Trinomska faktorizacija polinoma. Kako razložiti kvadratni trinom na faktore
Ovo je jedan od najelementarnijih načina za pojednostavljenje izraza. Da bismo primijenili ovu metodu, sjetimo se distributivnog zakona množenja u odnosu na sabiranje (ne bojte se ovih riječi, ovaj zakon definitivno znate, samo ste možda zaboravili kako se zove).
Zakon kaže: da biste pomnožili zbir dva broja sa trećim brojem, morate svaki član pomnožiti sa ovim brojem i sabrati rezultate, drugim riječima,.
Možete napraviti i obrnutu operaciju, a upravo nas ta obrnuta operacija zanima. Kao što se može vidjeti iz uzorka, zajednički faktor a, može se izvaditi iz zagrade.
Slična operacija se može izvesti i sa varijablama, kao što su i, na primjer, i sa brojevima: .
Da, ovo je previše elementaran primjer, baš kao i prethodni primjer, sa proširenjem broja, jer svi znaju šta su brojevi i djeljivi su s njima, ali šta ako dobijete kompliciraniji izraz:
Kako saznati na što je, na primjer, broj podijeljen, ne, s kalkulatorom svako može, ali bez njega je slab? A za to postoje znakovi djeljivosti, ovi znakovi su zaista vrijedni poznavanja, oni će vam pomoći da brzo shvatite da li je moguće izvući zajednički faktor iz zagrade.
Znakovi djeljivosti
Nije ih tako teško zapamtiti, najvjerovatnije vam je većina njih već bila poznata, a nešto će biti novo korisno otkriće, više detalja u tabeli:
Napomena: tablici nedostaje znak djeljivosti sa 4. Ako su zadnje dvije cifre djeljive sa 4, tada je cijeli broj djeljiv sa 4.
Pa, kako ti se sviđa znak? Savjetujem vam da ga zapamtite!
Pa, da se vratimo na izraz, možda ga izvadimo iz zagrade i dosta je? Ne, uobičajeno je da matematičari pojednostavljuju, dakle do kraja, izvadi SVE što se izvadi!
I tako, sa igračem je sve jasno, ali šta je sa numeričkim dijelom izraza? Oba broja su neparna, pa se ne možete podijeliti sa
Možete koristiti znak djeljivosti sa, zbir cifara, i, od kojih se broj sastoji, jednak je i djeljiv je sa, što znači da je djeljiv sa.
Znajući to, možete se sigurno podijeliti u stupac, kao rezultat dijeljenja sa dobijemo (znakovi djeljivosti su nam dobro došli!). Dakle, možemo uzeti broj iz zagrade, baš kao y, i kao rezultat imamo:
Da biste bili sigurni da je sve ispravno razloženo, možete provjeriti proširenje množenjem!
Takođe, zajednički faktor se može izvaditi u izrazima za stepen. Evo, na primjer, vidite li zajednički faktor?
Svi članovi ovog izraza imaju x - vadimo, sve dijelimo po - vadimo ponovo, gledamo šta se dogodilo: .
2. Skraćene formule za množenje
Skraćene formule množenja su već spomenute u teoriji, ako se teško možete sjetiti o čemu se radi, trebali biste ih osvježiti u sjećanju.
Pa, ako se smatrate vrlo pametnim i previše ste lijeni da pročitate takav oblak informacija, onda samo čitajte, pogledajte formule i odmah uzmite primjere.
Suština ove dekompozicije je da uočite neku definitivnu formulu u izrazu pred vama, primenite je i tako dobijete proizvod nečega i nečega, to je sva dekompozicija. Slijede formule:
Sada pokušajte faktorizirati sljedeće izraze koristeći gornje formule:
A evo šta je trebalo da se desi:
Kao što ste primijetili, ove formule su vrlo efikasan način faktoringa, nije uvijek prikladan, ali može biti vrlo koristan!
3. Grupisanje ili metod grupisanja
Evo još jednog primjera za vas:
Pa, šta ćeš s tim? Čini se da je djeljivo na i na nešto, a nešto na i na
Ali ne možete sve zajedno podijeliti u jednu stvar, dobro ne postoji zajednički faktor, kako ne tražiti šta, a ostaviti bez faktoringa?
Ovdje treba pokazati domišljatost, a naziv ove genijalnosti je grupisanje!
Koristi se samo kada svi članovi nemaju zajedničke djelitelje. Za grupisanje vam je potrebno pronaći grupe pojmova koji imaju zajedničke djelitelje i preuredite ih tako da se iz svake grupe može dobiti isti množitelj.
