Konvertuoti skaitines ir abėcėles išraiškas. Galios išraiškos (išraiškos su galiomis) ir jų konvertavimas Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Pažodinė išraiška (arba kintamoji išraiška) yra matematinė išraiška, susidedanti iš skaičių, raidžių ir matematinių simbolių. Pavyzdžiui, ši išraiška yra pažodinė:

a+b+4

Naudodami abėcėlės išraiškas galite rašyti dėsnius, formules, lygtis ir funkcijas. Gebėjimas manipuliuoti raidžių išraiškomis yra raktas į geras algebros ir aukštosios matematikos žinias.

Bet kokia rimta matematikos problema kyla sprendžiant lygtis. O tam, kad galėtum spręsti lygtis, reikia mokėti dirbti su pažodinėmis išraiškomis.

Norėdami dirbti su pažodinėmis išraiškomis, turite gerai išmanyti pagrindinę aritmetiką: sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, pagrindinius matematikos dėsnius, trupmenas, operacijas su trupmenomis, proporcijas. Ir ne tik mokytis, bet ir nuodugniai suprasti.

Pamokos turinys

Kintamieji

Raidės, esančios pažodinėse išraiškose, vadinamos kintamieji. Pavyzdžiui, išraiškoje a+b+ 4 kintamieji yra raidės a Ir b. Jei vietoj šių kintamųjų pakeisime bet kokius skaičius, tada pažodinė išraiška a+b+ 4 pavirs skaitine išraiška, kurios reikšmę galima rasti.

Skaičiai, kurie yra pakeisti kintamaisiais, vadinami kintamųjų reikšmės. Pavyzdžiui, pakeiskime kintamųjų reikšmes a Ir b. Lygybės ženklas naudojamas reikšmėms keisti

a = 2, b = 3

Mes pakeitėme kintamųjų reikšmes a Ir b. Kintamasis a priskirta vertė 2 , kintamasis b priskirta vertė 3 . Dėl to pažodinė išraiška a+b+4 virsta įprasta skaitine išraiška 2+3+4 kurio vertę galima rasti:

Kai kintamieji dauginami, jie rašomi kartu. Pavyzdžiui, įrašyti ab reiškia tą patį, ką ir įrašas a × b. Jei pakeisime kintamuosius a Ir b numeriai 2 Ir 3 , tada gauname 6

Taip pat skliausteliuose galite parašyti skaičiaus dauginimą iš išraiškos. Pavyzdžiui, vietoj a × (b + c) galima užsirašyti a(b + c). Taikydami daugybos pasiskirstymo dėsnį, gauname a(b + c)=ab+ac.

Šansai

Pažodinėse išraiškose dažnai galite rasti užrašą, kuriame, pavyzdžiui, skaičius ir kintamasis rašomi kartu 3a. Tai iš tikrųjų yra santrumpa, skirta skaičių 3 padauginti iš kintamojo. a ir šis įrašas atrodo taip 3×a .

Kitaip tariant, išraiška 3a yra skaičiaus 3 ir kintamojo sandauga a. Skaičius 3 šiame darbe jie vadina koeficientas. Šis koeficientas parodo, kiek kartų kintamasis bus padidintas a. Ši išraiška gali būti perskaityta kaip " a tris kartus“ arba „tris kartus A“ arba „padidinti kintamojo vertę a tris kartus“, bet dažniausiai skaitomas kaip „trys a«

Pavyzdžiui, jei kintamasis a lygus 5 , tada išraiškos reikšmė 3a bus lygus 15.

3 × 5 = 15

Paprastais žodžiais tariant, koeficientas yra skaičius, esantis prieš raidę (prieš kintamąjį).

Pavyzdžiui, gali būti kelios raidės 5abc. Čia koeficientas yra skaičius 5 . Šis koeficientas parodo, kad kintamųjų sandauga abc padidėja penkis kartus. Ši išraiška gali būti perskaityta kaip " abc penkis kartus“ arba „padidinkite išraiškos vertę abc penkis kartus“ arba „penkis abc «.

Jei vietoj kintamųjų abc pakeiskite skaičius 2, 3 ir 4, tada išraiškos reikšmę 5abc bus lygus 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Galite mintyse įsivaizduoti, kaip pirmą kartą buvo padauginti skaičiai 2, 3 ir 4, o gauta vertė padidėjo penkis kartus:

Koeficiento ženklas nurodo tik koeficientą ir netaikomas kintamiesiems.

Apsvarstykite išraišką −6b. Minusas prieš koeficientą 6 , taikomas tik koeficientui 6 , ir nepriklauso kintamajam b. Šio fakto supratimas leis ateityje nedaryti klaidų su ženklais.

Raskime išraiškos reikšmę −6b adresu b = 3.

−6b –6 × b. Aiškumo dėlei parašykime išraišką −6b išplėstine forma ir pakeisti kintamojo reikšmę b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę −6b adresu b = −5

Užrašykime išraišką −6b išplėstoje formoje

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę −5a+b adresu a = 3 Ir b = 2

−5a+b tai trumpa forma −5 × a + b, todėl aiškumo dėlei rašome išraišką −5×a+b išplėstine forma ir pakeisti kintamųjų reikšmes a Ir b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Kartais raidės rašomos, pavyzdžiui, be koeficiento a arba ab. Šiuo atveju koeficientas yra vienetas:

bet tradiciškai vienetas nenurašomas, todėl tiesiog rašo a arba ab

Jei prieš raidę yra minusas, tada koeficientas yra skaičius −1 . Pavyzdžiui, išraiška −a iš tikrųjų atrodo −1a. Tai yra minus vieno ir kintamojo sandauga a. Tai pasirodė taip:

−1 × a = −1a

Čia yra mažas laimikis. Išraiškoje −a minuso ženklas prieš kintamąjį a iš tikrųjų reiškia „nematomą vienetą“, o ne kintamąjį a. Todėl spręsdami problemas turėtumėte būti atsargūs.

Pavyzdžiui, jei pateikiama išraiška −a ir mūsų prašoma rasti jo vertę a = 2, tada mokykloje vietoj kintamojo pakeitėme du a ir gavo atsakymą −2 , per daug nesikreipiant į tai, kaip tai pasirodė. Tiesą sakant, minus vienas buvo padaugintas iš teigiamo skaičiaus 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Jei pateikiama išraiška −a ir jūs turite rasti jo vertę a = −2, tada pakeičiame −2 vietoj kintamojo a

−a = −1 × a

–1 × a = –1 × (–2) = 2

Norint išvengti klaidų, iš pradžių galima aiškiai užrašyti nematomus vienetus.

4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę abc adresu a=2 , b = 3 Ir c=4

Išraiška abc 1×a×b×c. Aiškumo dėlei parašykime išraišką abc a, b Ir c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

5 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę abc adresu a=−2 , b=−3 Ir c=−4

Užrašykime išraišką abc išplėstine forma ir pakeisti kintamųjų reikšmes a, b Ir c

1 × a × b × c = 1 × (–2) × (–3) × (–4) = –24

6 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę − abc adresu a = 3, b = 5 ir c = 7

Išraiška − abc tai trumpa forma −1×a×b×c. Aiškumo dėlei parašykime išraišką − abc išplėstine forma ir pakeisti kintamųjų reikšmes a, b Ir c

−abc = −1 × a × b × c = –1 × 3 × 5 × 7 = –105

7 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę − abc adresu a=−2 , b=−4 ir c=−3

Užrašykime išraišką − abc išplėstine forma:

−abc = −1 × a × b × c

Pakeiskime kintamųjų reikšmes a , b Ir c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kaip nustatyti koeficientą

Kartais reikia išspręsti problemą, kurioje reikia nustatyti išraiškos koeficientą. Iš esmės ši užduotis yra labai paprasta. Pakanka mokėti teisingai padauginti skaičius.

Norint nustatyti išraiškos koeficientą, reikia atskirai padauginti į šią išraišką įtrauktus skaičius ir atskirai padauginti raides. Gautas skaitinis koeficientas bus koeficientas.

1 pavyzdys. 7m×5a×(−3)×n

Išraiška susideda iš kelių veiksnių. Tai galima aiškiai matyti, jei išraišką rašote išplėstine forma. Tai yra, veikia 7 m Ir 5a parašykite jį formoje 7×m Ir 5×a

7 × m × 5 × a × (–3) × n

Taikykime asociatyvinį daugybos dėsnį, leidžiantį dauginti koeficientus bet kokia tvarka. Būtent, atskirai padauginsime skaičius ir atskirai padauginsime raides (kintamuosius):

–3 × 7 × 5 × m × a × n = –105 žmogus

Koeficientas yra −105 . Baigę raidės dalį patartina išdėstyti abėcėlės tvarka:

–105 val

2 pavyzdys. Nustatykite koeficientą išraiškoje: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficientas yra 6.

3 pavyzdys. Nustatykite koeficientą išraiškoje:

Padauginkime skaičius ir raides atskirai:

Koeficientas yra –1. Atkreipkite dėmesį, kad vienetas nenurašomas, nes koeficiento 1 įprasta nerašyti.

Šios iš pažiūros paprasčiausios užduotys gali mums labai žiauriai pajuokauti. Dažnai paaiškėja, kad koeficiento ženklas nustatytas neteisingai: arba trūksta minuso, arba, priešingai, jis nustatytas veltui. Norint išvengti šių erzinančių klaidų, jis turi būti gerai išstudijuotas.

Prideda pažodinėse išraiškose

Sudėjus kelis skaičius, gaunama šių skaičių suma. Skaičiai, kurie pridedami, vadinami papildymais. Gali būti keli terminai, pavyzdžiui:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kai išraiška susideda iš terminų, ją daug lengviau įvertinti, nes sudėti lengviau nei atimti. Tačiau išraiškoje gali būti ne tik pridėjimo, bet ir atimties, pavyzdžiui:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Šioje išraiškoje skaičiai 3 ir 5 yra sudedamosios dalys, o ne priedai. Tačiau niekas netrukdo mums atimties pakeisti pridėjimu. Tada vėl gauname išraišką, kurią sudaro terminai:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nesvarbu, kad skaičiai −3 ir −5 dabar turi minuso ženklą. Svarbiausia, kad visi šios išraiškos skaičiai būtų sujungti sudėjimo ženklu, tai yra, išraiška yra suma.

Abi išraiškos 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Ir 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) lygi tai pačiai reikšmei – atėmus vieną

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Taigi, posakio prasmė nenukentės, jei kur nors atimtį pakeisime pridėjimu.

Taip pat pažodinėse išraiškose atimtį galite pakeisti pridėjimu. Pavyzdžiui, apsvarstykite šią išraišką:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)

Bet kurioms kintamųjų reikšmėms a, b, c, d Ir s posakius 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Ir 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) bus lygi tai pačiai vertei.

Turite būti pasiruošę, kad mokytojas mokykloje ar instituto mokytojas gali skambinti lyginiais skaičiais (arba kintamaisiais), kurie nėra priedai.

Pavyzdžiui, jei skirtumas užrašytas lentoje a - b, tada mokytojas to nesakys a yra smulkmena ir b- atimamas. Abu kintamuosius jis vadins vienu bendru žodžiu - terminai. Ir viskas dėl formos išraiškos a - b matematikas mato, kaip suma a+(-b). Šiuo atveju išraiška tampa suma, o kintamieji a Ir (-b) tapti terminais.

Panašūs terminai

Panašūs terminai- tai terminai, turintys tą pačią raidės dalį. Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką 7a + 6b + 2a. Komponentai 7a Ir 2a turėti tą pačią raidės dalį – kintamąjį a. Taigi sąlygos 7a Ir 2a yra panašūs.

Paprastai panašūs terminai pridedami siekiant supaprastinti išraišką arba išspręsti lygtį. Ši operacija vadinama atneša panašias sąlygas.

Norėdami gauti panašius terminus, turite pridėti šių terminų koeficientus ir gautą rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies.

Pavyzdžiui, išraiškoje pateiksime panašius terminus 3a + 4a + 5a. Šiuo atveju visi terminai yra panašūs. Sudėkime jų koeficientus ir gautą rezultatą padauginkime iš bendrosios raidės dalies – iš kintamojo a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) ×a = 12a

Panašūs terminai paprastai iškeliami galvoje, o rezultatas iškart užrašomas:

3a + 4a + 5a = 12a

Taip pat galima motyvuoti taip:

Buvo 3 kintamieji a, prie jų buvo pridėti dar 4 kintamieji a ir dar 5 kintamieji a. Dėl to gavome 12 kintamųjų a

Pažvelkime į kelis panašių terminų pateikimo pavyzdžius. Atsižvelgiant į tai, kad ši tema yra labai svarbi, iš pradžių mes išsamiai surašysime kiekvieną smulkmeną. Nors čia viskas labai paprasta, dauguma žmonių daro daug klaidų. Daugiausia dėl neatidumo, o ne nežinojimo.

1 pavyzdys. 3a+ 2a+ 6a+ 8a

Sudėkime šios išraiškos koeficientus ir gautą rezultatą padauginkime iš bendrosios raidės dalies:

3a+ 2a+ 6a+ 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19a

Statyba (3 + 2 + 6 + 8) ×a Jums nereikia jo užsirašyti, todėl atsakymą parašysime iš karto

3 a+ 2 a+ 6 a+ 8 a = 19 a

2 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 2a+a

Antra kadencija a parašytas be koeficiento, bet iš tikrųjų prieš jį yra koeficientas 1 , kurio nematome, nes neįrašyta. Taigi išraiška atrodo taip:

2a + 1a

Dabar pateiksime panašius terminus. Tai yra, sudedame koeficientus ir padauginame rezultatą iš bendrosios raidės dalies:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Trumpai užrašykite sprendimą:

2a + a = 3a

2a+a, galite galvoti kitaip:

3 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 2a-a

Atimtį pakeiskime pridėjimu:

2a + (-a)

Antra kadencija (-a) parašyta be koeficiento, bet iš tikrųjų atrodo (−1a). Koeficientas −1 vėl nematomas dėl to, kad neįrašyta. Taigi išraiška atrodo taip:

2a + (-1a)

Dabar pateiksime panašius terminus. Sudėkime koeficientus ir padauginkime rezultatą iš bendrosios raidės dalies:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Paprastai rašoma trumpiau:

2a − a = a

Panašių terminų suteikimas išraiškoje 2a-a Galite galvoti kitaip:

Buvo 2 kintamieji a, atimkite vieną kintamąjį a, ir dėl to liko tik vienas kintamasis a

4 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Dabar pateiksime panašius terminus. Sudėkime koeficientus ir gautą rezultatą padauginkime iš visos raidės dalies

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Trumpai užrašykite sprendimą:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Yra posakių, kuriuose yra kelios skirtingos panašių terminų grupės. Pavyzdžiui, 3a + 3b + 7a + 2b. Tokioms išraiškoms galioja tos pačios taisyklės kaip ir kitoms, ty koeficientų pridėjimas ir gauto rezultato dauginimas iš bendrosios raidės dalies. Tačiau norint išvengti klaidų, skirtingas terminų grupes patogu paryškinti skirtingomis eilutėmis.

Pavyzdžiui, išraiškoje 3a + 3b + 7a + 2b tie terminai, kuriuose yra kintamasis a, galima pabraukti viena eilute, ir tuos terminus, kuriuose yra kintamasis b, galima pabrėžti dviem eilutėmis:

Dabar galime pateikti panašius terminus. Tai yra, pridėkite koeficientus ir gautą rezultatą padauginkite iš visos raidžių dalies. Tai turi būti padaryta abiem terminų grupėms: terminams, kuriuose yra kintamasis a ir terminams, kuriuose yra kintamasis b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3 + 7) × a + (3 + 2) × b = 10a + 5b

Dar kartą kartojame, kad posakis yra paprastas ir galima turėti omenyje panašius terminus:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

5 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 5a − 6a −7b + b

Jei įmanoma, atimtį pakeiskime pridėjimu:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Pabrėžkime panašius terminus skirtingomis eilutėmis. Terminai, kuriuose yra kintamųjų a pabraukiame viena eilute ir terminus, kuriuose yra kintamųjų b, pabraukite dviem eilutėmis:

Dabar galime pateikti panašius terminus. Tai yra, pridėkite koeficientus ir gautą rezultatą padauginkite iš bendrosios raidės dalies:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1) × b = −a + (−6b)

Jei išraiškoje yra įprasti skaičiai be raidžių faktorių, jie pridedami atskirai.

6 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 4a + 3a – 5 + 2b + 7

Jei įmanoma, atimtį pakeiskime pridėjimu:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Pateiksime panašius terminus. Skaičiai −5 Ir 7 neturi raidžių faktorių, bet jie yra panašūs terminai – juos tereikia pridėti. Ir terminas 2b išliks nepakitęs, nes jis vienintelis šioje išraiškoje turi raidžių koeficientą b, ir nėra ko pridurti:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Trumpai užrašykite sprendimą:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Terminus galima rūšiuoti taip, kad tie terminai, turintys tą pačią raidžių dalį, būtų toje pačioje išraiškos dalyje.

7 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 5t+2x+3x+5t+x

Kadangi išraiška yra kelių terminų suma, tai leidžia įvertinti ją bet kokia tvarka. Todėl terminai, kuriuose yra kintamasis t, galima įrašyti reiškinio pradžioje, o terminai, kuriuose yra kintamasis x posakio pabaigoje:

5 t + 5 t + 2x + 3x + x

Dabar galime pateikti panašius terminus:

5 t + 5 t + 2x + 3x + x = (5 + 5) × t + (2 + 3 + 1) × x = 10 t + 6x

Trumpai užrašykite sprendimą:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Priešingų skaičių suma lygi nuliui. Ši taisyklė tinka ir pažodinėms išraiškoms. Jei išraiškoje yra identiškų terminų, bet su priešingais ženklais, galite jų atsikratyti panašių terminų mažinimo etape. Kitaip tariant, tiesiog pašalinkite juos iš išraiškos, nes jų suma lygi nuliui.

8 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 3t − 4t − 3t + 2t

Jei įmanoma, atimtį pakeiskime pridėjimu:

3t – 4t – 3t + 2t = 3t + (-4t) + (-3t) + 2t

Komponentai 3t Ir (-3t) yra priešingi. Priešingų terminų suma lygi nuliui. Jei iš reiškinio pašalinsime šį nulį, išraiškos reikšmė nepasikeis, todėl ją pašalinsime. Ir mes jį pašalinsime tiesiog perbraukdami terminus 3t Ir (-3t)

Dėl to mums liks išraiška (−4t) + 2t. Šioje išraiškoje galite pridėti panašių terminų ir gauti galutinį atsakymą:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Trumpai užrašykite sprendimą:

Išraiškų supaprastinimas

"supaprastinti posakį" o žemiau yra išraiška, kurią reikia supaprastinti. Supaprastinkite išraišką reiškia padaryti jį paprastesnį ir trumpesnį.

Tiesą sakant, mes jau supaprastinome išraiškas, kai sumažinome trupmenas. Po sumažinimo frakcija tapo trumpesnė ir lengviau suprantama.

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį. Supaprastinkite išraišką.

Šią užduotį pažodžiui galima suprasti taip: "Taikykite bet kokius tinkamus veiksmus šiai išraiškai, bet supaprastinkite." .

Tokiu atveju galite sumažinti trupmeną, ty padalyti trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 2:

Ką dar galite padaryti? Galite apskaičiuoti gautą trupmeną. Tada gauname dešimtainę trupmeną 0,5

Dėl to trupmena buvo supaprastinta iki 0,5.

Pirmas klausimas, kurį turite užduoti sau sprendžiant tokias problemas, turėtų būti "Ką galima padaryti?" . Nes yra veiksmų, kuriuos galite padaryti, ir yra veiksmų, kurių negalite padaryti.

Kitas svarbus dalykas, kurį reikia atsiminti, yra tai, kad posakio reikšmė neturėtų pasikeisti supaprastinus išraišką. Grįžkime prie išraiškos. Ši išraiška reiškia padalijimą, kurį galima atlikti. Atlikę šį padalijimą, gauname šios išraiškos reikšmę, kuri lygi 0,5

Tačiau mes supaprastinome išraišką ir gavome naują supaprastintą išraišką. Naujos supaprastintos išraiškos reikšmė vis dar yra 0,5

Tačiau mes taip pat bandėme supaprastinti išraišką ją apskaičiuodami. Dėl to gavome galutinį atsakymą – 0,5.

Taigi, kad ir kaip supaprastintume išraišką, gautų išraiškų reikšmė vis tiek yra lygi 0,5. Tai reiškia, kad supaprastinimas buvo atliktas teisingai kiekviename etape. Kaip tik to turėtume siekti supaprastindami posakius – posakio prasmė neturėtų nukentėti nuo mūsų veiksmų.

Dažnai reikia supaprastinti pažodinius posakius. Joms taikomos tos pačios supaprastinimo taisyklės kaip ir skaitinėms išraiškoms. Galite atlikti bet kokius galiojančius veiksmus, jei išraiškos reikšmė nesikeičia.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 5,21 s × t × 2,5

Norėdami supaprastinti šią išraišką, galite padauginti skaičius atskirai ir raides padauginti atskirai. Ši užduotis labai panaši į tą, kurią žiūrėjome, kai išmokome nustatyti koeficientą:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Taigi išraiška 5,21 s × t × 2,5 supaprastinta iki 13 025 g.

2 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką –0,4 × (–6,3b) × 2

Antras gabalas (−6,3b) gali būti išverstas į mums suprantamą formą, būtent parašyta forma ( −6,3) × b , tada padauginkite skaičius atskirai ir padauginkite raides atskirai:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Taigi išraiška –0,4 × (–6,3b) × 2 supaprastinta iki 5.04b

3 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Parašykime šią išraišką išsamiau, kad aiškiai matytume, kur yra skaičiai, o kur raidės:

Dabar padauginkime skaičius atskirai ir padauginkime raides atskirai:

Taigi išraiška supaprastinta iki −abc.Šį sprendimą galima parašyti trumpai:

Supaprastinant išraiškas, trupmenas galima sumažinti sprendimo proceso metu, o ne pačioje pabaigoje, kaip tai padarėme su paprastosiomis trupmenomis. Pavyzdžiui, jei spręsdami susiduriame su formos išraiška , tada visai nebūtina skaičiuoti skaitiklio ir vardiklio ir daryti kažką panašaus:

Trupmeną galima sumažinti pasirinkus veiksnį tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje ir sumažinant šiuos veiksnius didžiausiu bendru koeficientu. Kitaip tariant, naudojimas, kuriame mes išsamiai neaprašome, į ką buvo padalintas skaitiklis ir vardiklis.

Pavyzdžiui, skaitiklyje koeficientas yra 12, o vardiklyje koeficientas 4 gali būti sumažintas 4. Mintyse laikomės keturių, o 12 ir 4 padalijus iš šio ketverto, šalia šių skaičių užrašome atsakymus, iš pradžių juos perbraukęs

Dabar galite padauginti gautus mažus veiksnius. Šiuo atveju jų yra nedaug ir mintyse galite juos padauginti:

Laikui bėgant galite pastebėti, kad sprendžiant tam tikrą problemą išsireiškimai pradeda „storėti“, todėl patartina priprasti prie greitų skaičiavimų. Tai, ką galima apskaičiuoti protu, turi būti apskaičiuota protu. Tai, ką galima greitai sumažinti, reikia greitai sumažinti.

4 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Taigi išraiška supaprastinta iki

5 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Padauginkime skaičius atskirai ir raides atskirai:

Taigi išraiška supaprastinta iki mn.

6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Parašykime šią išraišką išsamiau, kad aiškiai matytume, kur yra skaičiai, o kur raidės:

Dabar padauginkime skaičius atskirai ir raides atskirai. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, dešimtainę trupmeną –6,4 ir mišrųjį skaičių galima paversti įprastomis trupmenomis:

Taigi išraiška supaprastinta iki

Šio pavyzdžio sprendimą galima parašyti daug trumpiau. Tai atrodys taip:

7 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Padauginkime skaičius atskirai ir raides atskirai. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, mišrius skaičius ir dešimtaines trupmenas 0,1 ir 0,6 galima paversti įprastomis trupmenomis:

Taigi išraiška supaprastinta iki abcd. Jei praleisite detales, šis sprendimas gali būti parašytas daug trumpiau:

Atkreipkite dėmesį, kaip trupmena buvo sumažinta. Taip pat leidžiama sumažinti naujus veiksnius, kurie gaunami sumažinus ankstesnius veiksnius.

Dabar pakalbėkime apie tai, ko nedaryti. Supaprastinant išraiškas griežtai draudžiama dauginti skaičius ir raides, jei išraiška yra suma, o ne sandauga.

Pavyzdžiui, jei norite supaprastinti išraišką 5a+4b, tada negalite rašyti taip:

Tai tas pats, jei mūsų paprašytų pridėti du skaičius ir mes juos padaugintume, o ne pridėtume.

Keičiant bet kokias kintamąsias reikšmes a Ir b išraiška 5a + 4b virsta įprasta skaitine išraiška. Tarkime, kad kintamieji a Ir b turi šias reikšmes:

a = 2, b = 3

Tada išraiškos reikšmė bus lygi 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Pirmiausia atliekamas dauginimas, o tada rezultatai pridedami. Ir jei pabandytume supaprastinti šią išraišką padaugindami skaičius ir raides, gautume:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Pasirodo, visiškai kitokia išraiškos reikšmė. Pirmuoju atveju pavyko 22 , antruoju atveju 120 . Tai reiškia, kad supaprastinama išraiška 5a+4b buvo atliktas neteisingai.

Supaprastinus išraišką, jos reikšmė neturėtų keistis esant toms pačioms kintamųjų reikšmėms. Jei pakeičiant bet kokias kintamųjų reikšmes į pradinę išraišką, gaunama viena reikšmė, tada supaprastinus išraišką, reikia gauti tą pačią reikšmę kaip ir prieš supaprastinimą.

Su išraiška 5a+4b tikrai nieko negali padaryti. Tai nesupaprastina.

Jei išraiškoje yra panašių terminų, juos galima pridėti, jei mūsų tikslas yra supaprastinti išraišką.

8 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 0,3a–0,4a+a

0,3a - 0,4a + a = 0,3a + (-0,4a) + a = (0,3 + (-0,4) + 1) ×a ​​= 0,9a

arba trumpiau: 0,3a – 0,4a + a = 0,9a

Taigi išraiška 0,3a–0,4a+a supaprastinta iki 0,9a

9 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką −7,5a − 2,5b + 4a

Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

arba trumpesnis −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Terminas (−2,5b) liko nepakitęs, nes nebuvo su kuo dėti.

10 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:

Koeficientas buvo skirtas skaičiavimo patogumui.

Taigi išraiška supaprastinta iki

11 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:

Taigi išraiška supaprastinta iki .

Šiame pavyzdyje būtų tikslingiau pirmiausia pridėti pirmąjį ir paskutinįjį koeficientus. Tokiu atveju turėtume trumpą sprendimą. Tai atrodytų taip:

12 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:

Taigi išraiška supaprastinta iki .

Terminas liko nepakitęs, nes nebuvo prie ko jo pridėti.

Šį sprendimą galima parašyti daug trumpiau. Tai atrodys taip:

Trumpame sprendime buvo praleisti žingsniai, kai atimtis buvo pakeista pridėjimu ir išsamiai aprašyta, kaip trupmenos buvo sumažintos iki bendro vardiklio.

Kitas skirtumas yra tas, kad išsamiame sprendime atsakymas atrodo taip , bet trumpai kaip . Tiesą sakant, jie yra ta pati išraiška. Skirtumas tas, kad pirmuoju atveju atėmimas pakeičiamas sudėjimu, nes pradžioje detaliai užrašydami sprendimą, kur tik įmanoma, atimtį pakeitėme pridėjimu ir šis pakeitimas buvo išsaugotas atsakymui.

Tapatybės. Identiškai vienodos išraiškos

Supaprastinus bet kurią išraišką, ji tampa paprastesnė ir trumpesnė. Norėdami patikrinti, ar supaprastinta išraiška yra teisinga, pakanka bet kokias kintamųjų reikšmes pirmiausia pakeisti ankstesne išraiška, kurią reikėjo supaprastinti, o po to į naują, kuri buvo supaprastinta. Jei abiejų išraiškų reikšmė yra tokia pati, tada supaprastinta išraiška yra teisinga.

Pažiūrėkime į paprastą pavyzdį. Tegul reikia supaprastinti išraišką 2a × 7b. Norėdami supaprastinti šią išraišką, galite padauginti skaičius ir raides atskirai:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Patikrinkime, ar teisingai supaprastinome išraišką. Norėdami tai padaryti, pakeiskime bet kokias kintamųjų reikšmes a Ir b pirmiausia į pirmąją išraišką, kurią reikėjo supaprastinti, o paskui į antrąją, kuri buvo supaprastinta.

Tegul kintamųjų reikšmės a , b bus taip:

a = 4, b = 5

Pakeiskime juos pirmąja išraiška 2a × 7b

Dabar pakeiskime tas pačias kintamųjų reikšmes į išraišką, kuri atsirado dėl supaprastinimo 2a × 7b, būtent išraiškoje 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Tai matome, kai a=4 Ir b=5 pirmosios išraiškos vertė 2a × 7b o antrojo posakio prasmė 14ab lygus

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Tas pats nutiks ir bet kurioms kitoms vertybėms. Pavyzdžiui, tegul a=1 Ir b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Taigi bet kurioms išraiškos kintamųjų reikšmėms 2a × 7b Ir 14ab yra lygūs tai pačiai vertei. Tokios išraiškos vadinamos identiškai lygus.

Darome išvadą, kad tarp posakių 2a × 7b Ir 14ab galite įdėti lygybės ženklą, nes jie yra vienodi.

2a × 7b = 14ab

Lygybė yra bet kokia išraiška, sujungta lygybės ženklu (=).

Ir formos lygybė 2a × 7b = 14ab paskambino tapatybę.

Tapatybė yra lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms.

Kiti tapatybių pavyzdžiai:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Taip, matematikos dėsniai, kuriuos studijavome, yra tapatybės.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat yra tapatybės. Pavyzdžiui:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Sprendžiant sudėtingą uždavinį, siekiant palengvinti skaičiavimą, sudėtinga išraiška pakeičiama paprastesne išraiška, kuri yra identiška ankstesnei. Šis pakeitimas vadinamas identiška išraiškos transformacija arba tiesiog transformuojant išraišką.

Pavyzdžiui, mes supaprastinome išraišką 2a × 7b, ir gavo paprastesnę išraišką 14ab. Šis supaprastinimas gali būti vadinamas tapatybės transformacija.

Dažnai galite rasti užduotį, kuri sako „įrodyti, kad lygybė yra tapatybė“ ir tada pateikiama lygybė, kurią reikia įrodyti. Paprastai ši lygybė susideda iš dviejų dalių: kairės ir dešinės lygybės dalių. Mūsų užduotis yra atlikti tapatybės transformacijas su viena iš lygybės dalių ir gauti kitą dalį. Arba atlikite identiškas transformacijas abiejose lygybės pusėse ir įsitikinkite, kad abiejose lygybės pusėse yra tos pačios išraiškos.

Pavyzdžiui, įrodykime, kad lygybė 0,5a × 5b = 2,5ab yra tapatybė.

Supaprastinkime kairiąją šios lygybės pusę. Norėdami tai padaryti, padauginkite skaičius ir raides atskirai:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Dėl nedidelės tapatybės transformacijos kairioji lygybės pusė tapo lygiavertė dešiniajai lygybės pusei. Taigi mes įrodėme, kad lygybė 0,5a × 5b = 2,5ab yra tapatybė.

Iš identiškų transformacijų išmokome sudėti, atimti, dauginti ir dalyti skaičius, mažinti trupmenas, pridėti panašius terminus, taip pat supaprastinti kai kurias išraiškas.

Tačiau tai ne visos identiškos transformacijos, kurios egzistuoja matematikoje. Yra daug daugiau identiškų transformacijų. Ateityje tai pamatysime dar ne kartą.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Ar patiko pamoka?
Prisijunkite prie mūsų naujos VKontakte grupės ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei reikia – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais arba Rusijos Federacijos valdžios institucijų prašymais – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Uždavinių sąlygų užrašymas naudojant matematikoje priimtą žymėjimą lemia vadinamųjų matematinių išraiškų atsiradimą, kurios tiesiog vadinamos išraiškomis. Šiame straipsnyje mes kalbėsime išsamiai apie skaitmeninės, abėcėlės ir kintamos išraiškos: pateiksime apibrėžimus ir pateiksime kiekvieno tipo posakių pavyzdžių.

Puslapio naršymas.

Skaitmeninės išraiškos – kas tai?

Pažintis su skaitinėmis išraiškomis prasideda beveik nuo pat pirmųjų matematikos pamokų. Tačiau oficialiai savo vardą – skaitines išraiškas – jie įgyja kiek vėliau. Pavyzdžiui, jei sekate M.I. Moro kursą, tai atsitinka 2 klasių matematikos vadovėlio puslapiuose. Ten skaitinių išraiškų idėja pateikiama taip: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 ir kt. - tai viskas skaitinės išraiškos, o atlikę reiškinyje nurodytus veiksmus, rasime išraiškos vertė.

