Spieltheorie in der Ökonomie und anderen Bereichen menschlicher Aktivität. Grundbegriffe der Spieltheorie und Spielmodelle

Als Ergebnis des Studiums dieses Kapitels sollte der Student:

kennt

Konzepte von Spielen basierend auf dem Dominanzprinzip, Nash-Gleichgewicht, was ist Rückwärtsinduktion usw.; konzeptionelle Ansätze zur Lösung des Spiels, die Bedeutung des Konzepts der Rationalität und des Gleichgewichts im Rahmen der Interaktionsstrategie;

in der Lage sein

Unterscheiden Sie Spiele in strategischer und erweiterter Form, bauen Sie einen "Spielbaum" auf; Spielmodelle des Wettbewerbs für verschiedene Arten von Märkten formulieren;

besitzen

Methoden zur Bestimmung des Ergebnisses des Spiels.

Spiele: grundlegende Konzepte und Prinzipien

Der erste Versuch, eine mathematische Spieltheorie zu erstellen, wurde 1921 von E. Borel unternommen. Als eigenständiges Wissenschaftsgebiet wurde die Spieltheorie erstmals 1944 in der Monographie „Game Theory and Economic Behavior“ von J. von Neumann und O. Morgenstern systematisch dargestellt unvollkommener Wettbewerb, die Theorie der ökonomischen Anreize etc.) in engem Kontakt mit der Spieltheorie entwickelt. Auch in den Sozialwissenschaften wird die Spieltheorie erfolgreich angewendet (z. B. Analyse von Abstimmungsverfahren, Suche nach Gleichgewichtskonzepten, die kooperatives und nicht kooperatives Verhalten von Individuen bestimmen). In der Regel lehnen die Wähler Kandidaten ab, die extreme Standpunkte vertreten, aber bei der Auswahl eines von zwei Kandidaten mit unterschiedlichen Kompromisslösungen entsteht ein Kampf. Auch Rousseaus Idee der Evolution von der „natürlichen Freiheit“ zur „zivilen Freiheit“ entspricht formal dem Kooperationsgesichtspunkt aus spieltheoretischer Sicht.

Das Spiel- Dies ist ein idealisiertes mathematisches Modell des kollektiven Verhaltens mehrerer Personen (Spieler), deren Interessen unterschiedlich sind, was zu einem Konflikt führt. Der Konflikt impliziert nicht notwendigerweise das Vorhandensein antagonistischer Widersprüche der Parteien, sondern ist immer mit einer bestimmten Art von Meinungsverschiedenheiten verbunden. Eine Konfliktsituation ist antagonistisch, wenn eine Erhöhung der Auszahlung einer der Parteien um einen bestimmten Betrag zu einer Verringerung der Auszahlung der anderen Seite um denselben Betrag führt und umgekehrt. Interessengegensätze erzeugen einen Konflikt, und die Übereinstimmung von Interessen reduziert das Spiel auf die Koordination von Handlungen (Kooperation).

Beispiele für eine Konfliktsituation sind Situationen, die sich in der Beziehung zwischen Käufer und Verkäufer entwickeln; in den Wettbewerbsbedingungen verschiedener Firmen; im Verlauf von Feindseligkeiten usw. Auch gewöhnliche Spiele sind Beispiele für Spiele: Schach, Dame, Kartenspiele, Gesellschaftsspiele usw. (daher der Name "Spieltheorie" und seine Terminologie).

In den meisten Spielen, die sich aus der Analyse von Finanz-, Wirtschafts- und Managementsituationen ergeben, sind die Interessen der Spieler (Parteien) weder streng gegensätzlich noch absolut übereinstimmend. Käufer und Verkäufer stimmen darin überein, dass es in ihrem gemeinsamen Interesse liegt, sich auf einen Verkauf zu einigen, aber sie verhandeln energisch, um einen bestimmten Preis innerhalb der Grenzen des gegenseitigen Vorteils festzulegen.

Spieltheorie ist eine mathematische Theorie von Konfliktsituationen.

Das Spiel unterscheidet sich vom eigentlichen Konflikt dadurch, dass es nach bestimmten Regeln abläuft. Diese Regeln legen die Abfolge der Züge fest, die Menge an Informationen, die jede Seite über das Verhalten der anderen hat, und den Ausgang des Spiels je nach Situation. Die Regeln legen auch das Ende des Spiels fest, wenn eine bestimmte Zugfolge bereits ausgeführt wurde und keine weiteren Züge mehr erlaubt sind.

Die Spieltheorie hat, wie jedes mathematische Modell, ihre Grenzen. Eine davon ist die Annahme vollständiger (idealer) Zumutbarkeit der Gegner. In einem echten Konflikt ist es oft die beste Strategie, zu erraten, worin der Feind dumm ist, und diese Dummheit zu Ihrem Vorteil zu nutzen.

Ein weiterer Nachteil der Spieltheorie ist, dass jeder der Spieler alle möglichen Aktionen (Strategien) des Gegners kennen muss, es ist nur bekannt, welche davon er in einem bestimmten Spiel anwenden wird. In einem echten Konflikt ist dies normalerweise nicht der Fall: Die Liste aller möglichen Feindstrategien ist genau unbekannt, und die beste Lösung in einer Konfliktsituation wird oft darin bestehen, über die dem Feind bekannten Strategien hinauszugehen und ihn damit zu "verblüffen". etwas völlig Neues, Unvorhergesehenes.

Die Spieltheorie schließt die Risikoelemente nicht ein, die vernünftige Entscheidungen in realen Konflikten unvermeidlich begleiten. Es bestimmt das vorsichtigste Rückversicherungsverhalten der Konfliktbeteiligten.

Darüber hinaus werden in der Spieltheorie optimale Strategien in Bezug auf einen Indikator (Kriterium) gefunden. In der Praxis müssen oft nicht nur ein, sondern mehrere numerische Kriterien berücksichtigt werden. Eine Strategie, die in einer Hinsicht optimal ist, kann in einer anderen nicht optimal sein.

Im Bewusstsein dieser Einschränkungen und damit nicht blind an den Empfehlungen der Spieltheorien festhaltend, ist es dennoch möglich, für viele reale Konfliktsituationen eine durchaus akzeptable Strategie zu entwickeln.

Derzeit wird wissenschaftlich geforscht, um die Anwendungsgebiete der Spieltheorie zu erweitern.

Die folgenden Definitionen der Elemente, aus denen das Spiel besteht, sind in der Literatur zu finden.

Spieler- Dies sind die an der Interaktion beteiligten Subjekte, dargestellt in Form eines Spiels. In unserem Fall sind dies Haushalte, Firmen, Regierungen. Bei Ungewissheit äußerer Umstände ist es jedoch recht bequem, die zufälligen Komponenten des Spiels, die nicht vom Verhalten der Spieler abhängen, als Handlungen der "Natur" darzustellen.

Spielregeln. Die Spielregeln sind die Aktionen oder Züge, die den Spielern zur Verfügung stehen. In diesem Fall können die Aktionen sehr unterschiedlich sein: Entscheidungen von Käufern über das Volumen der gekauften Waren oder Dienstleistungen; Firmen - nach dem Produktionsvolumen; die Höhe der vom Staat erhobenen Steuern.

Bestimmung des Ergebnisses (Ergebnis) des Spiels. Für jede Kombination von Spieleraktionen wird das Ergebnis des Spiels fast automatisch festgelegt. Das Ergebnis kann sein: die Zusammensetzung des Verbraucherkorbs, der Vektor der Unternehmensergebnisse oder eine Reihe anderer quantitativer Indikatoren.

Gewinn. Die Bedeutung, die dem Konzept des Gewinnens beigemessen wird, kann für verschiedene Arten von Spielen unterschiedlich sein. Gleichzeitig muss klar unterschieden werden zwischen auf einer Ordinalskala gemessenen Zuwächsen (z. B. Nutzenniveau) und Werten, für die ein Intervallvergleich sinnvoll ist (z. B. Gewinn, Wohlfahrtsniveau).

Informationen und Erwartungen. Unsicherheit und sich ständig ändernde Informationen können sich äußerst schwerwiegend auf die möglichen Ergebnisse einer Interaktion auswirken. Deshalb ist es notwendig, die Rolle der Information bei der Entwicklung des Spiels zu berücksichtigen. Insofern das Konzept Informationssatz Spieler, d.h. die Gesamtheit aller Informationen über den Spielstand, die er zu Schlüsselzeitpunkten besitzt.

Bei der Betrachtung des Zugangs von Spielern zu Informationen ist die intuitive Vorstellung von Allgemeinwissen, bzw Werbung, Folgendes bedeutet: Eine Tatsache ist bekannt, wenn sie allen Spielern bekannt ist und alle Spieler wissen, dass andere Spieler auch davon wissen.

Für Fälle, in denen die Anwendung des Begriffs Allgemeinwissen nicht ausreicht, wird der Begriff des Individuums verwendet Erwartungen Teilnehmer - Vorstellungen darüber, wie die Spielsituation in diesem Stadium ist.

In der Spieltheorie wird davon ausgegangen, dass das Spiel besteht aus bewegt sich, von Spielern gleichzeitig oder nacheinander ausgeführt werden.

Bewegungen sind persönlich und zufällig. Der Zug wird aufgerufen persönlich, wenn der Spieler sie bewusst aus einer Menge möglicher Handlungsoptionen auswählt und umsetzt (z. B. jeder Schachzug). Der Zug wird aufgerufen zufällig, wenn seine Wahl nicht vom Spieler getroffen wird, sondern von einem zufälligen Auswahlmechanismus (zum Beispiel basierend auf den Ergebnissen eines Münzwurfs).

Die Reihe von Zügen, die die Spieler vom Anfang bis zum Ende des Spiels ausführen, wird aufgerufen Party.

Eines der Grundkonzepte der Spieltheorie ist das Konzept der Strategie. Strategie Spieler wird ein Regelwerk genannt, das die Wahl einer Handlungsvariante für jeden persönlichen Zug bestimmt, abhängig von der Situation, die sich während des Spiels entwickelt hat. Bei einfachen (Ein-Zug-)Spielen, bei denen ein Spieler in jedem Spiel nur einen Zug machen kann, stimmen die Konzepte der Strategie und der möglichen Vorgehensweise überein. In diesem Fall umfasst die Gesamtheit der Strategien des Spielers alle seine möglichen Aktionen und alle möglichen für den Spieler ich Aktion ist seine Strategie. In komplexen (Mehrzug-)Spielen können die Begriffe „Aktionsvariante“ und „Strategie“ voneinander abweichen.

Die Strategie des Spielers wird aufgerufen optimal, wenn es einem bestimmten Spieler den maximal möglichen durchschnittlichen Gewinn oder den minimal möglichen durchschnittlichen Verlust verschafft, unabhängig davon, welche Strategien der Gegner verwendet, wenn das Spiel viele Male wiederholt wird. Es können auch andere Optimalitätskriterien verwendet werden.

Es ist möglich, dass die Strategie, die die maximale Auszahlung bietet, keine andere wichtige Darstellung der Optimalität hat, wie z. B. die Stabilität (Gleichgewicht) der Lösung. Die Lösung des Spiels ist nachhaltig(Gleichgewicht), wenn die dieser Entscheidung entsprechenden Strategien eine Situation bilden, an deren Veränderung keiner der Spieler interessiert ist.

Wir wiederholen, dass die Aufgabe der Spieltheorie darin besteht, optimale Strategien zu finden.

Die Klassifizierung der Spiele ist in Abb. 1 dargestellt. 8.1.

• 1. Abhängig von der Art der Züge werden Spiele in strategische und Glücksspiele unterteilt. Glücksspiel Spiele bestehen nur aus zufälligen Zügen, mit denen sich die Spieltheorie nicht befasst. Wenn es neben zufälligen Zügen auch persönliche Züge gibt oder alle Züge persönlich sind, werden solche Spiele aufgerufen strategisch.
• 2. Abhängig von der Anzahl der Spieler werden die Spiele in Doppel- und Mehrfachspiele unterteilt. BEI Doppel Spiel Die Teilnehmerzahl beträgt zwei mehrere- Mehr als zwei.
• 3. Die Teilnehmer des Mehrfachspiels können dauerhafte oder vorübergehende Koalitionen bilden. Entsprechend der Art der Beziehung zwischen den Spielern werden die Spiele in nicht-kooperativ, koalitions- und kooperativ unterteilt.

Nicht-Koalition sogenannte Spiele, bei denen die Spieler nicht das Recht haben, Vereinbarungen einzugehen, Koalitionen zu bilden, und das Ziel jedes Spielers darin besteht, den größtmöglichen individuellen Gewinn zu erzielen.

Spiele, bei denen die Aktionen der Spieler darauf abzielen, die Auszahlungen von Kollektiven (Koalitionen) zu maximieren, ohne dass deren nachträgliche Aufteilung zwischen den Spielern erfolgt, werden genannt Koalition.

Reis. 8.1.

Exodus Kooperative Spiel ist die Teilung der Auszahlung der Koalition, die nicht als Ergebnis bestimmter Aktionen der Spieler, sondern als Ergebnis ihrer vorher festgelegten Vereinbarungen entsteht.

Demnach werden bei kooperativen Spielen nicht wie bei nicht-kooperativen Spielen Situationen bevorzugt verglichen, sondern Divisionen; und der Vergleich beschränkt sich nicht auf die Betrachtung einzelner Gewinne, sondern ist komplexer.

• 4. Je nach Anzahl der Strategien für jeden Spieler werden die Spiele unterteilt Finale(die Anzahl der Strategien für jeden Spieler ist endlich) und endlos(der Satz von Strategien für jeden Spieler ist unendlich).
• 5. Entsprechend der Menge an Informationen, die den Spielern über vergangene Züge zur Verfügung stehen, werden Partien in Partien mit unterteilt alle Informationen(alle Informationen über frühere Züge sind verfügbar) und unvollständige Information. Beispiele für Spiele mit vollständigen Informationen sind Schach, Dame und dergleichen.
• 6. Spiele werden nach Art der Beschreibung in Positionsspiele (bzw. Spiele in erweiterter Form) und Spiele in Normalform eingeteilt. Positionsspiele werden in Form eines Spielbaums angegeben. Aber jedes Positionsspiel kann reduziert werden Normalform, bei dem jeder Spieler nur einen unabhängigen Zug macht. In Positionsspielen werden Züge zu diskreten Zeiten ausgeführt. Existieren differenzielle Spiele, in dem Bewegungen kontinuierlich gemacht werden. Diese Spiele untersuchen die Probleme der Verfolgung eines kontrollierten Objekts durch ein anderes kontrolliertes Objekt unter Berücksichtigung der Dynamik ihres Verhaltens, das durch Differentialgleichungen beschrieben wird.

