Rastavite kvadratni trinom u binom. Faktorizacija kvadratnog trinoma
Faktorizacija kvadratnih trinoma jedan je od školskih zadataka s kojima se svi prije ili kasnije susreću. Kako uraditi? Koja je formula za faktoriranje kvadratnog trinoma? Idemo kroz to korak po korak s primjerima.
Opća formula
Faktorizacija kvadratnih trinoma se provodi rješavanjem kvadratne jednadžbe. Ovo je jednostavan zadatak koji se može riješiti na nekoliko metoda - pronalaženjem diskriminanta, korištenjem Vietine teoreme, postoji i grafički način rješavanja. Prve dvije metode se izučavaju u srednjoj školi.
Opća formula izgleda ovako:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algoritam izvršavanja zadatka
Da biste rastavili kvadratne trinome na faktore, morate znati Witov teorem, imati pri ruci program za rješavanje, biti u stanju da pronađete rješenje grafički ili tražite korijene jednadžbe drugog stepena kroz diskriminantnu formulu. Ako je dat kvadratni trinom i mora se rastaviti na faktore, algoritam akcija je sljedeći:
1) Izjednačite originalni izraz sa nulom da biste dobili jednačinu.
2) Navedite slične uslove (ako je potrebno).
3) Pronađite korijene bilo kojom poznatom metodom. Grafičku metodu najbolje je koristiti ako je unaprijed poznato da su korijeni cijeli brojevi i mali brojevi. Mora se imati na umu da je broj korijena jednak maksimalnom stepenu jednačine, odnosno kvadratna jednačina ima dva korijena.
4) Zamjenska vrijednost X u izraz (1).
5) Zapišite faktorizaciju kvadratnih trinoma.
Primjeri
Praksa vam omogućava da konačno shvatite kako se ovaj zadatak izvodi. Primjeri ilustriraju faktorizaciju kvadratnog trinoma:
morate proširiti izraz:
Koristimo naš algoritam:
1) x 2 -17x+32=0
2) slični termini se smanjuju
3) prema Vietinoj formuli, teško je pronaći korijene za ovaj primjer, stoga je bolje koristiti izraz za diskriminanta:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Zamijenite korijene koje smo pronašli u glavnoj formuli za dekompoziciju:
(x-2.155) * (x-14.845)
5) Tada će odgovor biti:
x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)
Provjerimo da li rješenja pronađena diskriminantom odgovaraju Vietinim formulama:
14,845 . 2,155=32
Za ove korijene je primijenjena Vietina teorema, oni su tačno pronađeni, što znači da je faktorizacija koju smo dobili također tačna.
Slično, širimo 12x 2 + 7x-6.
x 1 \u003d -7 + (337) 1/2
x 2 \u003d -7- (337) 1/2
U prethodnom slučaju, rješenja su bila necijeli, već realni brojevi, koje je lako pronaći s kalkulatorom ispred sebe. Sada razmotrite složeniji primjer u kojem su korijeni složeni: faktorizirajte x 2 + 4x + 9. Prema Vietinoj formuli, korijeni se ne mogu pronaći, a diskriminanta je negativna. Korijeni će biti na kompleksnoj ravni.
D=-20
Na osnovu toga dobijamo korijene koji nas zanimaju -4 + 2i * 5 1/2 i -4-2i * 5 1/2 jer (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Dobijamo željenu ekspanziju zamjenom korijena u opću formulu.
Drugi primjer: trebate rastaviti izraz 23x 2 -14x + 7.
Imamo jednačinu 23x 2 -14x+7 =0
D=-448
Dakle, korijeni su 14+21,166i i 14-21,166i. Odgovor će biti:
23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).
Navedimo primjer koji se može riješiti bez pomoći diskriminanta.
Neka je potrebno razložiti kvadratnu jednačinu x 2 -32x + 255. Očigledno, to se može riješiti i diskriminantom, ali je u ovom slučaju brže pronaći korijene.
x 1 =15
x2=17
Sredstva x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).
Ovaj online kalkulator je dizajniran za faktorizaciju funkcije.
Na primjer, faktorizirajte: x 2 /3-3x+12 . Zapišimo to kao x^2/3-3*x+12. Možete koristiti i ovu uslugu, gdje se svi proračuni čuvaju u Word formatu.