Galime daryti išvadą, kad šiame matematikos studijų etape skaitinės išraiškos yra matematinę reikšmę turintys įrašai, sudaryti iš skaičių, skliaustų ir sudėjimo bei atimties ženklų.

Šiek tiek vėliau, susipažinus su daugyba ir dalyba, skaitinių posakių įrašuose pradeda būti ženklai „·“ ir „:“. Pateikiame kelis pavyzdžius: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3 ir kt.

O vidurinėje mokykloje skaitinių posakių įrašų įvairovė auga kaip sniego gniūžtė, riedanti nuo kalno. Juose yra paprastosios ir dešimtainės trupmenos, mišrūs skaičiai ir neigiami skaičiai, laipsniai, šaknys, logaritmai, sinusai, kosinusai ir kt.

Apibendrinkime visą informaciją į skaitinės išraiškos apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Skaitinė išraiška yra skaičių, aritmetinių operacijų ženklų, trupmeninių eilučių, šaknų ženklų (radikalų), logaritmų, trigonometrinių, atvirkštinių trigonometrinių ir kitų funkcijų žymėjimų, taip pat skliaustų ir kitų specialių matematinių simbolių derinys, sudarytas pagal priimtas taisykles. matematikoje.

Paaiškinkime visus nurodyto apibrėžimo komponentus.

Skaitmeninės išraiškos gali apimti absoliučiai bet kokį skaičių: nuo natūralaus iki tikro ir net sudėtingo. Tai yra, skaitinėse išraiškose galima rasti

Viskas aišku su aritmetinių operacijų ženklais - tai yra sudėjimo, atimties, daugybos ir padalijimo ženklai, atitinkamai turintys formą „+“, „−“, „·“ ir „:“. Skaitmeninėse išraiškose gali būti vienas iš šių ženklų, kai kurie iš jų arba visi iš karto, be to, kelis kartus. Pateikiame skaitinių išraiškų su jais pavyzdžius: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41–2·4:2–5+12·3·2:2:3:12–1/12.

Kalbant apie skliaustus, yra ir skaitinių išraiškų su skliaustais, ir išraiškų be jų. Jei skaitinėje išraiškoje yra skliaustų, tai iš esmės jie yra

O kartais skliaustai skaitinėse išraiškose turi kokią nors konkrečią, atskirai nurodytą specialią paskirtį. Pavyzdžiui, galite rasti laužtinius skliaustus, žyminčius sveikąją skaičiaus dalį, todėl skaitinė išraiška +2 reiškia, kad skaičius 2 pridedamas prie sveikosios skaičiaus 1,75 dalies.

Iš skaitinės išraiškos apibrėžimo taip pat aišku, kad reiškinyje gali būti , , log , ln , lg , užrašų ir pan. Čia pateikiami skaitinių išraiškų su jais pavyzdžiai: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 ir .

Padalijimas skaitinėse išraiškose gali būti žymimas . Šiuo atveju vyksta skaitinės išraiškos su trupmenomis. Štai tokių išraiškų pavyzdžiai: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 ir .

Kaip specialius matematinius simbolius ir užrašus, kuriuos galima rasti skaitinėse išraiškose, pateikiame . Pavyzdžiui, parodykime skaitinę išraišką su moduliu .

Kas yra pažodinės išraiškos?

Raidinių išraiškų sąvoka pateikiama beveik iš karto po to, kai susipažįstama su skaitinėmis išraiškomis. Jis įvedamas maždaug taip. Tam tikroje skaitinėje išraiškoje vienas iš skaičių neužrašomas, o įdedamas apskritimas (ar kvadratas, ar kažkas panašaus), ir sakoma, kad apskritimą galima pakeisti tam tikru skaičiumi. Pavyzdžiui, pažiūrėkime į įrašą. Jei vietoj kvadrato įdėsite, pavyzdžiui, skaičių 2, gausite skaitinę išraišką 3+2. Taigi vietoj apskritimų, kvadratų ir pan. sutiko užrašyti raides, ir buvo vadinami tokie išsireiškimai su raidėmis pažodiniai posakiai. Grįžkime prie mūsų pavyzdžio, jei šiame įraše vietoj kvadrato įdėsime raidę a, gausime pažodinę formos 3+a išraišką.

Taigi, jei skaitinėje išraiškoje leidžiame raidžių, žyminčių tam tikrus skaičius, buvimą, gauname vadinamąją pažodinę išraišką. Pateiksime atitinkamą apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Iškviečiama išraiška, kurioje yra raidžių, žyminčių tam tikrus skaičius pažodinė išraiška.

Iš šio apibrėžimo aišku, kad pažodinė išraiška iš esmės skiriasi nuo skaitinės išraiškos tuo, kad joje gali būti raidžių. Paprastai raidžių išraiškose vartojamos mažos lotyniškos abėcėlės raidės (a, b, c, ...), o mažosios graikų abėcėlės raidės (α, β, γ, ...) – kampams žymėti.

Taigi pažodinės išraiškos gali būti sudarytos iš skaičių, raidžių ir turėti visus matematinius simbolius, kurie gali būti skaitinėse išraiškose, pavyzdžiui, skliausteliuose, šaknies ženklai, logaritmai, trigonometrinės ir kitos funkcijos ir kt. Atskirai pabrėžiame, kad pažodinėje išraiškoje yra bent viena raidė. Tačiau jame taip pat gali būti kelios identiškos arba skirtingos raidės.

Dabar pateiksime keletą pažodinių posakių pavyzdžių. Pavyzdžiui, a+b yra pažodinė išraiška su raidėmis a ir b. Štai dar vienas pažodinės išraiškos 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5 pavyzdys. Ir čia yra sudėtingos pažodinės išraiškos pavyzdys: .

Išraiškos su kintamaisiais

Jei pažodinėje išraiškoje raidė žymi dydį, kuris neįgyja vienos konkrečios reikšmės, bet gali įgyti skirtingas reikšmes, tada ši raidė vadinama kintamasis o išraiška vadinama išraiška su kintamuoju.

Apibrėžimas.

Išraiška su kintamaisiais yra pažodinė išraiška, kurioje raidės (visos arba kai kurios) žymi dydžius, kurie įgyja skirtingas reikšmes.

Pavyzdžiui, tegul raidė x reiškinyje x 2 −1 paima bet kokias natūralias reikšmes iš intervalo nuo 0 iki 10, tada x yra kintamasis, o išraiška x 2 −1 yra išraiška su kintamuoju x.

Verta paminėti, kad išraiškoje gali būti keli kintamieji. Pavyzdžiui, jei laikysime x ir y kintamaisiais, tada išraiška yra išraiška su dviem kintamaisiais x ir y.

Apskritai, perėjimas nuo pažodinės išraiškos sampratos prie išraiškos su kintamaisiais įvyksta 7 klasėje, kai jie pradeda mokytis algebros. Iki šiol raidžių išraiškos modeliuodavo kai kurias specifines užduotis. Algebroje jie pradeda žiūrėti į išraišką bendriau, nenurodydami konkrečios problemos, suprasdami, kad ši išraiška atitinka daugybę problemų.

Apibendrinant šį punktą, atkreipkime dėmesį į dar vieną dalyką: atsiradus pažodinei išraiškai neįmanoma žinoti, ar joje esančios raidės yra kintamieji, ar ne. Todėl niekas netrukdo mums šių raidžių laikyti kintamaisiais. Šiuo atveju skirtumas tarp terminų „pažodinė išraiška“ ir „išraiška su kintamaisiais“ išnyksta.

Bibliografija.

• Matematika. 2 klasės Vadovėlis bendrajam lavinimui institucijos su adj. vienam elektronui vežėjas. 14 val. 1 dalis / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova ir kt.] – 3 leid. - M.: Išsilavinimas, 2012. - 96 p.: iliustr. - (Rusijos mokykla). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matematika: vadovėlis 5 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – 21 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: iliustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: vadovėlis 7 klasei bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 240 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Pasirenkamųjų kursų programa „Skaičių ir abėcėlinių išraiškų konvertavimas“

Aiškinamasis raštas

Pastaraisiais metais mokyklinio matematikos ugdymo kokybės kontrolė buvo vykdoma naudojant CMM, kurių didžioji dalis užduočių siūlomos testo forma. Ši testavimo forma skiriasi nuo klasikinio egzamino darbo ir reikalauja specialaus pasiruošimo. Iki šiol susiformavusios formos testavimo ypatybė yra būtinybė atsakyti į daugybę klausimų per ribotą laiką, t.y. Reikalaujama ne tik teisingai atsakyti į pateiktus klausimus, bet ir tai padaryti pakankamai greitai. Todėl studentams svarbu įvaldyti įvairias technikas ir metodus, kurie leis pasiekti norimą rezultatą.