Es gibt auch Reflexionsspiele, die Situationen im Hinblick auf die mentale Reproduktion des möglichen Vorgehens und Verhaltens des Gegners betrachten.

7. Wenn irgendein mögliches Spiel irgendeines Spiels null Summe aller Auszahlungen hat N Spieler(), dann sprechen Sie darüber Nullsummenspiel. Ansonsten werden die Spiele aufgerufen Nicht-Nullsummenspiele.

Eindeutig ist das Nullsummenpaarspiel antagonistisch da der Gewinn eines Spielers gleich dem Verlust des zweiten ist und folglich die Ziele dieser Spieler direkt entgegengesetzt sind.

Ein endliches paarweises Nullsummenspiel wird aufgerufen Matrix-Spiel. Ein solches Spiel wird durch eine Auszahlungsmatrix beschrieben, in der die Auszahlungen des ersten Spielers angegeben sind. Die Zeilennummer der Matrix entspricht der Nummer der angewendeten Strategie des ersten Spielers, die Spalte entspricht der Nummer der angewendeten Strategie des zweiten Spielers; am Schnittpunkt von Reihe und Spalte steht der entsprechende Gewinn des ersten Spielers (Verlust des zweiten Spielers).

Ein Finite-Pair-Spiel mit einer Summe ungleich Null wird aufgerufen Bimatrix-Spiel. Ein solches Spiel wird durch zwei Auszahlungsmatrizen beschrieben, jede für den entsprechenden Spieler.

Nehmen wir das folgende Beispiel. Spiel "Rekord". Lassen Sie Spieler 1 einen Schüler sein, der sich auf den Test vorbereitet, und Spieler 2 den Lehrer, der den Test macht. Nehmen wir an, dass ein Student zwei Strategien hat: A1 - sich gut auf den Test vorbereiten; EIN 2 - nicht vorbereiten. Der Lehrer hat auch zwei Strategien: B1 - einen Test machen; B 2 - nicht losfahren. Die Schätzung der Auszahlungswerte der Spieler kann beispielsweise auf folgenden Überlegungen basieren, die sich in den Auszahlungsmatrizen widerspiegeln:

Dieses Spiel ist gemäß der obigen Klassifizierung strategisch, gepaart, nicht kooperativ, endlich, in normaler Form beschrieben, mit einer Summe ungleich Null. Kurz gesagt kann dieses Spiel Bimatrix genannt werden.

Die Aufgabe besteht darin, die optimalen Strategien für den Schüler und für den Lehrer zu bestimmen.

Ein weiteres Beispiel für das bekannte Bimatrix-Spiel Prisoner's Dilemma.

Jeder der beiden Spieler hat zwei Strategien: EIN 2 und B 2 – aggressive Verhaltensstrategien, a EIN Ich und B i - friedliches Verhalten. Angenommen, "Frieden" (beide Spieler sind friedlich) ist für beide Spieler besser als "Krieg". Der Fall, wenn ein Spieler aggressiv und der andere friedlich ist, ist für den Aggressor profitabler. Lassen Sie die Auszahlungsmatrizen der Spieler 1 und 2 in diesem Bimatrix-Spiel die Form haben

Bei beiden Spielern dominieren die aggressiven Strategien A2 und B2 die friedlichen Strategien Ax und B v Somit hat das einzige Gleichgewicht in dominierenden Strategien die Form (A2, B 2), d. h. Es wird postuliert, dass das Ergebnis von nicht kooperativem Verhalten Krieg ist. Gleichzeitig gibt das Ergebnis (A1, B1) (Welt) eine größere Auszahlung für beide Spieler. So gerät nicht kooperatives egoistisches Verhalten in Konflikt mit kollektiven Interessen. Kollektive Interessen diktieren die Wahl friedlicher Strategien. Wenn die Spieler gleichzeitig keine Informationen austauschen, ist Krieg das wahrscheinlichste Ergebnis.

In diesem Fall ist die Situation (A1, B1) Pareto-optimal. Diese Situation ist jedoch instabil, was zu einer möglichen Verletzung der festgelegten Vereinbarung durch die Spieler führt. In der Tat, wenn der erste Spieler gegen die Vereinbarung verstößt und der zweite nicht, dann steigt die Auszahlung des ersten Spielers auf drei und die des zweiten fällt auf null und umgekehrt. Darüber hinaus verliert jeder Spieler, der nicht gegen die Vereinbarung verstößt, mehr, wenn der zweite Spieler gegen die Vereinbarung verstößt, als wenn beide gegen die Vereinbarung verstoßen.

Es gibt zwei Hauptformen des Spiels. Spiel ein umfangreiche Form dargestellt als Entscheidungsfindungs-"Baum"-Diagramm, wobei die "Wurzel" dem Startpunkt des Spiels entspricht und der Anfang jedes neuen "Zweigs" genannt wird Knoten,- der zu diesem Zeitpunkt erreichte Zustand mit den von den Spielern bereits durchgeführten Aktionen. Jedem Endknoten – jedem Endpunkt des Spiels – wird ein Auszahlungsvektor zugeordnet, eine Komponente für jeden Spieler.

strategisch, anders genannt normal, Form Die Spieldarstellung entspricht einer mehrdimensionalen Matrix, wobei jede Dimension (Zeilen und Spalten im zweidimensionalen Fall) einen Satz möglicher Aktionen für einen Agenten enthält.

Eine separate Zelle der Matrix enthält einen Auszahlungsvektor, der einer gegebenen Kombination von Spielerstrategien entspricht.

Auf Abb. 8.2 präsentiert eine umfangreiche Form des Spiels und in Tabelle. 8.1 - strategische Form.

Reis. 8.2.

Tabelle 8.1. Spiel mit gleichzeitiger Entscheidungsfindung in strategischer Form

Es gibt eine ziemlich detaillierte Klassifizierung der Komponenten der Spieltheorie. Eines der allgemeinsten Kriterien für eine solche Einteilung ist die Aufteilung der Spieltheorie in die Theorie der nicht-kooperativen Spiele, in der die Subjekte der Entscheidungsfindung die Individuen selbst sind, und die Theorie der kooperativen Spiele, in der die Subjekte der Entscheidungsträger sind Gruppen oder Koalitionen von Einzelpersonen.

Nicht-kooperative Spiele werden normalerweise in normaler (strategischer) und erweiterter (umfangreicher) Form präsentiert.

• Worobjow N. N. Spieltheorie für Öko-Yomisten-Cyberisten. Moskau: Nauka, 1985.
• Wentzel E.S. Unternehmensforschung. Moskau: Nauka, 1980.

In jeder Situation verfolgen wir eine bestimmte Strategie. Dies geschieht meist unbewusst, daher die häufigen Fehler. Sie können sie vermeiden, wenn Sie lernen, die Handlungen einer anderen Person zu erraten.

Nehmen Sie zum Beispiel Dating. Wir alle wählen eine Hauptstrategie: Wir versuchen, die negativen Charakterzüge zu verbergen und die positiven zu zeigen.

Bis ich dir sage, dass ich mich jeden Abend gerne mit einem Bier auf die Couch lege. Ich sage es dir, wenn sie mich besser kennenlernt und merkt, dass es mir ansonsten gut geht.

Pavel, Sofaexperte

Eine solche Strategie ist vielmehr keine Lüge, sondern Schweigen.

Beispiel

Stellen Sie sich die Situation vor: Ein Mann und eine Frau treffen sich für mehrere Monate und einmal. Der Mann hat eine kleine Wohnung, daher ist es logisch, dass wir über den Einzug in die Wohnung der Frau sprechen.

Ich muss sagen, dass der Mann als Ökonom arbeitet. Er analysierte die Situation und erkannte, dass es noch nicht rentabel war, die Anmietung einer Wohnung zu verweigern. Jetzt zahlt er wenig Geld und im Falle einer Unterbrechung der Beziehungen wird er nicht die gleiche gute Option finden. Nachdem die Frau davon erfahren hat, verlässt sie den Herrn sofort.

Was war los mit diesem Paar? Der Mann, der die Situation aus wirtschaftlicher Sicht richtig berechnet hatte, berücksichtigte den psychologischen Faktor nicht. Die Frau empfand die Geste mit der Wohnung als Leichtfertigkeit der Absichten. Aber sie hätte nicht gedacht, dass ihr Freund - ein Wirtschaftswissenschaftler - Entscheidungen in erster Linie aus der Position "profitabel - unrentabel" trifft. Somit wurde dieses Spiel von beiden Teilnehmern verloren.

Was zu tun ist

Berechnen Sie nicht nur Ihre Aktionen, sondern auch die Reaktion anderer Personen. Fragen Sie sich oft: Wie kann ich meine Handlung interpretieren? Tipp speziell für Männer: Erklären Sie Ihre Handlungen und denken Sie daran, dass jede Zurückhaltung eine Entschuldigung für Ihre bessere Hälfte ist, sich etwas auszudenken. Strategisches Denken ist nicht nur Mathematik, sondern auch Psychologie!

2. Spiel um 90 Punkte

Rätsel, Quests und Logik sind nach dem Erlernen der Spieltheorie kein Problem mehr. Sie lernen, wie Sie nach allen vorhandenen Antworten suchen und die am besten geeignete auswählen.

Beispiel

Zwei Studenten baten den Professor, die Prüfung zu verschieben. Sie erzählten eine herzzerreißende Geschichte über einen Wochenendausflug in eine andere Stadt, nur um auf dem Rückweg einen platten Reifen zu bekommen. Die ganze Nacht musste Hilfe gesucht werden, sodass sie nicht genug Schlaf bekamen und sich schlecht fühlten. (Tatsächlich feierten Freunde das Ende der Sitzung, und diese Prüfung war die letzte und nicht die schwierigste.)

Der Professor stimmte zu. Am nächsten Tag setzte er die Schüler in verschiedene Klassenzimmer und verteilte ein Blatt Papier, auf dem nur zwei Fragen standen. Der erste kostete nur 10 Punkte und der zweite - 90 und klang so: "Welcher Reifen war platt?"

Wenn Sie sich auf die Logik verlassen, lautet die Antwort „Rechtes Vorderrad“: Rechts, näher am Bordstein, liegt meistens Müll herum, der zuerst vom Vorderreifen überrollt wird. Aber beeilen Sie sich nicht.

In dieser Situation ist es wichtig, nicht so sehr die richtige (logische) Antwort zu geben, sondern die Antwort, die auf den Zettel eines Freundes geschrieben wird.

Daher ist es offensichtlich, dass beide Schüler aufgrund der Annahme raten werden, wie der andere denkt.

Sie können so argumentieren: Haben Studenten etwas „gemeinsam“ mit einem der Räder? Vielleicht mussten sie vor einem Jahr gemeinsam eine Art Rad wechseln. Oder ein Reifen ist mit Farbe bedeckt und beide Schüler wissen es. Wenn ein solcher Moment gefunden wird, sollte diese Option gewählt werden. Auch wenn sich ein anderer Schüler nicht mit Spieltheorie auskennt, kann er sich an diesen Fall erinnern und auf das richtige Rad zeigen.

Was zu tun ist

Verlassen Sie sich beim Denken nicht nur auf die Logik, sondern auch auf die Lebensumstände. Denken Sie daran: Nicht alles, was für Sie logisch ist, ist auch für andere logisch. Laden Sie Freunde und Familie öfter zu Denkspielen ein. Auf diese Weise können Sie verstehen, wie Menschen in Ihrer Nähe denken, und in Zukunft schwierige Situationen vermeiden, wie im obigen Beispiel.

3. Spielen Sie mit sich selbst

Die Kenntnis strategischer Spiele hilft, die eigenen Entscheidungen tiefer zu analysieren.

Beispiel

Eine gewisse Olga entscheidet, ob sie es mit dem Rauchen versucht oder nicht.

Spielbaum

Die Abbildung zeigt den sogenannten Spielbaum: Es ist nützlich, ihn jedes Mal zu zeichnen, wenn Sie eine Entscheidung treffen müssen. Die Zweige dieses Baums sind Optionen für die Entwicklung von Ereignissen. Die Zahlen (0, 1 und -1) - gewinnen, dh ob der Spieler der Gewinner ist, wenn er die eine oder andere Option wählt.

Wo also anfangen. Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Lösung die beste und welche die schlechteste ist. Nehmen wir an, dass es Olgas bevorzugte Vorgehensweise ist, das Rauchen zu versuchen, es aber nicht weiter zu tun. Weisen wir dieser Variante die Auszahlung 1 (die erste Ziffer des unteren linken Astes) zu. Im schlimmsten Fall wird das Mädchen rauchsüchtig: Wir weisen dieser Option eine Auszahlung von -1 zu (die erste Ziffer des unteren rechten Zweigs). Somit erhält der Ast des Baums mit der Option, überhaupt nicht zu rauchen, 0.

Angenommen, Olga hat beschlossen, das Rauchen zu versuchen. Was weiter? Wird sie aufhören oder nicht? Dies wird von Future Olga entschieden, in der Figur betritt sie das Spiel auf dem „Try“-Zweig. Wenn sie bereits eine Sucht entwickelt hat, wird sie das Rauchen nicht aufgeben wollen, also setzen wir die Option „Weiter“ auf Gewinn 1 (die zweite Ziffer des unteren rechten Zweigs).

Was bekommen wir? Die aktuelle Olga wird davon profitieren, wenn sie versucht zu rauchen, aber nicht süchtig wird. Und das wiederum hängt von der Zukunft Olga ab, für die es rentabler ist zu rauchen (sie raucht schon lange, was bedeutet, dass sie eine Sucht hat, also wird sie nicht aufhören wollen). Ist es das Risiko also wert? Vielleicht Unentschieden: Gewinnen Sie 0 und versuchen Sie gar nicht zu rauchen?

Was zu tun ist

Sie können die Strategie nicht nur im Spiel mit jemandem berechnen, sondern auch im Spiel mit sich selbst. Versuchen Sie, einen Spielbaum zu zeichnen, und Sie werden sehen, ob Ihre aktuelle Lösung zu einem Gewinn führt.

4. Auktionsspiel

Es gibt verschiedene Arten von Auktionen. Zum Beispiel gab es im Film "The Twelve Chairs" eine sogenannte englische Auktion. Sein Schema ist einfach: Derjenige, der den höchsten Betrag für das ausgesetzte Los bietet, gewinnt. Normalerweise wird ein Mindestschritt festgelegt, um den Preis zu erhöhen, ansonsten gibt es keine Einschränkungen.

Beispiel

In der Auktionsfolge von The Twelve Chairs machte Ostap Bender einen strategischen Fehler. Nach einem Angebot von 145 Rubel pro Los erhöhte er den Preis sofort auf zweihundert.

