Площта на дъгата на сегмента. кръгова геометрия

Математическата стойност на района е известна още от древна Гърция. Още в онези далечни времена гърците са установили, че местността е непрекъсната част от повърхността, която е ограничена от всички страни от затворен контур. Това е числова стойност, която се измерва в квадратни единици. Площта е числена характеристика както на плоски геометрични фигури (планиметрични), така и на повърхности на тела в пространството (обемни).

В момента се намира не само в рамките на училищната програма в уроците по геометрия и математика, но и в астрономията, ежедневието, в строителството, в разработването на дизайн, в производството и в много други хора. Много често прибягваме до изчисляване на площите на сегментите на личен парцел, когато проектираме ландшафтна зона или когато ремонтираме ултрамодерен дизайн на стая. Следователно познаването на методите за изчисляване на площта на различни ще бъде полезно винаги и навсякъде.

За да се изчисли площта на кръгъл сегмент и сегмент от сфера, е необходимо да се разберат геометричните термини, които ще са необходими в изчислителния процес.

На първо място, сегмент от окръжност е фрагмент от плоска фигура от окръжност, която се намира между дъгата на окръжност и хордата, която я отрязва. Това понятие не трябва да се бърка с фигурата на сектора. Това са съвсем различни неща.

Хордата е отсечка, която свързва две точки от окръжност.

Централният ъгъл се образува между два сегмента - радиуси. Измерва се в градуси от дъгата, върху която лежи.

Сегментът на сферата се образува, когато част се отреже от някаква равнина.В този случай основата на сферичния сегмент е кръг, а височината е перпендикуляр, излизащ от центъра на кръга до пресечната точка с повърхността на сферата. Тази точка на пресичане се нарича връх на сегмента на топката.

За да определите площта на сегмент от сфера, трябва да знаете окръжността на прекъсване и височината на сферичния сегмент. Продуктът на тези два компонента ще бъде площта на сегмента на сферата: S=2πRh, където h е височината на сегмента, 2πR е обиколката, а R е радиусът на големия кръг.

За да изчислите площта на сегмент от кръг, можете да прибягвате до следните формули:

1. За да намерите площта на сегмента по най-простия начин, е необходимо да изчислите разликата между площта на сектора, в който е вписан сегментът и чиято основа е хордата на сегмента: S1=S2 -S3, където S1 е площта на сегмента, S2 е площта на сектора и S3 е площта на триъгълника.

Можете да използвате приблизителната формула за изчисляване на площта на кръгов сегмент: S=2/3*(a*h), където a е основата на триъгълника или h е височината на сегмента, което е резултатът от разликата между радиуса на окръжността и

2. Площта на сегмент, различен от полукръг, се изчислява, както следва: S = (π R2:360)*α ± S3, където π R2 е площта на кръга, α е градусната мярка на централния ъгъл, който съдържа дъгата на кръговия сегмент, S3 е площта на триъгълника, образуван между двата радиуса на кръга и хордата, която притежава ъгъла в централната точка на окръжността и два върха в точките на контакт на радиусите с окръжността.

Ако ъгълът α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 градуса, приложен знак плюс.

3. Можете да изчислите площта на сегмент, като използвате други методи, използващи тригонометрия. По правило за основа се взема триъгълник. Ако централният ъгъл се измерва в градуси, тогава е приемлива следната формула: S \u003d R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, където R2 е квадратът на радиуса на окръжността, α е градусната мярка на централния ъгъл.

4. За да изчислите площта на сегмент с помощта на тригонометрични функции, можете да използвате друга формула, при условие че централният ъгъл се измерва в радиани: S \u003d R2 * (α - sin α) / 2, където R2 е квадратът на радиуса на окръжността, α е градусната мярка в централния ъгъл.

Първоначално изглежда така:

Фигура 463.1. а) съществуващата дъга, б) определяне на дължината и височината на хордата на сегмента.

Така, когато има дъга, можем да свържем краищата й и да получим хорда с дължина L. В средата на хордата можем да начертаем линия, перпендикулярна на хордата и по този начин да получим височината на сегмента H. Сега, знаейки, дължината на хордата и височината на сегмента, можем първо да определим централния ъгъл α, т.е. ъгълът между радиусите, изтеглени от началото и края на сегмента (не е показано на фигура 463.1), и след това радиуса на окръжността.

Решението на такъв проблем беше разгледано достатъчно подробно в статията „Изчисляване на дъговиден преграда“, следователно тук ще дам само основните формули:

tg( а/4) = 2H/L (278.1.2)

А/4 = арктан( 2H/L)

Р = з/(1 - cos( а/2)) (278.1.3)

Както можете да видите, от гледна точка на математиката, няма проблеми с определянето на радиуса на окръжност. Този метод ви позволява да определите стойността на радиуса на дъгата с всякаква възможна точност. Това е основното предимство на този метод.

Сега нека поговорим за недостатъците.

Проблемът на този метод дори не е, че е необходимо да се запомнят формулите от училищния курс по геометрия, успешно забравени преди много години - за да си припомните формулите - има Интернет. А ето и калкулатор с функцията arctg, arcsin и т.н. Не всеки потребител има такъв. И въпреки че интернет също успешно решава този проблем, не бива да забравяме, че решаваме доста приложен проблем. Тези. далеч не винаги е необходимо да се определи радиусът на кръга с точност от 0,0001 mm, точност от 1 mm може да бъде напълно приемлива.

Освен това, за да намерите центъра на кръга, трябва да удължите височината на сегмента и да оставите разстояние, равно на радиуса на тази права линия. Тъй като на практика имаме работа с неидеални измервателни уреди, към това трябва да се добави и възможна грешка в маркировката, оказва се, че колкото по-ниска е височината на сегмента спрямо дължината на хордата, толкова по-голяма е грешката при определяне центъра на дъгата.

Отново не бива да забравяме, че не разглеждаме идеален случай, т.е. Ето как веднага нарекохме кривата дъга. Всъщност това може да бъде крива, описана от доста сложна математическа зависимост. Следователно радиусът и центърът на окръжността, намерени по този начин, може да не съвпадат с действителния център.

В тази връзка искам да предложа друг метод за определяне на радиуса на окръжност, който самият аз често използвам, тъй като този метод е много по-бърз и лесен за определяне на радиуса на окръжност, въпреки че точността е много по-малка.

Вторият метод за определяне на радиуса на дъгата (метод на последователни приближения)

Така че нека продължим с настоящата ситуация.

Тъй като все още трябва да намерим центъра на окръжността, първо, от точките, съответстващи на началото и края на дъгата, начертаваме поне две дъги с произволен радиус. През пресечната точка на тези дъги ще премине права линия, върху която се намира центърът на желания кръг.

Сега трябва да свържете пресечната точка на дъгите със средата на хордата. Ако обаче изчертаем от посочените точки не по една дъга, а по две, тогава тази права линия ще премине през пресечната точка на тези дъги и тогава изобщо не е необходимо да търсите средата на хордата.

Ако разстоянието от пресечната точка на дъгите до началото или края на разглежданата дъга е по-голямо от разстоянието от пресечната точка на дъгите до точката, съответстваща на височината на сегмента, тогава центърът на разглежданата дъга е по-нисък правата линия, прекарана през пресечната точка на дъгите и средата на хордата. Ако е по-малко, тогава желаният център на дъгата е по-висок на правата линия.

Въз основа на това се взема следващата точка на правата линия, предполагаемо съответстваща на центъра на дъгата, и се правят същите измервания от нея. След това се взема следващата точка и измерванията се повтарят. С всяка нова точка разликата в измерванията ще бъде все по-малка.

Това всъщност е всичко. Въпреки толкова дълго и сложно описание, определянето на радиуса на дъгата по този начин с точност до 1 mm отнема 1-2 минути.

Теоретично изглежда така:

Фигура 463.2. Определяне на центъра на дъгата по метода на последователните приближения.

Но на практика нещо подобно:

Снимка 463.1. Маркиране на детайл със сложна форма с различни радиуси.

Тук само ще добавя, че понякога трябва да намерите и начертаете няколко радиуса, защото има толкова много неща, объркани на снимката.

Кръгът, неговите части, техните размери и съотношения са неща, с които бижутерът постоянно се сблъсква. Пръстени, гривни, касти, тръби, топки, спирали - много кръгли неща трябва да се направят. Как можете да изчислите всичко това, особено ако сте имали късмета да пропуснете уроците по геометрия в училище? ..

Нека първо да видим какви части има кръгът и как се наричат.

• Кръгът е линия, която обхваща кръг.
• Дъгата е част от окръжност.
• Радиусът е линеен сегмент, който свързва центъра на кръг с точка от кръга.
• Хордата е отсечка, която свързва две точки от окръжност.
• Сегментът е част от окръжност, ограничена от хорда и дъга.
• Секторът е част от окръжност, ограничена от два радиуса и дъга.

Интересуващите ни количества и техните обозначения:

Сега да видим какви задачи, свързани с частите на кръга, трябва да се решат.

• Намерете дължината на развитието на всяка част от пръстена (гривната). Предвид диаметъра и хордата (опция: диаметър и централен ъгъл), намерете дължината на дъгата.
• На равнината има чертеж, трябва да разберете неговия размер в проекция след огъване в дъга. Имайки предвид дължината на дъгата и диаметъра, намерете дължината на хордата.
• Разберете височината на част, получена чрез огъване на плосък детайл в дъга. Опции за първоначални данни: дължина и диаметър на дъгата, дължина на дъгата и хорда; намерете височината на сегмента.

Животът ще подскаже други примери и аз ги дадох само за да покажа необходимостта от задаване на всеки два параметъра, за да намерите всички останали. Това ще направим. А именно, вземаме пет сегментни параметъра: D, L, X, φ и H. След това, избирайки всички възможни двойки от тях, ще ги считаме за първоначални данни и ще намерим всички останали чрез мозъчна атака.

За да не натоварвам читателя напразно, няма да давам подробни решения, а само ще дам резултати под формата на формули (ще обсъдя тези случаи, когато няма официално решение по пътя).

И още една забележка: относно мерните единици. Всички величини, с изключение на централния ъгъл, се измерват в едни и същи абстрактни единици. Това означава, че ако, например, посочите една стойност в милиметри, тогава другата не е необходимо да бъде посочена в сантиметри и получените стойности ще бъдат измерени в същите милиметри (и площи в квадратни милиметри) . Същото може да се каже за инчове, футове и морски мили.

И само централния ъгъл във всички случаи се измерва в градуси и нищо друго. Тъй като, както показва практиката, хората, които проектират нещо кръгло, не са склонни да измерват ъгли в радиани. Фразата "ъгълът на пи с четири" обърква мнозина, докато "ъгълът от четиридесет и пет градуса" е разбираем за всички, тъй като е само пет градуса над нормата. Във всички формули обаче ще има още един ъгъл - α - като междинна стойност. По отношение на значението това е половината от централния ъгъл, измерен в радиани, но можете спокойно да не се задълбочавате в това значение.

1. Дадени са диаметър D и дължина на дъгата L

; дължина на акорда ;
височина на сегмента ; централен ъгъл .

2. Дадени са диаметър D и дължина на хордата X

; дължината на дъгата;
височина на сегмента ; централен ъгъл .

Тъй като хордата разделя кръга на два сегмента, тази задача има не едно, а две решения. За да получите втория, трябва да замените ъгъла α с ъгъла в горните формули.

3. Дадени са диаметър D и централен ъгъл φ

; дължината на дъгата;
дължина на акорда ; височина на сегмента .

4. Като се има предвид диаметърът D и височината на сегмента H

; дължината на дъгата;
дължина на акорда ; централен ъгъл .

6. Дадени са дължината на дъгата L и централния ъгъл φ

; диаметър ;
дължина на акорда ; височина на сегмента .

8. Дадени са дължината на хордата X и централния ъгъл φ

; дължината на дъгата ;
диаметър ; височина на сегмента .

9. Като се има предвид дължината на хордата X и височината на сегмента H

; дължината на дъгата ;
диаметър ; централен ъгъл .

10. Като се има предвид централния ъгъл φ и височината на сегмента H

; диаметър ;
дължината на дъгата; дължина на акорда .

Внимателният читател нямаше как да не забележи, че съм пропуснал две опции:

5. Дадена е дължината на дъгата L и дължината на хордата X

7. Като се има предвид дължината на дъгата L и височината на сегмента H

Това са само онези два неприятни случая, когато задачата няма решение, което да може да бъде написано под формата на формула. И задачата не е толкова рядка. Например, имате плоско парче с дължина L и искате да го огънете така, че дължината му да стане X (или височината му да стане H). Какъв диаметър да вземете дорник (напречна греда)?

Тази задача се свежда до решаване на уравненията:
; - във вариант 5
; - при вариант 7
и въпреки че не се решават аналитично, лесно се решават програмно. И дори знам къде да взема такава програма: на същия сайт, под името . Всичко, което разказвам тук надълго, тя прави за микросекунди.

За да завършим картината, нека добавим към резултатите от нашите изчисления обиколката и три стойности на площите - кръг, сектор и сегмент. (Площите ще ни помогнат много при изчисляването на масата на всякакви кръгли и полукръгли части, но повече за това в отделна статия.) Всички тези количества се изчисляват по едни и същи формули:

обиколка ;
площ на кръг ;
секторна площ ;
сегментна площ ;

И в заключение, позволете ми да ви напомня още веднъж за съществуването на абсолютно безплатна програма, която извършва всички горепосочени изчисления, освобождавайки ви от необходимостта да помните какво е арктангенс и къде да го търсите.

• 01.10.2018

  Въз основа на wi-fi модула NodeMcu v3 с чипа ESP8266 (ESP-12e), можете да направите (например) термометър на цифров сензор 18B20, информацията за температурата с помощта на GET заявка ще бъде изпратена до базата данни MySQL. Следната скица ви позволява да изпращате GET заявки към посочената страница, в моя случай това е test.php. #включи #включи …

• 22.09.2014

  Автоматичен стационарен димер, управляван от фоторезистор R7, е предназначен за работа в тежки условия на студен и умерено студен климат при температура на околната среда от -25 до +45 °C, относителна влажност на въздуха до 85% при +20 °C и атмосферно налягане в рамките на 200 ... 900 mmHg Димерът се използва за регулиране на осветеността на индивидуален ...

• 25.09.2014

  За да избегнете повреда на окабеляването по време на ремонтни работи, е необходимо да използвате устройство за откриване на скрито окабеляване. Устройството открива не само мястото на скритото окабеляване, но и мястото на повреда на скритото окабеляване. Устройството е усилвател на звукова честота, в първия етап се използва транзистор с полеви ефекти за увеличаване на входното съпротивление. Във втория етап на ОС. Сензорът е...

• 03.10.2014

  Предлаганото устройство стабилизира напрежение до 24V и ток до 2A със защита от късо съединение. В случай на нестабилно стартиране на стабилизатора трябва да се използва синхронизация от автономен генератор на импулси (фиг. 2. Схемата на стабилизатора е показана на фиг. 1. На VT1 VT2 е монтиран тригер на Schmitt, който управлява мощен регулиращ транзистор VT3. Подробности: VT3 е оборудван с радиатор ...

Дефиниция на окръжна отсечка

сегмент- Това е геометрична фигура, която се получава като част от окръжността се отрязва с хорда.

Онлайн калкулатор

Тази фигура се намира между хордата и дъгата на окръжността.

Това е сегмент, който лежи вътре в окръжността и свързва две произволно избрани точки от нея.

Когато отрязвате част от кръга с хорда, могат да се вземат предвид две фигури: това е нашият сегмент и равнобедрен триъгълник, чиито страни са радиусите на кръга.

Площта на сегмента може да се намери като разликата между площите на сектора на кръга и този равнобедрен триъгълник.

Площта на сегмент може да се намери по няколко начина. Нека се спрем на тях по-подробно.

Формулата за площта на сегмент от кръг по отношение на радиуса и дължината на дъгата на кръга, височината и основата на триъгълника

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ​ ⋅ R⋅с-2 1 ​ ⋅ h ⋅а

Р Р Р- радиус на кръга;
s s с- дължината на дъгата;
ч ч ч- височина на равнобедрен триъгълник;
а а ае дължината на основата на този триъгълник.

Дадена е окръжност, нейният радиус, числено равен на 5 (виж), височината, която е начертана към основата на триъгълника, равна на 2 (виж), дължината на дъгата е 10 (виж). Намерете площта на сегмент от кръг.

Решение

R=5 R=5 R=5
h=2 h=2 h =2
s=10 s=10 s=1 0

За да изчислим площта, ни липсва само основата на триъгълника. Нека го намерим по формулата:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8а =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R−h)​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Сега можете да изчислите площта на сегмента:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ​ ⋅ R⋅с-2 1 ​ ⋅ h ⋅а =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (виж кв.)

Отговор: 17 см квадрат

Формулата за площта на кръговия сегмент, даден радиуса на кръга и централния ъгъл

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 Р 2 ​ ⋅ (α − грях (α ) )

Р Р Р- радиус на кръга;
α\алфа α е централният ъгъл между два радиуса, обхващащи хордата, измерено в радиани.

Намерете площта на сегмент от кръг, ако радиусът на кръга е 7 (cm) и централният ъгъл е 30 градуса.

Решение

R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Нека първо преобразуваме ъгъла в градуси в радиани. Тъй като π\pi π радиан е равен на 180 градуса, тогава:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ радиан. Тогава площта на сегмента:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\приблизително 0,57S=2 Р 2 ​ ⋅ (α − sin (α ) ) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − грях ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (виж кв.)

Отговор: 0,57 см квадрат