Sprendžiant beveik bet kurią mokyklinę matematinę problemą, tenka atlikti kai kurias transformacijas. Dažnai jo sudėtingumą visiškai lemia sudėtingumo laipsnis ir transformacijos, kurią reikia atlikti, apimtis. Neretai mokinys negali išspręsti problemos ne todėl, kad nežino, kaip ji išspręsta, o todėl, kad per jam skirtą laiką be klaidų negali atlikti visų reikiamų transformacijų ir skaičiavimų.

Skaitinių išraiškų konvertavimo pavyzdžiai svarbūs ne patys savaime, o kaip konvertavimo metodų kūrimo priemonė. Su kiekvienais mokslo metais skaičiaus sąvoka plečiasi nuo natūralios iki tikrosios, o vidurinėje mokykloje tiriamos galios transformacijos, logaritminės ir trigonometrinės išraiškos. Šią medžiagą gana sunku studijuoti, nes joje yra daug formulių ir transformacijos taisyklių.

Norėdami supaprastinti išraišką, atlikti reikiamus veiksmus ar apskaičiuoti išraiškos reikšmę, turite žinoti, kuria kryptimi turėtumėte „judėti“ transformacijų keliu, vedančiu į teisingą atsakymą trumpiausiu „maršrutu“. Racionalaus kelio pasirinkimas labai priklauso nuo to, ar turima visa informacija apie išraiškų transformavimo būdus.

Vidurinėje mokykloje atsiranda poreikis sisteminti ir gilinti žinias bei praktinius įgūdžius dirbant su skaitinėmis išraiškomis. Statistika rodo, kad apie 30% klaidų, padarytų stojant į universitetus, yra skaičiavimo pobūdžio. Todėl svarstant aktualias temas vidurinėje mokykloje ir jas kartojant vidurinėje, būtina daugiau dėmesio skirti moksleivių kompiuterinių įgūdžių ugdymui.

Todėl, norėdami padėti mokytojams, besimokantiems specializuotos mokyklos 11 klasėje, galime pasiūlyti pasirenkamąjį kursą „Skaičių ir abėcėlinių posakių konvertavimas mokykliniame matematikos kurse“.

Įvertinimai:== 11

Pasirenkamojo kurso tipas:

sisteminimo, apibendrinimo ir gilinimo kursą.

Valandų skaičius:

34 (per savaitę – 1 val.)

Ugdymo sritis:

matematika

Kurso tikslai ir uždaviniai:

Studentų žinių apie skaičius ir operacijas su jais sisteminimas, apibendrinimas ir plėtimas; - susidomėjimo skaičiavimo procesu formavimas; - mokinių savarankiškumo, kūrybinio mąstymo ir pažintinio susidomėjimo ugdymas; - studentų pritaikymas prie naujų stojimo į universitetus taisyklių.

Kurso studijų organizavimas

Pasirenkamasis kursas „Skaičių ir raidžių raiškų konvertavimas“ išplečia ir pagilina pagrindinę matematikos programą vidurinėje mokykloje ir yra skirtas mokytis 11 klasėje. Siūlomu kursu siekiama lavinti skaičiavimo įgūdžius ir mąstymo aštrumą. Kursas sudarytas pagal klasikinį pamokų planą, akcentuojant praktinius pratimus. Jis skirtas studentams, turintiems aukštą arba vidutinį matematinio pasirengimo lygį, ir skirtas padėti jiems pasiruošti stojimui į universitetus bei palengvinti rimto matematinio išsilavinimo tęsimą.

Planuojami rezultatai:

Skaičių klasifikavimo išmanymas;

Greito skaičiavimo įgūdžių ir gebėjimų tobulinimas;

Gebėjimas naudotis matematinėmis priemonėmis sprendžiant įvairius uždavinius;

Ugdykite loginį mąstymą, sudarant sąlygas tęsti rimtą matematinį išsilavinimą.

Pasirenkamojo dalyko „Skaičių ir abėcėlės išraiškų transformacija“ turinys

Sveikieji skaičiai (4 val.): Skaičių serija. Pagrindinė aritmetikos teorema. GCD ir NOC. Dalijimosi požymiai. Matematinės indukcijos metodas.

Racionalūs skaičiai (2h): Racionaliojo skaičiaus apibrėžimas. Pagrindinė trupmenos savybė. Sutrumpintos daugybos formulės. Periodinės trupmenos apibrėžimas. Taisyklė, kaip konvertuoti iš dešimtainės periodinės trupmenos į paprastąją trupmeną.

Neracionalūs skaičiai. Radikalai. Laipsniai. Logaritmai (6 val.): Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas. Skaičiaus neracionalumo įrodymas. Iracionalumo atsikratymas vardiklyje. Realūs skaičiai. Laipsnio savybės. N-ojo laipsnio aritmetinės šaknies savybės. Logaritmo apibrėžimas. Logaritmų savybės.

Trigonometrinės funkcijos (4 val.): Skaičių ratas. Pagrindinių kampų trigonometrinių funkcijų skaitinės reikšmės. Kampo didumo konvertavimas iš laipsnio mato į radianinį matą ir atvirkščiai. Pagrindinės trigonometrinės formulės. Sumažinimo formulės. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Trigonometrinės operacijos su lanko funkcijomis. Pagrindiniai ryšiai tarp lanko funkcijų.

Sudėtiniai skaičiai (2 val.): Kompleksinio skaičiaus samprata. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais. Trigonometrinės ir eksponentinės kompleksinių skaičių formos.

Tarpinis testas (2 val.)

Skaitinių išraiškų palyginimas (4 val.): Skaitinės nelygybės realiųjų skaičių aibėje. Skaitinių nelygybių savybės. Remti nelygybę. Skaitinių nelygybių įrodinėjimo metodai.

Pažodinės išraiškos (8 val.): Reiškių su kintamaisiais konvertavimo taisyklės: daugianariai; algebrinės trupmenos; neracionalios išraiškos; trigonometrinės ir kitos išraiškos. Tapatybių ir nelygybių įrodymai. Išraiškų supaprastinimas.

Edukacinis ir teminis planas

Planas trunka 34 valandas. Ji parengta atsižvelgiant į baigiamojo darbo temą, todėl nagrinėjamos dvi atskiros dalys: skaitinės ir abėcėlinės išraiškos. Mokytojo nuožiūra abėcėliniai posakiai gali būti svarstomi kartu su skaitiniais posakiais atitinkamose temose.

№	Pamokos tema	Valandų skaičius
1.1	Sveiki skaičiai	2
1.2	Matematinės indukcijos metodas	2
2.1	Racionalūs numeriai	1
2.2	Dešimtainės periodinės trupmenos	1
3.1	Neracionalūs skaičiai	2
3.2	Šaknys ir laipsniai	2
3.3	Logaritmai	2
4.1	Trigonometrinės funkcijos	2
4.2	Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos	2
5	Sudėtingi skaičiai	2
	Testas tema „Skaičių išraiškos“	2
6	Skaitinių išraiškų palyginimas	4
7.1	Išraiškų konvertavimas radikalais	2
7.2	Galios ir logaritminių išraiškų konvertavimas	2
7.3	Trigonometrinių išraiškų konvertavimas	2
	Paskutinis testas	2
	Iš viso	34

PASIRENKAMOJI DALYKO TEMA

SKAIČIŲ IR RAIDINIŲ IŠRAIŠKŲ KONVERTAVIMAS

Kiekis 34 val

aukštosios matematikos mokytojas

Savivaldybės ugdymo įstaiga "51 vidurinė mokykla"

Saratovas, 2008 m

PISIRENKAMŲJŲ DALYKŲ PROGRAMA

"SKAIČIŲ IR RAIDINIŲ IŠRAIŠKŲ KONVERTAVIMAS"

Aiškinamasis raštas

Pastaraisiais metais baigiamieji egzaminai mokyklose, taip pat stojamieji egzaminai universitetuose vyksta testais. Ši testavimo forma skiriasi nuo klasikinio egzamino ir reikalauja specialaus pasiruošimo. Iki šiol susiformavusios formos testavimo ypatybė – būtinybė atsakyti į didelį skaičių klausimų per ribotą laiką, t.y., reikalaujama ne tik atsakyti į pateiktus klausimus, bet ir tai padaryti greitai. Todėl svarbu įvaldyti įvairias technikas ir metodus, leidžiančius pasiekti norimą rezultatą.

Spręsdami beveik bet kokią mokyklos problemą, turite atlikti tam tikrus pokyčius. Dažnai jo sudėtingumą visiškai lemia sudėtingumo laipsnis ir transformacijos, kurią reikia atlikti, apimtis. Neretai mokinys negali išspręsti problemos ne todėl, kad nežino, kaip ji išspręsta, o todėl, kad negali be klaidų, per protingą laiką atlikti visų reikiamų transformacijų ir skaičiavimų.

Pasirenkamasis kursas „Skaičių ir raidžių raiškų konvertavimas“ išplečia ir pagilina pagrindinę matematikos programą vidurinėje mokykloje ir yra skirtas mokytis 11 klasėje. Siūlomu kursu siekiama lavinti skaičiavimo įgūdžius ir mąstymo aštrumą. Kursas skirtas studentams, turintiems aukštą arba vidutinį matematinio pasirengimo lygį ir skirtas padėti jiems pasiruošti stojimui į universitetus bei palengvinti rimto matematinio išsilavinimo tęsimą.

Tikslai ir siekiai:

Studentų žinių apie skaičius ir operacijas su jais sisteminimas, apibendrinimas ir plėtimas;

Ugdyti mokinių savarankiškumą, kūrybinį mąstymą ir pažintinį susidomėjimą;

Susidomėjimo skaičiavimo procesu formavimas;

Studentų pritaikymas prie naujų stojimo į universitetus taisyklių.

Tikėtini Rezultatai:

Skaičių klasifikavimo išmanymas;

Greito skaičiavimo įgūdžių ir gebėjimų tobulinimas;

Gebėjimas naudotis matematinėmis priemonėmis sprendžiant įvairius uždavinius;

Edukacinis ir teminis planas

Planas trunka 34 valandas. Ji parengta atsižvelgiant į baigiamojo darbo temą, todėl nagrinėjamos dvi atskiros dalys: skaitinės ir abėcėlinės išraiškos. Mokytojo nuožiūra abėcėliniai posakiai gali būti svarstomi kartu su skaitiniais posakiais atitinkamose temose.

		Valandų skaičius
	Skaitmeninės išraiškos Sveiki skaičiai Matematinės indukcijos metodas Racionalūs numeriai Dešimtainės periodinės trupmenos Neracionalūs skaičiai Šaknys ir laipsniai Logaritmai Trigonometrinės funkcijos Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos Sudėtingi skaičiai Testas tema „Skaičių išraiškos“ Skaitinių išraiškų palyginimas Pažodinės išraiškos Išraiškų konvertavimas radikalais Galios išraiškų konvertavimas Logaritminių išraiškų konvertavimas Trigonometrinių išraiškų konvertavimas Paskutinis testas

Sveikieji skaičiai (4 val.)

Skaičių serija. Pagrindinė aritmetikos teorema. GCD ir NOC. Dalijimosi požymiai. Matematinės indukcijos metodas.

Racionalieji skaičiai (2h)

Racionaliojo skaičiaus apibrėžimas. Pagrindinė trupmenos savybė. Sutrumpintos daugybos formulės. Periodinės trupmenos apibrėžimas. Taisyklė, kaip konvertuoti iš dešimtainės periodinės trupmenos į paprastąją trupmeną.

Neracionalūs skaičiai. Radikalai. Laipsniai. Logaritmai (6 val.)

Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas. Skaičiaus neracionalumo įrodymas. Iracionalumo atsikratymas vardiklyje. Realūs skaičiai. Laipsnio savybės. N-ojo laipsnio aritmetinės šaknies savybės. Logaritmo apibrėžimas. Logaritmų savybės.

Trigonometrinės funkcijos (4 val.)

Skaičių ratas. Pagrindinių kampų trigonometrinių funkcijų skaitinės reikšmės. Kampo didumo konvertavimas iš laipsnio mato į radianinį matą ir atvirkščiai. Pagrindinės trigonometrinės formulės. Sumažinimo formulės. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Trigonometrinės operacijos su lanko funkcijomis. Pagrindiniai ryšiai tarp lanko funkcijų.

Sudėtiniai skaičiai (2 val.)

Kompleksinio skaičiaus samprata. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais. Trigonometrinės ir eksponentinės kompleksinių skaičių formos.

Tarpinis testas (2 val.)

Skaitinių išraiškų palyginimas (4 val.)

Skaitinės nelygybės realiųjų skaičių aibėje. Skaitinių nelygybių savybės. Remti nelygybę. Skaitinių nelygybių įrodinėjimo metodai.

Raidžių išraiškos (8 val.)

Reiškių su kintamaisiais konvertavimo taisyklės: daugianariai; algebrinės trupmenos; neracionalios išraiškos; trigonometrinės ir kitos išraiškos. Tapatybių ir nelygybių įrodymai. Išraiškų supaprastinimas.

1 pasirenkamojo dalyko dalis: „Skaičių išraiškos“

1-OJI PAMOKA(2 valandos)

Pamokos tema: Sveiki skaičiai

Pamokos tikslai: Apibendrinti ir sisteminti mokinių žinias apie skaičius; prisiminti GCD ir LCM sąvokas; plėsti žinias apie dalijimosi požymius; apsvarstykite problemas, išspręstas sveikaisiais skaičiais.

Per užsiėmimus

aš. Įvadinė paskaita.

Skaičių klasifikacija:

sveikieji skaičiai;

Sveiki skaičiai;

Racionalūs numeriai;

Realieji skaičiai;

Sudėtingi skaičiai.

Skaičių eilučių pristatymas mokykloje pradedamas nuo natūraliojo skaičiaus sąvokos. Iškviečiami skaičiai, naudojami skaičiuojant objektus natūralus. Natūraliųjų skaičių aibė žymima N. Natūralūs skaičiai skirstomi į pirminius ir sudėtinius. Pirminiai skaičiai turi tik du daliklius: vieną ir patį skaičių; sudėtiniai skaičiai turi daugiau nei du daliklius. Pagrindinė aritmetikos teorema teigia: „Bet kuris natūralusis skaičius, didesnis nei 1, gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga (nebūtinai skirtingų) ir unikaliu būdu (iki veiksnių eilės).

Yra dar dvi svarbios aritmetinės sąvokos, susijusios su natūraliaisiais skaičiais: didžiausias bendras daliklis (GCD) ir mažiausias bendras kartotinis (LCM). Kiekviena iš šių sąvokų iš tikrųjų apibrėžia save. Daugelį problemų išspręsti palengvina dalijimosi ženklai, kuriuos reikia atsiminti.

Bandymas dalytis iš 2 . Skaičius dalijasi iš 2, jei jo paskutinis skaitmuo yra lyginis arba o.

Bandymas dalytis iš 4 . Skaičius dalijasi iš 4, jei paskutiniai du skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 4.

Bandymas dalytis iš 8. Skaičius dalijasi iš 8, jei jo paskutiniai trys skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, dalijamą iš 8.

Bandymai dalytis iš 3 ir 9. Iš 3 dalijasi tik tie skaičiai, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 3; iš 9 – tik tie, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 9.

Bandymas dalytis iš 6. Skaičius dalijasi iš 6, jei dalijasi ir iš 2, ir iš 3.

Dalijamumo iš 5 testas . Skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5, dalijasi iš 5.

Bandymas dalytis iš 25. Skaičiai, kurių paskutiniai du skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 25, dalijasi iš 25.

Dalijimosi iš 10 100 1000 ženklai. Tik tie skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0, dalijasi iš 10, tik tie skaičiai, kurių paskutiniai du skaitmenys yra 0, dalijasi iš 100 ir tik tie skaičiai, kurių paskutiniai trys skaitmenys yra 0, dalijasi iš 1000.

Dalijamumo iš 11 testas . Tik tie skaičiai dalijasi iš 11, jei nelygines vietas užimančių skaitmenų suma yra lygi skaitmenų, užimančių lygines vietas, sumai arba skiriasi nuo jos skaičiumi, dalijančiu iš 11.