Aus spieltheoretischer Sicht hätte Ostap den Einsatz erhöhen müssen, aber minimal, bis keine Konkurrenten mehr übrig waren. So konnte er Geld sparen und kam nicht in Schwierigkeiten: Ostap hatte nicht genug 30 Rubel, um die Provisionsgebühr zu zahlen.

Was zu tun ist

Es gibt Spiele wie die Versteigerung, die nur mit dem Kopf gespielt werden müssen. Entscheiden Sie sich im Voraus für eine Taktik und überlegen Sie, wie viel Sie maximal für das Los zu zahlen bereit sind. Geben Sie sich ein Wort, um das Limit nicht zu überschreiten. Dieser Schritt hilft, mit der Aufregung fertig zu werden, wenn sie dich plötzlich überkommt.

5. Spielen auf einem unpersönlichen Markt

Der unpersönliche Markt sind Banken, Versicherungsgesellschaften, Auftragnehmer, Konsulate. Im Allgemeinen diejenigen Teilnehmer am Spiel, die keine Vor- und Nachnamen haben. Sie sind unpersönlich, aber es ist ein Fehler zu glauben, dass die Regeln der Spieltheorie für sie nicht gelten.

Beispiel

Maxim wendet sich in der Hoffnung auf einen Kredit an die Bank. Seine Bonität ist nicht perfekt: Vor zwei Jahren weigerte er sich, einen weiteren Kredit für sechs Monate zurückzuzahlen. Der Mitarbeiter, der die Dokumente entgegennimmt, sagt, dass Maxim höchstwahrscheinlich keinen Kredit erhalten wird.

Dann bittet Maxim um Erlaubnis, die Dokumente bringen zu dürfen. Er bringt einen Auszug aus dem Krankenhaus mit, der bestätigt, dass sein Vater in diesen sechs Monaten schwer krank war. Maxim schreibt eine Erklärung, in der er die Gründe für die Verzögerung bei der Zahlung des vorherigen Darlehens angibt (das Geld wurde für die Behandlung seines Vaters benötigt). Und nach einer Weile bekommt er einen neuen Kredit.

Was zu tun ist

Denken Sie bei Geschäften mit anonymen Spielern immer daran, dass dahinter Persönlichkeiten stehen. Finde heraus, wie du deine Gegner ins Spiel ziehst und lege deine eigenen Regeln fest.

Spieltheorie ist eine junge Wissenschaft, wird aber bereits an den besten Universitäten der Welt studiert. Der MIF-Verlag hat das Lehrbuch „Strategic Games“ herausgegeben. Es ist praktisch, wenn Sie lernen möchten, wie Sie jede Ihrer Handlungen analysieren, fundierte Entscheidungen treffen und nicht nur andere, sondern auch sich selbst besser verstehen können.

Städtische Bildungseinrichtung
Sekundarschule №___

Stadtbezirk - die Stadt Volzhsky, Gebiet Wolgograd

Stadtkonferenz der kreativen und Forschungsarbeiten von Studenten

"Mit Mathematik fürs Leben"

Wissenschaftliche Richtung - Mathematik

"Spieltheorie und ihre praktische Anwendung"

Schüler der 9b-Klasse

MOU Sekundarschule №2

Wissenschaftlicher Leiter:

Lehrerin für Mathematik Grigoryeva N.D.

Einführung

Die Relevanz des gewählten Themas ergibt sich aus der Breite seiner Anwendungsgebiete. Die Spieltheorie spielt eine zentrale Rolle in der Theorie der Industrieorganisation, der Vertragstheorie, der Theorie der Unternehmensfinanzierung und vielen anderen Bereichen. Der Geltungsbereich der Spieltheorie umfasst nicht nur ökonomische Disziplinen, sondern auch Biologie, Politikwissenschaft, Militär etc.

Ziel Dieses Projekt soll eine Studie über bestehende Spielarten sowie die Möglichkeit ihrer praktischen Anwendung in verschiedenen Branchen entwickeln.

Der Zweck des Projekts gab seine Aufgaben vor:

Machen Sie sich mit der Entstehungsgeschichte der Spieltheorie vertraut;

Definieren Sie das Konzept und die Essenz der Spieltheorie;

Beschreiben Sie die Hauptarten von Spielen;

Betrachten Sie mögliche Anwendungsbereiche dieser Theorie in der Praxis.

Gegenstand des Projekts war die Spieltheorie.

Gegenstand des Studiums ist das Wesen und die Anwendung der Spieltheorie in der Praxis.

Die theoretische Grundlage für das Schreiben der Arbeit war die Wirtschaftsliteratur von Autoren wie J. von Neumann, Owen G., Vasin A.A., Morozov V.V., Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N.

1. Einführung in die Spieltheorie

1.1 Geschichte

Das Spiel als besondere Form der Aktivitätsanzeige ist ungewöhnlich lange her. Archäologische Ausgrabungen bringen Gegenstände zum Vorschein, die dem Spiel dienten. Die Felsmalereien zeigen uns die ersten Anzeichen für taktische Spiele zwischen den Stämmen. Im Laufe der Zeit hat sich das Spiel verbessert und die übliche Form des Konflikts mehrerer Parteien erreicht. Die familiären Bindungen zwischen Spiel und praktischer Tätigkeit wurden weniger spürbar, das Spiel wurde zu einer besonderen Aktivität der Gesellschaft.

Wenn die Geschichte des Schach- oder Kartenspiels mehrere Jahrtausende zurückreicht, dann erschienen die ersten Umrisse der Theorie erst vor drei Jahrhunderten in den Werken von Bernoulli. Die Arbeiten von Poincaré und Borel gaben uns zunächst teilweise Aufschluss über das Wesen der Spieltheorie, und erst die grundlegenden Arbeiten von J. von Neumann und O. Morgenstern präsentierten uns die ganze Integrität und Vielseitigkeit dieses Wissenschaftszweigs.

Als Geburtsstunde der Spieltheorie gilt allgemein die Monographie von J. Neumann und O. Morgenstern „Game Theory and Economic Behavior“. Nach seiner Veröffentlichung im Jahr 1944 sagten viele Gelehrte eine Revolution in der Wirtschaftswissenschaft durch die Verwendung eines neuen Ansatzes voraus. Diese Theorie beschrieb rationales Entscheidungsverhalten in zusammenhängenden Situationen und half, viele drängende Probleme in verschiedenen Wissenschaftsbereichen zu lösen. Die Monographie betont, dass strategisches Verhalten, Wettbewerb, Kooperation, Risiko und Unsicherheit die Hauptelemente der Spieltheorie sind und in direktem Zusammenhang mit Managementproblemen stehen.

Frühe Arbeiten zur Spieltheorie zeichneten sich durch die Einfachheit ihrer Annahmen aus, was sie für die praktische Anwendung weniger geeignet machte. In den letzten 10-15 Jahren hat sich die Situation dramatisch verändert. Fortschritte in der Industrie haben die Fruchtbarkeit von Spielmethoden in angewandten Aktivitäten gezeigt.

In letzter Zeit sind diese Methoden in die Praxis des Managements eingedrungen. Es sei darauf hingewiesen, dass M. Porter bereits Ende des 20. Jahrhunderts einige Konzepte der Theorie einführte, wie „strategischer Zug“ und „Spieler“, die später zu einem der wichtigsten wurden.

Gegenwärtig hat die Bedeutung der Spieltheorie in vielen Bereichen der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften stark zugenommen. In den Wirtschaftswissenschaften ist es nicht nur anwendbar, um verschiedene Probleme von allgemeiner wirtschaftlicher Bedeutung zu lösen, sondern auch um die strategischen Probleme von Unternehmen zu analysieren, Führungsstrukturen und Anreizsysteme zu entwickeln.

1958-1959. von 1965-1966 Es entstand die sowjetische Schule der Spieltheorie, die durch die Anhäufung von Bemühungen auf dem Gebiet antagonistischer Spiele und streng militärischer Anwendungen gekennzeichnet war. Dies war zunächst der Grund für das Zurückbleiben gegenüber der amerikanischen Schule, da zu dieser Zeit bereits die wichtigsten Entdeckungen in antagonistischen Spielen gemacht worden waren. In der UdSSR Mathematiker bis Mitte der 1970er Jahre. wurden nicht in den Bereich Management und Wirtschaft zugelassen. Und selbst als das sowjetische Wirtschaftssystem zusammenzubrechen begann, rückte die Ökonomie nicht in den Mittelpunkt der spieltheoretischen Forschung. Das spezialisierte Institut, das sich mit Spieltheorie beschäftigt hat und beschäftigt, ist das Institut für Systemanalyse der Russischen Akademie der Wissenschaften.

1.2 Definition der Spieltheorie

Die Spieltheorie ist eine mathematische Methode zur Untersuchung optimaler Strategien in Spielen. Das Spiel wird als Prozess verstanden, an dem zwei oder mehr Parteien teilnehmen und für die Durchsetzung ihrer Interessen kämpfen. Jede Seite hat ihr eigenes Ziel und verwendet eine Strategie, die zu einem Sieg oder einer Niederlage führen kann - abhängig von ihrem Verhalten und dem Verhalten anderer Spieler. Die Spieltheorie hilft bei der Auswahl der profitabelsten Strategien unter Berücksichtigung der Überlegungen anderer Teilnehmer, ihrer Ressourcen und ihrer beabsichtigten Aktionen.

Diese Theorie ist ein Zweig der Mathematik, der Konfliktsituationen untersucht.

Wie kann man den Kuchen teilen, damit alle Familienmitglieder ihn als fair anerkennen? Wie löst man einen Gehaltsstreit zwischen einem Sportverein und einer Spielergewerkschaft? Wie verhindert man Preiskämpfe bei Auktionen? Dies sind nur drei Beispiele für Probleme, mit denen sich einer der Hauptzweige der Wirtschaftswissenschaften beschäftigt – die Spieltheorie.

Dieser Wissenschaftszweig analysiert Konflikte mit mathematischen Methoden. Die Theorie erhielt ihren Namen, weil das einfachste Beispiel eines Konflikts ein Spiel ist (wie Schach oder Tic-Tac-Toe). Sowohl in einem Spiel als auch in einem Konflikt hat jeder Spieler seine eigenen Ziele und versucht diese durch unterschiedliche strategische Entscheidungen zu erreichen.

1.3 Arten von Konfliktsituationen

Eines der charakteristischen Merkmale jedes sozialen, sozioökonomischen Phänomens ist die Anzahl und Vielfalt der Interessen sowie das Vorhandensein von Parteien, die diese Interessen zum Ausdruck bringen können. Klassische Beispiele sind hier Situationen, in denen es einerseits einen Käufer, andererseits einen Verkäufer gibt, wenn mehrere Produzenten mit ausreichender Macht auf den Markt treten, um den Preis der Ware zu beeinflussen. Komplexere Situationen ergeben sich, wenn Verbände oder Personengruppen in einen Interessenkonflikt verwickelt sind, z. B. bei der Festlegung von Lohnsätzen durch Gewerkschaften oder Arbeitnehmer- und Arbeitgeberverbände, bei der Analyse von Abstimmungsergebnissen im Parlament usw.

Der Konflikt kann auch aus unterschiedlichen Zielen resultieren, die die Interessen verschiedener Parteien widerspiegeln, aber auch die multilateralen Interessen derselben Person. Beispielsweise verfolgt der politische Entscheidungsträger in der Regel unterschiedliche Ziele, indem er die widersprüchlichen Anforderungen an die Situation (Ertragssteigerung, Einkommenssteigerung, Verringerung der Umweltbelastung usw.) in Einklang bringt. Der Konflikt kann sich nicht nur als Ergebnis des bewussten Handelns verschiedener Teilnehmer manifestieren, sondern auch als Ergebnis des Wirkens bestimmter "Elementarkräfte" (der Fall der sogenannten "Spiele mit der Natur").

Spiel ist ein mathematisches Modell der Konfliktbeschreibung.

Spiele sind streng definierte mathematische Objekte. Das Spiel wird von den Spielern, einem Satz von Strategien für jeden Spieler und einer Anzeige der Auszahlungen oder Auszahlungen der Spieler für jede Kombination von Strategien gebildet.

Und schließlich sind gewöhnliche Spiele Beispiele für Spiele: Gesellschafts-, Sport-, Kartenspiele usw. Die mathematische Spieltheorie begann genau mit der Analyse solcher Spiele; sie dienen bis heute als hervorragendes Material, um die Aussagen und Schlussfolgerungen dieser Theorie darzustellen. Diese Spiele sind auch heute noch relevant.

Daher muss jedes mathematische Modell eines sozioökonomischen Phänomens seine inhärenten Merkmale eines Konflikts aufweisen, d.h. beschreiben:

a) viele Stakeholder. Für den Fall, dass die Anzahl der Spieler (natürlich) begrenzt ist, werden sie durch ihre Nummer oder durch die ihnen zugewiesenen Namen unterschieden;

b) mögliche Aktionen jeder der Parteien, auch Strategien oder Züge genannt;

c) die Interessen der Parteien, die durch die Auszahlungsfunktionen (Zahlungsfunktionen) für jeden der Spieler vertreten werden.

In der Spieltheorie wird davon ausgegangen, dass die Auszahlungsfunktionen und der Satz von Strategien, die jedem der Spieler zur Verfügung stehen, gut bekannt sind, d.h. Jeder Spieler kennt seine Auszahlungsfunktion und den ihm zur Verfügung stehenden Satz von Strategien sowie die Auszahlungsfunktionen und Strategien aller anderen Spieler und formt gemäß dieser Information sein Verhalten.

2 Arten von Spielen

2.1 Gefangenendilemma

Eines der berühmtesten und klassischsten Beispiele der Spieltheorie, das zu ihrer Popularisierung beigetragen hat, ist das Gefangenendilemma. In der Spieltheorie Gefangenendilemma(seltener verwendet der Name " Banditen-Dilemma“) ist ein nicht kooperatives Spiel, bei dem die Spieler versuchen zu gewinnen, während sie entweder kooperieren oder sich gegenseitig verraten. Wie in allen Spieltheorie wird angenommen, dass der Spieler maximiert, also seine eigene Auszahlung erhöht, ohne sich um den Nutzen anderer zu kümmern.

Betrachten wir eine solche Situation. Gegen zwei Verdächtige wird ermittelt. Die Untersuchung hatte nicht genügend Beweise, also wurde jedem von ihnen ein Geschäft angeboten, indem die Verdächtigen geteilt wurden. Wenn einer von ihnen schweigt und der andere gegen ihn aussagt, erhält der erste 10 Jahre und der zweite wird freigelassen, um die Ermittlungen zu erleichtern. Wenn beide schweigen, erhalten sie jeweils 6 Monate. Schließlich, wenn beide sich gegenseitig verpfänden, bekommen sie jeweils 2 Jahre. Frage: Welche Wahl werden sie treffen?