Na primjer, rastaviti na pojmove. Zapišimo to kao (1-x^2)/(x^3+x) . Da vidite napredak rješenja, kliknite Prikaži korake. Ako trebate dobiti rezultat u Word formatu, koristite ovu uslugu.
Bilješka: broj "pi" (π) je napisan kao pi ; kvadratni korijen kao sqrt, npr. sqrt(3), tangent od tg se piše kao tan. Pogledajte odeljak Alternativa za odgovor.
- Ako je dat jednostavan izraz, na primjer, 8*d+12*c*d , tada rastavljanje izraza na faktore znači faktoriranje izraza. Da biste to učinili, morate pronaći zajedničke faktore. Zapisujemo ovaj izraz kao: 4*d*(2+3*c) .
- Izrazite proizvod kao dva binoma: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Ovdje već moramo pronaći nekoliko zajedničkih faktora: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Izvadimo (x+7z) i dobijemo: (x+7z)(x + 3y) .
vidi također Dijeljenje polinoma uglom (svi koraci dijeljenja po stupcu su prikazani)
Korisno u učenju pravila faktorizacije su skraćene formule za množenje, s kojim će biti jasno kako otvoriti zagrade s kvadratom:
- (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
- (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
- (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
- a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
- a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
- (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
- (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3
Metode faktoringa
Nakon što naučite nekoliko trikova faktorizacija rješenja se mogu klasificirati na sljedeći način:- Korištenje skraćenih formula za množenje.
- Potražite zajednički faktor.
U ovoj lekciji naučit ćemo kako razložiti kvadratne trinome na linearne faktore. Za ovo je potrebno prisjetiti se Vietine teoreme i njenog inverza. Ova vještina će nam pomoći da brzo i prikladno razložimo kvadratne trinome u linearne faktore, a također će pojednostaviti redukciju razlomaka koji se sastoje od izraza.
Dakle, vratimo se na kvadratnu jednačinu , gdje je .
Ono što imamo na lijevoj strani naziva se kvadratni trinom.
Teorema je tačna: Ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je identitet istinit
Gdje je vodeći koeficijent, korijeni su jednadžbe.
Dakle, imamo kvadratnu jednačinu - kvadratni trinom, gdje se korijeni kvadratne jednadžbe nazivaju i korijeni kvadratnog trinoma. Stoga, ako imamo korijene kvadratnog trinoma, onda se ovaj trinom razlaže na linearne faktore.
dokaz:
Dokaz ove činjenice provodi se pomoću Vietine teoreme, koju smo razmatrali u prethodnim lekcijama.
Prisjetimo se šta nam kaže Vietina teorema:
Ako su korijeni kvadratnog trinoma za koje , Tada .
Ova teorema implicira sljedeću tvrdnju da .
Vidimo da, prema Vietinoj teoremi, tj. zamjenom ovih vrijednosti u gornju formulu, dobijamo sljedeći izraz
Q.E.D.
Podsjetimo da smo dokazali teoremu da ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je dekompozicija važeća.
Prisjetimo se sada primjera kvadratne jednadžbe, kojoj smo odabrali korijene koristeći Vietin teorem. Iz ove činjenice možemo dobiti sljedeću jednakost zahvaljujući dokazanoj teoremi:
Sada provjerimo ispravnost ove činjenice jednostavnim proširenjem zagrada:
Vidimo da smo pravilno razložili i bilo koji trinom, ako ima korijene, može se razložiti prema ovoj teoremi u linearne faktore prema formuli
Međutim, hajde da proverimo da li je za bilo koju jednačinu takva faktorizacija moguća:
Uzmimo za primjer jednačinu. Prvo, provjerimo znak diskriminanta
I sjećamo se da da bi se ispunila teorema koju smo naučili, D mora biti veći od 0, stoga je u ovom slučaju faktoriranje prema proučavanoj teoremi nemoguće.
Stoga formuliramo novu teoremu: ako kvadratni trinom nema korijen, onda se ne može rastaviti na linearne faktore.
Dakle, razmotrili smo Vietinu teoremu, mogućnost dekompozicije kvadratnog trinoma na linearne faktore, a sada ćemo riješiti nekoliko problema.
Zadatak #1
U ovoj grupi ćemo zapravo rješavati problem obrnuto od postavljenog. Imali smo jednačinu i pronašli smo njene korijene, razlažući se na faktore. Ovdje ćemo učiniti suprotno. Recimo da imamo korijene kvadratne jednadžbe
Inverzni problem je sljedeći: napišite kvadratnu jednačinu tako da su njeni korijeni.
Postoje 2 načina za rješavanje ovog problema.
Pošto su korijeni jednadžbe, onda 
je kvadratna jednadžba čiji su korijeni dati brojevi. Sada otvorimo zagrade i provjerimo:
Ovo je bio prvi način na koji smo kreirali kvadratnu jednadžbu sa datim korijenima koja nema nijedan drugi korijen, budući da svaka kvadratna jednadžba ima najviše dva korijena.
Ova metoda uključuje korištenje inverzne Vietine teoreme.
Ako su korijeni jednadžbe, onda oni zadovoljavaju uvjet da .
Za redukovanu kvadratnu jednačinu 
, , tj. u ovom slučaju , i .
Tako smo kreirali kvadratnu jednačinu koja ima date korijene.
Zadatak #2
Trebate smanjiti razlomak.
Imamo trinom u brojniku i trinom u nazivniku, a trinomi se mogu ili ne moraju faktorizirati. Ako su i brojnik i imenilac razloženi na faktore, onda među njima mogu postojati jednaki faktori koji se mogu smanjiti.
Prije svega, potrebno je faktorizirati brojilac.
Prvo, trebate provjeriti da li se ova jednadžba može rastaviti na faktore, pronaći diskriminanta. Budući da , tada predznak ovisi o proizvodu (mora biti manji od 0), u ovom primjeru, tj. data jednadžba ima korijene.
Za rješavanje koristimo Vietinu teoremu:
U ovom slučaju, budući da imamo posla s korijenima, bit će prilično teško jednostavno pokupiti korijenje. Ali vidimo da su koeficijenti izbalansirani, tj. ako pretpostavimo da je , i zamijenimo ovu vrijednost u jednačinu, onda se dobija sljedeći sistem: tj. 5-5=0. Stoga smo odabrali jedan od korijena ove kvadratne jednadžbe.
Drugi korijen ćemo tražiti zamjenom onoga što je već poznato u sistem jednačina, na primjer, , tj. .
Dakle, pronašli smo oba korijena kvadratne jednadžbe i možemo zamijeniti njihove vrijednosti u originalnu jednadžbu da bismo je faktorirali:
Prisjetite se prvobitnog problema, trebali smo smanjiti razlomak.
Pokušajmo riješiti problem zamjenom umjesto brojnika.
Ne treba zaboraviti da u ovom slučaju imenilac ne može biti jednak 0, tj.
Ako su ovi uvjeti ispunjeni, onda smo originalni razlomak sveli na oblik .
Zadatak #3 (zadatak sa parametrom)
Pri kojim vrijednostima parametra je zbir korijena kvadratne jednadžbe
Ako korijeni ove jednadžbe postoje, onda 
, pitanje je kada .
Kvadratni trinom je polinom oblika ax^2+bx+c, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a nije jednako nuli.
Zapravo, prva stvar koju trebamo znati da bismo faktorizirali nesrećni trinom je teorema. To izgleda ovako: “Ako su x1 i x2 korijeni kvadratnog trinoma ax^2+bx+c, onda ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Naravno, postoji i dokaz ove teoreme, ali za to je potrebno određeno teorijsko znanje (ako iz polinoma ax^2+bx+c izuzmemo faktor a, dobićemo ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) Po Viettovoj teoremi x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, dakle b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), pa ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Ponekad vas nastavnici tjeraju da naučite dokaz, ali ako je nije potrebno, savjetujem vam da samo zapamtite konačnu formulu.
2 korak
Uzmimo kao primjer trinom 3x^2-24x+21. Prva stvar koju treba da uradimo je da izjednačimo trinom sa nulom: 3x^2-24x+21=0. Korijeni rezultirajuće kvadratne jednadžbe bit će korijeni trinoma, respektivno.
3 korak
Riješite jednačinu 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Dakle, hajde da odlučimo. Tko ne zna rješavati kvadratne jednadžbe, pogledajte moje upute sa 2 načina da ih riješite na primjeru iste jednadžbe. Dobili smo korijene x1=7, x2=1.
4 korak
Sada kada imamo trinomske korijene, možemo ih sigurno zamijeniti u formulu =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
dobijamo: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Možete se riješiti termina a tako što ćete ga staviti u zagrade: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
kao rezultat dobijamo: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Napomena: svaki od dobijenih faktora ((x-7), (3x-3) su polinomi prvog stepena. To je cijela ekspanzija =) Ako sumnjate u odgovor koji ste dobili, uvijek ga možete provjeriti množenjem zagrada.
5 koraka
Provjera rješenja. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Sada sigurno znamo da je naše rješenje ispravno! Nadam se da će moja uputstva nekome pomoći =) Sretno u učenju!
- U našem slučaju, u jednačini D > 0 i dobili smo po 2 korijena. Da je D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
- Ako kvadratni trinom nema korijena, onda se ne može rastaviti na faktore koji su polinomi prvog stepena.
Kvadratni trinom je polinom oblika ax^2 + bx + c, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, štaviše, a ≠ 0.
Da biste faktorizirali trinom, morate znati korijene ovog trinoma. (u daljem tekstu primjer na trinomu 5x^2 + 3x- 2)
Napomena: vrijednost kvadratnog trinoma 5x^2 + 3x - 2 ovisi o vrijednosti x. Na primjer: Ako je x = 0, onda je 5x^2 + 3x - 2 = -2
Ako je x = 2, onda je 5x^2 + 3x - 2 = 24
Ako je x = -1, onda je 5x^2 + 3x - 2 = 0
Kada je x \u003d -1, kvadratni trinom 5x ^ 2 + 3x - 2 nestaje, u ovom slučaju broj -1 se naziva korijen kvadratnog trinoma.
Kako dobiti korijen jednadžbe
Hajde da objasnimo kako smo dobili koren ove jednačine. Prvo morate jasno znati teoremu i formulu po kojoj ćemo raditi:
“Ako su x1 i x2 korijeni kvadratnog trinoma ax^2 + bx + c, onda ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).”
X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \
Ova formula za pronalaženje korijena polinoma je najprimitivnija formula, rješavanjem koje se nikada nećete zbuniti.
Izraz 5x^2 + 3x - 2.
1. Jednako je nuli: 5x^2 + 3x - 2 = 0
2. Pronalazimo korijene kvadratne jednadžbe, za to zamjenjujemo vrijednosti u formulu (a je koeficijent za X ^ 2, b je koeficijent za X, slobodni član, odnosno a figura bez X):
Nalazimo prvi korijen sa znakom plus ispred kvadratnog korijena:
X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4
Drugi korijen sa znakom minus ispred kvadratnog korijena:
X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1
Tako smo pronašli korijene kvadratnog trinoma. Da biste bili sigurni da su tačni, možete provjeriti: prvo zamjenjujemo prvi korijen u jednadžbi, a zatim drugi:
1) 5x^2 + 3x - 2 = 0
5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0
5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0
2) 5x^2 + 3x - 2 = 0
5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0
5 * 1 + (-3) – 2 = 0
5 – 3 – 2 = 0
Ako nakon zamjene svih korijena jednačina nestane, onda je jednačina ispravno riješena.
3. Sada koristimo formulu iz teoreme: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), zapamtite da su X1 i X2 korijeni kvadratne jednadžbe. Dakle: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))
5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)
4. Da biste bili sigurni da je dekompozicija ispravna, možete jednostavno pomnožiti zagrade:
5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Što potvrđuje tačnost odluke.
Druga opcija za pronalaženje korijena kvadratnog trinoma
Druga opcija za pronalaženje korijena kvadratnog trinoma je inverzna teorema Vietteove teoreme. Ovdje se korijeni kvadratne jednadžbe nalaze po formulama: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Ali važno je shvatiti da se ova teorema može koristiti samo ako je koeficijent a = 1, odnosno broj ispred x ^ 2 = 1.
Na primjer: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.
Rješavanje: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2
Sada je važno razmisliti o tome koji brojevi u proizvodu daju jedinicu? Naravno ovo 1 * 1 i -1 * (-1) . Od ovih brojeva biramo one koji odgovaraju izrazu x1 + x2 = 2, naravno - ovo je 1 + 1. Tako smo pronašli korijene jednadžbe: x1 = 1, x2 = 1. Ovo je lako provjeriti da li je zamjenjujemo x ^ 2 u izraz - 2x + 1 = 0.