Pirmoje pamokoje pažvelgsime į natūraliuosius skaičius ir sveikuosius skaičius. Visas skaičiai yra natūralūs skaičiai, jų priešingybės ir nulis. Sveikųjų skaičių aibė žymima Z.

II. Problemų sprendimas.

1 PAVYZDYS. Koeficientas į pirminius veiksnius: a) 899; b) 1000027.

Sprendimas: a) ;

b) PAVYZDYS 2. Raskite skaičių 2585 ir 7975 GCD.

Sprendimas: Naudokime Euklido algoritmą:

Jei https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Atsakymas: gcd(2585.7975) = 55.

3 PAVYZDYS. Apskaičiuokite:

Sprendimas: = 1987100011989. Antroji sandauga lygi tai pačiai reikšmei. Todėl skirtumas yra 0.

4 PAVYZDYS. Raskite skaičių a) 5544 ir 1404 GCD ir LCM; b) 198, 504 ir 780.

Atsakymai: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

5 PAVYZDYS. Raskite dalybos koeficientą ir liekaną

a) 5 po 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) nuo -529 iki (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) nuo 256 iki (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Sprendimas: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

b)

Sprendimas: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

7 PAVYZDYS..gif" width="67" height="27 src="> iš 17.

Sprendimas: Įveskime įrašą , tai reiškia, kad padalijus iš m, skaičiai a, b, c,…d suteikia tą pačią likutį.

Todėl bet kokiam natūraliam k bus

Bet 1989=16124+5. Reiškia,

Atsakymas: likusi dalis yra 12.

8 PAVYZDYS. Raskite mažiausią natūralųjį skaičių, didesnį už 10, kurį padalijus iš 24, 45 ir 56, liktų 1 liekana.

Atsakymas: LOC(24;45;56)+1=2521.

9 PAVYZDYS. Raskite mažiausią natūralųjį skaičių, kuris dalijasi iš 7 ir palieka 1 likutį, padalijus iš 3, 4 ir 5.

Atsakymas: 301. Kryptis. Tarp 60k + 1 formos skaičių reikia rasti mažiausią, dalijantį iš 7; k = 5.

10 PAVYZDYS. Prie 23 pridėkite vieną skaitmenį dešinėje ir kairėje, kad gautas keturženklis skaičius dalytųsi iš 9 ir 11.

Atsakymas: 6237.

11 PAVYZDYS. Skaičiaus gale pridėkite tris skaitmenis, kad gautas skaičius dalytųsi iš 7, 8 ir 9.

Atsakymas: 304 arba 808. Pastaba. Skaičius, padalytas iš = 789), lieka 200. Todėl, jei prie jo pridėsite 304 arba 808, jis dalijasi iš 504.

PAVYZDYS 12. Ar galima triženklio skaičiaus, kuris dalijasi iš 37, skaitmenis pertvarkyti taip, kad gautas skaičius taip pat dalytųsi iš 37?

Atsakymas: Taip. Pastaba..gif" width="61" height="24"> taip pat dalijasi iš 37. Turime A = 100a + 10b + c = 37k, iš kur c =37k -100a – 10b. Tada B = 100b +10c + a = 100b +k – 100a – 10b) + a = 370k – 999a, tai yra, B dalijamas iš 37.

13 PAVYZDYS. Raskite skaičių, iš kurio padalijus skaičiai 1108, 1453, 1844 ir 2281 duoda tą pačią likutį.

Atsakymas: 23. Instrukcija. Bet kurių dviejų nurodytų skaičių skirtumas yra padalintas iš norimo skaičiaus. Tai reiškia, kad mums tinka bet koks bendras visų galimų duomenų skirtumų daliklis, išskyrus 1

14 PAVYZDYS. Įsivaizduokite 19 kaip natūraliųjų skaičių kubelių skirtumą.

15 PAVYZDYS. Natūralaus skaičiaus kvadratas lygus keturių iš eilės nelyginių skaičių sandaugai. Raskite šį numerį.

Atsakymas: .

16 PAVYZDYS..gif" width="115" height="27"> nesidalija iš 10.

Atsakymas: a) Instrukcija. Sugrupavę pirmąjį ir paskutinįjį, antrąjį ir priešpaskutinįjį ir kt., naudokite kubų sumos formulę.

b) Nurodymas..gif" width="120" height="20">.

4) Raskite visas natūraliųjų skaičių poras, kurių GCD yra 5, o LCM yra 105.

Atsakymas: 5, 105 arba 15, 35.

2 PAMOKA(2 valandos)

Pamokos tema: Matematinės indukcijos metodas.

Pamokos tikslas: Peržiūrėkite matematinius teiginius, kuriuos reikia įrodyti; supažindinti mokinius su matematinės indukcijos metodu; ugdyti loginį mąstymą.

Per užsiėmimus

aš. Namų darbų tikrinimas.

II. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Mokykliniame matematikos kurse kartu su užduotimis „Surask išraiškos vertę“ yra tokios formos užduotys: „Įrodyk lygybę“. Vienas iš universaliausių matematinių teiginių, apimančių žodžius „savavališkam natūraliajam skaičiui n“, įrodinėjimo metodų yra visiškos matematinės indukcijos metodas.

Įrodymas naudojant šį metodą visada susideda iš trijų žingsnių:

1) Indukcijos pagrindas. Teiginio teisingumas tikrinamas n = 1.

Kai kuriais atvejais būtina patikrinti kelis

pradines vertes.

2) Indukcijos prielaida. Manoma, kad teiginys tinka bet kuriam

3) Indukcinis žingsnis. Teiginio pagrįstumas yra įrodytas

Taigi, pradedant nuo n = 1, remiantis įrodytu indukciniu perėjimu, gauname įrodyto teiginio teisingumą

n = 2, 3,…t. y., bet kuriam n.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1 PAVYZDYS: Įrodykite, kad bet kurio natūraliojo skaičiaus n skaičius dalijasi iš 7.

Įrodymas: pažymėkime .

1 veiksmas..gif" width="143" height="37 src="> yra padalintas iš 7.

3 veiksmas..gif" width="600" height="88">

Paskutinis skaičius dalijasi iš 7, nes tai yra dviejų sveikųjų skaičių, dalijamų iš 7, skirtumas.

2 PAVYZDYS: įrodykite lygybę https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> gautas iš n pakeitimas k = 1.

III. Problemų sprendimas

Pirmoje pamokoje iš žemiau pateiktų užduočių (Nr. 1-3) mokytojo nuožiūra parenkamos kelios sprendimams analizei lentoje. Antroji pamoka apima Nr. 4.5; savarankiškas darbas atliekamas nuo 1-3; 6 siūlomas kaip papildomas su privalomu sprendimu lentoje.

1) Įrodykite, kad a) dalijasi iš 83;

b) dalijasi iš 13;

c) dalijasi iš 20801.

2) Įrodykite, kad bet kuriam natūraliam n:

A) dalijasi iš 120;

b) dalijasi iš 27;

V) dalijasi iš 84;

G) dalijasi iš 169;

d) dalijasi iš 8;

e) dalijasi iš 8;

g) dalijasi iš 16;

h) dalijasi iš 49;

Ir) dalijasi iš 41;

į) dalijasi iš 23;

l) dalijasi iš 13;

m) padalytą .

3) Įrodykite, kad:

G) ;

4) Išveskite sumos formulę https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Įrodykite, kad kiekvienos lentelės eilutės terminų suma

…………….

yra lygus nelyginio skaičiaus kvadratui, kurio eilutės numeris yra lygus eilutės numeriui nuo lentelės pradžios.

Atsakymai ir nurodymai.

1) Naudokime ankstesnės pamokos 4 pavyzdyje pateiktą įrašą.

A) . Todėl jis dalijasi iš 83 .

b) Nuo to laiko , Tai;

. Vadinasi, .

c) Kadangi , reikia įrodyti, kad šis skaičius dalijasi iš 11, 31 ir 61..gif" width="120" height="32 src=">. Taip pat įrodomas ir dalumas iš 11 ir 31.

2) a) Įrodykime, kad ši išraiška dalijasi iš 3, 8, 5. Dalumas iš 3 išplaukia iš to, kad , o iš trijų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių vienas dalijasi iš 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Norint patikrinti dalijimąsi iš 5, pakanka atsižvelgti į reikšmes n=0,1,2,3,4.