Tabelle 1 – Auszahlungsmatrix im Spiel „Gefangenendilemma“

Angenommen, diese beiden sind rationale Menschen, die ihre Verluste minimieren wollen. Dann kann der Erste so argumentieren: Wenn mich der Zweite hinlegt, dann lege ich ihn besser auch hin: so bekommen wir jeder 2 Jahre, sonst bekomme ich 10 Jahre. Aber wenn der zweite mich nicht hinlegt, dann lege ich ihn sowieso besser hin – dann lassen sie mich gleich gehen. Daher ist es für mich rentabler, es zu verpfänden, egal was der andere tun wird. Der zweite versteht auch, dass es auf jeden Fall besser für ihn ist, den ersten zu verpfänden. Dadurch erhalten beide zwei Jahre. Wenn sie jedoch nicht gegeneinander aussagten, hätten sie nur 6 Monate erhalten.

Im Gefangenendilemma, Verrat streng beherrschtüber Kooperation, so dass der einzig mögliche Ausgleich der Verrat an beiden Beteiligten ist. Einfach ausgedrückt, egal was der andere Spieler tut, jeder profitiert mehr, wenn er verrät. Da es in jeder Situation besser ist zu verraten als zu kooperieren, werden sich alle vernünftigen Spieler für den Verrat entscheiden.

Einzeln rational verhaltend, treffen die Beteiligten gemeinsam eine irrationale Entscheidung. Darin liegt das Dilemma.

Konflikte wie dieses Dilemma sind im Leben üblich, zum Beispiel in der Wirtschaft (Festlegung des Budgets für Werbung), Politik (Wettrüsten), Sport (Einsatz von Steroiden). Daher sind das Gefangenendilemma und die traurige Vorhersage der Spieltheorie weithin bekannt geworden, und die Arbeit auf dem Gebiet der Spieltheorie ist die einzige Möglichkeit für einen Mathematiker, einen Nobelpreis zu erhalten.

2.2 Klassifizierung von Spielen

Die Klassifizierung verschiedener Spiele erfolgt nach einem bestimmten Prinzip: nach der Anzahl der Spieler, nach der Anzahl der Strategien, nach den Eigenschaften der Auszahlungsfunktionen, nach der Möglichkeit der Vorverhandlungen und der Interaktion zwischen den Spielern während des Spiels.

Es gibt Spiele mit zwei, drei oder mehr Teilnehmern – je nach Spieleranzahl. Prinzipiell sind auch Spiele mit unendlich vielen Spielern möglich.

Nach einem anderen Klassifizierungsprinzip werden Spiele durch die Anzahl der Strategien unterschieden - endlich und unendlich. In endlichen Spielen haben die Teilnehmer eine endliche Anzahl möglicher Strategien (zum Beispiel haben die Spieler in einem Toss-Spiel zwei mögliche Züge – sie können Kopf oder Zahl wählen). Die Strategien selbst in endlichen Spielen werden oft als reine Strategien bezeichnet. Dementsprechend haben die Spieler in unendlichen Spielen unendlich viele mögliche Strategien - zum Beispiel kann in der Verkäufer-Käufer-Situation jeder der Spieler einen beliebigen Preis nennen, der zu ihm passt, und die Menge der verkauften (gekauften) Waren.

Die dritte in Folge ist die Methode zur Klassifizierung von Spielen - nach den Eigenschaften von Auszahlungsfunktionen (Zahlungsfunktionen). Ein wichtiger Fall in der Spieltheorie ist die Situation, in der der Gewinn eines Spielers gleich dem Verlust des anderen ist, d.h. Es gibt einen direkten Konflikt zwischen den Spielern. Solche Spiele werden Nullsummenspiele oder antagonistische Spiele genannt. Toss Games oder Toss Games sind typische Beispiele für antagonistische Spiele. Das direkte Gegenteil dieser Art von Spielen sind Spiele mit konstanten Unterschieden, bei denen die Spieler gleichzeitig gewinnen und verlieren, sodass es für sie von Vorteil ist, zusammenzuarbeiten. Zwischen diesen Extremfällen gibt es viele Nicht-Nullsummenspiele, bei denen es sowohl Konflikte als auch koordinierte Aktionen der Spieler gibt.

Je nach Möglichkeit der Vorverhandlungen zwischen den Spielern werden kooperative und nicht kooperative Spiele unterschieden. Ein kooperatives Spiel ist ein Spiel, bei dem die Spieler vor Beginn Koalitionen bilden und gegenseitig verbindliche Vereinbarungen über ihre Strategien treffen. Nicht kooperativ ist ein Spiel, bei dem die Spieler ihre Strategien nicht auf diese Weise koordinieren können. Offensichtlich können alle antagonistischen Spiele als Beispiele für nicht-kooperative Spiele dienen. Ein Beispiel für ein kooperatives Spiel ist die Bildung von Koalitionen im Parlament zur Annahme einer Entscheidung durch Abstimmung, die auf die eine oder andere Weise die Interessen der Abstimmungsteilnehmer berührt.

2.3 Spielarten

Symmetrisch und asymmetrisch

ABER	B
ABER	1, 2	0, 0
B	0, 0	1, 2
Asymmetrisches Spiel

Das Spiel ist symmetrisch, wenn die entsprechenden Strategien der Spieler die gleichen Auszahlungen haben, das heißt, sie sind gleich. Diese. wenn sich die Auszahlungen für die gleichen Züge nicht ändern, obwohl die Spieler die Plätze wechseln. Viele der untersuchten Spiele für zwei Spieler sind symmetrisch. Dies sind insbesondere: "Prisoner's Dilemma", "Deer Hunt", "Hawks and Doves". Als asymmetrische Spiele kann man „Ultimatum“ oder „Dictator“ anführen.

Im Beispiel rechts mag das Spiel aufgrund ähnlicher Strategien auf den ersten Blick symmetrisch erscheinen, dem ist aber nicht so - schließlich ist die Auszahlung des zweiten Spielers mit einer der Strategien (1, 1) und (2 , 2) wird größer sein als die des ersten.

Nullsumme und Nicht-Nullsumme

Nullsummenspiele sind eine besondere Art von Konstantsummenspielen, d. h. solche, bei denen die Spieler die verfügbaren Ressourcen oder den Spielfonds nicht erhöhen oder verringern können. In diesem Fall ist die Summe aller Gewinne gleich der Summe aller Verluste in jedem Spielzug. Schauen Sie nach rechts – die Zahlen bedeuten Zahlungen an die Spieler – und ihre Summe in jeder Zelle ist Null. Beispiele für solche Spiele sind Poker, bei dem man alle Wetten der anderen gewinnt; Reversi, wo feindliche Chips erfasst werden; oder glatter Diebstahl.

Viele von Mathematikern untersuchte Spiele, einschließlich des bereits erwähnten Gefangenendilemmas, sind von anderer Art: In Nicht-Nullsummenspielen bedeutet das Gewinnen eines Spielers nicht unbedingt das Verlieren des anderen und umgekehrt. Das Ergebnis eines solchen Spiels kann kleiner oder größer als Null sein. Solche Spiele können auf Nullsummenspiele umgestellt werden – dies geschieht durch die Einführung eines fiktiven Spielers, der sich den Überschuss „aneignet“ oder fehlende Mittel ausgleicht.

Auch handelt es sich um ein Spiel mit einer Summe ungleich Null, bei dem jeder Teilnehmer profitiert. Dieser Typ umfasst Spiele wie Dame und Schach; In den letzten beiden kann der Spieler seine gewöhnliche Figur in eine stärkere verwandeln und sich einen Vorteil verschaffen. In all diesen Fällen erhöht sich der Spielbetrag.

Kooperativ und nicht kooperativ

Das Spiel wird kooperativ oder Koalition genannt, wenn sich die Spieler in Gruppen zusammenschließen, einige Verpflichtungen gegenüber anderen Spielern übernehmen und ihre Aktionen koordinieren können. Darin unterscheidet es sich von nicht-kooperativen Spielen, bei denen jeder für sich selbst spielen muss. Unterhaltsame Spiele sind selten kooperativ, im Alltag sind solche Mechanismen aber keine Seltenheit.

Häufig wird angenommen, dass sich kooperative Spiele gerade in der Fähigkeit der Spieler unterscheiden, miteinander zu kommunizieren. Das stimmt aber nicht immer, denn es gibt Spiele, bei denen zwar kommuniziert werden darf, die Teilnehmer aber persönliche Ziele verfolgen und umgekehrt.

Von den beiden Arten von Spielen beschreiben die nicht kooperativen Situationen sehr detailliert und liefern genauere Ergebnisse. Genossenschaften betrachten den Prozess des Spiels als Ganzes.

Hybridspiele umfassen Elemente von kooperativen und nicht kooperativen Spielen.

Beispielsweise können Spieler Gruppen bilden, aber das Spiel wird in einem nicht kooperativen Stil gespielt. Das bedeutet, dass jeder Spieler die Interessen seiner Gruppe verfolgt und gleichzeitig versucht, persönlichen Gewinn zu erzielen.

Parallel und seriell

Bei Parallelspielen ziehen die Spieler gleichzeitig oder sie werden erst dann über die Entscheidungen der anderen informiert, wenn alle ihren Zug gemacht haben. In sequentiellen oder dynamischen Spielen können die Teilnehmer Züge in einer vorgegebenen oder zufälligen Reihenfolge ausführen, erhalten dabei jedoch einige Informationen über die vorherigen Aktionen anderer. Diese Informationen sind möglicherweise nicht einmal vollständig, zum Beispiel kann ein Spieler herausfinden, dass sein Gegner die fünfte Strategie von zehn seiner Strategien definitiv nicht gewählt hat, ohne etwas über die anderen zu erfahren.

Mit vollständigen oder unvollständigen Angaben

Eine wichtige Teilmenge sequentieller Spiele sind Spiele mit vollständigen Informationen. In einem solchen Spiel kennen die Teilnehmer alle bis zum aktuellen Zeitpunkt ausgeführten Züge sowie die möglichen Strategien der Gegner, was es ihnen ermöglicht, den weiteren Verlauf des Spiels bis zu einem gewissen Grad vorherzusagen. Bei Parallelpartien sind keine vollständigen Informationen verfügbar, da sie die aktuellen Spielzüge der Gegner nicht kennen. Die meisten Spiele, die in Mathematik untersucht werden, enthalten unvollständige Informationen. Zum Beispiel ist der springende Punkt bei The Prisoner's Dilemma seine Unvollständigkeit.

Gleichzeitig gibt es interessante Beispiele für Spiele mit vollständigen Informationen: Schach, Dame und andere.

Oft wird das Konzept der vollständigen Information mit einem ähnlichen Konzept verwechselt – perfekte Information. Für letztere reicht es aus, nur alle Strategien zu kennen, die dem Gegner zur Verfügung stehen, es ist nicht notwendig, alle seine Züge zu kennen.

Spiele mit unendlich vielen Schritten

Spiele in der realen Welt oder Spiele, die in Wirtschaftswissenschaften studiert werden, dauern in der Regel eine begrenzte Anzahl von Zügen. Die Mathematik ist nicht so eingeschränkt, und insbesondere die Mengenlehre befasst sich mit Spielen, die unbegrenzt fortgesetzt werden können. Außerdem stehen der Sieger und sein Gewinn erst am Ende aller Züge fest ...

Hier geht es meist nicht darum, die optimale Lösung zu finden, sondern zumindest eine gewinnbringende Strategie. (Mit dem Auswahlaxiom kann man beweisen, dass manchmal sogar für Spiele mit vollständiger Information und zwei Ausgängen – „Gewinn“ oder „Verlieren“ – keiner der Spieler eine solche Strategie hat.)

Diskrete und kontinuierliche Spiele

In den meisten untersuchten Spielen ist die Anzahl der Spieler, Züge, Ergebnisse und Ereignisse endlich; sie sind diskret. Diese Komponenten können jedoch zu einem Satz reeller (Material-)Nummern erweitert werden. Spiele, die solche Elemente enthalten, werden oft als Differenzialspiele bezeichnet. Sie sind immer mit einer realen Skala (normalerweise der Zeitskala) verbunden, obwohl die darin auftretenden Ereignisse diskreter Natur sein können. Differentialspiele finden ihre Anwendung in Technik und Technik, Physik.

3. Anwendung der Spieltheorie

Die Spieltheorie ist ein Zweig der angewandten Mathematik. Am häufigsten werden die Methoden der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften verwendet, etwas seltener in anderen Sozialwissenschaften - Soziologie, Politikwissenschaft, Psychologie, Ethik und anderen. Seit den 1970er Jahren wird es von Biologen übernommen, um das Verhalten von Tieren und die Evolutionstheorie zu untersuchen. Dieser Zweig der Mathematik ist sehr wichtig für die künstliche Intelligenz und die Kybernetik, insbesondere mit der Bekundung des Interesses an intelligenten Agenten.

Neumann und Morgenstern schrieben das ursprüngliche Buch, das hauptsächlich wirtschaftliche Beispiele enthielt, da wirtschaftliche Konflikte am einfachsten zu quantifizieren sind. Während des Zweiten Weltkriegs und unmittelbar danach interessierte sich das Militär ernsthaft für die Spieltheorie, die sie als Apparat zur Untersuchung strategischer Entscheidungen betrachtete. Dann galt das Hauptaugenmerk wieder wirtschaftlichen Problemen. In unserer Zeit wird viel daran gearbeitet, den Anwendungsbereich der Spieltheorie zu erweitern.

Die beiden Hauptanwendungsgebiete sind Militär und Wirtschaft. Spieltheoretische Entwicklungen finden Anwendung bei der Gestaltung automatischer Steuerungssysteme für Raketen-/Raketenabwehrwaffen, der Wahl von Auktionsformen für den Verkauf von Funkfrequenzen, der angewandten Modellierung von Geldumlaufmustern im Interesse der Zentralbanken usw. Internationale Beziehungen und strategische Sicherheit verdanken die Spieltheorie (und Entscheidungstheorie) in erster Linie dem Konzept der gegenseitig zugesicherten Zerstörung. Dies ist das Verdienst einer Galaxie brillanter Köpfe (einschließlich derjenigen, die mit der RAND Corporation in Santa Monica, Kalifornien, verbunden sind), deren Geist in der Person von Robert McNamara die höchsten Führungspositionen erreicht hat. Es stimmt, es sollte anerkannt werden, dass McNamara selbst die Spieltheorie nicht missbraucht hat.