Naravno, nije potrebno preuređivati na mjestima, ali to daje vidljivost, radi jasnoće možete uzeti pojedine dijelove izraza u zagradama, nije zabranjeno stavljati ih koliko god želite, glavna stvar je da ne zbuniti znakove.
Sve ovo nije jasno? Dozvolite mi da objasnim na primjeru:
U polinomu - stavite član - nakon člana - dobijamo
grupiramo prva dva člana zajedno u posebnu zagradu i grupišemo treći i četvrti član na isti način, ostavljajući znak minus izvan zagrade, dobijamo:
A sada gledamo posebno svaku od dvije "gomile" u koje smo izraz razbili zagradama.
Trik je u tome da ga razbijete na takve hrpe iz kojih će biti moguće izvaditi najveći mogući faktor, ili, kao u ovom primjeru, pokušati grupirati članove tako da nakon vađenja faktora iz zagrada iz hrpa, imaju iste izraze unutar zagrada.
Iz obe zagrade vadimo zajedničke faktore članova, iz prve zagrade, a iz druge zagrade dobijamo:
Ali to nije raspadanje!
Pmagarac dekompozicija treba da ostane samo množenje, ali za sada imamo polinom jednostavno podijeljen na dva dijela ...
ALI! Ovaj polinom ima zajednički faktor. to
izvan zagrade i dobijamo konačni proizvod
Bingo! Kao što vidite, proizvod već postoji i van zagrada nema ni sabiranja ni oduzimanja, dekompozicija je završena, jer nemamo više šta da izvadimo iz zagrada.
Može izgledati kao čudo da nakon uzimanja faktora iz zagrada i dalje imamo iste izraze u zagradama, koje smo, opet, izvukli iz zagrada.
I nije to nikakvo čudo, činjenica je da su primjeri u udžbenicima i na ispitu posebno napravljeni na način da većina izraza u zadacima za pojednostavljenje ili faktorizacija uz pravi pristup njima, lako se pojednostavljuju i naglo se srušavaju kao kišobran kada pritisnete dugme, pa potražite baš to dugme u svakom izrazu.
Nešto što sam skrenuo, šta mi tu imamo sa pojednostavljenjem? Složeni polinom je dobio jednostavniji oblik: .
Slažete se, nije tako glomazan kao što je bio?
4. Odabir punog kvadrata.
Ponekad je, da bi se primijenile formule za skraćeno množenje (ponoviti temu), potrebno transformirati postojeći polinom tako što će se jedan od njegovih članova predstaviti kao zbir ili razlika dva člana.
U kom slučaju to morate učiniti, naučit ćete iz primjera:
Polinom u ovom obliku ne može se razložiti korištenjem skraćenih formula za množenje, pa se mora pretvoriti. Možda vam u početku neće biti jasno na koji pojam podijeliti, ali s vremenom ćete naučiti da odmah vidite skraćene formule množenja, čak i ako nisu u cijelosti, i brzo ćete utvrditi šta ovdje nedostaje na punu formulu, ali za sada - uči, student, tačnije školarac.
Za punu formulu kvadrata razlike, ovdje vam je potrebno. Predstavimo treći član kao razliku, dobijamo: Možemo primijeniti formulu kvadrata razlike na izraz u zagradama (ne brkati s razlikom kvadrata!!!), imamo: , na ovaj izraz možemo primijeniti formulu za razliku kvadrata (ne treba se brkati sa razlikom na kvadrat!!!), zamišljajući kako, dobijamo: .
Izraz koji nije uvijek uračunat u faktore izgleda jednostavnije i manje nego što je bio prije dekompozicije, ali u ovom obliku postaje pokretljiviji, u smislu da ne možete brinuti o promjeni znakova i drugim matematičkim glupostima. Pa, da biste sami odlučili, sljedeće izraze treba rastaviti.
primjeri:
Odgovori:
5. Faktorizacija kvadratnog trinoma
Za faktorizaciju kvadratnog trinoma, pogledajte dolje u primjerima dekompozicije.
Primjeri 5 metoda za faktoriranje polinoma
1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada. Primjeri.
Sjećate li se šta je distributivni zakon? Ovo je takvo pravilo:
primjer:
Faktorizirajte polinom.
Rješenje:
Drugi primjer:
Pomnožite.
Rješenje:
Ako se cijeli pojam izvadi iz zagrada, umjesto njega jedan ostaje u zagradi!
2. Formule za skraćeno množenje. Primjeri.
Najčešće korištene formule su razlika kvadrata, razlika kocki i zbroj kocki. Sjećate se ovih formula? Ako ne, hitno ponovite temu!
primjer:
Faktor izraza.
