Išskaidykite kvadratinį trinarį į dvinarį. Kvadratinio trinalio faktorinavimas

Kvadratinių trinarių faktorinavimas yra viena iš mokyklinių užduočių, su kuria anksčiau ar vėliau susiduria visi. Kaip tai padaryti? Kokia yra kvadratinio trinario faktoriaus formulė? Panagrinėkime tai žingsnis po žingsnio su pavyzdžiais.

Bendra formulė

Kvadratinių trinadžių faktorizavimas atliekamas sprendžiant kvadratinę lygtį. Tai paprastas uždavinys, kurį galima išspręsti keliais būdais – surandant diskriminantą, naudojant Vietos teoremą, yra ir grafinis būdas jį išspręsti. Pirmieji du metodai mokomi vidurinėje mokykloje.

Bendra formulė atrodo taip:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Užduoties vykdymo algoritmas

Norint suskaidyti kvadratinius trinalius, reikia žinoti Wito teoremą, turėti po ranka sprendimo programą, mokėti grafiškai rasti sprendimą arba per diskriminantinę formulę ieškoti antrojo laipsnio lygties šaknų. Jei duotas kvadratinis trinaris ir jis turi būti koeficientas, veiksmų algoritmas yra toks:

1) Prilyginkite pradinę išraišką nuliui, kad gautumėte lygtį.

2) Pateikite panašius terminus (jei reikia).

3) Raskite šaknis bet kuriuo žinomu metodu. Grafinį metodą geriausia naudoti, jei iš anksto žinoma, kad šaknys yra sveikieji ir maži skaičiai. Reikia atsiminti, kad šaknų skaičius yra lygus didžiausiam lygties laipsniui, tai yra, kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.

4) Pakaitinė vertė Xį išraišką (1).

5) Užrašykite kvadratinių trinalių faktorių sudarymą.

Pavyzdžiai

Praktika leidžia pagaliau suprasti, kaip ši užduotis atliekama. Pavyzdžiai iliustruoja kvadratinio trinario faktorius:

reikia išplėsti išraišką:

Naudokime savo algoritmą:

1) x 2 -17x+32=0

2) panašūs terminai mažinami

3) pagal Vietos formulę sunku rasti šio pavyzdžio šaknis, todėl diskriminantui geriau naudoti išraišką:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Pakeiskite šaknis, kurias radome pagrindinėje išplėtimo formulėje:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tada atsakymas bus toks:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Patikrinkime, ar diskriminanto rasti sprendiniai atitinka Vietos formules:

14,845 . 2,155=32

Šioms šaknims taikoma Vietos teorema, jos buvo rastos teisingai, vadinasi, teisinga ir mūsų gauta faktorizacija.

Panašiai išplečiame 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Ankstesniu atveju sprendiniai buvo ne sveikieji, o realūs skaičiai, kuriuos nesunku rasti priešais esančia skaičiuokle. Dabar apsvarstykite sudėtingesnį pavyzdį, kuriame šaknys yra sudėtingos: koeficientas x 2 + 4x + 9. Pagal Vietos formulę šaknų rasti nepavyksta, o diskriminantas yra neigiamas. Šaknys bus sudėtingoje plokštumoje.

D=-20

Remdamiesi tuo, gauname mus dominančias šaknis -4 + 2i * 5 1/2 ir -4-2i * 5 1/2, nes (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Mes gauname norimą išplėtimą, pakeisdami šaknis į bendrą formulę.

Kitas pavyzdys: reikia suskaidyti išraišką 23x 2 -14x + 7.

Mes turime lygtį 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Taigi šaknys yra 14+21,166i ir 14-21,166i. Atsakymas bus toks:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Pateiksime pavyzdį, kurį galima išspręsti be diskriminanto pagalbos.

Tegul reikia išskaidyti kvadratinę lygtį x 2 -32x + 255. Akivaizdu, kad ją galima išspręsti ir diskriminantu, tačiau tokiu atveju greičiau rasti šaknis.

x 1 = 15

x2=17

Reiškia x 2–32 x + 255 =(x-15)(x-17).

Šis internetinis skaičiuotuvas skirtas funkcijai faktorinizuoti.

Pavyzdžiui, koeficientas: x 2 /3-3x+12 . Parašykime kaip x^2/3-3*x+12 . Taip pat galite naudotis šia paslauga, kurioje visi skaičiavimai išsaugomi Word formatu.

Pavyzdžiui, išskaidyti į terminus. Parašykime kaip (1-x^2)/(x^3+x) . Norėdami pamatyti sprendimo eigą, spustelėkite Rodyti veiksmus . Jei jums reikia gauti rezultatą Word formatu, naudokite šią paslaugą.

Pastaba: skaičius "pi" (π) rašomas kaip pi ; kvadratinė šaknis kaip sqrt , pvz., sqrt(3) , tg liestinė rašoma kaip tan . Atsakymą rasite skyriuje Alternatyva.

1. Jei pateikiama paprasta išraiška, pavyzdžiui, 8*d+12*c*d , tai išraiškos faktorinavimas reiškia išraiškos faktorių. Norėdami tai padaryti, turite rasti bendrus veiksnius. Šią išraišką rašome taip: 4*d*(2+3*c) .
2. Išreikškite sandaugą kaip du dvejetainius: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Čia jau reikia rasti keletą bendrų faktorių: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Išimame (x+7z) ir gauname: (x+7z)(x + 3y) .

taip pat žiūrėkite Daugiavardžių padalijimas kampu (rodomi visi padalijimo iš stulpeliu žingsniai)

Naudinga mokytis faktorizavimo taisyklių sutrumpintos daugybos formulės, su kuria bus aišku, kaip atidaryti skliaustus su kvadratu:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 – b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoringo metodai

1. Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas.
2. Ieškokite bendro veiksnio.

Šioje pamokoje sužinosime, kaip kvadratinius trinarius išskaidyti į tiesinius veiksnius. Tam reikia prisiminti Vietos teoremą ir jos atvirkštinę. Šis įgūdis padės mums greitai ir patogiai išskaidyti kvadratinius trinalius į tiesinius veiksnius, taip pat supaprastins trupmenų, susidedančių iš išraiškų, mažinimą.

Taigi grįžkime prie kvadratinės lygties , kur .

Tai, ką turime kairėje pusėje, vadinama kvadratiniu trikampiu.

Teorema teisinga: Jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada tapatybė yra teisinga

Kur yra pagrindinis koeficientas, yra lygties šaknys.

Taigi, turime kvadratinę lygtį – kvadratinį trinarį, kur kvadratinės lygties šaknys dar vadinamos kvadratinio trinalio šaknimis. Todėl, jei turime kvadratinio trinalio šaknis, tai šis trinaris išskaidomas į tiesinius veiksnius.

Įrodymas:

Šis faktas įrodomas naudojant Vieta teoremą, kurią nagrinėjome ankstesnėse pamokose.

Prisiminkime, ką mums sako Vietos teorema:

Jei yra kvadratinio trinario šaknys, kurioms Tada .

Ši teorema reiškia tokį tvirtinimą, kad .

Matome, kad pagal Vieta teoremą, ty pakeitę šias reikšmes į aukščiau pateiktą formulę, gauname tokią išraišką

Q.E.D.

Prisiminkite, kad įrodėme teoremą, kad jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada išskaidymas galioja.

Dabar prisiminkime kvadratinės lygties, kurios šaknis pasirinkome naudodami Vietos teoremą, pavyzdį. Iš šio fakto įrodytos teoremos dėka galime gauti tokią lygybę:

Dabar patikrinkime šio fakto teisingumą tiesiog išplėsdami skliaustus:

Matome, kad faktorinavome teisingai, ir bet kuris trinaris, jeigu jis turi šaknis, pagal šią teoremą gali būti padalytas į tiesinius koeficientus pagal formulę

Tačiau patikrinkime, ar bet kuriai lygčiai tokia faktorizacija įmanoma:

Paimkime, pavyzdžiui, lygtį. Pirmiausia patikrinkime diskriminanto ženklą

Ir mes prisimename, kad norint įvykdyti mūsų išmoktą teoremą, D turi būti didesnis nei 0, todėl šiuo atveju faktoringas pagal tiriamą teoremą yra neįmanomas.

Todėl suformuluojame naują teoremą: jei kvadratinis trinaris neturi šaknų, tai jo negalima išskaidyti į tiesinius veiksnius.

Taigi, mes apsvarstėme Vietos teoremą, galimybę išskaidyti kvadratinį trinarį į tiesinius veiksnius, ir dabar išspręsime keletą problemų.

1 užduotis

Šioje grupėje mes iš tikrųjų išspręsime problemą atvirkščiai nei iškelta. Turėjome lygtį ir radome jos šaknis, išskaidančias į veiksnius. Čia mes darysime priešingai. Tarkime, kad turime kvadratinės lygties šaknis

Atvirkštinė problema yra tokia: parašykite kvadratinę lygtį taip, kad būtų jos šaknys.

Yra 2 būdai, kaip išspręsti šią problemą.

Kadangi yra lygties šaknys, tada yra kvadratinė lygtis, kurios šaknys yra pateiktos skaičiais. Dabar atidarykime skliaustus ir patikrinkime:

Tai buvo pirmasis būdas, kuriuo sukūrėme kvadratinę lygtį su nurodytomis šaknimis, kurios neturi jokių kitų šaknų, nes bet kuri kvadratinė lygtis turi daugiausia dvi šaknis.

Šis metodas apima atvirkštinės Vietos teoremos naudojimą.

Jei yra lygties šaknys, tada jie atitinka sąlygą, kad .

Dėl sumažintos kvadratinės lygties , , t. y. šiuo atveju ir .

Taigi, mes sukūrėme kvadratinę lygtį, kuri turi nurodytas šaknis.

2 užduotis

Jums reikia sumažinti frakciją.

Mes turime trinarį skaitiklyje ir trinarį vardiklyje, o trinalius gali būti arba neskaičiuojamas. Jei ir skaitiklis, ir vardiklis yra koeficientai, tada tarp jų gali būti lygių veiksnių, kuriuos galima sumažinti.

Visų pirma, skaitiklį būtina koeficientuoti.

Pirmiausia turite patikrinti, ar šią lygtį galima koeficientuoti, rasti diskriminantą . Kadangi , tada ženklas priklauso nuo sandaugos (turi būti mažesnis nei 0), šiame pavyzdyje t.y., duotoji lygtis turi šaknis.

Norėdami išspręsti, naudojame Vieta teoremą:

Šiuo atveju, kadangi mes susiduriame su šaknimis, bus gana sunku tiesiog pasiimti šaknis. Bet matome, kad koeficientai yra subalansuoti, t.y., jei darysime prielaidą, kad , ir pakeisime šią reikšmę į lygtį, tada gaunama tokia sistema: t.y. 5-5=0. Taigi, mes pasirinkome vieną iš šios kvadratinės lygties šaknų.

Antrosios šaknies ieškosime lygčių sistemoje pakeisdami tai, kas jau žinoma, pavyzdžiui, , t.y. .

Taigi, mes radome abi kvadratinės lygties šaknis ir galime pakeisti jų reikšmes į pradinę lygtį, kad ją koeficientu:

Prisiminkite pradinę problemą, mums reikėjo sumažinti trupmeną.

Pabandykime išspręsti problemą pakeisdami vietoj skaitiklio .

Reikia nepamiršti, kad šiuo atveju vardiklis negali būti lygus 0, t.y.

Jei šios sąlygos yra įvykdytos, pradinę trupmeną sumažinome iki formos .

3 užduotis (užduotis su parametru)

Kokiomis parametro reikšmėmis yra kvadratinės lygties šaknų suma

Jei šios lygties šaknys egzistuoja, tada , klausimas kada.

Kvadratinis trinaris yra ax^2+bx+c formos daugianario, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a nėra lygus nuliui.
Tiesą sakant, pirmas dalykas, kurį turime žinoti, norėdami padalyti nelemtą trinarį, yra teorema. Tai atrodo taip: „Jei x1 ir x2 yra kvadratinio trinalio ax^2+bx+c šaknys, tai ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)“. Žinoma, yra ir šios teoremos įrodymas, bet tam reikia šiek tiek teorinių žinių (atėmus faktorių a iš daugianario ax^2+bx+c gausime ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) Pagal Viette teoremą x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, taigi b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), taigi ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Kartais mokytojai priverčia išmokti įrodymą, bet jei taip yra nereikia, patariu tik prisiminti galutinę formulę.

2 žingsnis

Paimkime kaip pavyzdį trinarį 3x^2-24x+21. Pirmas dalykas, kurį turime padaryti, yra prilyginti trinarį nuliui: 3x^2-24x+21=0. Gautos kvadratinės lygties šaknys bus atitinkamai trinalio šaknys.

3 žingsnis

Išspręskite lygtį 3x^2-24x+21=0. a = 3, b = -24, c = 21. Taigi, nuspręskime. Kas nežino, kaip išspręsti kvadratines lygtis, pažiūrėkite į mano instrukcijas su 2 būdais, kaip jas išspręsti naudojant tos pačios lygties pavyzdį. Gavome šaknis x1=7, x2=1.

4 žingsnis

Dabar, kai turime trinario šaknis, galime saugiai jas pakeisti formule =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
gauname: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Galite atsikratyti termino a, įdėdami jį į skliaustus: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
kaip rezultatas, gauname: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Pastaba: kiekvienas iš gautų koeficientų ((x-7), (3x-3) yra pirmojo laipsnio daugianariai. Štai ir visas išplėtimas =) Jei abejojate gautu atsakymu, visada galite jį patikrinti padauginę skliaustuose.

5 žingsnis

Sprendimo patikrinimas. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Dabar mes tikrai žinome, kad mūsų sprendimas yra teisingas! Tikiuosi, kad mano instrukcijos kam nors padės =) Sėkmės studijose!

• Mūsų atveju lygtyje D > 0 ir gavome po 2 šaknis. Jei tai būtų D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Jei kvadratinis trinaris neturi šaknų, jis negali būti įtrauktas į veiksnius, kurie yra pirmojo laipsnio daugianariai.

Kvadratinis trinaris yra ax^2 + bx + c formos daugianario, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, be to, a ≠ 0.

Norėdami suskaidyti trinarį, turite žinoti šio trinalio šaknis. (toliau – trinario 5x^2 + 3x-2 pavyzdys)

Pastaba: kvadratinio trinalio 5x^2 + 3x - 2 reikšmė priklauso nuo x reikšmės. Pavyzdžiui: jei x = 0, tada 5x^2 + 3x - 2 = -2

Jei x = 2, tada 5x^2 + 3x - 2 = 24

Jei x = -1, tada 5x^2 + 3x - 2 = 0

Kai x \u003d -1, kvadratinis trinaris 5x ^ 2 + 3x - 2 išnyksta, šiuo atveju vadinamas skaičius -1 kvadratinio trinalio šaknis.

Kaip gauti lygties šaknį

Paaiškinkime, kaip gavome šios lygties šaknį. Pirmiausia turite aiškiai žinoti teoremą ir formulę, pagal kurią dirbsime:

"Jei x1 ir x2 yra kvadratinio trinalio ax^2 + bx + c šaknys, tai ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Ši formulė daugianario šaknims rasti yra pati primityviausia formulė, kurią spręsdami niekada nesusipainiosite.

Išraiška 5x^2 + 3x - 2.

1. Prilyginkite nuliui: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Randame kvadratinės lygties šaknis, tam pakeičiame reikšmes formulėje (a yra X ^ 2 koeficientas, b yra X koeficientas, laisvas narys, ty a figūra be X):

Pirmąją šaknį su pliuso ženklu randame prieš kvadratinę šaknį:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9-(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Antroji šaknis su minuso ženklu prieš kvadratinę šaknį:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Taigi radome kvadratinio trinalio šaknis. Norėdami įsitikinti, kad jie teisingi, galite patikrinti: pirmiausia pakeičiame pirmąją lygties šaknį, tada antrąją:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Jei pakeitus visas šaknis lygtis išnyksta, tada lygtis išspręsta teisingai.

3. Dabar panaudokime formulę iš teoremos: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), atminkite, kad X1 ir X2 yra kvadratinės lygties šaknys. Taigi: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x–2 = 5 (x - 0,4) (x + 1)

4. Norėdami įsitikinti, kad skaidymas yra teisingas, galite tiesiog padauginti skliaustus:

5 (x - 0,4) (x + 1) = 5 (x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5 (x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Tai patvirtina teisingumą sprendimo.

Antrasis kvadratinio trinalio šaknų radimo variantas

Kitas kvadratinio trinalio šaknų radimo variantas yra atvirkštinė Viette teoremos teorema. Čia kvadratinės lygties šaknys randamos pagal formules: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Tačiau svarbu suprasti, kad šią teoremą galima naudoti tik tuo atveju, jei koeficientas a \u003d 1, tai yra skaičius priešais x ^ 2 \u003d 1.

Pavyzdžiui: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Sprendimas: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Dabar svarbu pagalvoti, kokie gaminio skaičiai suteikia vienetą? Natūralu, kad tai 1 * 1 ir -1 * (-1) . Iš šių skaičių išrenkame tuos, kurie atitinka išraišką x1 + x2 = 2, žinoma – tai yra 1 + 1. Taigi radome lygties šaknis: x1 = 1, x2 = 1. Tai lengva patikrinti, jei pakeičiame x ^ 2 į išraišką - 2x + 1 = 0.