Тричленна факторизация на полином. Как да факторизираме квадратен тричлен

Това е един от най-елементарните начини за опростяване на израз. За да приложим този метод, нека си припомним закона за разпределение на умножението по отношение на събирането (не се страхувайте от тези думи, определено знаете този закон, просто може да сте забравили името му).

Законът казва: за да умножите сумата от две числа по трето число, трябва да умножите всеки член по това число и да добавите резултатите, с други думи,.

Можете да направите и обратната операция и точно тази обратна операция ни интересува. Както може да се види от примера, общият фактор a може да бъде изваден от скобата.

Подобна операция може да се извърши както с променливи, като и, например, така и с числа: .

Да, това е твърде елементарен пример, точно като примера, даден по-рано, с разширяването на число, защото всеки знае какво са числата и на какво се делят, но какво ще стане, ако получите по-сложен израз:

Как да разберете на какво е разделено например число, не, с калкулатор всеки може, но без него е слаб? И за това има признаци на делимост, тези знаци наистина си струва да знаете, те ще ви помогнат бързо да разберете дали е възможно да извадите общия фактор от скобата.

Признаци на делимост

Не е толкова трудно да ги запомните, най-вероятно повечето от тях вече са ви били познати и нещо ще бъде ново полезно откритие, повече подробности в таблицата:

Забележка: В таблицата липсва знак за делимост на 4. Ако последните две цифри се делят на 4, тогава цялото число се дели на 4.

Е, как ви харесва знакът? Съветвам ви да го запомните!

Е, да се върнем към израза, може би да го извадим от скобата и това е достатъчно? Не, прието е математиците да опростяват, така че докрай, извадете ВСИЧКО, което се извади!

И така, всичко е ясно с играча, но какво да кажем за числовата част на израза? И двете числа са нечетни, така че не можете да разделите на

Можете да използвате знака за делимост на, сборът от цифрите и, от които се състои числото, е равен и се дели на, което означава, че се дели на.

Знаейки това, можете безопасно да разделите в колона, в резултат на разделянето на получаваме (признаците за делимост ни бяха полезни!). По този начин можем да извадим числото от скобата, точно като y, и в резултат имаме:

За да сте сигурни, че всичко е разложено правилно, можете да проверите разширяването чрез умножение!

Също така общият множител може да бъде изваден в изразите за степен. Тук, например, виждате ли общия фактор?

Всички членове на този израз имат x - изваждаме, всички се делят на - изваждаме отново, гледаме какво се е случило: .

2. Формули за съкратено умножение

Формулите за съкратено умножение вече са споменати на теория, ако трудно можете да си спомните какво е, тогава трябва да ги опресните в паметта си.

Е, ако се смятате за много умен и сте твърде мързеливи, за да прочетете такъв облак от информация, тогава просто прочетете, погледнете формулите и веднага вземете примерите.

Същността на това разлагане е да забележите някаква определена формула в израза пред вас, да я приложите и по този начин да получите продукта на нещо и нещо, това е цялото разлагане. Следват формулите:

Сега опитайте да разложите на множители следните изрази, като използвате горните формули:

И ето какво трябваше да се случи:

Както забелязахте, тези формули са много ефективен начин за факторизиране, не винаги е подходящ, но може да бъде много полезен!

3. Метод на групиране или групиране

Ето още един пример за вас:

Е, какво ще правиш с него? Изглежда, че се дели на и на нещо, а нещо на и на

Но не можете да разделите всичко заедно на едно нещо, добре няма общ фактор, как да не търся какво, и да го оставя без факторинг?

Тук трябва да проявите изобретателност, а името на тази изобретателност е групировка!

Използва се само когато не всички членове имат общи делители. За групиране трябва намерете групи от термини, които имат общи делителии ги пренаредете така, че да може да се получи един и същ множител от всяка група.

Разбира се, не е необходимо да се пренарежда на места, но това дава видимост, за яснота можете да вземете отделни части от израза в скоби, не е забранено да ги поставяте колкото искате, основното е да не объркайте знаците.