3.1 In militärischen Angelegenheiten

Informationen sind heute eine der wichtigsten Ressourcen. Und jetzt alles

Auch das Sprichwort „Wem die Informationen gehören, gehört die Welt“ trifft zu. Darüber hinaus steht die Notwendigkeit im Vordergrund, die verfügbaren Informationen effektiv zu nutzen. Die Spieltheorie in Verbindung mit der Theorie der optimalen Kontrolle ermöglicht es, in einer Vielzahl von Konflikt- und Nichtkonfliktsituationen die richtigen Entscheidungen zu treffen.

Die Spieltheorie ist eine mathematische Disziplin, die sich mit Konfliktproblemen befasst. Militär

Der Fall als ausgeprägter Kern des Konflikts wurde zu einem der ersten Versuchsfelder für die praktische Anwendung der Entwicklung der Spieltheorie.

Das Studium der Aufgaben militärischer Schlachten mit Hilfe der Spieltheorie (einschließlich differentieller) ist ein großes und schwieriges Thema. Die Anwendung der Spieltheorie auf die Probleme des Militärwesens bedeutet, dass für alle Beteiligten effektive Lösungen gefunden werden können - optimale Aktionen, die die maximale Lösung der gestellten Aufgaben ermöglichen.

Versuche, Kriegsspiele auf Desktop-Modellen zu zerlegen, wurden viele Male unternommen. Aber Experimente in militärischen Angelegenheiten (wie in jeder anderen Wissenschaft) sind ein Mittel, um sowohl eine Theorie zu bestätigen als auch neue Wege für die Analyse zu finden.

Die militärische Analyse ist in Bezug auf Gesetze, Vorhersagen und Logik eine Sache, die viel unsicherer ist als die Naturwissenschaften. Aus diesem Grund kann die Modellierung mit detaillierten und sorgfältig ausgewählten realistischen Details kein zuverlässiges Gesamtergebnis liefern, es sei denn, das Spiel wird sehr oft wiederholt. Vom Standpunkt der Differentialspiele kann man nur hoffen, die Schlussfolgerungen der Theorie zu bestätigen. Besonders wichtig ist der Fall, wenn solche Schlussfolgerungen aus einem vereinfachten Modell abgeleitet werden (notwendigerweise geschieht dies immer).

In einigen Fällen spielen Differentialspiele bei militärischen Problemen eine ganz offensichtliche Rolle, die keiner besonderen Anmerkung bedarf. Dies gilt beispielsweise z

die meisten Modelle, darunter Verfolgungs-, Rückzugs- und andere Manöver dieser Art. So wurden im Fall der Steuerung automatisierter Kommunikationsnetzwerke in einer komplexen funkelektronischen Umgebung Versuche unternommen, nur stochastische mehrstufige antagonistische Spiele zu verwenden. Der Einsatz von Differenzialspielen erscheint sinnvoll, da durch deren Anwendung in vielen Fällen die notwendigen Prozesse mit hoher Sicherheit beschrieben und die optimale Lösung des Problems gefunden werden können.

Nicht selten schließen sich in Konfliktsituationen die gegnerischen Seiten zu Allianzen zusammen, um bessere Ergebnisse zu erzielen. Daher ist es notwendig, Koalitionsdifferenzialspiele zu untersuchen. Außerdem gibt es auf der Welt keine Idealsituationen ohne Interferenz. Dies bedeutet, dass es sinnvoll ist, Koalitionsdifferentialspiele unter Unsicherheit zu untersuchen. Es gibt verschiedene Ansätze, Lösungen für differentielle Spiele zu konstruieren.

Während des Zweiten Weltkriegs erwiesen sich von Neumanns wissenschaftliche Entwicklungen als unschätzbar für die amerikanische Armee – Militärkommandanten sagten, dass ein Wissenschaftler für das Pentagon genauso wichtig sei wie eine ganze Armeedivision. Hier ist ein Beispiel für die Verwendung der Spieltheorie in militärischen Angelegenheiten. Auf amerikanischen Handelsschiffen wurden Flugabwehranlagen installiert. Während der gesamten Kriegsdauer wurde jedoch kein einziges feindliches Flugzeug von diesen Anlagen abgeschossen. Es stellt sich eine berechtigte Frage: Lohnt es sich überhaupt, Schiffe, die nicht für Kampfeinsätze bestimmt sind, mit solchen Waffen auszustatten? Eine Gruppe von Wissenschaftlern unter der Leitung von von Neumann kam nach Untersuchung des Problems zu dem Schluss, dass das bloße Wissen des Feindes über das Vorhandensein solcher Kanonen auf Handelsschiffen die Wahrscheinlichkeit und Genauigkeit ihres Beschusses und Bombenangriffs und damit die Platzierung von „ Flugabwehrgeschütze“ auf diesen Schiffen hat sich voll bewährt.

Die CIA, das US-Verteidigungsministerium und die größten Fortune-500-Unternehmen arbeiten aktiv mit Zukunftsforschern zusammen. Natürlich sprechen wir von streng wissenschaftlicher Zukunftsforschung, also von mathematischen Berechnungen der objektiven Wahrscheinlichkeit zukünftiger Ereignisse. Das tut die Spieltheorie – eines der neuen Gebiete der mathematischen Wissenschaft, das auf fast alle Bereiche des menschlichen Lebens anwendbar ist. Vielleicht wird das Rechnen der Zukunft, das bisher streng geheim für "Elite"-Kunden betrieben wurde, bald den öffentlichen kommerziellen Markt betreten. Dies wird zumindest durch die Tatsache belegt, dass gleichzeitig zwei große amerikanische Zeitschriften Materialien zu diesem Thema veröffentlichten und beide ein Interview mit dem Professor der New Yorker Universität, Bruce Bueno de Mesquita (BruceBuenodeMesquita), druckten. Der Professor besitzt ein Beratungsunternehmen, das sich mit spieltheoretischen Computerberechnungen beschäftigt. In zwanzig Jahren Zusammenarbeit mit der CIA hat der Wissenschaftler mehrere wichtige und unerwartete Ereignisse genau berechnet (z. B. Andropovs Aufstieg zur Macht in der UdSSR und die Eroberung Hongkongs durch die Chinesen). Insgesamt hat er mehr als tausend Ereignisse mit einer Genauigkeit von über 90 % berechnet.Nun berät Bruce US-Geheimdienste in der Iran-Politik. Seine Berechnungen zeigen beispielsweise, dass die USA keine Chance haben, den Iran daran zu hindern, einen zivilen Atomreaktor zu starten.

3.2 Unter Kontrolle

Als Beispiele für die Anwendung der Spieltheorie im Management sind Entscheidungen zur Umsetzung einer prinzipientreuen Preispolitik, Eintritt in neue Märkte, Kooperation und Gründung von Joint Ventures, Identifizierung von Leadern und Leistungsträgern im Bereich Innovation etc. zu nennen. Die Bestimmungen dieser Theorie können im Prinzip für alle Arten von Entscheidungen verwendet werden, wenn ihre Annahme von anderen Akteuren beeinflusst wird. Diese Personen oder Akteure müssen keine Marktkonkurrenten sein; Ihre Rolle kann Unterlieferanten, führende Kunden, Mitarbeiter von Organisationen sowie Arbeitskollegen sein.

Wie können Unternehmen von spieltheoriebasierten Analysen profitieren? So liegt beispielsweise ein Interessenkonflikt zwischen IBM und Telex vor. Telex kündigte seinen Eintritt in den Absatzmarkt an, in Verbindung damit wurde ein „Krisen“-Meeting des IBM-Managements abgehalten, bei dem Maßnahmen analysiert wurden, um einen neuen Wettbewerber zu zwingen, seine Absicht, in einen neuen Markt vorzudringen, aufzugeben. Diese Aktionen wurden Telex offenbar bekannt. Doch die spieltheoretische Analyse zeigte, dass die Drohungen von IBM wegen hoher Kosten unbegründet sind. Dies beweist, dass es für Unternehmen sinnvoll ist, die möglichen Reaktionen von Spielpartnern zu berücksichtigen. Isolierte betriebswirtschaftliche Kalkulationen, auch auf der Grundlage von Entscheidungstheorien, sind oft, wie in der beschriebenen Situation, begrenzt. Beispielsweise könnte ein externes Unternehmen den „Non-Entry“-Schritt wählen, wenn eine vorläufige Analyse davon überzeugt ist, dass eine Marktdurchdringung eine aggressive Reaktion des Monopolunternehmens hervorrufen würde. In dieser Situation ist es sinnvoll, den „Non-Entry“-Zug mit einer Wahrscheinlichkeit einer aggressiven Reaktion von 0,5 gemäß dem Kriterium der erwarteten Kosten zu wählen.

Einen wichtigen Beitrag zur Anwendung der Spieltheorie leistet die experimentelle Arbeit. Viele theoretische Berechnungen werden im Labor ausgearbeitet, und die erzielten Ergebnisse dienen als wichtiges Element für Praktiker. Theoretisch wurde herausgefunden, unter welchen Bedingungen es für zwei egoistische Partner von Vorteil ist, zusammenzuarbeiten und für sich bessere Ergebnisse zu erzielen.

Dieses Wissen kann in der Unternehmenspraxis genutzt werden, um zwei Unternehmen zu einer Win-Win-Situation zu verhelfen. Heute identifizieren Gaming-geschulte Berater schnell und eindeutig Möglichkeiten, die Unternehmen nutzen können, um sich stabile und langfristige Verträge mit Kunden, Sublieferanten, Entwicklungspartnern und mehr zu sichern. .

3.3 Anwendung in anderen Bereichen

In der Biologie

Eine sehr wichtige Richtung sind Versuche, die Spieltheorie in der Biologie anzuwenden und zu verstehen, wie die Evolution selbst optimale Strategien entwickelt. Hier im Wesentlichen die gleiche Methode, die uns hilft, menschliches Verhalten zu erklären. Die Spieltheorie sagt schließlich nicht, dass Menschen immer bewusst, strategisch, rational handeln. Vielmehr geht es um die Entwicklung bestimmter Regeln, die ein nützlicheres Ergebnis liefern, wenn sie befolgt werden. Das heißt, die Menschen berechnen ihre Strategie oft nicht, sie formt sich allmählich, wenn sich Erfahrungen ansammeln. Diese Idee ist jetzt in der Biologie akzeptiert.

In der Computertechnik

Noch mehr gefragt ist Forschung im Bereich der Computertechnik, zum Beispiel die Analyse von Auktionen, die von Computern im automatischen Modus durchgeführt werden. Darüber hinaus erlaubt Ihnen die Spieltheorie heute, wieder darüber nachzudenken, wie Computer funktionieren, wie die Zusammenarbeit zwischen ihnen aufgebaut wird. Nehmen wir an, Server im Netzwerk können als Spieler angesehen werden, die versuchen, ihre Aktionen zu koordinieren.

In Spielen (Schach)

Schach ist ein Extremfall der Spieltheorie, weil alles, was Sie tun, nur auf Ihren Sieg abzielt und Sie sich nicht darum kümmern müssen, wie Ihr Partner darauf reagiert. Genug, um sicherzustellen, dass er nicht effektiv reagieren kann. Das heißt, es ist ein Nullsummenspiel. Und natürlich kann Kultur in anderen Spielen eine gewisse Bedeutung haben.

Beispiele aus einem anderen Bereich

Bei der Suche nach einem passenden Paar aus Spender und Empfänger der Niere kommt die Spieltheorie zum Einsatz. Eine Person möchte einer anderen eine Niere spenden, aber es stellt sich heraus, dass ihre Blutgruppen nicht kompatibel sind. Und was ist in diesem Fall zu tun? Erstens, um die Liste der Spender und Empfänger zu erweitern, und dann die Auswahlmethoden anzuwenden, die die Spieltheorie bietet. Es ist einer arrangierten Ehe sehr ähnlich. Vielmehr sieht es überhaupt nicht nach Ehe aus, aber das mathematische Modell dieser Situationen ist dasselbe, es werden dieselben Methoden und Berechnungen angewendet. Jetzt ist auf den Ideen von Theoretikern wie David Gale, Lloyd Shapley und anderen eine echte Industrie gewachsen – die praktische Anwendung der Theorie in kooperativen Spielen.

3.4 Warum die Spieltheorie nicht noch breiter angewendet wird

Und in der Politik, in der Wirtschaft und in militärischen Angelegenheiten sind Praktiker auf die grundlegenden Einschränkungen der Grundlage der modernen Spieltheorie gestoßen – der Nash-Rationalität.

Erstens ist ein Mensch nicht so perfekt, dass er ständig strategisch denkt. Um diese Einschränkung zu überwinden, haben Theoretiker begonnen, evolutionäre Gleichgewichtsformulierungen zu untersuchen, die schwächere Annahmen auf der Ebene der Rationalität haben.

Zweitens werden die Annahmen der Spieltheorie über das Bewusstsein der Spieler über die Struktur des Spiels und die Zahlungen im wirklichen Leben nicht so oft beachtet, wie wir es gerne hätten. Die Spieltheorie reagiert auf kleinste (aus Sicht des Laien) Änderungen der Spielregeln sehr schmerzhaft mit starken Verschiebungen der vorhergesagten Gleichgewichte.

Als Folge dieser Probleme befindet sich die moderne Spieltheorie in einer "fruchtbaren Sackgasse". Schwan, Krebs und Hecht der vorgeschlagenen Lösungen ziehen die Spieltheorie in unterschiedliche Richtungen. Dutzende von Arbeiten werden in jede Richtung geschrieben ... aber "die Dinge sind immer noch da".

Aufgabenbeispiele

Definitionen, die zur Lösung von Problemen benötigt werden

1. Eine Situation wird als Konflikt bezeichnet, wenn Parteien beteiligt sind, deren Interessen ganz oder teilweise gegensätzlich sind.

2. Ein Spiel ist ein realer oder formaler Konflikt, bei dem es mindestens zwei Teilnehmer (Spieler) gibt, von denen jeder danach strebt, seine eigenen Ziele zu erreichen.

3. Zulässige Aktionen jedes Spielers, die darauf abzielen, ein bestimmtes Ziel zu erreichen, werden als Spielregeln bezeichnet.

4. Die Quantifizierung der Spielergebnisse wird als Zahlung bezeichnet.

5. Das Spiel wird Paar genannt, wenn nur zwei Seiten (zwei Personen) daran teilnehmen.

6. Ein Paarspiel heißt Nullsummenspiel, wenn die Summe der Auszahlungen Null ist, d.h. wenn der Verlust des einen Spielers gleich dem Gewinn des anderen ist.

7. Eine eindeutige Beschreibung der Wahl des Spielers in jeder der möglichen Situationen, in denen er einen persönlichen Zug machen muss, wird als Strategie des Spielers bezeichnet.

8. Die Strategie eines Spielers wird als optimal bezeichnet, wenn sie dem Spieler bei vielen Wiederholungen des Spiels den maximal möglichen Gewinn (oder äquivalent den minimal möglichen durchschnittlichen Verlust) verschafft.

Es seien zwei Spieler, von denen einer die i-te Strategie aus m möglichen Strategien wählen kann (i=1,m), und der zweite, der die Wahl des ersten nicht kennt, die j-te Strategie aus n möglichen wählt Strategien (j=1,n) Als Ergebnis gewinnt der erste Spieler den Wert aij, während der zweite Spieler diesen Wert verliert.

Aus den Zahlen aij setzen wir eine Matrix zusammen

Die Zeilen der Matrix A entsprechen den Strategien des ersten Spielers und die Spalten den Strategien des zweiten. Diese Strategien werden als rein bezeichnet.

9. Matrix A wird Auszahlung (oder Spielmatrix) genannt.

10. Ein Spiel, das durch eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten definiert ist, heißt ein m x n endliches Spiel.

11. Nummer wird der niedrigere Preis des Spiels oder Maximin genannt, und die entsprechende Strategie (Reihe) wird Maximin genannt.

12. Nummer wird der obere Preis des Spiels oder Minimax genannt, und die entsprechende Strategie (Spalte) wird Minimax genannt.

13. Wenn α=β=v, dann heißt die Zahl v der Preis des Spiels.

14. Ein Spiel, für das α = β ist, wird ein Spiel mit einem Sattelpunkt genannt.

Bei einem Spiel mit Sattelpunkt besteht die Lösungsfindung darin, eine optimale Maximin- und Minimax-Strategie zu wählen.

Wenn das durch die Matrix gegebene Spiel keinen Sattelpunkt hat, werden gemischte Strategien verwendet, um seine Lösung zu finden.
Aufgaben

1. Orlyanka. Das ist ein Nullsummenspiel. Das Prinzip ist, dass, wenn Spieler die gleichen Strategien wählen, der erste einen Rubel gewinnt, und wenn sie andere wählen, verlieren sie einen Rubel.

Wenn wir Strategien nach dem Prinzip von Maxmin und Minmax berechnen, dann sehen wir, dass es unmöglich ist, die optimale Strategie zu berechnen, in diesem Spiel sind die Wahrscheinlichkeiten zu verlieren und zu gewinnen gleich.

2. Zahlen. Die Essenz des Spiels besteht darin, dass jeder der Spieler an ganze Zahlen von 1 bis 4 denkt und die Auszahlung des ersten Spielers gleich der Differenz zwischen der von ihm erratenen Zahl und der vom anderen Spieler erratenen Zahl ist.

Namen	Spieler B
Spieler A	Strategien	1	2	3	4
	1	0	-1	-2	-3
	2	1	0	-1	-2
	3	2	1	0	-1
	4	3	2	1	0

Wir lösen das Problem nach der Theorie von maxmin und minmax, ähnlich wie beim vorherigen Problem stellt sich heraus, dass maxmin = 0, minmax = 0, ein Sattelpunkt aufgetreten ist, weil die oberen und unteren Preise sind gleich. Die Strategien beider Spieler sind 4.

3. Betrachten Sie das Problem der Evakuierung von Personen im Brandfall.

Brandfall 1: Brandzeitpunkt - 10 Uhr, Sommer.

Die Dichte des menschlichen Flusses D \u003d 0,2 h / m 2, die Geschwindigkeit des Flusses v \u003d 60

m / min. Erforderliche Evakuierungszeit TeV = 0,5 min.

Brandsituation 2: Brandbeginn 20:00 Uhr, Sommer. Menschliche Strömungsdichte D = 0,83 h / min. Strömungsgeschwindigkeit

v = 17 m/min. Erforderliche Evakuierungszeit TeV = 1,6 min.

Es sind verschiedene Möglichkeiten zur Evakuierung Li möglich, die bestimmt werden

bauliche und planerische Merkmale des Gebäudes, die Präsenz

rauchfreie Treppenhäuser, die Anzahl der Stockwerke des Gebäudes und andere Faktoren.

Im Beispiel betrachten wir die Evakuierungsoption als den Weg, den Personen nehmen müssen, wenn sie ein Gebäude evakuieren. Die Brandsituation 1 entspricht einer solchen Evakuierungsoption L1, bei der die Evakuierung entlang eines Korridors zu zwei Treppenhäusern erfolgt. Aber auch die schlimmste Variante der Evakuierung ist möglich - L2, bei der Evakuierung

findet in einem Treppenhaus statt und der Fluchtweg ist maximal.

Für Situation 2 sind aber offensichtlich die Evakuierungsoptionen L1 und L2 geeignet

L1 wird bevorzugt. Die Beschreibung möglicher Brandsituationen am Schutzobjekt und Evakuierungsmöglichkeiten erfolgt in Form einer Vergütungsmatrix, wobei:

N - mögliche Brandsituationen:

L - Evakuierungsoptionen;

und 11 - und nm das Ergebnis der Evakuierung: "a" ändert sich von 0 (absoluter Verlust) - auf 1 (maximaler Gewinn).

Zum Beispiel in Brandsituationen:

N1 - Rauch im gemeinsamen Korridor und seine Abdeckung durch Flammen treten auf

nach 5 min. nach Ausbruch eines Feuers;

N2 - Rauch und Flammenbedeckung des Korridors treten nach 7 Minuten auf;

N3 - Rauch und Flammenabdeckung des Korridors treten nach 10 Minuten auf.

Folgende Evakuierungsmöglichkeiten stehen zur Verfügung:

L1 - Evakuierung in 6 Minuten;

L2 - Evakuierung in 8 Minuten;

L3 - Evakuierung in 12 Minuten.

a11 = N1/L1 = 5/6 = 0,83

a 12 \u003d N1 / L2 \u003d 5/ 8 \u003d 0,62

a 13 \u003d N1 / L3 \u003d 5 / 12 \u003d 0,42

und 21 = N2 / L1 = 7/ 6 = 1

a22 = N2/L2 = 7/8 = 0,87

a 23 \u003d N2 / L3 \u003d 7/ 12 \u003d 0,58

a 31 = N3 / L1 = 10/ 6 = 1

a 32 = N3 / L2 = 10/ 8 = 1

a33 = N3/L3 = 10/12 = 0,83

Tisch. Auszahlungsmatrix der Evakuierungsergebnisse

L1	L2	L3
N1	0,83	0,6	0,42
N2	1	0,87	0,58
N3	1	1	0,83

Berechnen Sie die erforderliche Evakuierungszeit im Prozessleitfaden

Es ist keine Evakuierung erforderlich, es kann fertig in das Programm aufgenommen werden.

Diese Matrix wird in den Computer eingegeben und entsprechend dem Zahlenwert der Menge und ij das Subsystem wählt automatisch die beste Evakuierungsoption aus.

Fazit

Abschließend sei betont, dass die Spieltheorie ein sehr komplexes Wissensgebiet ist. Beim Umgang muss man eine gewisse Vorsicht walten lassen und die Anwendungsgrenzen genau kennen. Zu einfache Interpretationen, die von der Firma selbst oder mit Hilfe von Beratern vorgenommen werden, bergen versteckte Gefahren. Aufgrund ihrer Komplexität sind spieltheoretische Analysen und Beratungen nur für kritische Problemfelder zu empfehlen. Die Erfahrung von Unternehmen zeigt, dass bei einmaligen, grundlegend wichtigen geplanten strategischen Entscheidungen, auch bei der Vorbereitung großer Kooperationsvereinbarungen, der Einsatz geeigneter Instrumente vorzuziehen ist. Die Anwendung der Spieltheorie erleichtert uns jedoch das Verständnis der Essenz dessen, was geschieht, und die Vielseitigkeit dieses Wissenschaftszweigs ermöglicht es uns, die Methoden und Eigenschaften dieser Theorie in verschiedenen Bereichen unserer Tätigkeit erfolgreich einzusetzen.

Die Spieltheorie flößt einer Person die Disziplin des Geistes ein. Es erfordert vom Entscheidungsträger eine systematische Formulierung möglicher Verhaltensalternativen, die Bewertung ihrer Ergebnisse und vor allem die Berücksichtigung des Verhaltens anderer Objekte. Eine Person, die mit Spieltheorie vertraut ist, hält andere weniger für dümmer als sich selbst und vermeidet daher viele unverzeihliche Fehler. Die Spieltheorie kann und ist jedoch nicht darauf ausgelegt, Entschlossenheit und Ausdauer beim Erreichen von Zielen zu vermitteln, unabhängig von Ungewissheit und Risiko. Die Kenntnis der Grundlagen der Spieltheorie verschafft uns keinen klaren Vorteil, schützt uns aber vor dummen und unnötigen Fehlern.

Die Spieltheorie befasst sich immer mit einer speziellen Art des Denkens, dem strategischen.

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Spieltheorie - eine Reihe mathematischer Methoden zur Lösung von Konfliktsituationen (Interessenkollisionen). In der Spieltheorie ist ein Spiel mathematisches Modell einer Konfliktsituation. Ein Gegenstand von besonderem Interesse in der Spieltheorie ist die Untersuchung von Entscheidungsstrategien von Spielteilnehmern unter Unsicherheitsbedingungen. Unsicherheit ergibt sich aus der Tatsache, dass zwei oder mehr Seiten gegensätzliche Ziele verfolgen und die Ergebnisse jeder Aktion jeder der Parteien von den Bewegungen des Partners abhängen. Gleichzeitig strebt jede der Parteien danach, optimale Entscheidungen zu treffen, die die gesetzten Ziele weitestgehend realisieren.

Am konsequentesten wird die Spieltheorie in der Wirtschaft angewendet, wo Konfliktsituationen beispielsweise in Beziehungen zwischen einem Lieferanten und einem Verbraucher, einem Käufer und einem Verkäufer, einer Bank und einem Kunden entstehen. Die Anwendung der Spieltheorie findet sich auch in Politik, Soziologie, Biologie und Militärkunst.

Aus der Geschichte der Spieltheorie

Geschichte der Spieltheorie als eigenständige Disziplin beginnt 1944, als John von Neumann und Oscar Morgenstern das Buch „Theory of Games and Economic Behavior“ („Theory of Games and Economic Behavior“) veröffentlichten. Obwohl Beispiele der Spieltheorie schon früher begegnet sind: die babylonische Talmud-Abhandlung über die Aufteilung des Vermögens eines verstorbenen Mannes zwischen seinen Frauen, Kartenspiele im 18. Jahrhundert, die Entwicklung der Schachtheorie im frühen 20. Jahrhundert, der Beweis des Minimax-Theorems desselben John von Neumann im Jahr 1928, ohne den es keine Spieltheorie gäbe.

In den 1950er Jahren traten Melvin Drescher und Meryl Flood auf Rand Corporation Der erste, der das Gefangenendilemma experimentell anwandte, John Nash, entwickelte in seiner Arbeit über den Gleichgewichtszustand in Zwei-Personen-Spielen das Konzept des Nash-Gleichgewichts.

Reinhard Salten veröffentlichte 1965 das Buch „Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit“, mit dem die Anwendung der Spieltheorie in der Volkswirtschaftslehre einen neuen Antrieb erhielt. Ein Schritt vorwärts in der Evolution der Spieltheorie ist mit der Arbeit von John Maynard Smith "Evolutionary Stable Strategy" ("Evolutionary Stable Strategy", 1974) verbunden. Das Gefangenendilemma wurde in Robert Axelrods Buch The Evolution of Cooperation, das 1984 veröffentlicht wurde, populär gemacht. 1994 wurden John Nash, John Harsanyi und Reinhard Salten mit dem Nobelpreis für Spieltheorie ausgezeichnet.

Spieltheorie in Leben und Wirtschaft

Gehen wir näher auf das Wesen einer Konfliktsituation (Interessenkonflikt) in dem Sinne ein, wie sie in der Spieltheorie zur weiteren Modellierung verschiedener Lebens- und Geschäftssituationen verstanden wird. Lassen Sie das Individuum in einer Position sein, die zu einem von mehreren möglichen Ergebnissen führt, und das Individuum hat einige persönliche Präferenzen in Bezug auf diese Ergebnisse. Aber obwohl er die variablen Faktoren, die das Ergebnis bestimmen, bis zu einem gewissen Grad kontrollieren kann, hat er keine vollständige Kontrolle über sie. Manchmal liegt die Kontrolle in den Händen mehrerer Personen, die wie er eine gewisse Vorliebe für mögliche Ergebnisse haben, aber im Allgemeinen stimmen die Interessen dieser Personen nicht überein. In anderen Fällen kann das Endergebnis sowohl von Unfällen (in den Rechtswissenschaften manchmal als Naturkatastrophen bezeichnet) als auch von anderen Personen abhängen. Die Spieltheorie systematisiert die Beobachtung solcher Situationen und die Formulierung allgemeiner Prinzipien, um vernünftiges Handeln in solchen Situationen zu leiten.

Der Name „Spieltheorie“ ist in gewisser Hinsicht unglücklich, da er suggeriert, dass sich die Spieltheorie nur mit den sozial unbedeutenden Kollisionen befasst, die bei Gesellschaftsspielen auftreten, aber dennoch hat diese Theorie eine viel breitere Bedeutung.

Die folgende wirtschaftliche Situation kann eine Vorstellung von der Anwendung der Spieltheorie geben. Angenommen, es gibt mehrere Unternehmer, von denen jeder versucht, den Gewinn zu maximieren, während er nur begrenzte Macht über die Variablen hat, die diesen Gewinn bestimmen. Der Unternehmer hat keine Kontrolle über Variablen, die von einem anderen Unternehmer kontrolliert werden, die aber das Einkommen des ersten stark beeinflussen können. Die Interpretation dieser Situation als Spiel kann zu folgendem Einwand Anlass geben. Das Spielmodell geht davon aus, dass jeder Unternehmer eine Wahl aus dem Bereich der möglichen Entscheidungen trifft und die Gewinne durch diese einzelnen Entscheidungen bestimmt werden. Dass dies in der Realität nahezu unmöglich ist, liegt auf der Hand, da in diesem Fall in der Industrie keine aufwendigen Verwaltungsapparate benötigt würden. Es gibt einfach eine Reihe von Entscheidungen und Modifikationen dieser Entscheidungen, die von den Entscheidungen anderer Teilnehmer des Wirtschaftssystems (Spieler) abhängen. Aber im Prinzip kann man sich vorstellen, dass jeder Administrator alle möglichen Eventualitäten antizipiert und detailliert beschreibt, was im Einzelfall zu tun ist, anstatt jede Aufgabe so zu lösen, wie sie entsteht.

Ein militärischer Konflikt ist per Definition ein Interessenkonflikt, bei dem keine Seite die volle Kontrolle über die Variablen hat, die das Ergebnis bestimmen, das durch eine Reihe von Schlachten entschieden wird. Sie können das Ergebnis einfach als Sieg oder Niederlage betrachten und ihnen die Zahlenwerte 1 und 0 zuweisen.

Eine der einfachsten Konfliktsituationen, die in der Spieltheorie niedergeschrieben und gelöst werden können, ist ein Duell, bei dem es sich um einen Konflikt zwischen zwei Spielern 1 und 2 handelt p und q Schüsse. Für jeden Spieler gibt es eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass der Spieler geschossen hat ich damals t wird einen Treffer geben, der sich als tödlich erweisen wird.

Im Ergebnis kommt die Spieltheorie zu folgender Formulierung einer bestimmten Klasse von Interessenkonflikten: Es gibt n Spieler, und jeder Spieler muss eine Möglichkeit aus einem bestimmten Satz von 100 auswählen, und wenn er eine Wahl trifft, hat der Spieler keine Informationen über die Entscheidungen anderer Spieler. Der Auswahlbereich des Spielers kann Elemente wie „das Pik-Ass bewegen“, „Panzer statt Autos produzieren“ oder allgemein eine Strategie enthalten, die alle Aktionen definiert, die unter allen möglichen Umständen durchgeführt werden müssen. Jeder Spieler steht vor der Aufgabe: Welche Wahl soll er treffen, damit ihm sein privater Einfluss auf das Ergebnis den größtmöglichen Gewinn bringt?

Mathematisches Modell in der Spieltheorie und Problemformalisierung

Wie wir bereits festgestellt haben, Das Spiel ist ein mathematisches Modell einer Konfliktsituation und benötigt folgende Komponenten:

1. interessierte Parteien;
2. mögliche Aktionen auf jeder Seite;
3. die Interessen der Parteien.

Die am Spiel Interessierten werden Spieler genannt. , jeder von ihnen kann mindestens zwei Aktionen ausführen (wenn der Spieler nur eine Aktion hat, nimmt er eigentlich nicht am Spiel teil, da im Voraus bekannt ist, was er tun wird). Das Ergebnis des Spiels wird als Gewinn bezeichnet. .

Eine echte Konfliktsituation liegt nicht immer vor, aber das Spiel (im Sinne der Spieltheorie) geht – immer – weiter bestimmte Regeln , die genau definieren:

1. Spieleroptionen;
2. die Menge an Informationen, die jeder Spieler über das Verhalten des Partners hat;
3. die Auszahlung, zu der jede Reihe von Aktionen führt.

Beispiele für formalisierte Spiele sind Fußball, Kartenspiel, Schach.

Aber in der Ökonomie entsteht ein Modell des Spielerverhaltens, wenn zum Beispiel mehrere Firmen versuchen, einen vorteilhafteren Platz auf dem Markt einzunehmen, mehrere Einzelpersonen versuchen, etwas Gutes (Ressourcen, Finanzen) untereinander aufzuteilen, damit alle so viel wie möglich bekommen . Die als Spiel modellierbaren Akteure in Konfliktsituationen in der Wirtschaft sind Unternehmen, Banken, Einzelpersonen und andere Wirtschaftssubjekte. Unter Kriegsbedingungen wiederum wird das Spielmodell beispielsweise bei der Auswahl der besten Waffe (aus vorhandenen oder potenziell möglichen) verwendet, um den Feind zu besiegen oder sich gegen einen Angriff zu verteidigen.

Das Spiel ist geprägt von der Ungewissheit des Ergebnisses . Die Ursachen der Unsicherheit lassen sich in folgende Gruppen einteilen:

1. kombinatorisch (wie beim Schach);
2. der Einfluss zufälliger Faktoren (wie im Spiel "Kopf oder Zahl", Würfel, Kartenspiele);
3. strategisch (der Spieler weiß nicht, was der Gegner tun wird).

Spielerstrategie ist eine Reihe von Regeln, die seine Aktionen bei jedem Zug abhängig von der Situation bestimmen.

Das Ziel der Spieltheorie ist es, die optimale Strategie für jeden Spieler zu bestimmen. Eine solche Strategie zu bestimmen heißt, das Spiel zu lösen. Strategie Optimalität ist erreicht, wenn einer der Spieler die maximale Auszahlung erzielen muss, während der zweite an seiner Strategie festhält. Und der zweite Spieler sollte einen minimalen Verlust haben, wenn der erste bei seiner Strategie bleibt.

Spielklassifizierung

1. Klassifizierung nach Anzahl der Spieler (Spiel von zwei oder mehr Personen). Zwei-Personen-Spiele sind zentral für die gesamte Spieltheorie. Das Grundkonzept der Spieltheorie für Zwei-Personen-Spiele ist eine Verallgemeinerung der sehr wesentlichen Idee des Gleichgewichts, die natürlicherweise in Zwei-Personen-Spielen vorkommt. Was die Spiele angeht n Personen, dann widmet sich ein Teil der Spieltheorie Spielen, bei denen die Zusammenarbeit zwischen Spielern verboten ist. In einem anderen Teil der Spieltheorie n Personen wird davon ausgegangen, dass die Spieler zum gegenseitigen Nutzen zusammenarbeiten können (siehe weiter unten in diesem Abschnitt über nicht kooperative und kooperative Spiele).
2. Klassifizierung nach Anzahl der Spieler und deren Strategien (die Anzahl der Strategien beträgt mindestens zwei, kann unendlich sein).
3. Klassifizierung nach Informationsmenge zu vergangenen Zügen: Partien mit vollständigen Informationen und unvollständigen Informationen. Es gibt Spieler 1 - den Käufer und Spieler 2 - den Verkäufer. Wenn Spieler 1 keine vollständigen Informationen über die Aktionen von Spieler 2 hat, dann darf Spieler 1 nicht zwischen zwei Alternativen unterscheiden, zwischen denen er sich entscheiden muss. Zum Beispiel zwischen zwei Arten eines bestimmten Produkts zu wählen und nicht zu wissen, dass das Produkt einige Eigenschaften aufweist EIN schlimmer als Ware B, sieht Spieler 1 den Unterschied zwischen den Alternativen möglicherweise nicht.
4. Einstufung nach den Grundsätzen der Gewinnteilung : einerseits kooperativ, Koalition und andererseits nicht kooperativ, nicht kooperativ. BEI nicht kooperatives Spiel , oder andernfalls - nicht kooperatives Spiel , wählen die Spieler gleichzeitig Strategien, ohne zu wissen, welche Strategie der zweite Spieler wählen wird. Eine Kommunikation zwischen den Spielern ist nicht möglich. BEI kooperatives Spiel , oder andernfalls - Koalitionsspiel können Spieler Koalitionen bilden und gemeinsam handeln, um ihre Gewinne zu erhöhen.
5. Endliches Nullsummenspiel für zwei Personen oder antagonistisches Spiel ist ein Strategiespiel mit vollständigen Informationen, an dem Parteien mit entgegengesetzten Interessen teilnehmen. Antagonistische Spiele sind Matrixspiele .

Ein klassisches Beispiel aus der Spieltheorie ist das Gefangenendilemma.

Die beiden Verdächtigen werden in Gewahrsam genommen und voneinander isoliert. Der Staatsanwalt ist überzeugt, dass sie ein schweres Verbrechen begangen haben, hat aber nicht genügend Beweise, um sie vor Gericht anzuklagen. Er sagt jedem der Gefangenen, dass er zwei Alternativen hat: das Verbrechen gestehen, von dem die Polizei glaubt, dass er es begangen hat, oder nicht gestehen. Wenn beide nicht gestehen, wird der Bezirksstaatsanwalt sie wegen eines geringfügigen Verbrechens wie geringfügigen Diebstahls oder illegalen Waffenbesitzes anklagen, und sie werden beide eine kleine Strafe erhalten. Wenn sie beide gestehen, werden sie strafrechtlich verfolgt, aber es wird nicht die härteste Strafe erfordern. Gesteht der eine und der andere nicht, dann bekommt der Geständige eine abgewandelte Strafe für die Auslieferung eines Komplizen, während der Hartnäckige "in vollen Zügen" kassiert.

Wenn diese strategische Aufgabe im Sinne des Fazits formuliert wird, dann läuft es auf Folgendes hinaus:

Wenn also beide Gefangenen kein Geständnis ablegen, erhalten sie jeweils 1 Jahr. Wenn beide gestehen, erhält jeder 8 Jahre. Und wenn einer gesteht, der andere nicht, dann kommt derjenige, der gesteht, mit drei Monaten Gefängnis davon, und derjenige, der nicht gesteht, bekommt 10 Jahre. Die obige Matrix gibt das Gefangenendilemma richtig wieder: Jeder steht vor der Frage Geständnis oder Nichtgeständnis. Das Spiel, das der Bezirksstaatsanwalt den Gefangenen anbietet, ist nicht kooperatives Spiel oder andernfalls - Nicht-Koalitionsspiel . Wenn beide Gefangene kooperieren könnten (d.h. Das Spiel wäre kooperativ oder andernfalls Koalitionsspiel ), dann wollten beide nicht gestehen und bekamen jeweils ein Jahr Gefängnis.

Beispiele für den Einsatz mathematischer Mittel der Spieltheorie

Wir wenden uns nun der Betrachtung von Lösungen zu Beispielen gängiger Klassen von Spielen zu, für die es spieltheoretische Untersuchungs- und Lösungsmethoden gibt.

Ein Beispiel für die Formalisierung eines nicht kooperativen (nicht kooperativen) Spiels von zwei Personen

Im vorherigen Absatz haben wir bereits ein Beispiel für ein nicht kooperatives (nicht kooperatives) Spiel (Gefangenendilemma) betrachtet. Lassen Sie uns unsere Fähigkeiten festigen. Dazu eignet sich auch ein klassischer Plot, der von Arthur Conan Doyles Die Abenteuer des Sherlock Holmes inspiriert ist. Man kann natürlich einwenden: Das Beispiel stammt nicht aus dem Leben, sondern aus der Literatur, aber Conan Doyle hat sich nicht als Science-Fiction-Autor etabliert! Klassisch auch deshalb, weil die Aufgabe, wie wir bereits festgestellt haben, von Oscar Morgenstern erledigt wurde – einem der Begründer der Spieltheorie.

Beispiel 1 Es wird ein gekürzter Auszug aus einem der Abenteuer von Sherlock Holmes gegeben. Erstellen Sie nach den bekannten Konzepten der Spieltheorie ein Modell einer Konfliktsituation und schreiben Sie das Spiel formal auf.

Sherlock Holmes beabsichtigt, von London nach Dover zu gehen, mit dem weiteren Ziel, auf den (europäischen) Kontinent zu gelangen, um Professor Moriarty zu entkommen, der ihn verfolgt. Als er in den Zug einstieg, sah er Professor Moriarty auf dem Bahnsteig. Sherlock Holmes gibt zu, dass Moriarty einen Sonderzug auswählen und überholen kann. Sherlock Holmes hat zwei Alternativen: Weiter nach Dover oder an der Station Canterbury aussteigen, die die einzige Zwischenstation auf seiner Route ist. Wir gehen davon aus, dass sein Gegner intelligent genug ist, Holmes Optionen zu bestimmen, also hat er die gleichen zwei Alternativen. Beide Kontrahenten müssen einen Bahnhof auswählen, an dem sie aus dem Zug aussteigen, ohne zu wissen, welche Entscheidung jeder von ihnen treffen wird. Wenn beide aufgrund der Entscheidung auf derselben Station landen, können wir definitiv davon ausgehen, dass Sherlock Holmes von Professor Moriarty getötet wird. Wenn Sherlock Holmes sicher nach Dover kommt, wird er gerettet.

Lösung. Die Helden von Conan Doyle können als Teilnehmer des Spiels betrachtet werden, dh als Spieler. Zur Verfügung jedes Spielers ich (ich=1,2) zwei reine Strategien:

• steigen Sie in Dover aus (Strategie si1 ( ich=1,2) );
• an einer Zwischenstation aussteigen (Strategie si2 ( ich=1,2) )

Je nachdem, welche der beiden Strategien jeder der beiden Spieler wählt, entsteht eine spezielle Kombination von Strategien als Paar s = (s1 , s 2 ) .

Jede Kombination kann mit einem Ereignis in Verbindung gebracht werden – dem Ergebnis eines Versuchs, Sherlock Holmes von Professor Moriarty zu töten. Wir erstellen eine Matrix dieses Spiels mit möglichen Ereignissen.

Unter jedem der Ereignisse ist ein Index angegeben, der die Übernahme von Professor Moriarty bedeutet und abhängig von der Rettung von Holmes berechnet wird. Beide Helden wählen gleichzeitig eine Strategie, ohne zu wissen, was der Gegner wählen wird. Das Spiel ist also nicht kooperativ, weil die Spieler erstens in unterschiedlichen Zügen sitzen und zweitens gegensätzliche Interessen haben.

Ein Beispiel für Formalisierung und Lösung eines kooperativen (Koalitions-)Spiels n Personen

An dieser Stelle wird dem praktischen Teil, also dem Ablauf der Lösung eines Beispielproblems, ein theoretischer Teil vorangestellt, in dem wir uns mit den Konzepten der Spieltheorie zur Lösung kooperativer (nicht kooperativer) Spiele vertraut machen. Für diese Aufgabe schlägt die Spieltheorie vor:

• die charakteristische Funktion (vereinfacht gesagt spiegelt sie den Wert der Vorteile wider, die der Zusammenschluss der Spieler zu einer Koalition mit sich bringt);
• das Konzept der Additivität (Eigenschaft von Mengen, die darin besteht, dass der Wert der Menge, die dem gesamten Objekt entspricht, gleich der Summe der Werte der Mengen ist, die seinen Teilen entsprechen, in einer bestimmten Klasse der Aufteilung des Objekts in Teile) und Superadditivität (der Wert der Größe, die dem gesamten Objekt entspricht, ist größer als die Summe der Werte der Größen, die seinen Teilen entsprechen) der charakteristischen Funktion.

Die Superadditivität der charakteristischen Funktion weist darauf hin, dass Koalitionen für die Spieler vorteilhaft sind, da in diesem Fall die Auszahlung der Koalition mit der Anzahl der Spieler steigt.

Um das Spiel zu formalisieren, müssen wir eine formale Notation für die obigen Konzepte einführen.

Für Spiel n bezeichne die Menge aller seiner Spieler als N= (1,2,...,n) Jede nicht leere Teilmenge der Menge N bezeichnet als T(einschließlich selbst N und alle Teilmengen, die aus einem Element bestehen). Es gibt eine Aktivität auf der Website Mengen und Operationen auf Mengen, die sich in einem neuen Fenster öffnet, wenn Sie auf den Link klicken.

Die charakteristische Funktion wird als bezeichnet v und sein Definitionsbereich besteht aus möglichen Teilmengen der Menge N. v(T) - der Wert der charakteristischen Funktion für eine bestimmte Teilmenge, zum Beispiel das Einkommen einer Koalition, die möglicherweise aus einem Spieler besteht. Dies ist wichtig, da die Spieltheorie für die Werte der charakteristischen Funktion aller nicht überlappenden Koalitionen das Vorhandensein von Superadditivität überprüfen muss.

Für zwei nicht leere Koalitionen von Teilmengen T1 und T2 die Additivität der charakteristischen Funktion eines kooperativen (Koalitions-)Spiels wird wie folgt geschrieben:

Und Superadditivität ist wie folgt:

Beispiel 2 Drei Schüler einer Musikschule verdienen sich in verschiedenen Clubs nebenbei Geld, ihre Einnahmen erhalten sie von Clubbesuchern. Stellen Sie fest, ob es für sie rentabel ist, sich zusammenzuschließen (wenn ja, unter welchen Bedingungen), indem sie die Konzepte der Spieltheorie verwenden, um kooperative Spiele zu lösen n Personen, mit folgenden Anfangsdaten.

Im Durchschnitt betrug ihr Umsatz pro Abend:

• der Geiger hat 600 Einheiten;
• der Gitarrist hat 700 Einheiten;
• der Sänger hat 900 Einheiten.

Um die Einnahmen zu steigern, gründeten die Studenten mehrere Monate lang verschiedene Gruppen. Die Ergebnisse zeigten, dass sie durch die Zusammenarbeit ihre Abendeinnahmen wie folgt steigern konnten:

• Geiger + Gitarrist verdient 1500 Einheiten;
• Geiger + Sänger verdient 1800 Einheiten;
• Gitarrist + Sänger verdient 1900 Einheiten;
• Geiger + Gitarrist + Sänger verdienten 3000 Einheiten.

Lösung. In diesem Beispiel die Anzahl der Teilnehmer am Spiel n= 3 , also besteht der Definitionsbereich der charakteristischen Funktion des Spiels aus 2³ = 8 möglichen Teilmengen der Menge aller Spieler. Lassen Sie uns alle möglichen Koalitionen auflisten T:

• Koalitionen eines Elements, die jeweils aus einem Spieler bestehen - einem Musiker: T{1} , T{2} , T{3} ;
• Koalitionen aus zwei Elementen: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
• Koalition aus drei Elementen: T{1,2,3} .

Wir weisen jedem Spieler eine Seriennummer zu:

• Geiger - 1. Spieler;
• Gitarrist - 2. Spieler;
• der Sänger ist der 3. Spieler.

Anhand der Problemdaten bestimmen wir die charakteristische Funktion des Spiels v:

v(T(1)) = 600 ; v(T(2)) = 700 ; v(T(3)) = 900 ; diese Werte der charakteristischen Funktion werden auf der Grundlage der Auszahlungen des ersten, zweiten und dritten Spielers bestimmt, wenn sie nicht in Koalitionen vereint sind;

v(T(1,2)) = 1500 ; v(T(1,3)) = 1800 ; v(T(2,3)) = 1900 ; diese Werte der charakteristischen Funktion werden durch die Einnahmen jedes in Koalitionen vereinten Spielerpaares bestimmt;

v(T(1,2,3)) = 3000 ; Dieser Wert der charakteristischen Funktion wird durch den durchschnittlichen Umsatz in dem Fall bestimmt, in dem die Spieler in Drillingen vereint waren.

Wir haben also alle möglichen Koalitionen von Spielern aufgelistet, acht davon gibt es, wie es sein sollte, da der Definitionsbereich der charakteristischen Funktion des Spiels aus genau acht möglichen Teilmengen der Menge aller Spieler besteht. Das fordert die Spieltheorie, da wir für die Werte der charakteristischen Funktion aller nicht überlappenden Koalitionen das Vorhandensein von Superadditivität prüfen müssen.

Wie werden in diesem Beispiel die Bedingungen der Superadditivität erfüllt? Lassen Sie uns definieren, wie die Spieler nicht überlappende Koalitionen bilden T1 und T2 . Wenn einige der Spieler in einer Koalition sind T1 , dann sind alle anderen Spieler in der Koalition T2 und per definitionem wird diese Koalition als die Differenz zwischen der Gesamtmenge der Spieler und der Menge gebildet T1 . Dann wenn T1 - eine Koalition von einem Spieler, dann in einer Koalition T2 es wird den zweiten und dritten Spieler geben, falls in der Koalition T1 wird der erste und dritte Spieler sein, dann die Koalition T2 besteht nur aus dem zweiten Spieler und so weiter.

Die Spieltheorie ist eine mathematische Methode zur Untersuchung optimaler Strategien in Spielen. Unter dem Begriff „Spiel“ ist das Zusammenwirken zweier oder mehrerer Parteien zu verstehen, die versuchen, ihre Interessen zu verwirklichen. Jede Seite hat ihre eigene Strategie, die je nach Verhalten der Spieler zu Sieg oder Niederlage führen kann. Dank der Spieltheorie wird es möglich, die effektivste Strategie zu finden, wobei Ideen über andere Spieler und ihr Potenzial berücksichtigt werden.

Die Spieltheorie ist ein Spezialgebiet des Operations Research. In den meisten Fällen werden spieltheoretische Methoden in den Wirtschaftswissenschaften verwendet, manchmal aber auch in anderen Sozialwissenschaften, beispielsweise in der Politikwissenschaft, Soziologie, Ethik und einigen anderen. Seit den 1970er Jahren wird es auch von Biologen verwendet, um das Verhalten von Tieren und die Evolutionstheorie zu untersuchen. Darüber hinaus ist die Spieltheorie heute von großer Bedeutung im Bereich der Kybernetik und. Deshalb wollen wir Ihnen davon erzählen.

Geschichte der Spieltheorie

Die optimalsten Strategien auf dem Gebiet der mathematischen Modellierung wurden bereits im 18. Jahrhundert von Wissenschaftlern vorgeschlagen. Im 19. Jahrhundert beschäftigten sich Wissenschaftler wie Joseph Bertrand und Antoine Cournot mit den Problemen der Preisbildung und Produktion auf einem Markt mit wenig Wettbewerb, die später zu klassischen Beispielen der Spieltheorie wurden. Und zu Beginn des 20. Jahrhunderts brachten die herausragenden Mathematiker Emil Borel und Ernst Zermelo die Idee einer mathematischen Interessenkonflikttheorie vor.

Die Ursprünge der mathematischen Spieltheorie liegen in der neoklassischen Ökonomie. Zunächst wurden die Grundlagen und Aspekte dieser Theorie 1944 in der Arbeit von Oscar Morgenstern und John von Neumann „Game Theory and Economic Behavior“ skizziert.

Das vorgestellte mathematische Gebiet fand auch einige Widerspiegelung in der sozialen Kultur. Zum Beispiel veröffentlichte Sylvia Nazar (eine amerikanische Journalistin und Schriftstellerin) 1998 ein Buch, das John Nash gewidmet war, einem Nobelpreisträger für Wirtschaftswissenschaften und einem Spezialisten für Spieltheorie. Basierend auf dieser Arbeit wurde 2001 der Film „A Beautiful Mind“ gedreht. Und auch einige amerikanische Fernsehsendungen wie "NUMB3RS", "Alias" und "Friend or Foe" beziehen sich in ihren Sendungen ab und zu auf die Spieltheorie.

Aber separat sollte es über John Nash gesagt werden.

1949 schrieb er eine Dissertation über Spieltheorie, 45 Jahre später erhielt er den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. In den allerersten Konzeptionen der Spieltheorie wurden Spiele des antagonistischen Typs analysiert, bei denen es Spieler gibt, die auf Kosten von Verlierern gewinnen. Aber John Nash hat solche analytischen Methoden entwickelt, dass alle Spieler entweder verlieren oder gewinnen.

Die von Nash entwickelten Situationen wurden später als „Nash-Gleichgewicht“ bezeichnet. Sie unterscheiden sich dadurch, dass alle Seiten des Spiels die optimalsten Strategien anwenden, wodurch ein stabiles Gleichgewicht entsteht. Das Gleichgewicht zu halten ist für die Spieler sehr vorteilhaft, da sich sonst jede Änderung negativ auf ihre Position auswirken kann.

Dank der Arbeit von John Nash erhielt die Spieltheorie einen starken Impuls in ihrer Entwicklung. Darüber hinaus wurden die mathematischen Werkzeuge der ökonomischen Modellierung grundlegend überarbeitet. John Nash konnte nachweisen, dass die klassische Sichtweise zum Thema Wettbewerb, wo jeder nur für sich selbst spielt, nicht optimal ist, und dass die effektivsten Strategien diejenigen sind, bei denen Spieler für sich selbst besser werden, zunächst besser für andere.

Obwohl anfangs auch ökonomische Modelle im Blickfeld der Spieltheorie standen, war sie bis in die 50er Jahre des letzten Jahrhunderts nur eine formale Theorie, begrenzt durch den Rahmen der Mathematik. Seit der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurden jedoch Versuche unternommen, es in den Wirtschaftswissenschaften, der Anthropologie, der Technik, der Kybernetik und der Biologie einzusetzen. Während des Zweiten Weltkriegs und danach begann sich das Militär mit der Spieltheorie zu befassen, die sie als ernsthaften Apparat bei der Entwicklung strategischer Entscheidungen ansah.

In den 1960er und 1970er Jahren schwand das Interesse an dieser Theorie, obwohl sie gute mathematische Ergebnisse lieferte. Aber seit den 80er Jahren hat die aktive Anwendung der Spieltheorie in der Praxis begonnen, hauptsächlich in Management und Ökonomie. In den letzten Jahrzehnten hat seine Relevanz stark zugenommen und ist aus manchen modernen Wirtschaftsströmungen nicht mehr wegzudenken.

Es wäre nicht überflüssig zu erwähnen, dass die Arbeit „Strategy of Conflict“ des Wirtschaftsnobelpreisträgers Thomas Schelling im Jahr 2005 einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der Spieltheorie geleistet hat. In seiner Arbeit betrachtete Schelling eine Vielzahl von Strategien, die von Teilnehmern an Konfliktinteraktionen verwendet werden. Diese Strategien stimmten mit den Taktiken und Analyseprinzipien des Konfliktmanagements überein, die in verwendet werden, sowie mit den Taktiken, die verwendet werden, um Konflikte in Organisationen zu bewältigen.

In der Psychologie und einigen anderen Disziplinen hat der Begriff „Spiel“ eine etwas andere Bedeutung als in der Mathematik. Die kulturwissenschaftliche Interpretation des Begriffs „Spiel“ wurde in dem Buch „Homo Ludens“ von Johan Huizinga dargestellt, wo der Autor über den Einsatz von Spielen in Ethik, Kultur und Gerechtigkeit spricht und auch darauf hinweist, dass das Spiel selbst deutlich älter ist als eine Person im Alter, weil Tiere auch zum Spielen neigen.

Auch der Begriff „Spiel“ findet sich im Konzept von Eric Burn wieder, bekannt aus dem Buch „“. Wir sprechen hier jedoch ausschließlich von psychologischen Spielen, deren Grundlage die Transaktionsanalyse ist.

Anwendung der Spieltheorie

Wenn wir über die mathematische Theorie der Spiele sprechen, befindet sie sich derzeit im Stadium der aktiven Entwicklung. Aber die mathematische Basis ist an sich sehr aufwendig, weshalb sie hauptsächlich nur dann eingesetzt wird, wenn der Zweck die Mittel heiligt, nämlich: in der Politik, der Monopolökonomie und der Verteilung von Marktmacht etc. Ansonsten wird die Spieltheorie bei der Untersuchung des Verhaltens von Menschen und Tieren in einer Vielzahl von Situationen angewendet.

Wie bereits erwähnt, entwickelte sich zunächst im Rahmen der Wirtschaftswissenschaften die Spieltheorie, durch die es möglich wurde, das Verhalten von Wirtschaftssubjekten in verschiedenen Situationen zu bestimmen und zu interpretieren. Später erweiterte sich der Anwendungsbereich jedoch erheblich und umfasste viele Sozialwissenschaften, dank denen heute mit Hilfe der Spieltheorie menschliches Verhalten in Psychologie, Soziologie und Politikwissenschaft erklärt wird.

Spezialisten verwenden die Spieltheorie nicht nur, um menschliches Verhalten zu erklären und vorherzusagen – es wurden viele Versuche unternommen, diese Theorie zu verwenden, um Referenzverhalten zu entwickeln. Darüber hinaus versuchen Philosophen und Ökonomen seit langem, gutes oder würdiges Verhalten mit seiner Hilfe zu verstehen.

Daraus können wir schließen, dass die Spieltheorie zu einem echten Wendepunkt in der Entwicklung vieler Wissenschaften geworden ist und heute ein wesentlicher Bestandteil des Prozesses der Untersuchung verschiedener Aspekte des menschlichen Verhaltens ist.

STATT SCHLUSSFOLGERUNG: Wie Sie bemerkt haben, ist die Spieltheorie ziemlich eng mit der Konfliktologie verbunden – einer Wissenschaft, die sich der Erforschung des Verhaltens von Menschen im Prozess der Konfliktinteraktion widmet. Und unserer Meinung nach ist dieser Bereich einer der wichtigsten nicht nur unter denen, in denen Spieltheorie angewendet werden sollte, sondern auch unter denen, die ein Mensch selbst studieren sollte, denn Konflikte, was auch immer man sagen mag, gehören zu unserem Leben .

Wenn Sie verstehen möchten, welche Verhaltensstrategien bei ihnen im Allgemeinen existieren, empfehlen wir Ihnen, unseren Kurs zur Selbsterkenntnis zu belegen, der Ihnen solche Informationen vollständig liefern wird. Aber darüber hinaus sind Sie nach Abschluss unseres Kurses in der Lage, eine umfassende Einschätzung Ihrer Persönlichkeit im Allgemeinen durchzuführen. Und das bedeutet, dass Sie wissen, wie Sie sich im Konfliktfall verhalten, was Ihre persönlichen Stärken und Schwächen, Lebenswerte und Prioritäten, Arbeitsveranlagung und Kreativität und vieles mehr sind. Im Allgemeinen ist dies ein sehr nützliches und notwendiges Werkzeug für alle, die sich weiterentwickeln möchten.

Unser Kurs ist lokalisiert - gehen Sie mutig zur Selbsterkenntnis und verbessern Sie sich.

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg und die Fähigkeit, in jedem Spiel ein Gewinner zu sein!