Разложете квадратен тричлен на бином. Факторизиране на квадратен тричлен

Разлагането на квадратни тричлени е една от училищните задачи, с които всеки се сблъсква рано или късно. Как да го направя? Каква е формулата за разлагане на квадратен трином? Нека го разгледаме стъпка по стъпка с примери.

Обща формула

Факторизацията на квадратни триноми се извършва чрез решаване на квадратно уравнение. Това е проста задача, която може да се реши по няколко метода - чрез намиране на дискриминанта, чрез теоремата на Виета, има и графичен начин за решаването й. Първите два метода се изучават в гимназията.

Общата формула изглежда така:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритъм за изпълнение на задачата

За да разлагате квадратни тричлени на множители, трябва да знаете теоремата на Вит, да имате под ръка програма за решаване, да можете да намирате решение графично или да търсите корените на уравнение от втора степен чрез дискриминантната формула. Ако е даден квадратен тричлен и той трябва да бъде разложен на множители, алгоритъмът на действията е следният:

1) Приравнете оригиналния израз на нула, за да получите уравнението.

2) Дайте подобни условия (ако е необходимо).

3) Намерете корените по всеки известен метод. Графичният метод се използва най-добре, ако предварително се знае, че корените са цели и малки числа. Трябва да се помни, че броят на корените е равен на максималната степен на уравнението, т.е. квадратното уравнение има два корена.

4) Заместваща стойност хв израз (1).

5) Запишете факторизирането на квадратни триноми.

Примери

Практиката ви позволява най-накрая да разберете как се изпълнява тази задача. Примери илюстрират факторизацията на квадратен трином:

трябва да разширите израза:

Нека използваме нашия алгоритъм:

1) x 2 -17x+32=0

2) подобни условия са намалени

3) според формулата на Vieta е трудно да се намерят корените за този пример, затова е по-добре да се използва изразът за дискриминанта:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Заместете корените, които намерихме в основната формула за разширение:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Тогава отговорът ще бъде:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Нека проверим дали решенията, намерени от дискриминанта, отговарят на формулите на Vieta:

14,845 . 2,155=32

За тези корени се прилага теоремата на Виета, те са намерени правилно, което означава, че разлагането, което получихме, също е правилно.

По подобен начин разширяваме 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

В предишния случай решенията бяха нецели, а реални числа, които лесно се намират с калкулатор пред вас. Сега разгледайте по-сложен пример, в който корените са комплексни: разложете на множители x 2 + 4x + 9. Според формулата на Vieta корените не могат да бъдат намерени, а дискриминантът е отрицателен. Корените ще бъдат на сложната равнина.

D=-20

Въз основа на това получаваме корените, които ни интересуват -4 + 2i * 5 1/2 и -4-2i * 5 1/2, защото (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Получаваме желаното разширение, като заместваме корените в общата формула.

Друг пример: трябва да разложите на множители израза 23x 2 -14x + 7.

Имаме уравнението 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Така че корените са 14+21,166i и 14-21,166i. Отговорът ще бъде:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(Х- 14+21.166i ).

Нека дадем пример, който може да бъде решен без помощта на дискриминанта.

Нека е необходимо да се разложи квадратното уравнение x 2 -32x + 255. Очевидно може да се реши и чрез дискриминанта, но в този случай е по-бързо да се намерят корените.

х 1 =15

х2=17

Средства x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Този онлайн калкулатор е предназначен да факторизира функция.

Например разложете на множители: x 2 /3-3x+12 . Нека го запишем като x^2/3-3*x+12. Можете също да използвате тази услуга, където всички изчисления се записват във формат Word.

Например, разложете на термини. Нека го запишем като (1-x^2)/(x^3+x) . За да видите напредъка на решението, щракнете върху Показване на стъпките. Ако трябва да получите резултата във формат Word, използвайте тази услуга.

Забележка: числото "pi" (π) се записва като pi ; квадратен корен като sqrt, например sqrt(3), тангенсът на tg се записва като tan. Вижте секцията Алтернатива за отговор.

1. Ако е даден прост израз, например 8*d+12*c*d, тогава разлагането на израза означава разлагане на израза на множители. За да направите това, трябва да намерите общи фактори. Записваме този израз като: 4*d*(2+3*c) .
2. Изразете произведението като два бинома: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Тук вече трябва да намерим няколко общи фактора: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Изваждаме (x+7z) и получаваме: (x+7z)(x + 3y) .

вижте също Деление на полиноми по ъгъл (показани са всички стъпки на деление по колона)

Полезни при изучаването на правилата за факторизиране са формули за съкратено умножение, с което ще стане ясно как се отварят скоби с квадрат:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методи за факторинг

След като научите няколко трика факторизациярешенията могат да бъдат класифицирани, както следва:

1. Използване на формули за съкратено умножение.
2. Търсене на общ множител.

В този урок ще научим как да разлагаме квадратни тричлени на линейни множители. За целта е необходимо да си припомним теоремата на Виета и нейната обратна. Това умение ще ни помогне бързо и удобно да разложим квадратни триноми на линейни множители и също така да опрости редуцирането на дроби, състоящи се от изрази.

И така, обратно към квадратното уравнение, където.

Това, което имаме от лявата страна, се нарича квадратен тричлен.

Теоремата е вярна:Ако са корените на квадратен тричлен, тогава идентичността е вярна

Където е водещият коефициент, са корените на уравнението.

И така, имаме квадратно уравнение - квадратен тричлен, където корените на квадратното уравнение също се наричат ​​корени на квадратния трином. Следователно, ако имаме корените на квадратен тричлен, тогава този тричлен се разлага на линейни множители.

Доказателство:

Доказателството на този факт се извършва с помощта на теоремата на Vieta, която разгледахме в предишните уроци.

Нека си припомним какво ни казва теоремата на Виета:

Ако са корените на квадрат trinomial за които , Тогава .

Тази теорема предполага следното твърдение, че .

Виждаме, че според теоремата на Vieta, т.е. замествайки тези стойности във формулата по-горе, получаваме следния израз

Q.E.D.

Спомнете си, че доказахме теоремата, че ако са корените на квадратен тричлен, тогава разлагането е валидно.

Сега нека си припомним пример за квадратно уравнение, на което избрахме корените с помощта на теоремата на Виета. От този факт можем да получим следното равенство благодарение на доказаната теорема:

Сега нека проверим правилността на този факт, като просто разширим скобите:

Виждаме, че разложихме правилно и всеки тричлен, ако има корени, може да бъде разложен на множители съгласно тази теорема на линейни множители съгласно формулата

Нека обаче проверим дали за някое уравнение е възможно такова факторизиране:

Да вземем за пример уравнението. Първо, нека проверим знака на дискриминанта

И помним, че за да се изпълни теоремата, която научихме, D трябва да е по-голямо от 0, следователно в този случай факторизирането според изучаваната теорема е невъзможно.

Затова формулираме нова теорема: ако квадратният тричлен няма корени, тогава той не може да бъде разложен на линейни множители.

И така, разгледахме теоремата на Vieta, възможността за разлагане на квадратен трином на линейни множители и сега ще решим няколко задачи.

Задача №1

В тази група всъщност ще решим задачата, обратна на поставената. Имахме уравнение и намерихме неговите корени, разлагайки се на множители. Тук ще направим обратното. Да кажем, че имаме корените на квадратно уравнение

Обратната задача е следната: напишете квадратно уравнение, така че да са неговите корени.

Има 2 начина за решаване на този проблем.

Тъй като са корените на уравнението, тогава е квадратно уравнение, чиито корени са дадени числа. Сега нека отворим скобите и да проверим:

Това беше първият начин, по който създадохме квадратно уравнение с дадени корени, което няма други корени, тъй като всяко квадратно уравнение има най-много два корена.

Този метод включва използването на обратната теорема на Vieta.

Ако са корените на уравнението, тогава те отговарят на условието, че .

За редуцираното квадратно уравнение , , т.е. в този случай и .

Така създадохме квадратно уравнение, което има дадените корени.

Задача №2

Трябва да намалите фракцията.

Имаме тричлен в числителя и трином в знаменателя и тричлените могат или не могат да бъдат разложени на множители. Ако и числителят, и знаменателят са факторизирани, тогава сред тях може да има равни множители, които могат да бъдат намалени.

На първо място е необходимо да разложим числителя на множители.

Първо, трябва да проверите дали това уравнение може да бъде разложено на множители, да намерите дискриминанта. Тъй като , тогава знакът зависи от произведението (трябва да е по-малко от 0), в този пример, т.е. даденото уравнение има корени.

За да решим, използваме теоремата на Vieta:

В този случай, тъй като имаме работа с корени, ще бъде доста трудно просто да вземем корените. Но виждаме, че коефициентите са балансирани, т.е. ако приемем, че и заместим тази стойност в уравнението, тогава се получава следната система: т.е. 5-5=0. Така избрахме един от корените на това квадратно уравнение.

Вторият корен ще търсим, като заместим вече известното в системата от уравнения, например, , т.е. .

Така открихме и двата корена на квадратното уравнение и можем да заменим техните стойности в оригиналното уравнение, за да го разложим на множители:

Спомнете си първоначалната задача, трябваше да намалим дробта.

Нека се опитаме да решим проблема, като заместим вместо числителя .

Необходимо е да не забравяме, че в този случай знаменателят не може да бъде равен на 0, т.е.

Ако тези условия са изпълнени, тогава сме намалили първоначалната дроб до формата .

Задача №3 (задача с параметър)

При какви стойности на параметъра е сумата от корените на квадратното уравнение

Ако корените на това уравнение съществуват, тогава , въпросът е кога .

Квадратният трином е полином от формата ax^2+bx+c, където x е променлива, a, b и c са някои числа и a не е равно на нула.
Всъщност, първото нещо, което трябва да знаем, за да разложим на множители злополучния тричлен, е теоремата. Изглежда така: „Ако x1 и x2 са корените на квадратния трином ax^2+bx+c, тогава ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Разбира се, има и доказателство на тази теорема, но то изисква известни теоретични познания (ако извадим фактора a от полинома ax^2+bx+c, получаваме ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) По теоремата на Виет x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, следователно b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2., x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), така че ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Понякога учителите ви карат да научите доказателството, но ако е не е задължително, съветвам ви просто да запомните крайната формула.

2 стъпка

Нека вземем за пример тринома 3x^2-24x+21. Първото нещо, което трябва да направим, е да приравним тричлена на нула: 3x^2-24x+21=0. Корените на полученото квадратно уравнение ще бъдат съответно корените на тричлена.

3 стъпка

Решете уравнението 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. И така, нека решим. Който не знае как да решава квадратни уравнения, погледнете моите инструкции с 2 начина за решаването им, като използвате примера на същото уравнение. Получихме корените x1=7, x2=1.

4 стъпка

Сега, след като имаме тричленните корени, можем спокойно да ги заместим във формулата =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
получаваме: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Можете да се отървете от термина a, като го поставите в скоби: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
в резултат получаваме: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Забележка: всеки от получените множители ((x-7), (3x-3) са полиноми от първа степен. Това е цялото разширение =) Ако се съмнявате в отговора, който сте получили, винаги можете да го проверите, като умножите скобите.

5 стъпка

Проверка на решението. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Сега знаем със сигурност, че нашето решение е правилно! Надявам се моите инструкции да помогнат на някого =) Успех с обучението!

• В нашия случай в уравнението D > 0 и получихме по 2 корена. Ако беше Д<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Ако квадратният тричлен няма корени, тогава той не може да бъде разложен на фактори, които са полиноми от първа степен.

Квадратният трином е полином от формата ax^2 + bx + c, където x е променлива, a, b и c са някои числа, освен това a ≠ 0.

За да факторизирате тричлен, трябва да знаете корените на този трином. (по-нататък пример за тринома 5x^2 + 3x- 2)

Забележка: стойността на квадратния трином 5x^2 + 3x - 2 зависи от стойността на x. Например: Ако x = 0, тогава 5x^2 + 3x - 2 = -2

Ако x = 2, тогава 5x^2 + 3x - 2 = 24

Ако x = -1, тогава 5x^2 + 3x - 2 = 0

Когато x \u003d -1, квадратният трином 5x ^ 2 + 3x - 2 изчезва, в този случай числото -1 се нарича корен от квадратен тричлен.

Как да получите корена на уравнението

Нека обясним как получихме корена на това уравнение. Първо трябва ясно да знаете теоремата и формулата, по която ще работим:

„Ако x1 и x2 са корените на квадратния трином ax^2 + bx + c, тогава ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).“

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Тази формула за намиране на корените на полином е най-примитивната формула, решавайки с която никога няма да се объркате.

Израз 5x^2 + 3x - 2.

1. Приравнете към нула: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Намираме корените на квадратното уравнение, за това заместваме стойностите във формулата (a е коефициентът за X ^ 2, b е коефициентът за X, свободен член, т.е. a фигура без X):

Намираме първия корен със знак плюс пред квадратния корен:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Вторият корен със знак минус преди квадратния корен:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Така че намерихме корените на квадратния тричлен. За да се уверите, че са правилни, можете да проверите: първо, заместваме първия корен в уравнението, след това втория:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Ако след заместване на всички корени уравнението изчезне, тогава уравнението е решено правилно.

3. Сега нека използваме формулата от теоремата: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), не забравяйте, че X1 и X2 са корените на квадратното уравнение. И така: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. За да сте сигурни, че разлагането е правилно, можете просто да умножите скобите:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Което потвърждава правилността на решението.

Вторият вариант за намиране на корените на квадратен тричлен

Друг вариант за намиране на корените на квадратен трином е обратната теорема на теоремата на Виет. Тук корените на квадратното уравнение се намират по формулите: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Но е важно да се разбере, че тази теорема може да се използва само ако коефициентът a \u003d 1, тоест числото пред x ^ 2 \u003d 1.

Например: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Решаване: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Сега е важно да помислим какви числа в продукта дават единица? Естествено това 1 * 1 и -1 * (-1) . От тези числа избираме тези, които отговарят на израза x1 + x2 = 2, разбира се - това е 1 + 1. Така че намерихме корените на уравнението: x1 = 1, x2 = 1. Това е лесно да се провери, ако заместваме x ^ 2 в израза - 2x + 1 = 0.