Всичко това не е много ясно? Нека обясня с пример:

В полином - поставяме член - след члена - получаваме

групираме първите два члена заедно в отделна скоба и групираме третия и четвъртия член по същия начин, оставяйки знака минус извън скобите, получаваме:

А сега разглеждаме отделно всяка от двете "купчини", на които сме разбили израза със скоби.

Номерът е да го разделите на такива купчини, от които ще е възможно да извадите възможно най-големия фактор, или, както в този пример, опитайте да групирате членовете, така че след като извадите факторите от скобите от купчините, ние имат същите изрази в скобите.

От двете скоби изваждаме общите множители на членовете, от първата скоба и от втората скоба получаваме:

Но това не е разлагане!

Пмагареразлагането трябва да остане само умножение, но засега имаме полином, просто разделен на две части ...

НО! Този полином има общ множител. то

извън скобата и получаваме крайния продукт

Бинго! Както можете да видите, вече има продукт и извън скобите няма нито добавяне, нито изваждане, разлагането е завършено, т.к. нямаме какво повече да извадим от скобите.

Може да изглежда като чудо, че след като извадим факторите от скобите, все още имаме същите изрази в скобите, които отново извадихме от скобите.

И това не е никакво чудо, факт е, че примерите в учебниците и на изпита са специално направени така, че повечето изрази в задачи за опростяване или факторизацияс правилния подход към тях те лесно се опростяват и рязко се свиват като чадър, когато натиснете бутон, така че търсете точно този бутон във всеки израз.

Нещо се отклоних, какво имаме тук с опростяването? Сложният полином придоби по-проста форма: .

Съгласете се, не толкова обемисти, колкото преди?

4. Избор на пълен квадрат.

Понякога, за да се приложат формулите за съкратено умножение (повторете темата), е необходимо да се преобразува съществуващия многочлен, като се представи един от членовете му като сбор или разлика на два члена.

В какъв случай трябва да направите това, ще научите от примера:

Полином в тази форма не може да се разложи с помощта на формули за съкратено умножение, така че трябва да се преобразува. Може би в началото няма да ви е очевидно кой термин на кой да разделите, но с течение на времето ще се научите веднага да виждате съкратените формули за умножение, дори и да не присъстват в тяхната цялост, и бързо ще определите какво липсва тук до пълната формула, но засега - учи , студент, по-точно ученик.

За пълната формула на квадрата на разликата тук трябва вместо това. Нека представим третия член като разлика, получаваме: Можем да приложим формулата за квадрат на разликата към израза в скоби (да не се бърка с разликата на квадратите!!!), имаме: , към този израз можем да приложим формулата за разликата на квадратите (да не се бърка с разликата на квадрат!!!), като си представим как, получаваме: .

Израз, който не винаги е разложен на фактори, изглежда по-прост и по-малък, отколкото е бил преди разлагането, но в тази форма той става по-мобилен, в смисъл, че не можете да се притеснявате за промяна на знаци и други математически глупости. Е, за да решите сами, следните изрази трябва да бъдат разложени на множители.

Примери:

Отговори:​

5. Факторизиране на квадратен тричлен

За факторизацията на квадратен тричлен вижте по-долу в примерите за разлагане.

Примери за 5 метода за факторизиране на полином

1. Изваждане на общия множител извън скоби. Примери.

Спомняте ли си какъв е законът за разпределение? Това е такова правило:

Пример:

Факторизиране на полином.

Решение:

Друг пример:

Умножете.

Решение:

Ако целият термин се извади от скоби, вместо него в скоби остава един!

2. Формули за съкратено умножение. Примери.

Най-често използваните формули са разликата на квадратите, разликата на кубовете и сборът на кубовете. Помните ли тези формули? Ако не, спешно повторете темата!

Пример:

Факторирайте израза.

Решение:

В този израз е лесно да се открие разликата между кубчетата:

Пример:

Решение:

3. Метод на групиране. Примери

Понякога е възможно да се разменят термините по такъв начин, че един и същ фактор да може да бъде извлечен от всяка двойка съседни термини. Този общ множител може да бъде изваден от скобата и оригиналният полином ще се превърне в продукт.

Пример:

Разложете многочлена.

Решение:

Ние групираме термините, както следва:
.

В първата група изваждаме общия множител извън скоби, а във втората - :
.

Сега общият множител може също да бъде изваден от скоби:
.

4. Методът за избор на пълен квадрат. Примери.

Ако полиномът може да се представи като разликата на квадратите на два израза, остава само да се приложи формулата за съкратено умножение (разлика на квадратите).

Пример:

Разложете многочлена.

Решение:Пример:

\begin(масив)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\под скоба(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(квадрат\суми\ ((\left (x+3 \right))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\край (масив)

Разложете многочлена.

Решение:

\begin(масив)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\под скоба(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(квадрат\ разлики((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \right))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\край (масив)

5. Факторизиране на квадратен тричлен. Пример.

Квадратният трином е многочлен от формата, където е неизвестно, са някои числа, освен това.

Променливите стойности, които превръщат квадратния трином в нула, се наричат ​​корени на тринома. Следователно корените на тричлен са корените на квадратно уравнение.

Теорема.

Пример:

Нека факторизираме квадратния трином: .

Първо, решаваме квадратното уравнение: Сега можем да напишем факторизацията на този квадратен трином на множители:

Сега вашето мнение...

Описахме подробно как и защо да факторизираме полином.

Дадохме много примери как да го направим на практика, посочихме клопките, дадохме решения ...

Какво казваш?

Как ви харесва тази статия? Използвате ли тези трикове? Разбирате ли същността им?

Напишете в коментарите и... се пригответе за изпита!

Засега това е най-важното нещо в живота ви.

В този урок ще научим как да разлагаме квадратни тричлени на линейни множители. За целта е необходимо да си припомним теоремата на Виета и нейната обратна. Това умение ще ни помогне бързо и удобно да разложим квадратни триноми на линейни множители и също така да опрости редуцирането на дроби, състоящи се от изрази.

И така, обратно към квадратното уравнение, където.

Това, което имаме от лявата страна, се нарича квадратен тричлен.

Теоремата е вярна:Ако са корените на квадратен тричлен, тогава идентичността е вярна

Където е водещият коефициент, са корените на уравнението.

И така, имаме квадратно уравнение - квадратен тричлен, където корените на квадратното уравнение също се наричат ​​корени на квадратния трином. Следователно, ако имаме корените на квадратен тричлен, тогава този тричлен се разлага на линейни множители.

Доказателство:

Доказателството на този факт се извършва с помощта на теоремата на Vieta, която разгледахме в предишните уроци.

Нека си припомним какво ни казва теоремата на Виета:

Ако са корените на квадрат trinomial за които , Тогава .

Тази теорема предполага следното твърдение, че .

Виждаме, че според теоремата на Vieta, т.е. замествайки тези стойности във формулата по-горе, получаваме следния израз

Q.E.D.

Спомнете си, че доказахме теоремата, че ако са корените на квадратен тричлен, тогава разлагането е валидно.

Сега нека си припомним пример за квадратно уравнение, на което избрахме корените с помощта на теоремата на Виета. От този факт можем да получим следното равенство благодарение на доказаната теорема:

Сега нека проверим правилността на този факт, като просто разширим скобите:

Виждаме, че разложихме правилно и всеки тричлен, ако има корени, може да бъде разложен на множители съгласно тази теорема на линейни множители съгласно формулата

Нека обаче проверим дали за някое уравнение е възможно такова факторизиране:

Да вземем за пример уравнението. Първо, нека проверим знака на дискриминанта

И помним, че за да се изпълни теоремата, която научихме, D трябва да е по-голямо от 0, следователно в този случай факторизирането според изучаваната теорема е невъзможно.