Rješenje:
U ovom izrazu lako je saznati razliku kocki:
primjer:
Rješenje:
3. Metoda grupisanja. Primjeri
Ponekad je moguće zamijeniti termine na način da se iz svakog para susjednih članova može izdvojiti jedan te isti faktor. Ovaj zajednički faktor se može izvaditi iz zagrade i originalni polinom će se pretvoriti u proizvod.
primjer:
Odvojite polinom.
Rješenje:
Grupiramo termine na sljedeći način:
.
U prvoj grupi izvlačimo zajednički faktor iz zagrada, au drugoj - :
.
Sada se i zajednički faktor može izvući iz zagrada:
.
4. Metoda odabira punog kvadrata. Primjeri.
Ako se polinom može predstaviti kao razlika kvadrata dva izraza, ostaje samo da se primeni skraćena formula za množenje (razlika kvadrata).
primjer:
Odvojite polinom.
Rješenje:primjer:
\begin(niz)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(kvadrat\ sume\ ((\lijevo (x+3 \desno))^(2)))-9-7=((\levo(x+3 \desno))^(2))-16= \\
=\levo(x+3+4 \desno)\levo(x+3-4 \desno)=\levo(x+7 \desno)\levo(x-1 \desno) \\
\end (niz)
Odvojite polinom.
Rješenje:
\begin(niz)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(kvadrat\ razlike((\left(((x)^(2))-2 \desno))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \desno))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \desno)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \desno) \\
\end (niz)
5. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Primjer.
Kvadratni trinom je polinom oblika, gdje je nepoznata, štoviše, neki brojevi.
Vrijednosti varijable koje pretvaraju kvadratni trinom na nulu nazivaju se korijeni trinoma. Stoga su korijeni trinoma korijeni kvadratne jednadžbe.
Teorema.
primjer:
Razložimo kvadratni trinom na faktore: .
Prvo, rješavamo kvadratnu jednačinu: Sada možemo zapisati faktorizaciju ovog kvadratnog trinoma u faktore:
E sad tvoje misljenje...
Detaljno smo opisali kako i zašto faktorizirati polinom.
Naveli smo puno primjera kako se to radi u praksi, ukazali na zamke, dali rješenja...
Šta kažeš?
Kako vam se sviđa ovaj članak? Koristite li ove trikove? Da li razumete njihovu suštinu?
Pišite u komentare i... spremite se za ispit!
Do sada ti je to najvažnija stvar u životu.
U ovoj lekciji ćemo naučiti kako razložiti kvadratne trinome na linearne faktore. Za ovo je potrebno prisjetiti se Vietine teoreme i njenog inverza. Ova vještina će nam pomoći da brzo i prikladno razložimo kvadratne trinome u linearne faktore, a također će pojednostaviti redukciju razlomaka koji se sastoje od izraza.
Dakle, vratimo se na kvadratnu jednačinu , gdje je .
Ono što imamo na lijevoj strani naziva se kvadratni trinom.
Teorema je tačna: Ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je identitet istinit
Gdje je vodeći koeficijent, korijeni su jednadžbe.
Dakle, imamo kvadratnu jednačinu - kvadratni trinom, gdje se korijeni kvadratne jednadžbe nazivaju i korijeni kvadratnog trinoma. Stoga, ako imamo korijene kvadratnog trinoma, onda se ovaj trinom razlaže na linearne faktore.
dokaz:
Dokaz ove činjenice provodi se pomoću Vietine teoreme, koju smo razmatrali u prethodnim lekcijama.
Prisjetimo se šta nam kaže Vietina teorema:
Ako su korijeni kvadratnog trinoma za koje , Tada .
Ova teorema implicira sljedeću tvrdnju da .
Vidimo da, prema Vietinoj teoremi, tj. zamjenom ovih vrijednosti u gornju formulu, dobijamo sljedeći izraz
Q.E.D.
Podsjetimo da smo dokazali teoremu da ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je dekompozicija važeća.
Prisjetimo se sada primjera kvadratne jednadžbe, kojoj smo odabrali korijene koristeći Vietin teorem. Iz ove činjenice možemo dobiti sljedeću jednakost zahvaljujući dokazanoj teoremi:
Sada provjerimo ispravnost ove činjenice jednostavnim proširenjem zagrada:
Vidimo da smo pravilno razložili i bilo koji trinom, ako ima korijene, može se razložiti prema ovoj teoremi u linearne faktore prema formuli
Međutim, hajde da proverimo da li je za bilo koju jednačinu takva faktorizacija moguća:
Uzmimo za primjer jednačinu. Prvo, provjerimo znak diskriminanta
I zapamtimo da da bi se ispunila teorema koju smo naučili, D mora biti veći od 0, stoga je u ovom slučaju faktoriranje prema proučavanoj teoremi nemoguće.
Stoga formuliramo novu teoremu: ako kvadratni trinom nema korijen, onda se ne može rastaviti na linearne faktore.
Dakle, razmotrili smo Vietinu teoremu, mogućnost dekompozicije kvadratnog trinoma na linearne faktore, a sada ćemo riješiti nekoliko problema.
Zadatak #1
U ovoj grupi ćemo zapravo rješavati problem obrnuto od postavljenog. Imali smo jednačinu i pronašli smo njene korijene, razlažući se na faktore. Ovdje ćemo učiniti suprotno. Recimo da imamo korijene kvadratne jednadžbe
Inverzni problem je sljedeći: napišite kvadratnu jednačinu tako da su njeni korijeni.
Postoje 2 načina za rješavanje ovog problema.
Pošto su korijeni jednadžbe, onda 
je kvadratna jednadžba čiji su korijeni dati brojevi. Sada otvorimo zagrade i provjerimo:
Ovo je bio prvi način na koji smo kreirali kvadratnu jednadžbu sa datim korijenima koja nema nijedan drugi korijen, budući da svaka kvadratna jednadžba ima najviše dva korijena.
Ova metoda uključuje korištenje inverzne Vietine teoreme.
Ako su korijeni jednadžbe, onda oni zadovoljavaju uvjet da .
Za redukovanu kvadratnu jednačinu 
, , tj. u ovom slučaju , i .
Tako smo kreirali kvadratnu jednačinu koja ima date korijene.
Zadatak #2
Trebate smanjiti razlomak.
Imamo trinom u brojniku i trinom u nazivniku, a trinomi se mogu ili ne moraju faktorizirati. Ako su i brojnik i imenilac razloženi na faktore, onda među njima mogu postojati jednaki faktori koji se mogu smanjiti.
Prije svega, potrebno je faktorizirati brojilac.
Prvo, trebate provjeriti da li se ova jednadžba može rastaviti na faktore, pronaći diskriminanta. Budući da , tada predznak ovisi o proizvodu (mora biti manji od 0), u ovom primjeru, tj. data jednadžba ima korijene.
Za rješavanje koristimo Vietinu teoremu:
U ovom slučaju, budući da imamo posla s korijenima, bit će prilično teško jednostavno pokupiti korijenje. Ali vidimo da su koeficijenti izbalansirani, tj. ako pretpostavimo da je , i zamijenimo ovu vrijednost u jednačinu, onda se dobija sljedeći sistem: tj. 5-5=0. Stoga smo odabrali jedan od korijena ove kvadratne jednadžbe.
Drugi korijen ćemo tražiti zamjenom onoga što je već poznato u sistem jednačina, na primjer, , tj. .
Dakle, pronašli smo oba korijena kvadratne jednadžbe i možemo zamijeniti njihove vrijednosti u originalnu jednadžbu da bismo je faktorirali:
Prisjetite se prvobitnog problema, trebali smo smanjiti razlomak.
Pokušajmo riješiti problem zamjenom umjesto brojnika.
Ne treba zaboraviti da u ovom slučaju imenilac ne može biti jednak 0, tj.
Ako su ovi uvjeti ispunjeni, onda smo originalni razlomak sveli na oblik .
Zadatak #3 (zadatak sa parametrom)
Pri kojim vrijednostima parametra je zbir korijena kvadratne jednadžbe
Ako korijeni ove jednadžbe postoje, onda 
, pitanje je kada .
Nađite zbir i proizvod korijena kvadratne jednadžbe. Koristeći formule (59.8) za korijene gornje jednadžbe, dobijamo
(prva jednakost je očigledna, druga se dobija nakon jednostavnog izračuna, koji će čitalac samostalno izvršiti; zgodno je koristiti formulu za množenje sume dva broja njihovom razlikom).
Sljedeće
Vietin teorem. Zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a njihov proizvod je jednak slobodnom članu.
U slučaju nereducirane kvadratne jednadžbe, izraze formule (60.1) treba zamijeniti u formule (60.1) i uzeti oblik
Primjer 1. Sastavite kvadratnu jednačinu po korijenima:
Rješenje, a) Nalazimo da jednačina ima oblik
Primjer 2. Naći zbir kvadrata korijena jednačine bez rješavanja same jednačine.
Rješenje. Zbir i proizvod korijena su poznati. Predstavljamo zbir korijena na kvadrat u obliku
i dobiti
Iz Vieta formula je lako dobiti formulu
izražavajući pravilo za faktoriranje kvadratnog trinoma.
Zaista, zapisujemo formule (60.2) u obliku
Sada imamo
što je ono što treba da dobijete.
Gornja derivacija Vietinih formula je poznata čitaocu iz srednjoškolskog kursa algebre. Može se dati još jedan izvod, koristeći Bezoutovu teoremu i faktorizaciju polinoma (§§ 51, 52).
Neka su korijeni jednadžbe tada, prema općem pravilu (52.2), trinom na lijevoj strani jednadžbe faktoriziran:
Proširujući zagrade na desnoj strani ove identične jednakosti, dobijamo
a poređenje koeficijenata na jednakim potencijama daće nam Vietine formule (60.1).
Prednost ovog izvođenja je u tome što se može primijeniti i na jednačine viših stupnjeva kako bi se dobili izrazi za koeficijente jednačine u smislu njenih korijena (bez pronalaženja samih korijena!). Na primjer, ako su korijeni reducirane kubne jednadžbe
suština je da prema jednakosti (52.2) nalazimo
(u našem slučaju, otvaranjem zagrada na desnoj strani jednakosti i sakupljanjem koeficijenata na različitim stepenima, dobijamo
U ovoj lekciji ćemo naučiti kako razložiti kvadratne trinome na linearne faktore. Za ovo je potrebno prisjetiti se Vietine teoreme i njenog inverza. Ova vještina će nam pomoći da brzo i prikladno razložimo kvadratne trinome u linearne faktore, a također će pojednostaviti redukciju razlomaka koji se sastoje od izraza.
Dakle, vratimo se na kvadratnu jednačinu , gdje je .
Ono što imamo na lijevoj strani naziva se kvadratni trinom.
Teorema je tačna: Ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je identitet istinit
Gdje je vodeći koeficijent, korijeni su jednadžbe.
Dakle, imamo kvadratnu jednačinu - kvadratni trinom, gdje se korijeni kvadratne jednadžbe nazivaju i korijeni kvadratnog trinoma. Stoga, ako imamo korijene kvadratnog trinoma, onda se ovaj trinom razlaže na linearne faktore.
dokaz:
Dokaz ove činjenice provodi se pomoću Vietine teoreme, koju smo razmatrali u prethodnim lekcijama.
Prisjetimo se šta nam kaže Vietina teorema:
Ako su korijeni kvadratnog trinoma za koje , Tada .
Ova teorema implicira sljedeću tvrdnju da .
Vidimo da, prema Vietinoj teoremi, tj. zamjenom ovih vrijednosti u gornju formulu, dobijamo sljedeći izraz
Q.E.D.
Podsjetimo da smo dokazali teoremu da ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je dekompozicija važeća.
Prisjetimo se sada primjera kvadratne jednadžbe, kojoj smo odabrali korijene koristeći Vietin teorem. Iz ove činjenice možemo dobiti sljedeću jednakost zahvaljujući dokazanoj teoremi:
Sada provjerimo ispravnost ove činjenice jednostavnim proširenjem zagrada:
Vidimo da smo pravilno razložili i bilo koji trinom, ako ima korijene, može se razložiti prema ovoj teoremi u linearne faktore prema formuli
Međutim, hajde da proverimo da li je za bilo koju jednačinu takva faktorizacija moguća:
Uzmimo za primjer jednačinu. Prvo, provjerimo znak diskriminanta
I zapamtimo da da bi se ispunila teorema koju smo naučili, D mora biti veći od 0, stoga je u ovom slučaju faktoriranje prema proučavanoj teoremi nemoguće.
Stoga formuliramo novu teoremu: ako kvadratni trinom nema korijen, onda se ne može rastaviti na linearne faktore.
Dakle, razmotrili smo Vietinu teoremu, mogućnost dekompozicije kvadratnog trinoma na linearne faktore, a sada ćemo riješiti nekoliko problema.
Zadatak #1
U ovoj grupi ćemo zapravo rješavati problem obrnuto od postavljenog. Imali smo jednačinu i pronašli smo njene korijene, razlažući se na faktore. Ovdje ćemo učiniti suprotno. Recimo da imamo korijene kvadratne jednadžbe
Inverzni problem je sljedeći: napišite kvadratnu jednačinu tako da su njeni korijeni.
Postoje 2 načina za rješavanje ovog problema.
Pošto su korijeni jednadžbe, onda je kvadratna jednadžba čiji su korijeni dati brojevi. Sada otvorimo zagrade i provjerimo:
Ovo je bio prvi način na koji smo kreirali kvadratnu jednadžbu sa datim korijenima koja nema nijedan drugi korijen, budući da svaka kvadratna jednadžba ima najviše dva korijena.
Ova metoda uključuje korištenje inverzne Vietine teoreme.
Ako su korijeni jednadžbe, onda oni zadovoljavaju uvjet da .
Za redukovanu kvadratnu jednačinu , , tj. u ovom slučaju , i .
Tako smo kreirali kvadratnu jednačinu koja ima date korijene.
Zadatak #2
Trebate smanjiti razlomak.
Imamo trinom u brojniku i trinom u nazivniku, a trinomi se mogu ili ne moraju faktorizirati. Ako su i brojnik i imenilac razloženi na faktore, onda među njima mogu postojati jednaki faktori koji se mogu smanjiti.
Prije svega, potrebno je faktorizirati brojilac.
Prvo, trebate provjeriti da li se ova jednadžba može rastaviti na faktore, pronaći diskriminanta. Budući da , tada predznak ovisi o proizvodu (mora biti manji od 0), u ovom primjeru, tj. data jednadžba ima korijene.
Za rješavanje koristimo Vietinu teoremu:
U ovom slučaju, budući da imamo posla s korijenima, bit će prilično teško jednostavno pokupiti korijenje. Ali vidimo da su koeficijenti izbalansirani, tj. ako pretpostavimo da je , i zamijenimo ovu vrijednost u jednačinu, onda se dobija sljedeći sistem: tj. 5-5=0. Stoga smo odabrali jedan od korijena ove kvadratne jednadžbe.
Drugi korijen ćemo tražiti zamjenom onoga što je već poznato u sistem jednačina, na primjer, , tj. .
Dakle, pronašli smo oba korijena kvadratne jednadžbe i možemo zamijeniti njihove vrijednosti u originalnu jednadžbu da bismo je faktorirali:
Prisjetite se prvobitnog problema, trebali smo smanjiti razlomak.
Pokušajmo riješiti problem zamjenom umjesto brojnika.
Ne treba zaboraviti da u ovom slučaju imenilac ne može biti jednak 0, tj.
Ako su ovi uvjeti ispunjeni, onda smo originalni razlomak sveli na oblik .
Zadatak #3 (zadatak sa parametrom)
Pri kojim vrijednostima parametra je zbir korijena kvadratne jednadžbe
Ako korijeni ove jednadžbe postoje, onda , pitanje je kada .
Da bi se faktorizovali, potrebno je pojednostaviti izraze. Ovo je neophodno kako bi se moglo dalje smanjiti. Dekompozicija polinoma ima smisla kada njegov stepen nije niži od drugog. Polinom sa prvim stepenom naziva se linearan.
Članak će otkriti sve koncepte dekompozicije, teorijske osnove i metode faktoringa polinoma.
Teorija
Teorema 1Kada je bilo koji polinom sa stepenom n koji ima oblik P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , predstavljeni su kao proizvod sa konstantnim faktorom najvećeg stepena a n i n linearnih faktora (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , zatim P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , gdje je x i , i = 1 , 2 , … , n - ovo su korijeni polinoma.
Teorema je namijenjena za korijene kompleksnog tipa x i , i = 1 , 2 , … , n i za kompleksne koeficijente a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Ovo je osnova svake dekompozicije.
Kada su koeficijenti oblika a k , k = 0 , 1 , 2 , …, n realni brojevi, tada će se kompleksni korijeni pojaviti u konjugiranim parovima. Na primjer, korijeni x 1 i x 2 odnose se na polinom oblika P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 se smatraju kompleksnim konjugatom, tada su ostali korijeni realni, pa stoga dobijamo da polinom ima oblik P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, gdje je x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Komentar
Korijeni polinoma se mogu ponoviti. Razmotrimo dokaz teoreme algebre, posljedice Bezoutove teoreme.
Osnovni teorem algebre
Teorema 2Svaki polinom sa stepenom n ima barem jedan korijen.
Bezoutova teorema
Nakon dijeljenja polinoma oblika P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s) , tada dobijamo ostatak, koji je jednak polinomu u tački s , onda dobijamo
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , gdje je Q n - 1 (x) polinom sa stepenom n - 1.
Korolar iz Bezoutove teoreme
Kada se smatra da je korijen polinoma P n (x) s , tada je P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Ovaj zaključak je dovoljan kada se koristi za opisivanje rješenja.
Faktorizacija kvadratnog trinoma
Kvadratni trinom oblika a x 2 + b x + c može se razložiti u linearne faktore. tada dobijamo da je a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , gdje su x 1 i x 2 korijeni (kompleksni ili realni).
Ovo pokazuje da se sama dekompozicija svodi na kasnije rješavanje kvadratne jednadžbe.
Primjer 1
Faktorizirajte kvadratni trinom.
Rješenje
Potrebno je pronaći korijene jednačine 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Da biste to učinili, morate pronaći vrijednost diskriminanta prema formuli, tada dobivamo D = (- 5) 2 - 4 4 1 = 9. Dakle, imamo to
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Odavde dobijamo da je 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Da biste izvršili provjeru, morate otvoriti zagrade. Tada dobijamo izraz oblika:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Nakon provjere dolazimo do originalnog izraza. Odnosno, možemo zaključiti da je proširenje ispravno.
Primjer 2
Faktorizirajte kvadratni trinom oblika 3 x 2 - 7 x - 11.
Rješenje
Dobijamo da je potrebno izračunati rezultirajuću kvadratnu jednačinu oblika 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Da biste pronašli korijene, morate odrediti vrijednost diskriminanta. Shvatili smo to
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816
Odavde dobijamo da je 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Primjer 3
Faktorizirajte polinom 2 x 2 + 1.
Rješenje
Sada trebate riješiti kvadratnu jednačinu 2 x 2 + 1 = 0 i pronaći njene korijene. Shvatili smo to
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Ovi korijeni se nazivaju kompleksni konjugati, što znači da se sama dekompozicija može predstaviti kao 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Primjer 4
Proširite kvadratni trinom x 2 + 1 3 x + 1 .
Rješenje
Prvo morate riješiti kvadratnu jednačinu oblika x 2 + 1 3 x + 1 = 0 i pronaći njene korijene.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Dobivši korijene, pišemo
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentar
Ako je vrijednost diskriminanta negativna, tada će polinomi ostati polinomi drugog reda. Otuda slijedi da ih nećemo razlagati na linearne faktore.
Metode faktoringa polinoma stepena većeg od drugog
Dekompozicija pretpostavlja univerzalnu metodu. Većina slučajeva zasniva se na posledicama Bezoutove teoreme. Da biste to učinili, trebate odabrati vrijednost korijena x 1 i smanjiti njegov stepen dijeljenjem polinoma sa 1 dijeljenjem sa (x - x 1) . Rezultirajući polinom treba pronaći korijen x 2, a proces pretraživanja je cikličan dok ne dobijemo potpunu ekspanziju.
Ako korijen nije pronađen, koriste se druge metode faktorizacije: grupiranje, dodatni pojmovi. Ova tema pretpostavlja rješavanje jednačina sa višim potencijama i cjelobrojnim koeficijentima.
Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada
Razmotrimo slučaj kada je slobodni član jednak nuli, tada oblik polinoma postaje P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Vidi se da će korijen takvog polinoma biti jednak x 1 \u003d 0, tada polinom možete predstaviti u obliku izraza P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Ova metoda se smatra vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada.
Primjer 5
Faktorizujte polinom trećeg stepena 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Rješenje
Vidimo da je x 1 = 0 korijen datog polinoma, onda možemo staviti x u zagradu iz cijelog izraza. Dobijamo:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Pređimo na pronalaženje korijena kvadratnog trinoma 4 x 2 + 8 x - 1. Nađimo diskriminant i korijene:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Zatim slijedi to
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Za početak, uzmimo za razmatranje metodu dekompozicije koja sadrži cjelobrojne koeficijente oblika P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pri čemu je koeficijent najveće snage 1 .
Kada polinom ima cjelobrojne korijene, onda se smatraju djeliteljima slobodnog člana.
Primjer 6
Proširite izraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Rješenje
Razmislite da li postoje cijeli brojevi korijena. Potrebno je napisati djelitelje broja - 18. Dobijamo da je ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Iz toga slijedi da ovaj polinom ima cjelobrojne korijene. Možete provjeriti prema Horner shemi. Vrlo je zgodno i omogućava vam da brzo dobijete koeficijente ekspanzije polinoma:
Iz toga slijedi da su x = 2 i x = - 3 korijeni originalnog polinoma, koji se može predstaviti kao proizvod oblika:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Prelazimo na dekompoziciju kvadratnog trinoma oblika x 2 + 2 x + 3 .
Pošto je diskriminant negativan, to znači da nema pravih korijena.
odgovor: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentar
Dozvoljeno je koristiti odabir korijena i dijeljenje polinoma polinomom umjesto Hornerove sheme. Nastavimo sa razmatranjem ekspanzije polinoma koji sadrži cjelobrojne koeficijente oblika P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , od kojih najveći nije jednak jedinici.
Ovaj slučaj se dešava za razlomke racionalnih razlomaka.
Primjer 7
Faktorizirajte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Rješenje
Potrebno je promijeniti varijablu y = 2 x , treba prijeći na polinom sa koeficijentima jednakim 1 u najvišem stepenu. Morate početi množenjem izraza sa 4. Shvatili smo to
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Kada rezultirajuća funkcija oblika g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ima cjelobrojne korijene, tada je njihov nalaz među djeliteljima slobodnog člana. Unos će izgledati ovako:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Pređimo na izračunavanje funkcije g (y) u ovim tačkama da bismo kao rezultat dobili nulu. Shvatili smo to
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Dobijamo da je y = - 5 korijen jednadžbe oblika y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, što znači da je x = y 2 = - 5 2 korijen originalne funkcije.
Primjer 8
Potrebno je kolonom podijeliti 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 sa x + 5 2.
Rješenje
Pišemo i dobijamo:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Provjera djelitelja će potrajati dosta vremena, pa je isplativije uzeti faktorizaciju rezultirajućeg kvadratnog trinoma oblika x 2 + 7 x + 3. Izjednačavanjem sa nulom nalazimo diskriminanta.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Otuda to sledi
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Vještački trikovi prilikom faktoringa polinoma
Racionalni korijeni nisu svojstveni svim polinomima. Da biste to učinili, morate koristiti posebne metode za pronalaženje faktora. Ali ne mogu se svi polinomi razložiti ili predstaviti kao proizvod.
Metoda grupisanja
Postoje slučajevi kada možete grupirati članove polinoma da biste pronašli zajednički faktor i izvadili ga iz zagrada.
Primjer 9
Faktorizirajte polinom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Rješenje
Budući da su koeficijenti cijeli brojevi, onda korijeni vjerovatno mogu biti i cijeli brojevi. Za provjeru uzimamo vrijednosti 1 , - 1 , 2 i - 2 kako bismo izračunali vrijednost polinoma u ovim tačkama. Shvatili smo to
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To pokazuje da nema korijena, potrebno je koristiti drugačiji način razlaganja i rješenja.
Grupiranje je potrebno:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Nakon grupisanja originalnog polinoma, potrebno ga je predstaviti kao proizvod dva kvadratna trinoma. Da bismo to uradili, moramo rastaviti na faktore. mi to shvatamo
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentar
Jednostavnost grupisanja ne znači da je dovoljno lako birati pojmove. Ne postoji definitivan način da se to riješi, stoga je potrebno koristiti posebne teoreme i pravila.
Primjer 10
Faktorizujte polinom x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Rješenje
Zadati polinom nema cjelobrojne korijene. Termine treba grupisati. Shvatili smo to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Nakon faktoringa, dobijamo to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Korištenje skraćenog množenja i Newtonovih binomnih formula za faktorizaciju polinoma
Izgled često ne daje do znanja koji način treba koristiti tokom razlaganja. Nakon što su transformacije napravljene, možete izgraditi liniju koja se sastoji od Pascalovog trougla, inače se nazivaju Newtonov binom.
Primjer 11
Faktorizujte polinom x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Rješenje
Potrebno je pretvoriti izraz u formu
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Niz koeficijenata zbira u zagradama je označen izrazom x + 1 4 .
Dakle, imamo x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
Nakon primjene razlike kvadrata, dobivamo
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Razmotrimo izraz koji se nalazi u drugoj zagradi. Jasno je da tamo nema konja, pa treba ponovo primijeniti formulu za razliku kvadrata. Dobijamo izraz kao
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Primjer 12
Faktoriziraj x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Rješenje
Hajde da promenimo izraz. Shvatili smo to
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Potrebno je primijeniti formulu za skraćeno množenje razlike kocki. Dobijamo:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metoda za zamjenu varijable prilikom faktoringa polinoma
Prilikom promjene varijable, stepen se smanjuje, a polinom faktorizira.
Primjer 13
Faktorizirajte polinom oblika x 6 + 5 x 3 + 6 .
Rješenje
Iz uslova je jasno da je potrebno izvršiti zamjenu y = x 3 . Dobijamo:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Korijeni rezultirajuće kvadratne jednadžbe su y = - 2 i y = - 3, tada
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Potrebno je primijeniti formulu za skraćeno množenje zbira kocki. Dobijamo izraze oblika:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Odnosno, dobili smo željeno proširenje.
Slučajevi o kojima smo gore govorili pomoći će u razmatranju i faktorizaciji polinoma na različite načine.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter