademiemitglied S.P. Koroleva (NRU), Doktor der technischen Wissenschaften, Professor
2 Samara State Aerospace University, benannt nach Akademiemitglied S.P. Königin (NRU)

Anmerkung
Der Beitrag betrachtet einen Mechanismus zur Modellierung eines zufälligen Prozesses (für statistische Daten über ein Unternehmen) unter Verwendung des Apparats der harmonischen Analyse. Das Problem der rationellen Verteilung des Volumens der Rohstofflieferungen zwischen eigenen und gemieteten Fahrzeugen wurde gelöst, um die Kosten für die Lagerung von Produkten zu senken.

DIE ANWENDUNG DER FOURIER-SERIE ZUR VORHERSAGE UND OPTIMIERUNG VON LIEFERKOSTEN

Gorlach Boris Alekseevich 1, Shigaeva Nathalie Valerievna 2
1 Samara State Aerospace University, Doktor der technischen Wissenschaften, Professor
2 Samara State Aerospace University

Abstrakt
Der Mechanismus der Simulation eines zufälligen Prozesses wird betrachtet (für die Unternehmensdaten). Die harmonische Analyse ist bei der Modellierung von Unternehmenskosten weit verbreitet. Das Problem der rationellen Verteilung der Rohstofflieferungen auf eigenen Transport und angemieteten Transport ist gelöst.

Bibliografischer Link zum Artikel:
Gorlach B.A., Shigaeva N.V. Die Verwendung von Fourierreihen zur Prognose und Optimierung der Versorgung eines Großhandelsunternehmens im Hinblick auf das Management eigener und gemieteter Transporte // Ökonomie und Management innovativer Technologien. 2014. Nr. 7 [Elektronische Ressource]..02.2019).

Einführung. Die Kosten des Unternehmens für die Schaffung eines Lagersystems für Waren erfordern eine rationelle Verteilung der Lieferungen. Die Lösung des Problems des Versorgungsmanagements ist mit einer Änderung des Bedarfs des Unternehmens an Rohstoffen verbunden. Um ein rationales Vertriebsmodell zu entwickeln, wurde die Verarbeitung der statistischen Daten des Unternehmens über die Nachfrage nach Rohstoffen durchgeführt.

Der Artikel besteht aus folgenden Teilen: Aufbau eines Modells eines zufälligen Prozesses, Angebotsoptimierung am Beispiel eines vereinfachten Modells und am Beispiel realer Daten.

Teil eins. Konstruktion eines mathematischen Modells eines Zufallsprozesses.

In der rückblickenden Periode sieht die Statistik über die Lagerung der Ressource im Lager wie folgt aus (Tabelle 1). Es wird angenommen, dass ein Satz statistischer Daten Y i = Y(t i ) in Form einer Zeitreihe gegeben ist.

Tabelle 1 – Ressourcenbedarfsstatistik

In der Regel werden mathematische Modelle von Zeitreihen wirtschaftlicher Prozesse als ein Satz von 4 Komponenten dargestellt: saisonal S, zyklisch C, zufällig ξ und Trend U. Diese Komponenten bilden ein additives Modell statistischer Daten.

Die Komponente U - der Trend - wird so gewählt, dass sie dem Haupttrend bei der Änderung der untersuchten Funktion nicht widerspricht und ihre Analyse nicht erschwert. Die Auswahl des Trends erfolgt in dieser Arbeit sowohl über Excel-Funktionen als auch manuell über die Methode „Normalgleichungen“.

Nachdem die Prozedur zum Auswählen des am besten geeigneten Trends durchgeführt wurde, wird die Normalisierung der Funktion durchgeführt, was es ermöglicht, eine Simulation der oszillierenden Komponente bereitzustellen. In dieser Studie wird die oszillierende Komponente unter Verwendung eines Modells ausgewählt, das eine trigonometrische Fourier-Reihe ist:

.

Die Koeffizienten der Fourier-Reihe sind wie folgt definiert :

Nach der Suche nach 6 Iterationen mit Excel-Tools wurde die folgende Funktion der Vibrationskomponente offenbart :

S(t) = -0,215 sinπt/6 – 0,077 cos πt/6 +0,003 sin 5pt/6+0,054cos 5pt/6+0,056cos pt

Die Dynamik der Bereitstellung und Lagerung der Ressource im Lager sowie die funktionale Abhängigkeit des Volumens der Ressource nach der Normalisierung ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1 – Oszillationskomponente für reale Daten

Lassen Sie uns das Bestimmtheitsmaß für die erhaltene Funktion berechnen.

Das Bestimmtheitsmaß für die resultierende Funktion beträgt 0,75. Daher beschreibt der Trend die statistischen Daten zu 75 Prozent, und die Wahrscheinlichkeit, dass die resultierende Funktion nicht den realen statistischen Werten entspricht, beträgt 0,25.

Zweiter Teil. Lieferprozessoptimierung

Bei der Zusammenstellung des Anteils an der Rohstoffversorgung sind mehrere Faktoren zu berücksichtigen, die den Indikator der Wirtschaftlichkeit der Versorgung beeinflussen:

Pünktlichkeit und Häufigkeit der Lieferungen


Versorgungskosten


Zulässige Haltbarkeit von Rohstoffen


Bereitstellung des Unternehmens mit Lagerräumen


Andere Faktoren .

Betrachten Sie den Versorgungsoptimierungsprozess in einem vereinfachten Diagramm. Lassen Sie uns eine Harmonische im normalisierten Trend (ein Glied der harmonischen Reihe) herausgreifen und uns auf die Betrachtung einer Periode beschränken. Wir erhalten die folgende vereinfachte Angebotsfunktion:

In diesem Dokument betrachten wir drei Lieferoptionen.

1. Lieferungen erfolgen nur durch eigenen Transport auf der Ebene y=1, was dem Wert s(t)=0 entspricht.

Der Prozess der Akkumulation von Ressourcen in der ersten Jahreshälfte und des Verbrauchs in der zweiten Jahreshälfte wird durch die Formel des Integrals der Funktion im betrachteten Bereich bestimmt.

Die angesammelten Mittel werden im nächsten halben Jahr vollständig ausgegeben. Das Problem ist, dass die Lagermenge im Lager zeitlich zu stark variiert und optimiert werden muss.

2. Eigener Transport stellt Lieferungen bereit, die der Mindestintensität des Ressourcenaufwands entsprechen. Diese Option ist für ein Unternehmen geeignet, wenn das Unternehmen über weniger Kapital verfügt und sich aus anderen Gründen den Transport nicht mehr als den minimalen Ressourcenbedarf leisten kann, sieht es so aus. Das Unternehmen erhält weniger Ressourcen in Höhe der Fläche des Integrals zwischen s(t) und der geraden Linie, die das Mindestversorgungsniveau kennzeichnet.

Angenommen, das Unternehmen entscheidet sich in der ersten Jahreshälfte für die Anmietung eines Fahrzeugs auf der Höhe des maximalen Ressourcenbedarfs, dann sind die Einsparungen in der zweiten Jahreshälfte vollständig verbraucht.

3. Eigener Transport gewährleistet Lieferungen auf der Ebene -h. Der Mangel an Ressourcen wird durch die Anmietung von Transportmitteln kompensiert.

Wir berechnen den Versorgungsgrad h aus der Bedingung der Gleichheit von Akkumulations- und Verbrauchsgebieten:

Mit dem empfangenen Wert h der Ressourcenmangel ohne Lease sieht so aus:

Als Zusammenfassung der erhaltenen Ergebnisse wurde ein allgemeines Akkumulations-/Ausgabendiagramm erstellt, das zeigt, wie sich der optimale Plan in der minimalen Menge an Speicherressourcen unterscheidet (Abbildung 2).

Abbildung 2 – Minimierung der Lagerressourcen

Basierend auf dem Diagramm ermöglicht die Einbeziehung von gemieteten Fahrzeugen bei der Optimierung der Lagerung in einem Lager, das spezifische Lagervolumen in einem Lager um das bis zu 10-fache zu reduzieren, da die Amplitude der Werte der Akkumulationsfunktion von 10 Einheiten auf abgenommen hat 1.

Teil 3. Optimierung der Lieferkette mit echten Daten

Die Umsetzung der Angebotsoptimierung beginnt mit der Wahl der Periode der Schwingungskomponente (in unserem Beispiel t i ϵ 11..23) und der Suche nach Schnittpunkten der Funktion s(t) mit der Ox-Achse.

Eine Darstellung der Variante der Dynamik des Erhalts und Verbrauchs einer Ressource in einem Unternehmen, in dem kein Transportleasing bereitgestellt wird, ist in Abbildung 3 dargestellt.

Abbildung 3 – Akkumulation/Ausgaben für reale Daten ohne Miete

Die Funktion der schwingungsfähigen Komponente sieht folgendermaßen aus:

S(t) = -0,215 sin πt/6-0,077 cos πt/6 2pt/3+0,003 sin 5pt/6+0,054cos 5pt/6+0,056cos pt

Akkumulationsfunktion:

Q = ∫S = (1/π)(0,215 *6* cos (πt/6)-0,077*6*sin (πt/6) +0,085*3*cos πt/3 – 0,013*3*sin πt/3 – 0,0013*2*cos πt/2+(0,023*2*sin πt/2+0,0349*6/4 cos 2πt/3+(0,0552*6/4)sin 2πt/3 – (0,0032*6/5) cos 5πt/6 + (0,0538*6/5)sin 5πt/6 + (0,0559*sin π t)

Bestimmen wir die maximalen Bestands- und Verbrauchsflächen für die Angebotsfunktion unter der Voraussetzung, dass die Angebotsintensität s(t) gleich Null ist.

Tabelle 2 – Ermittlung von Bestandsflächen und Ressourcenverbrauch

Somit ist Q max = 0,9078 die maximal mögliche Menge an Ressourcen, die im Lagerhaus gelagert werden. Die in der ersten Jahreshälfte angesammelten Ressourcen werden in der zweiten vollständig verbraucht, weil trigonometrische Funktionen haben die Eigenschaft der Symmetrie.

Die Optimierung unter Einbeziehung von Mietfahrzeugen ist eine effektive Möglichkeit, die Kosten für die Lagerung einer Ressource in einem Lager zu reduzieren. Die Höhe der Lieferungen des Unternehmens durch eigenen Transport wird durch den Wert angegeben Y(t)=1-h, oder S(t)=-h aus der Bedingung der Gleichheit von Akkumulations- und Verbrauchsgebieten für ein halbes Jahr (Abbildung 4).

Abbildung 4 - Bestimmung des Auslieferungsgrades durch gemietete Fahrzeuge

In diesem Fall wird eine Ressource in der Menge benötigt, die durch die Fläche eines Rechtecks ​​​​mit einer Höhe bestimmt wird h und die Basis, die das gesamte Betrachtungsintervall ausmacht, gleich (aus den Symmetrieeigenschaften) der Fläche des Integrals der zyklischen Komponente über der geraden Linie der Höhe der Lieferungen durch eigenen Transport. Das Unternehmen mietet den Transport für einen Teil des betrachteten Intervalls. Aus der Gleichheit der Ressourcenknappheitsbereiche (2) und des Mietvolumens (1) wird die Höhe der Lieferungen durch gemietete Fahrzeuge ermittelt, dargestellt in Abbildung 4.

Suche nach Ebenen h iterativ durchgeführt. Bei der Möglichkeit, Mietfahrzeuge anzuziehen, beträgt die maximale Lagerbestandsmenge im Lager:

Höheres Niveau h* finden wir aus der Gleichheitsbedingung der Bereiche der unbefriedigten Nachfrage (1) für Ressourcen und des Angebotsvolumens (2), die in Abbildung 4 angegeben sind. Das Mietniveau wird durch den Wert h*=0,144 bestimmt.

Nach der Optimierung wurde der Bereich Durchfluss und Reserve gefunden:

Die Gesamtfläche der Reserven verringerte sich von 0,9 auf 0,5:

Qmax2 = 0,2016+ 0,3137=0,515

So führte die Optimierung des Lieferprozesses mit Mietfahrzeugen zu einer Reduzierung der Lagerkosten um 44 %, was auf den erfolgreichen Abschluss der Optimierungsaufgabe hindeutet.

Ergebnisse und Schlussfolgerungen. Der bei der Modellierung der Kostenfunktion vorgeschlagene Algorithmus zur rationellen Aufteilung der Vorräte zwischen den firmeneigenen Transportmitteln und den gemieteten Fourier-Reihen basiert auf den charakteristischen Merkmalen des normierten Trendgraphen, berücksichtigt die Beschränkungen des Lagerplatzes, der Haltbarkeit von Rohstoffen und reduziert die Lagerkosten (das Niveau der Lagerung von Ressourcen im Lager) bis zu 50% mal für die betrachteten Versorgungsfunktionsdaten. Somit ist die Einbindung von Mietfahrzeugen eine effektive Möglichkeit, Lager- und Lagerkosten bei hohen Kosten für Anmietung und Unterhalt von Lagerflächen zu reduzieren.

Bibliographisches Verzeichnis

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3. Richard R.L. Optimierung im Operations Research. Lehrlingshalle, 1998.

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Die Fourier-Reihe wird geschrieben als:

, wobei k die harmonische Zahl ist.

Die Fourier-Koeffizienten für diese Reihe werden durch die Formeln gefunden:

Periodische Signale werden durch eine Fourier-Reihe in der Form dargestellt:

, wo ist die Grundfrequenz;

Hier werden die Koeffizienten nach den Formeln berechnet:

Eine andere Form der Fourier-Reihe wird oft verwendet:

, wo:

– Amplitude k te Harmonische; - Anfangsphase

Zur Vereinfachung der Berechnungen wird die Fourier-Reihe in komplexer Form geschrieben:

Grafische Zeit- und Frequenzanzeige

Spektrum eines periodischen Signals

temporäres Bild

(f)

ASF-Frequenzbild

Ähnlich FChS, nur unter der Voraussetzung, dass die Phasen negativ sein können.

Ein solches Spektrum wird diskret oder linienförmig genannt, es ist charakteristisch für ein periodisches Signal.

Spektrum einer Folge von Rechteckimpulsen

Betrachten Sie die symmetrische Anordnung der Impulse

, wo ist das Tastverhältnis.

Finden Sie die Nullpunkte des Sinus:

Der erste Nullpunkt ist das wichtigste Rechteckwellenzugspektrum.

ASF einer Folge von Rechteckimpulsen:

ω 1 ω 2 2π/t u 4π/t u

Der Hauptanteil der Energie wird von Harmonischen getragen, die von 0 bis zum ersten Nullpunkt liegen (etwa 90 % der Energie). Dieser Frequenzbereich, in dem 90 % der Signalenergie konzentriert sind, wird als Breite des Spektrums (Frequenz) des Signals bezeichnet.

Bei einem Rechteckimpuls beträgt die Spektrumsbreite .

Jede digitale Signalübertragung erfordert mehr Spektrum als eine einfache analoge Übertragung.

FFS einer Folge von Rechteckimpulsen:

wenn Sonne(x)>0 dann Ψ k = 0

wenn Sünde (x)<0, то Ψk = π

Einfluss von Pulsdauer und -periode auf die Form des Spektrums

Wenn die Dauer abnimmt, ändert sich die Grundfrequenz nicht, die Nullpunkte verschieben sich nach rechts. Mehr Komponenten fallen zum ersten Nullpunkt, wo sich die Hauptenergie konzentriert. Beachten Sie technisch, dass das Spektrum erweitert wird.

Wenn die Impulsdauer zunimmt, verengt sich das Spektrum.

Wenn die Wiederholungsperiode zunimmt, dann nimmt die Grundfrequenz ab. Wenn die Wiederholungsperiode abnimmt, steigt die Grundfrequenz an.

Ändern der Position des Pulses oder des Ursprungs

Die ASF wird dadurch nicht beeinflusst, lediglich das Phasenspektrum ändert sich. Dies kann auf der Grundlage des Verzögerungstheorems reflektiert werden:

Das Phasenspektrum des verschobenen Signals bei N=4:

Das Konzept der Berechnung von Schaltungen mit periodischen Signalen

Rechenmethode:

1. Das komplexe Spektrum eines periodischen Signals wird bestimmt;

2. Das Spektrum wird ausgewertet, die signifikantesten Harmonischen bleiben übrig (erstes Kriterium: alle, die kleiner als 0,1 der maximalen Harmonischen sind, werden abgeschnitten);

Die Ströme und Spannungen jeder Komponente werden separat berechnet. Sie können eine komplexe Berechnungsmethode verwenden.

Ich 0 = 0

Die nichtharmonische Funktion kann durch den Effektivwert abgeschätzt werden, d.h. Effektivwert für den Zeitraum:

Das Konzept des Spektrums eines nichtperiodischen Signals

Nichtperiodische Signale sind die wichtigsten, da sie Informationen transportieren. Periodische Signale dienen der Übertragung von Informationen, und neue Informationen werden nicht übertragen. Daher stellt sich die Frage nach den Spektren nichtperiodischer Signale. Sie können versuchen, sie durch den Grenzübergang von periodischen Signalen zu erhalten, indem Sie die Periode auf unendlich () richten. Es gibt nur noch ein Signal. Lassen Sie uns die komplexe Amplitude des Spektrums eines einzelnen Signals finden: bei .

,

Ein nicht periodisches Signal kann in eine unendliche Summe von harmonischen Komponenten mit unendlich kleinen Amplituden zerlegt werden, die sich in der Frequenz um unendlich kleine Werte unterscheiden - Dies wird als kontinuierliches Spektrum eines nicht periodischen Signals bezeichnet, nicht als diskretes. Für Berechnungen wird das Konzept nicht komplexer Amplituden verwendet, und die komplexe spektrale Dichte von Amplituden ist die Größe der Amplitude pro Frequenzeinheit.

Dies ist die direkte Fourier-Transformation (zweiseitig).

Kapitel 10 beschrieb die Anwendung von Fourier-Reihen auf die Untersuchung elastischer Schwingungen einer Saite. In diesem Kapitel werden wir einige Probleme der elastischen Biegung von Trägern betrachten.

Die Verwendung von Fourierreihen zur Lösung von Problemen der Statik elastischer Körper erfolgt nach folgendem Schema.

Zunächst wird aus physikalischen Überlegungen eine Beziehung hergeleitet, die die Funktion, die den geometrischen Zustand des verformten Körpers beschreibt, mit den auf den Körper aufgebrachten Belastungen verbindet. Dieses Verhältnis enthält im Allgemeinen neben der Zustandsfunktion selbst auch deren Ableitungen sowie einige integrale Merkmale.

Anschließend wird ausgehend von den geometrischen Umrissen des Körpers und den kinematischen Bedingungen, die seine Bewegung begrenzen, ein orthogonales Funktionssystem ausgewählt, nach dem die vorgegebene Zustandsfunktion zu einer Fourier-Reihe entwickelt wird.

Die Einsetzung dieser Fourier-Reihe in die abgeleitete Relation führt zur identischen Gleichheit der beiden Fourier-Reihen, von der man mit Satz 2 des 14. Kapitels von Kapitel 9 zur Gleichheit der Koeffizienten für identische Funktionen übergehen kann. Aus diesen letzten Gleichungen kann man die Werte der Fourier-Koeffizienten berechnen und damit den Zustand des deformierten Körpers beschreiben.

Dieser Vorgang des Einsetzens der Fourier-Reihe in die die Biegung charakterisierende Relation muss mit ausreichender Vorsicht durchgeführt werden, da dabei die Fourier-Reihe mehrfach Glied für Glied differenziert werden muss, deren Koeffizienten erst nachträglich berechnet werden. Überzeugen Sie sich von der Legitimität dieser Differenzierung, d. h. (siehe § 10 des 5. Kapitels) der gleichmäßigen Konvergenz der gebildeten Reihen

aus den Ableitungsgliedern einer differenzierbaren Reihe, ist a priori ziemlich schwierig. Daher werden wir bei der Lösung jedes spezifischen Problems ungefähr wie folgt argumentieren.

Zunächst nehmen wir an, dass die mit bisher unbekannten Koeffizienten geschriebene Fourier-Reihe (im Sinne des Satzes von § 10 von Kapitel 5) beliebig oft gliedweise differenziert werden kann. Indem wir die Ableitungen aufschreiben und die resultierenden Gleichungen lösen, finden wir die für uns interessanten Fourier-Koeffizienten. Dies bedeutet, dass, wenn sich die Fourier-Reihe für eine Term-für-Term-Differenzierung eignet (und darüber hinaus so oft wie erforderlich), sie ziemlich eindeutig ist, was wir in der Nähe gefunden haben. Wenn nun aus der Betrachtung der erhaltenen Koeffizienten ersichtlich wird, dass diese konstruierte, wohldefinierte Reihe tatsächlich Term für Term differenzierbar ist, dann waren alle Operationen, die tatsächlich an dieser Reihe durchgeführt wurden, legitim, und die gefundenen Fourier-Koeffizienten sind es die gewünschten. Wenn sich herausstellt, dass eine nicht differenzierbare Reihe erhalten wird, bedeutet dies, dass die zuvor damit durchgeführten Aktionen mathematisch falsch waren und das auf ihrer Grundlage erhaltene Ergebnis unvernünftig, obwohl möglicherweise richtig ist. Als Nächstes werden wir uns Beispiele für Ergebnisse beider Typen ansehen.

In vielen Fällen ist die Aufgabe, das Signalspektrum zu erhalten (zu berechnen), wie folgt. Es gibt einen ADC, der mit einer Abtastfrequenz Fd ein kontinuierliches Signal, das während der Zeit T an seinem Eingang ankommt, in digitale Messwerte umwandelt - N Stück. Als nächstes wird das Array von Messwerten in ein bestimmtes Programm eingespeist, das N / 2 einiger numerischer Werte ausgibt (der Programmierer who aus dem Internet gezogen ein Programm geschrieben hat, behauptet, dass es die Fourier-Transformation durchführt).

Um zu überprüfen, ob das Programm richtig funktioniert, bilden wir ein Array von Messwerten als Summe zweier Sinuskurven sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) und fügen es in die ein Programm. Das Programm zeichnete Folgendes aus:

Abb.1 Graph der Zeitfunktion des Signals

Abb.2 Diagramm des Signalspektrums

Auf dem Spektrumsdiagramm gibt es zwei Sticks (Harmonische) 5 Hz mit einer Amplitude von 0,5 V und 10 Hz - mit einer Amplitude von 1 V, alle wie in der Formel des ursprünglichen Signals. Alles ist in Ordnung, gut gemachter Programmierer! Das Programm funktioniert korrekt.

Das heißt, wenn wir ein reales Signal aus einer Mischung von zwei Sinuskurven an den Eingang des ADC anlegen, erhalten wir ein ähnliches Spektrum, das aus zwei Harmonischen besteht.

Insgesamt, unsere real gemessenes Signal, Dauer 5 Sek, vom ADC digitalisiert, also dargestellt diskret zählt, hat diskret nicht periodisch Spektrum.

Aus mathematischer Sicht - wie viele Fehler enthält dieser Satz? Jetzt haben die Behörden entschieden, dass wir entschieden haben, dass 5 Sekunden zu lang sind, messen wir das Signal in 0,5 Sekunden.
Abb.3 Graph der Funktion sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) für eine Messdauer von 0,5 Sek

Abb.4 Funktionsspektrum

Etwas ist nicht richtig! Die 10-Hz-Oberwelle wird normal gezeichnet, aber anstelle eines 5-Hz-Sticks erschienen mehrere unverständliche Oberwellen. Wir schauen im Internet, was und wie ...

In sagen sie, dass Nullen am Ende der Probe hinzugefügt werden müssen und das Spektrum normal gezeichnet wird.

Abb.5 Fertige Nullen bis zu 5 Sekunden

Abb.6 Wir haben das Spektrum

Immer noch nicht das, was es bei 5 Sekunden war. Mit der Theorie muss man sich auseinandersetzen. Gehen wir zu Wikipedia- Quelle des Wissens.

2. Eine kontinuierliche Funktion und ihre Darstellung durch eine Fourier-Reihe

Mathematisch gesehen ist unser Signal mit einer Dauer von T Sekunden eine bestimmte Funktion f(x), die auf dem Intervall (0, T) gegeben ist (X ist in diesem Fall die Zeit). Eine solche Funktion kann immer als Summe harmonischer Funktionen (Sinus oder Cosinus) der Form dargestellt werden:

(1), wobei:

k – Nummer der trigonometrischen Funktion (Anzahl der harmonischen Komponente, harmonische Zahl) T – Segment, in dem die Funktion definiert ist (Signaldauer) Ak – Amplitude der k-ten harmonischen Komponente, θk – Anfangsphase der k-ten harmonischen Komponente

Was bedeutet es, „eine Funktion als Summe einer Reihe darzustellen“? Dies bedeutet, dass wir durch Addieren der Werte der harmonischen Komponenten der Fourier-Reihe an jedem Punkt den Wert unserer Funktion an diesem Punkt erhalten.

(Genau genommen wird die Standardabweichung der Reihe von der Funktion f(x) gegen Null gehen, aber trotz der Standardkonvergenz muss die Fourier-Reihe der Funktion im Allgemeinen nicht punktweise zu ihr konvergieren. Siehe https: //ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)

Diese Reihe kann auch geschrieben werden als:

(2), wobei , k-te komplexe Amplitude.

Die Beziehung zwischen den Koeffizienten (1) und (3) wird durch die folgenden Formeln ausgedrückt:

Beachten Sie, dass alle diese drei Darstellungen der Fourier-Reihe völlig gleichwertig sind. Manchmal ist es bei der Arbeit mit Fourier-Reihen bequemer, die Exponenten des imaginären Arguments anstelle von Sinus und Cosinus zu verwenden, dh die Fourier-Transformation in komplexer Form zu verwenden. Aber es ist praktisch für uns, Formel (1) zu verwenden, wo die Fourier-Reihe als Summe von Kosinuswellen mit den entsprechenden Amplituden und Phasen dargestellt wird. Auf jeden Fall ist es falsch zu sagen, dass das Ergebnis der Fourier-Transformation des realen Signals die komplexen Amplituden der Harmonischen sein werden. Wie das Wiki richtig sagt: "Die Fourier-Transformation (ℱ) ist eine Operation, die eine Funktion einer reellen Variablen auf eine andere Funktion, ebenfalls einer reellen Variablen, abbildet."

Gesamt: Die mathematische Grundlage der Spektralanalyse von Signalen ist die Fourier-Transformation.

Die Fourier-Transformation ermöglicht es uns, eine kontinuierliche Funktion f(x) (Signal) darzustellen, die auf dem Segment (0, T) als Summe einer unendlichen Anzahl (unendliche Reihe) von trigonometrischen Funktionen (Sinus und/oder Cosinus) mit bestimmten Amplituden definiert ist und Phasen, die auch auf dem Segment (0, T) betrachtet werden. Eine solche Reihe wird als Fourier-Reihe bezeichnet.

Wir stellen einige weitere Punkte fest, deren Verständnis für die korrekte Anwendung der Fourier-Transformation zur Signalanalyse erforderlich ist. Wenn wir die Fourier-Reihe (die Summe der Sinuskurven) auf der gesamten X-Achse betrachten, können wir sehen, dass außerhalb des Segments (0, T) die durch die Fourier-Reihe dargestellte Funktion unsere Funktion periodisch wiederholt.

Beispielsweise ist in dem Diagramm in Fig. 7 die ursprüngliche Funktion auf dem Segment definiert (-T \ 2, + T \ 2), und die Fourier-Reihe stellt eine periodische Funktion dar, die auf der gesamten x-Achse definiert ist.

Dies liegt daran, dass die Sinuskurven selbst jeweils periodische Funktionen sind und ihre Summe eine periodische Funktion sein wird.

Abb.7 Darstellung einer nichtperiodischen Ursprungsfunktion durch eine Fourier-Reihe

Auf diese Weise:

Unsere Anfangsfunktion ist kontinuierlich, nicht periodisch und auf einem bestimmten Segment der Länge T definiert. Das Spektrum dieser Funktion ist diskret, dh es wird als unendliche Reihe harmonischer Komponenten dargestellt - die Fourier-Reihe. Tatsächlich wird durch die Fourier-Reihe eine bestimmte periodische Funktion definiert, die mit unserer auf dem Segment (0, T) zusammenfällt, aber diese Periodizität ist für uns nicht wesentlich.

Die Perioden der harmonischen Komponenten sind Vielfache des Segments (0, T), auf dem die ursprüngliche Funktion f(x) definiert ist. Mit anderen Worten, die harmonischen Perioden sind Vielfache der Dauer der Signalmessung. Beispielsweise ist die Periode der ersten Harmonischen der Fourier-Reihe gleich dem Intervall T, auf dem die Funktion f(x) definiert ist. Die Periode der zweiten Harmonischen der Fourier-Reihe ist gleich dem Intervall T/2. Und so weiter (siehe Abb. 8).

Abb.8 Perioden (Frequenzen) der harmonischen Komponenten der Fourier-Reihe (hier T=2π)

Dementsprechend sind die Frequenzen der harmonischen Komponenten Vielfache von 1/T. Das heißt, die Frequenzen der harmonischen Komponenten Fk sind gleich Fk= k\T, wobei k von 0 bis ∞ reicht, beispielsweise k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (bei Nullfrequenz - konstanter Anteil).

Unsere ursprüngliche Funktion sei ein für T = 1 Sekunde aufgezeichnetes Signal. Dann ist die Periode der ersten Harmonischen gleich der Dauer unseres Signals T1 = T = 1 Sekunde und die Frequenz der Harmonischen beträgt 1 Hz. Die Periode der zweiten Harmonischen ist gleich der Dauer des Signals dividiert durch 2 (T2 = T/2 = 0,5 s) und die Frequenz beträgt 2 Hz. Für die dritte Harmonische gilt T3 = T/3 s und die Frequenz beträgt 3 Hz. Usw.

Der Schritt zwischen den Harmonischen beträgt in diesem Fall 1 Hz.

Somit kann ein Signal mit einer Dauer von 1 s in harmonische Komponenten zerlegt werden (um ein Spektrum zu erhalten) mit einer Frequenzauflösung von 1 Hz. Um die Auflösung um das Zweifache auf 0,5 Hz zu erhöhen, muss die Messdauer um das Zweifache erhöht werden - bis zu 2 Sekunden. Ein Signal mit einer Dauer von 10 Sekunden kann in harmonische Komponenten zerlegt werden (um ein Spektrum zu erhalten) mit einer Frequenzauflösung von 0,1 Hz. Es gibt keine anderen Möglichkeiten, die Frequenzauflösung zu erhöhen.

Es gibt eine Möglichkeit, die Dauer des Signals künstlich zu verlängern, indem dem Array von Samples Nullen hinzugefügt werden. Aber es erhöht nicht die tatsächliche Frequenzauflösung.

3. Diskrete Signale und diskrete Fourier-Transformation

Mit der Entwicklung der Digitaltechnik hat sich auch die Art und Weise der Speicherung von Messdaten (Signalen) verändert. Wenn das Signal früher auf einem Tonbandgerät aufgezeichnet und in analoger Form auf Band gespeichert werden konnte, werden die Signale jetzt digitalisiert und als eine Reihe von Zahlen (Zählwerten) in Dateien im Speicher des Computers gespeichert.

Das übliche Schema zum Messen und Digitalisieren eines Signals ist wie folgt.

Abb.9 Schema des Messkanals

Das Signal des Messumformers trifft während einer Zeitspanne T am ADC ein. Die während der Zeitspanne T erhaltenen Signalabtastwerte (Sample) werden an den Computer übertragen und gespeichert.

Abb.10 Digitalisiertes Signal - N Messwerte empfangen in Zeit T

Was sind die Anforderungen an Signaldigitalisierungsparameter? Ein Gerät, das ein analoges Eingangssignal in einen diskreten Code (Digitalsignal) umwandelt, wird als Analog-Digital-Wandler (ADC, engl. Analog-to-Digital Converter, ADC) (Wiki) bezeichnet.

Einer der Hauptparameter des ADC ist die maximale Abtastrate (oder Abtastrate, englische Abtastrate) - die Häufigkeit der zeitlich kontinuierlichen Abtastung eines Signals während seiner Abtastung. Gemessen in Hertz. ((Wiki))

Wenn ein kontinuierliches Signal ein Spektrum hat, das durch die Frequenz Fmax begrenzt ist, dann kann es gemäß dem Kotelnikov-Theorem aus seinen in Zeitintervallen genommenen diskreten Abtastwerten vollständig und eindeutig wiederhergestellt werden , d.h. mit Frequenz Fd ≥ 2*Fmax, wobei Fd - Abtastrate; Fmax - maximale Frequenz des Signalspektrums. Mit anderen Worten, die Signalabtastrate (ADC-Abtastrate) muss mindestens das Zweifache der maximalen Frequenz des zu messenden Signals betragen.

Und was passiert, wenn wir mit einer niedrigeren Häufigkeit ablesen, als es das Kotelnikov-Theorem erfordert?

Dabei tritt der Effekt des „Aliasing“ (auch Stroboskop-Effekt, Moiré-Effekt genannt) auf, bei dem das hochfrequente Signal nach der Digitalisierung in ein eigentlich nicht vorhandenes niederfrequentes Signal übergeht. Auf Abb. 11 hochfrequente rote Sinuswelle ist das eigentliche Signal. Die blaue Sinuswelle mit niedrigerer Frequenz ist ein Dummy-Signal, das sich aus der Tatsache ergibt, dass mehr als eine halbe Periode eines Hochfrequenzsignals Zeit hat, während der Abtastzeit zu vergehen.

Reis. 11. Das Auftreten eines falschen Niederfrequenzsignals, wenn die Abtastrate nicht hoch genug ist

Um den Aliasing-Effekt zu vermeiden, ist vor dem ADC ein spezieller Anti-Aliasing-Filter platziert - LPF (Tiefpassfilter), der Frequenzen unterhalb der halben ADC-Abtastfrequenz durchlässt und höhere Frequenzen abschneidet.

Um das Spektrum eines Signals aus seinen diskreten Abtastwerten zu berechnen, wird die diskrete Fourier-Transformation (DFT) verwendet. Wir stellen noch einmal fest, dass das Spektrum eines diskreten Signals "per Definition" durch die Frequenz Fmax begrenzt ist, die weniger als die Hälfte der Abtastfrequenz Fd beträgt. Daher kann das Spektrum eines diskreten Signals durch die Summe einer endlichen Anzahl von Harmonischen dargestellt werden, im Gegensatz zur unendlichen Summe für die Fourier-Reihe eines kontinuierlichen Signals, dessen Spektrum unbegrenzt sein kann. Gemäß dem Kotelnikov-Theorem muss die maximale harmonische Frequenz so sein, dass sie mindestens zwei Samples ausmacht, sodass die Anzahl der Harmonischen gleich der Hälfte der Anzahl der Samples des diskreten Signals ist. Das heißt, wenn es N Samples in dem Sample gibt, dann ist die Anzahl der Harmonischen im Spektrum gleich N/2.

Betrachten Sie nun die diskrete Fourier-Transformation (DFT).

Vergleich mit der Fourier-Reihe

wir sehen, dass sie zusammenfallen, außer dass die Zeit in der DFT diskret ist und die Anzahl der Harmonischen auf N/2 begrenzt ist – die Hälfte der Anzahl der Samples.

Die DFT-Formeln werden in dimensionslosen ganzzahligen Variablen k, s geschrieben, wobei k die Anzahl der Signalabtastwerte und s die Anzahl der Spektralkomponenten sind. Der Wert von s zeigt die Anzahl der Vollschwingungen der Harmonischen in der Periode T (der Dauer der Signalmessung). Die diskrete Fourier-Transformation wird verwendet, um die Amplituden und Phasen von Harmonischen numerisch zu finden, d.h. "auf dem Computer"

Zurück zu den am Anfang erzielten Ergebnissen. Wie oben erwähnt, entspricht beim Erweitern einer nichtperiodischen Funktion (unser Signal) in eine Fourier-Reihe die resultierende Fourier-Reihe tatsächlich einer periodischen Funktion mit der Periode T. (Abb. 12).

Abb.12 Periodische Funktion f(x) mit Periode Т0, mit Messperiode Т>T0

Wie in Abb. 12 zu sehen ist, ist die Funktion f(x) periodisch mit der Periode Т0. Aufgrund der Tatsache, dass die Dauer des Messmusters T nicht mit der Periode der Funktion T0 zusammenfällt, weist die als Fourier-Reihe erhaltene Funktion am Punkt T eine Diskontinuität auf. Dadurch wird das Spektrum dieser Funktion enthalten eine große Anzahl hochfrequenter Harmonischer. Wenn die Dauer des Messmusters T mit der Periode der Funktion T0 zusammenfallen würde, dann wäre nur die erste Harmonische (eine Sinuskurve mit einer Periode gleich der Musterdauer) in dem nach der Fourier-Transformation erhaltenen Spektrum vorhanden, da die Funktion f (x) ist eine Sinuskurve.

Mit anderen Worten, das DFT-Programm "weiß nicht", dass unser Signal ein "Stück einer Sinuswelle" ist, sondern versucht, eine periodische Funktion als Reihe darzustellen, die aufgrund der Inkonsistenz der einzelnen Stücke eine Lücke aufweist die Sinuswelle.

Dadurch erscheinen im Spektrum Harmonische, die insgesamt die Form der Funktion einschließlich dieser Unstetigkeit darstellen sollen.

Um also das "richtige" Spektrum des Signals zu erhalten, das die Summe mehrerer Sinuskurven mit unterschiedlichen Perioden ist, ist es notwendig, dass eine ganzzahlige Anzahl von Perioden jeder Sinuskurve auf die Signalmessperiode passt. In der Praxis kann diese Bedingung für eine ausreichend lange Dauer der Signalmessung erfüllt werden.

Abb.13 Ein Beispiel für die Funktion und das Spektrum des Signals des kinematischen Fehlers des Getriebes

Bei einer kürzeren Dauer wird das Bild „schlechter“ aussehen:

Abb.14 Ein Beispiel für die Funktion und das Spektrum des Rotorvibrationssignals

In der Praxis kann es schwierig sein, zu verstehen, wo die „echten Komponenten“ und wo die „Artefakte“ sind, die durch die Nichtmultiplizität der Perioden der Komponenten und der Dauer des Signalabtastwerts oder die „Sprünge und Pausen“ verursacht werden die Wellenform. Natürlich werden die Worte „echte Bauteile“ und „Artefakte“ nicht umsonst zitiert. Das Vorhandensein vieler Harmonischer im Spektrumsdiagramm bedeutet nicht, dass unser Signal tatsächlich aus ihnen „besteht“. Es ist, als würde man denken, dass die Zahl 7 aus den Zahlen 3 und 4 „besteht“. Die Zahl 7 kann als Summe der Zahlen 3 und 4 dargestellt werden – das ist richtig.

So ist unser Signal ... oder besser gesagt nicht einmal „unser Signal“, sondern eine periodische Funktion, die durch Wiederholen unseres Signals (Sampling) zusammengestellt wird, kann als Summe von Harmonischen (Sinuskurven) mit bestimmten Amplituden und Phasen dargestellt werden. In vielen für die Praxis wichtigen Fällen (siehe Abbildungen oben) ist es aber durchaus möglich, die im Spektrum erhaltenen Oberschwingungen mit realen Prozessen in Beziehung zu setzen, die zyklischer Natur sind und einen wesentlichen Beitrag zur Signalform leisten.

Einige Ergebnisse

1. Das real gemessene Signal, Dauer T Sek., digitalisiert durch den ADC, d. h. dargestellt durch einen Satz von diskreten Abtastwerten (N Stück), hat ein diskretes nichtperiodisches Spektrum, dargestellt durch einen Satz von Harmonischen (N/2 Stück). ).

2. Das Signal wird durch einen Satz realer Werte dargestellt und sein Spektrum wird durch einen Satz realer Werte dargestellt. Die harmonischen Frequenzen sind positiv. Die Tatsache, dass es für Mathematiker bequemer ist, das Spektrum in einer komplexen Form mit negativen Frequenzen darzustellen, bedeutet nicht, dass „es richtig ist“ und „es immer so gemacht werden sollte“.

3. Das im Zeitintervall T gemessene Signal wird nur im Zeitintervall T bestimmt. Was passiert ist, bevor wir mit der Messung des Signals begonnen haben, und was danach passieren wird, ist der Wissenschaft unbekannt. Und in unserem Fall - es ist nicht interessant. Die DFT eines zeitlich begrenzten Signals gibt sein "echtes" Spektrum an, in dem Sinne, dass Sie unter bestimmten Bedingungen die Amplitude und Frequenz seiner Komponenten berechnen können.

Gebrauchte Materialien und andere nützliche Materialien.

FourierScope ist ein Programm zur Konstruktion von Funksignalen und deren Spektralanalyse. Graph ist ein Open-Source-Programm zum Erstellen mathematischer Graphen. DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION – WIE ES GEHT Diskrete Fourier-Transformation (DFT)