Затова формулираме нова теорема: ако квадратният тричлен няма корени, тогава той не може да бъде разложен на линейни множители.

И така, разгледахме теоремата на Vieta, възможността за разлагане на квадратен трином на линейни множители и сега ще решим няколко задачи.

Задача №1

В тази група всъщност ще решим задачата, обратна на поставената. Имахме уравнение и намерихме неговите корени, разлагайки се на множители. Тук ще направим обратното. Да кажем, че имаме корените на квадратно уравнение

Обратната задача е следната: напишете квадратно уравнение, така че да са неговите корени.

Има 2 начина за решаване на този проблем.

Тъй като са корените на уравнението, тогава е квадратно уравнение, чиито корени са дадени числа. Сега нека отворим скобите и да проверим:

Това беше първият начин, по който създадохме квадратно уравнение с дадени корени, което няма други корени, тъй като всяко квадратно уравнение има най-много два корена.

Този метод включва използването на обратната теорема на Vieta.

Ако са корените на уравнението, тогава те отговарят на условието, че .

За редуцираното квадратно уравнение , , т.е. в този случай и .

Така създадохме квадратно уравнение, което има дадените корени.

Задача №2

Трябва да намалите фракцията.

Имаме тричлен в числителя и трином в знаменателя и тричлените могат или не могат да бъдат разложени на множители. Ако и числителят, и знаменателят са факторизирани, тогава сред тях може да има равни множители, които могат да бъдат намалени.

На първо място е необходимо да разложим числителя на множители.

Първо, трябва да проверите дали това уравнение може да бъде разложено на множители, да намерите дискриминанта. Тъй като , тогава знакът зависи от произведението (трябва да е по-малко от 0), в този пример, т.е. даденото уравнение има корени.

За да решим, използваме теоремата на Vieta:

В този случай, тъй като имаме работа с корени, ще бъде доста трудно просто да вземем корените. Но виждаме, че коефициентите са балансирани, т.е. ако приемем, че и заместим тази стойност в уравнението, тогава се получава следната система: т.е. 5-5=0. Така избрахме един от корените на това квадратно уравнение.

Вторият корен ще търсим, като заместим вече известното в системата от уравнения, например, , т.е. .

Така открихме и двата корена на квадратното уравнение и можем да заменим техните стойности в оригиналното уравнение, за да го разложим на множители:

Спомнете си първоначалната задача, трябваше да намалим дробта.

Нека се опитаме да решим проблема, като заместим вместо числителя .

Необходимо е да не забравяме, че в този случай знаменателят не може да бъде равен на 0, т.е.

Ако тези условия са изпълнени, тогава сме намалили първоначалната дроб до формата .

Задача №3 (задача с параметър)

При какви стойности на параметъра е сумата от корените на квадратното уравнение

Ако корените на това уравнение съществуват, тогава , въпросът е кога .

Намерете сбора и произведението на корените на квадратното уравнение. Използвайки формули (59.8) за корените на горното уравнение, получаваме

(първото равенство е очевидно, второто се получава след просто изчисление, което читателят ще извърши самостоятелно; удобно е да се използва формула за умножаване на сумата от две числа по тяхната разлика).

Следното

Теорема на Виета. Сборът от корените на даденото квадратно уравнение е равен на втория коефициент с обратен знак, а произведението им е равно на свободния член.

В случай на нередуцирано квадратно уравнение трябва да заместите изразите на формула (60.1) във формули (60.1) и да приемете формата

Пример 1. Съставете квадратно уравнение по неговите корени:

Решение, а) Откриваме, че уравнението има формата

Пример 2. Намерете сумата от квадратите на корените на уравнение, без да решавате самото уравнение.

Решение. Сборът и произведението на корените са известни. Представяме сумата от квадратни корени във формата

и получи

От формулите Vieta е лесно да се получи формулата

изразяващо правилото за разлагане на квадратен тричлен.

Наистина, ние записваме формули (60.2) във формата

Сега имаме

което трябва да получите.

Горното извеждане на формулите на Vieta е познато на читателя от курс по алгебра в гимназията. Друго извеждане може да бъде дадено, като се използва теоремата на Bezout и факторизацията на полином (§§ 51, 52).

Нека корените на уравнението тогава, съгласно общото правило (52.2), триномът от лявата страна на уравнението се факторизира:

Разгъвайки скобите от дясната страна на това идентично равенство, получаваме

и сравняването на коефициентите при равни степени ще ни даде формулите на Vieta (60.1).

Предимството на това извеждане е, че може да се приложи и към уравнения от по-високи степени, за да се получат изрази за коефициентите на уравнението по отношение на неговите корени (без да се намират самите корени!). Например, ако корените на редуцираното кубично уравнение

същността е, че съгласно равенството (52.2) намираме

(в нашия случай, отваряйки скобите от дясната страна на равенството и събирайки коефициентите на различни степени, получаваме

В този урок ще научим как да разлагаме квадратни тричлени на линейни множители. За целта е необходимо да си припомним теоремата на Виета и нейната обратна. Това умение ще ни помогне бързо и удобно да разложим квадратни триноми на линейни множители и също така да опрости редуцирането на дроби, състоящи се от изрази.

И така, обратно към квадратното уравнение, където.

Това, което имаме от лявата страна, се нарича квадратен тричлен.

Теоремата е вярна:Ако са корените на квадратен тричлен, тогава идентичността е вярна

Където е водещият коефициент, са корените на уравнението.

И така, имаме квадратно уравнение - квадратен тричлен, където корените на квадратното уравнение също се наричат ​​корени на квадратния трином. Следователно, ако имаме корените на квадратен тричлен, тогава този тричлен се разлага на линейни множители.

Доказателство:

Доказателството на този факт се извършва с помощта на теоремата на Vieta, която разгледахме в предишните уроци.

Нека си припомним какво ни казва теоремата на Виета:

Ако са корените на квадрат trinomial за които , Тогава .

Тази теорема предполага следното твърдение, че .

Виждаме, че според теоремата на Vieta, т.е. замествайки тези стойности във формулата по-горе, получаваме следния израз

Q.E.D.

Спомнете си, че доказахме теоремата, че ако са корените на квадратен тричлен, тогава разлагането е валидно.

Сега нека си припомним пример за квадратно уравнение, на което избрахме корените с помощта на теоремата на Виета. От този факт можем да получим следното равенство благодарение на доказаната теорема:

Сега нека проверим правилността на този факт, като просто разширим скобите:

Виждаме, че разложихме правилно и всеки тричлен, ако има корени, може да бъде разложен на множители съгласно тази теорема на линейни множители съгласно формулата

Нека обаче проверим дали за някое уравнение е възможно такова факторизиране:

Да вземем за пример уравнението. Първо, нека проверим знака на дискриминанта

И помним, че за да се изпълни теоремата, която научихме, D трябва да е по-голямо от 0, следователно в този случай факторизирането според изучаваната теорема е невъзможно.

Затова формулираме нова теорема: ако квадратният тричлен няма корени, тогава той не може да бъде разложен на линейни множители.

И така, разгледахме теоремата на Vieta, възможността за разлагане на квадратен трином на линейни множители и сега ще решим няколко задачи.

Задача №1

В тази група всъщност ще решим задачата, обратна на поставената. Имахме уравнение и намерихме неговите корени, разлагайки се на множители. Тук ще направим обратното. Да кажем, че имаме корените на квадратно уравнение

Обратната задача е следната: напишете квадратно уравнение, така че да са неговите корени.

Има 2 начина за решаване на този проблем.

Тъй като са корените на уравнението, тогава е квадратно уравнение, чиито корени са дадени числа. Сега нека отворим скобите и да проверим:

Това беше първият начин, по който създадохме квадратно уравнение с дадени корени, което няма други корени, тъй като всяко квадратно уравнение има най-много два корена.

Този метод включва използването на обратната теорема на Vieta.

Ако са корените на уравнението, тогава те отговарят на условието, че .

За редуцираното квадратно уравнение , , т.е. в този случай и .

Така създадохме квадратно уравнение, което има дадените корени.

Задача №2

Трябва да намалите фракцията.

Имаме тричлен в числителя и трином в знаменателя и тричлените могат или не могат да бъдат разложени на множители. Ако и числителят, и знаменателят са факторизирани, тогава сред тях може да има равни множители, които могат да бъдат намалени.

На първо място е необходимо да разложим числителя на множители.

Първо, трябва да проверите дали това уравнение може да бъде разложено на множители, да намерите дискриминанта. Тъй като , тогава знакът зависи от произведението (трябва да е по-малко от 0), в този пример, т.е. даденото уравнение има корени.

За да решим, използваме теоремата на Vieta:

В този случай, тъй като имаме работа с корени, ще бъде доста трудно просто да вземем корените. Но виждаме, че коефициентите са балансирани, т.е. ако приемем, че и заместим тази стойност в уравнението, тогава се получава следната система: т.е. 5-5=0. Така избрахме един от корените на това квадратно уравнение.

Вторият корен ще търсим, като заместим вече известното в системата от уравнения, например, , т.е. .

Така открихме и двата корена на квадратното уравнение и можем да заменим техните стойности в оригиналното уравнение, за да го разложим на множители:

Спомнете си първоначалната задача, трябваше да намалим дробта.

Нека се опитаме да решим проблема, като заместим вместо числителя .

Необходимо е да не забравяме, че в този случай знаменателят не може да бъде равен на 0, т.е.

Ако тези условия са изпълнени, тогава сме намалили първоначалната дроб до формата .

Задача №3 (задача с параметър)

При какви стойности на параметъра е сумата от корените на квадратното уравнение

Ако корените на това уравнение съществуват, тогава , въпросът е кога .

За да се факторизира, е необходимо да се опростят изразите. Това е необходимо, за да може да се намали допълнително. Разлагането на полином има смисъл, когато степента му не е по-ниска от втората. Полином с първа степен се нарича линеен.

Статията ще разкрие всички концепции за разлагане, теоретични основи и методи за факторизиране на полином.

Теория

Теорема 1

Когато всеки полином със степен n има формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, са представени като продукт с постоянен коефициент с най-висока степен a n и n линейни коефициенти (x - x i), i = 1, 2, …, n, тогава P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , където x i , i = 1 , 2 , … , n - това са корените на полинома.

Теоремата е предназначена за корени от комплексен тип x i , i = 1 , 2 , … , n и за комплексни коефициенти a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Това е в основата на всяка декомпозиция.

Когато коефициенти от формата a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n са реални числа, тогава комплексните корени ще се появят в спрегнати двойки. Например, корените x 1 и x 2, свързани с полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 се считат за комплексно спрегнати, тогава другите корени са реални, следователно получаваме, че полиномът приема формата P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, където x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Коментирайте

Корените на полинома могат да се повтарят. Разгледайте доказателството на теоремата на алгебрата, следствията от теоремата на Безу.

Основна теорема на алгебрата

Теорема 2

Всеки полином със степен n има поне един корен.

Теорема на Безу

След разделяне на полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 върху (x - s) , тогава получаваме остатъка, който е равен на полинома в точката s , тогава получаваме

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , където Q n - 1 (x) е полином със степен n - 1 .

Следствие от теоремата на Безу

Когато коренът на полинома P n (x) се счита за s , тогава P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Това следствие е достатъчно, когато се използва за описание на решението.

Факторизиране на квадратен тричлен

Квадратният трином от вида a x 2 + b x + c може да бъде разложен на линейни множители. тогава получаваме, че a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , където x 1 и x 2 са корени (комплексни или реални).

Това показва, че самото разлагане се свежда до по-късно решаване на квадратното уравнение.

Пример 1

Факторизиране на квадратен тричлен.

Решение

Необходимо е да се намерят корените на уравнението 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. За да направите това, трябва да намерите стойността на дискриминанта по формулата, след което получаваме D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Следователно имаме това

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

От тук получаваме, че 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

За да извършите проверката, трябва да отворите скобите. Тогава получаваме израз на формата:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

След проверка стигаме до оригиналния израз. Тоест можем да заключим, че разширението е правилно.

Пример 2

Разложете на множители квадратен тричлен от формата 3 x 2 - 7 x - 11 .

Решение

Получаваме, че е необходимо да се изчисли полученото квадратно уравнение под формата 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

За да намерите корените, трябва да определите стойността на дискриминанта. Разбираме това

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 г

От тук получаваме, че 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Пример 3

Факторизирайте полинома 2 x 2 + 1.

Решение

Сега трябва да решите квадратното уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и да намерите неговите корени. Разбираме това

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Тези корени се наричат ​​комплексно спрегнати, което означава, че самото разлагане може да бъде представено като 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Пример 4

Разгънете квадратния трином x 2 + 1 3 x + 1 .

Решение

Първо трябва да решите квадратно уравнение от формата x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и да намерите неговите корени.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

След като получихме корените, пишем

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Коментирайте

Ако стойността на дискриминанта е отрицателна, тогава полиномите ще останат полиноми от втори ред. Оттук следва, че няма да ги разлагаме на линейни множители.

Методи за разлагане на полином със степен по-висока от втората

Разлагането предполага универсален метод. Повечето от всички случаи се основават на следствие от теоремата на Bezout. За да направите това, трябва да изберете стойността на корена x 1 и да намалите степента му, като разделите на полином на 1, като разделите на (x - x 1) . Полученият полином трябва да намери корена x 2 и процесът на търсене е цикличен, докато получим пълно разширение.

Ако коренът не е намерен, тогава се използват други методи за факторизация: групиране, допълнителни термини. Тази тема предполага решаването на уравнения с по-високи степени и цели коефициенти.

Изваждане на общия множител извън скоби

Да разгледаме случая, когато свободният член е равен на нула, тогава формата на полинома става P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.

Вижда се, че коренът на такъв полином ще бъде равен на x 1 \u003d 0, тогава можете да представите полинома под формата на израз P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Този метод се счита за изваждане на общия множител извън скоби.

Пример 5

Разложете на множители полином от трета степен 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Решение

Виждаме, че x 1 \u003d 0 е коренът на дадения полином, тогава можем да поставим x в скоби от целия израз. Получаваме:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Нека да преминем към намирането на корените на квадратния тричлен 4 x 2 + 8 x - 1. Нека намерим дискриминанта и корените:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Тогава следва това

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Като начало, нека вземем за разглеждане метод на разлагане, съдържащ цели коефициенти от вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , където коефициентът на най-високата степен е 1 .

Когато полиномът има цели числа, тогава те се считат за делители на свободния член.

Пример 6

Разгънете израза f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Решение

Помислете дали има цели корени. Необходимо е да се изпишат делителите на числото - 18. Получаваме, че ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. От това следва, че този полином има цели числа. Можете да проверите по схемата на Horner. Това е много удобно и ви позволява бързо да получите коефициентите на разширение на полином:

От това следва, че x \u003d 2 и x \u003d - 3 са корените на оригиналния полином, който може да бъде представен като продукт на формата:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Обръщаме се към разлагането на квадратен тричлен от вида x 2 + 2 x + 3 .

Тъй като дискриминантът е отрицателен, това означава, че няма реални корени.

Отговор: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Коментирайте

Разрешено е да се използва избор на корен и деление на полином на полином вместо схема на Хорнер. Нека продължим да разглеждаме разширяването на полином, съдържащ цели коефициенти от формата P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , най-високото от които не е равно на единица.

Този случай се отнася за дробни рационални дроби.

Пример 7

Разложете на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Решение

Необходимо е да се промени променливата y = 2 x , трябва да се премине към полином с коефициенти, равни на 1 на най-висока степен. Трябва да започнете, като умножите израза по 4. Разбираме това

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Когато получената функция на формата g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 има цели корени, тогава тяхното намиране е сред делителите на свободния член. Записът ще изглежда така:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Нека да преминем към изчисляването на функцията g (y) в тези точки, за да получим нула като резултат. Разбираме това

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Получаваме, че y \u003d - 5 е коренът на уравнението под формата y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, което означава, че x \u003d y 2 \u003d - 5 2 е коренът на оригиналната функция.

Пример 8

Необходимо е да се раздели на колона 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2.

Решение

Пишем и получаваме:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Проверката на делителите ще отнеме много време, така че е по-изгодно да се направи факторизиране на получения квадратен трином от формата x 2 + 7 x + 3. Като приравняваме към нула, намираме дискриминанта.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Оттук следва, че

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Изкуствени трикове при факторизиране на полином

Рационалните корени не са присъщи на всички полиноми. За да направите това, трябва да използвате специални методи за намиране на фактори. Но не всички полиноми могат да бъдат разложени или представени като продукт.

Метод на групиране

Има случаи, когато можете да групирате членовете на полином, за да намерите общ множител и да го извадите от скоби.

Пример 9

Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Решение

Тъй като коефициентите са цели числа, тогава корените вероятно също могат да бъдат цели числа. За да проверим, вземаме стойностите 1 , - 1 , 2 и - 2, за да изчислим стойността на полинома в тези точки. Разбираме това

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Това показва, че няма корени, необходимо е да се използва различен метод на разлагане и разтвор.

Изисква се групиране:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8) x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

След групирането на оригиналния полином е необходимо да го представим като произведение на два квадратни тринома. За да направим това, трябва да разложим на множители. разбираме това

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Коментирайте

Простотата на групирането не означава, че е достатъчно лесно да се избират термини. Няма определен начин за решаването му, затова е необходимо да се използват специални теореми и правила.

Пример 10

Разложете полинома на множители x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Решение

Даденият полином няма цели корени. Термините трябва да бъдат групирани. Разбираме това

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

След факторизиране получаваме това

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Използване на съкратено умножение и биномни формули на Нютон за факторизиране на полином

Външният вид често не винаги показва кой начин да използвате по време на разграждането. След като трансформациите са направени, можете да изградите линия, състояща се от триъгълника на Паскал, в противен случай те се наричат ​​бином на Нютон.

Пример 11

Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Решение

Необходимо е изразът да се преобразува във формата

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Последователността на коефициентите на сумата в скоби се обозначава с израза x + 1 4 .

Така че имаме x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

След като приложим разликата на квадратите, получаваме

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Помислете за израза, който е във втората скоба. Ясно е, че там няма коне, така че формулата за разликата на квадратите трябва да се приложи отново. Получаваме израз като

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Пример 12

Разложете на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Решение

Нека променим израза. Разбираме това

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Необходимо е да се приложи формулата за съкратено умножение на разликата на кубовете. Получаваме:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Метод за заместване на променлива при факторизиране на полином

При промяна на променлива степента се намалява и полиномът се факторизира.

Пример 13

Разложете на множители полином от формата x 6 + 5 x 3 + 6 .

Решение

От условието е ясно, че е необходимо да се направи замяна y = x 3 . Получаваме:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Корените на полученото квадратно уравнение са y = - 2 и y = - 3, тогава

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Необходимо е да се приложи формулата за съкратеното умножение на сумата от кубове. Получаваме изрази от вида:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Тоест получихме желаното разширение.

Обсъдените по-горе случаи ще помогнат при разглеждането и факторизирането на полином по различни начини.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter