Fermatova teorema: Istorija dokaza Andrewa Wilesa. Sva osnovna matematika - prosječna matematička online škola - odlični matematičari - Wiles Pogledajte šta je "Wiles, Andrew" u drugim rječnicima

Andrew Wiles sa deset godina kada je prvi put saznao za Fermatovu teoremu.

Prvi put sam sreo Endrua Vajlsa kada sam počeo da istražujem za BBC dokumentarac o njegovom dokazu Fermaove teoreme. Iako je očigledno bio čovjek briljantnog uma, vrlo svrsishodan i opsjednut, što ga je proganjalo od djetinjstva, vidio sam skromnu, stidljivu osobu. Očigledno je da mrzi slavu, pa njegova početna nevoljnost da se pojavi na televiziji nije bila previše neočekivana.

Na kraju ga je moj kolega, John Lynch, uvjerio da mora djelovati. Pričajući svoju priču na ekranu, Wiles bi mogao inspirisati novu generaciju matematičara i pokazati moć matematike javnosti. Evo priče o strasti i intrigama koje osvajaju ljude širom svijeta.

Wiles je prvi put saznao za Fermatovu posljednju teoremu kada je imao deset godina. Na povratku kući iz škole svratio je u biblioteku Milton Road i počeo čitati Posljednji zadatak Erica Temple Bella. Od tog trenutka, posvetio je svoj život pronalaženju dokaza, uprkos činjenici da je to bilo nešto što je tri stoljeća izmicalo najboljim mozgovima na planeti.

Završio je doktorat iz matematike kod John Coatesa i na kraju postao profesor na Univerzitetu Princeton. Njegove studije su bile u teoriji brojeva, ali nisu imale za cilj dokazati posljednju Fermatovu teoremu. Tri stotine godina nakon Fermatovog izazova, matematičari su odlučili ostaviti Fermatovu posljednju teoremu po strani jer su smatrali da je nedokaziva. Na primjer, matematičara Davida Hilberta su pitali zašto nije pokušao dokazati posljednju teoremu, a on je odgovorio: „U početku bih morao intenzivno istraživati ​​tri godine, a nemam puno vremena da ga gubim na ono što je verovatno, ispostaviće se kao neuspeh.

Ali 1980-ih, rad Kena Ribeta i Gerharda Freya premostio je jaz između posljednje teoreme i mainstream matematike, posebno nekih ideja s kojima je Wiles već bio upoznat. Ukratko, Wiles je sada morao dokazati Taniyama-Shimura pretpostavku, problem koji je bio postavljen prije nekoliko decenija i koji se smatrao nedokazivim. Ipak, budući da je Wilesu bilo stalo do toga, sve što je dovelo do Fermatove teoreme bilo je vrijedno pažnje. Sljedećih sedam godina, Wiles je radio u potpunoj tajnosti, stvarajući dokaz stoljeća.

Wilesovo nevjerovatno putovanje je predugo da bi uopće započelo na ovoj stranici, ali ga najbolje može sažeti sljedeći citat Andrewa Wilesa, u kojem on povlači analogiju između bavljenja matematikom i istraživanja velike mračne vile:

“Uđete u prvu sobu u vili i potpuno je mrak. Spotičete se, naletite na namještaj, ali postepeno naučite gdje se koji komad namještaja nalazi. Konačno, nakon šest mjeseci, naći ćete prekidač, pritisnete ga i odjednom će sve zasvijetliti. Moći ćete tačno vidjeti gdje se nalazite. Zatim ćete se preseliti u drugu sobu i provesti još šest mjeseci u mraku. Dakle, svako od ovih dostignuća, ponekad trenutno, ponekad u roku od dan ili dva, predstavlja kulminaciju i ne bi moglo postojati bez spoticanja u mraku mnogo mjeseci prije.

Godine 1995. Wilesov dokaz je službeno objavljen i prihvaćen od strane matematičke zajednice. Priča o Fermatovoj posljednjoj teoremi došla je do kraja. Sada znamo da je Fermatova teorema tačna, ali ostaje jedno pitanje. Šta je bio Fermatov originalni dokaz? Wilesov dokaz je previše kompliciran da bi bio isti kao i Fermatov, pa neki ljudi nastavljaju tražiti originalni dokaz - ako takav dokaz postoji, naravno - jer Fermat može pogriješiti, a njegov vlastiti dokaz nikada nije postojao. Ako mislite da ste otkrili Fermatov dokaz, nemojte ga slati Andrewu Wilesu, jer on nema vremena da čita takve dokaze. Takođe, nemam ni vremena ni iskustva, pa vas molim da mi ne šaljete dokaze.

Dana 27. juna 1997. Wiles je dobio Wolfskel nagradu, koja je iznosila približno 50.000 dolara. Ovo je daleko manje nego što je Wolfskel namjeravao napustiti stoljeće ranije, ali hiperinflacija je smanjila taj iznos. Matematički ekvivalent Nobelove nagrade je Fildsova nagrada, ali ona se dodeljuje matematičarima mlađim od četrdeset godina, pa ju je Wiles jednostavno preskočio. Umjesto toga, dobio je posebnu srebrnu ploču na ceremoniji Fieldsove medalje u čast svog važnog postignuća.

Wiles je također osvojio prestižnu Wolf Prize, King Faisal Prize i mnoge druge međunarodne nagrade. Ali novac, nagrade i čast nisu bili pokretačka snaga iza Wilesovog postignuća. Kako je rekao u BBC dokumentarcu:

„To je bila moja strast iz detinjstva. Ne postoji ništa što ovo može zamijeniti. Imao sam vrlo rijetku privilegiju da u svom odraslom životu mogu učiniti ono što je bio moj san iz djetinjstva. Znam da je to rijetka privilegija, ali ako ozbiljno možete učiniti nešto u svom odraslom životu što vam mnogo znači, onda će vam to donijeti više nego što možete zamisliti. Nakon što ste riješili problem, naravno, osjećate osjećaj gubitka, ali u isto vrijeme i veliki osjećaj slobode. Bio sam toliko opsjednut ovim zadatkom da sam osam godina stalno razmišljao o tome - od trenutka kada sam se probudio ujutru do trenutka kada sam uveče otišao u krevet. Puno vremena za razmišljanje o jednoj stvari. Ova posebna odiseja je završena. Moj um miruje.

Andrew John Wiles(r. 11. aprila 1953., Kembridž, UK, vitez zapovednik Reda Britanske imperije od 2000.) - izvanredni engleski i američki matematičar, profesor i šef Katedre za matematiku na Univerzitetu Princeton, član Naučnog saveta na Institutu za matematiku Kleja.
Diplomirao je 1974. na Merton koledžu, Oksfordski univerzitet. Svoju naučnu karijeru započeo je u ljeto 1975. pod vodstvom profesora Johna Coatesa na Clare College, Cambridge University, gdje je i doktorirao. Od 1977. do 1980. Wiles je radio kao saradnik na koledžu Clare i vanredni profesor na Univerzitetu Harvard. Zajedno sa John Coatesom radio je na aritmetici eliptičke krive sa kompleksnim množenjem koristeći metode Iwasawa teorije. Godine 1982. Wiles se preselio iz Velike Britanije u SAD.
Jedan od vrhunaca njegove karijere bio je dokaz Fermatova posljednja teorema 1993. i otkriće tehničke metode koja mu je omogućila da završi dokaz uz pomoć svog bivšeg diplomiranog studenta, R. Taylora, 1994. godine. Počeo je raditi na Fermatovoj teoremi u ljeto 1986. nakon što je Ken Ribet dokazao pretpostavku o povezanosti polustabilnih eliptičkih krivulja (poseban slučaj Taniyama-Shimura teoreme) i Fermatove teoreme. Osnovna ideja takve veze pripada njemačkom matematičaru Gerhardu Freiu. Fermatova posljednja teorema navodi da ne postoje prirodna rješenja Diofantove jednačine x n + y n = z n za prirodno n > 2.
Andrew Wiles je saznao za Fermatovu posljednju teoremu u dobi od deset godina. Zatim je pokušao da to dokaže koristeći metode iz školskog udžbenika; Naravno, nije uspeo. Kasnije je počeo da proučava rad matematičara koji su pokušali da dokažu ovu teoremu. Nakon upisa na koledž, Andrew je odustao od pokušaja da dokaže Fermatovu posljednju teoremu i počeo je proučavati eliptičke krive pod John Coatesom.
Tokom 1950-ih i 1960-ih, vezu između eliptičkih krivulja i modularnih oblika predložio je japanski matematičar Šimura, koji je gradio na idejama koje je izrazio drugi japanski matematičar, Taniyama. U zapadnim naučnim krugovima ova hipoteza je bila poznata zahvaljujući radu Andréa Weila, koji je, kao rezultat njene pažljive analize, pronašao delimične dokaze u prilog tome. Zbog toga se pretpostavka često naziva teoremom Shimura–Taniyama–Weil. Teorema kaže da je svaka eliptična kriva nad poljem algebarskih brojeva automorfna. Konkretno, svaka eliptična kriva nad racionalnim brojevima mora biti modularna (određene analitičke funkcije kompleksne varijable su modularne). Potonje svojstvo su u potpunosti dokazali 1998. Christoph Broglie, Brian Conrad, Fred Diamond i Richard Taylor, koji su testirali neke degenerirane slučajeve, dopunjujući najopštiji slučaj koji je Wiles razmatrao 1995. Wilesov rad je svakako fundamentalan. Međutim, njegova metoda je vrlo posebna i radi samo za eliptičke krivulje nad racionalnim brojevima, dok Taniyama-Shimura hipoteka pokriva eliptičke krive nad bilo kojim algebarskim brojevnim poljem. Na osnovu ovoga, razumno je pretpostaviti da postoji opštiji i elegantniji dokaz modularnosti eliptičkih krivulja.
Andrew Wiles je dobitnik mnogih međunarodnih nagrada iz matematike, uključujući:
Šok nagrada (1995).
Cole Award (1996).
Nagrada Nacionalne akademije nauka za matematiku koju dodjeljuje Američko matematičko društvo (1996.).
Nagrada Ostrovskog (1996).
Kraljevska medalja (1996).
Vukova nagrada za matematiku (1996).
Wolfskel nagrada (1997).
MacArthur Fellowship (1997).
Srebrna ploča Međunarodne matematičke unije (1998).
Nagrada kralja Fejsal (1998).
Nagrada Clay Mathematical Institute (1999).
Vitez zapovednik Reda Britanske imperije (2000).
Shaw nagrada (2005).

U prošlom dvadesetom vijeku dogodio se događaj u razmjeru koji matematika nikada nije bila jednaka u čitavoj njenoj istoriji. Dana 19. septembra 1994. dokazana je teorema koju je formulirao Pierre de Fermat (1601-1665) prije više od 350 godina 1637. godine. Poznata je i kao "Fermatova posljednja teorema" ili kao "Fermatova velika teorema" jer postoji i takozvana "Fermatova mala teorema". To je dokazao 41-godišnji, do sada u matematičkoj zajednici ništa posebno neupadljivo, a po matematičkim standardima već sredovečni, profesor sa Univerziteta Prinston Endru Vajls.

Iznenađujuće je da ne samo naši obični stanovnici Rusije, već i mnogi ljudi koji se zanimaju za nauku, uključujući čak i značajan broj naučnika u Rusiji koji koriste matematiku na ovaj ili onaj način, zapravo ne znaju za ovaj događaj. To pokazuju neprestani "senzacionalni" izvještaji o "elementarnim dokazima" Fermatove teoreme u ruskim popularnim novinama i na televiziji. Najnoviji dokazi bili su prekriveni takvom informacijskom snagom, kao da Wilesov dokaz, koji je prošao najmjerodavnije ispitivanje i stekao najširu slavu u cijelom svijetu, ne postoji. Reakcija ruske matematičke zajednice na ovu vest na naslovnoj strani u situaciji davno dobijenog rigoroznog dokaza pokazala se neverovatno tromom. Naš cilj je da skiciramo fascinantnu i dramatičnu priču o Wilesovom dokazu u kontekstu magične priče o Fermatovom najvećem teoremu, i da popričamo malo o samom dokazu. Ovdje nas prvenstveno zanima pitanje mogućnosti pristupačne prezentacije Wilesovog dokaza, o čemu, naravno, zna većina matematičara u svijetu, ali samo vrlo, vrlo malo njih može govoriti o razumijevanju ovog dokaza.

Dakle, sjetimo se Fermaove poznate teoreme. Većina nas je čula za nju na ovaj ili onaj način još od školovanja. Ova teorema je povezana sa veoma značajnom jednačinom. Ovo je možda najjednostavnija smislena jednadžba koja se može napisati korištenjem tri nepoznate i još jednog striktno pozitivnog cjelobrojnog parametra. Evo ga:

Fermatova posljednja teorema kaže da za vrijednosti parametra (stepena jednadžbe) veće od dva, ne postoje cjelobrojna rješenja ove jednačine (osim, naravno, rješenja kada su sve ove varijable jednake nuli u isto vrijeme vrijeme).

Privlačna snaga ove Fermatove teoreme za širu javnost je očigledna: nema druge matematičke izjave koja ima takvu jednostavnost formulacije, prividnu dostupnost dokaza, kao i privlačnost svog "statusa" u očima društva.

Prije Wilesa, dodatni poticaj za fermatiste (kako su zvali ljudi koji su manijakalno napadali Fermatov problem) bila je Njemačka Wolfskellova nagrada za dokaz, ustanovljena prije skoro sto godina, iako mala u poređenju s Nobelovom nagradom - uspjela je depresirati tokom Prvog. Svjetski rat.

Osim toga, vjerovatna elementarnost dokaza je uvijek bila privučena, budući da je sam Fermat to “dokazao” napisavši na marginama prijevoda Diofantove aritmetike: “Našao sam zaista divan dokaz za ovo, ali su margine ovdje preuske da se tome prilagodi.”

Zato je ovdje primjereno dati ocjenu važnosti popularizacije Wilesovog dokaza Fermatovog problema, koji pripada poznatom američkom matematičaru R. Murtyju (citiramo iz prijevoda knjige "Uvod u modernu teoriju brojeva" od Yu. Manin i A. Panchishkin):

Fermatova poslednja teorema zauzima posebno mesto u istoriji civilizacije. Svojom vanjskom jednostavnošću oduvijek je privlačio i amatere i profesionalce... Sve izgleda kao da ga je zamislio neki viši um, koji je kroz vijekove razvijao različite smjerove misli da bi ih onda ponovo spojio u jednu uzbudljivu fuziju kako bi riješio problem. Velike Fermaove teoreme. Nijedna osoba ne može tvrditi da je stručnjak za sve ideje korištene u ovom "divnom" dokazu. U eri opšte specijalizacije, kada svako od nas zna "sve više i više o sve manje i manje", apsolutno je neophodno imati pregled ovog remek-dela..."

Počnimo sa kratkom istorijskom digresijom, uglavnom inspirisanom fascinantnom knjigom Fermatova posljednja teorema Simona Singha. Oko podmukle teoreme, primamljive svojom prividnom jednostavnošću, oduvek su ključale ozbiljne strasti. Istorija njenog dokaza puna je drame, misticizma, pa čak i direktnih žrtava. Možda najpoznatija žrtva je Yutaka Taniyama (1927-1958). Upravo je ovaj mladi talentovani japanski matematičar, koji se u životu odlikovao velikom ekstravagancijom, stvorio osnovu za Wilesov napad 1955. godine. Na osnovu njegovih ideja, Goro Shimura i Andre Weil su nekoliko godina kasnije (60-67 godina) konačno formulisali čuvenu pretpostavku, dokazujući značajan dio koje je Wiles dobio Fermatovu teoremu kao posljedicu. Misticizam priče o smrti netrivijalnog Yutake povezan je s njegovim burnim temperamentom: objesio se u trideset i jednoj godini zbog nesretne ljubavi.

Cijela duga povijest zagonetne teoreme bila je praćena stalnim najavama njenog dokaza, počevši od samog Fermata. Konstantne greške u beskonačnom nizu dokaza zahvatile su ne samo matematičare amatere, već i profesionalne matematičare. To je dovelo do činjenice da je termin "fermatičar", primijenjen na Fermatove dokazivače teorema, postao uobičajena riječ. Stalna spletka sa svojim dokazima ponekad je dovodila do zabavnih incidenata. Dakle, kada je otkrivena praznina u prvoj verziji Wilesovog već nadaleko objavljenog dokaza, na jednoj od stanica njujorške podzemne željeznice pojavio se podrugljiv natpis: „Pronašao sam zaista divan dokaz Fermatove posljednje teoreme, ali moj voz je stigao i ja sam nemate vremena da to zapišete."

Andrew Wiles, rođen u Engleskoj 1953. godine, studirao je matematiku na Cambridgeu; na postdiplomskim studijama bio kod profesora Johna Coatesa. Pod njegovim vodstvom, Andrew je shvatio teoriju japanskog matematičara Iwasawe, koja je na granici klasične teorije brojeva i moderne algebarske geometrije. Takva fuzija naizgled udaljenih matematičkih disciplina nazvana je aritmetička algebarska geometrija. Andrew je osporio Fermatov problem, oslanjajući se upravo na ovu sintetičku teoriju, koja je teška čak i za mnoge profesionalne matematičare.

Nakon što je završio postdiplomske studije, Wiles je dobio poziciju na Univerzitetu Princeton, gdje i dalje radi. Oženjen je i ima tri ćerke, od kojih su dvije rođene "u sedmogodišnjem procesu prve verzije dokaza". Tokom ovih godina, samo je Nada, Andrewova žena, znala da je on sam jurišao na najneosvojiviji i najpoznatiji vrh matematike. Upravo njima, Nadiji, Kler, Kejt i Oliviji, posvećen je Wilesov čuveni završni članak "Modularne eliptične krivulje i Fermatova poslednja teorema" u centralnom matematičkom časopisu Annals of Mathematics, koji objavljuje najvažnije matematičke radove.

Događaji oko dokaza odvijali su se prilično dramatično. Ovaj uzbudljivi scenario bi se mogao nazvati "fermatičar-profesionalni matematičar".

Zaista, Andrew je od mladosti sanjao da dokaže Fermatovu teoremu. Ali za razliku od velike većine fermatista, bilo mu je jasno da za to treba savladati čitave slojeve najsloženije matematike. Idući ka svom cilju, Endru je diplomirao na Matematičkom fakultetu čuvenog Univerziteta u Kembridžu i počeo da se specijalizuje za savremenu teoriju brojeva, koja je na spoju sa algebarskom geometrijom.

Ideja napada na blistavi vrh je prilično jednostavna i fundamentalna - najbolja moguća municija i pažljiv razvoj rute.

Kao moćno oruđe za postizanje cilja, sam Wiles razvija već poznatu teoriju Iwasawa, koja ima duboke istorijske korijene. Ova teorija je generalizovala Kumerovu teoriju – istorijski prvu ozbiljnu matematičku teoriju koja je jurišala na Fermaov problem, a koji se pojavio još u 19. veku. Zauzvrat, korijeni Kummerove teorije leže u poznatoj teoriji legendarnog i briljantnog romantičnog revolucionara Evaristea Galoisa, koji je poginuo u dobi od dvadeset i jedne godine u dvoboju u odbrani časti djevojke (obratite pažnju, prisjetite se priče sa Tanijamom, na fatalnu ulogu lijepih dama u historiji matematike).

Wiles je potpuno uronjen u dokaz, čak i zaustavljajući učešće na naučnim konferencijama. I kao rezultat sedmogodišnje izolacije od matematičke zajednice u Prinstonu, u maju 1993. Endru stavlja tačku na svoj tekst – gotovo je.

Upravo u to vrijeme pojavila se sjajna prilika da se naučni svijet obavijesti o njegovom otkriću - već u junu trebalo je da se održi konferencija u njegovom rodnom Kembridžu na tačno pravu temu. Tri predavanja na Kembridž institutu Isaka Njutna oduševljavaju ne samo matematički svet, već i širu javnost. Na kraju trećeg predavanja, 23. juna 1993., Wiles najavljuje dokaz Fermatove posljednje teoreme. Dokaz je zasićen čitavom gomilom novih ideja, kao što je novi pristup Taniyama-Shimura-Weil pretpostavci, daleko napredna teorija Iwasawa, nova "teorija kontrole deformacija" Galoisovih reprezentacija. Matematička zajednica se raduje verifikaciji teksta dokaza od strane stručnjaka za aritmetičku algebarsku geometriju.

Tu dolazi do dramatičnog preokreta. Sam Wiles, u procesu komunikacije s recenzentima, otkriva prazninu u svom dokazu. Pukotinu je dao mehanizam "kontrole deformacija" koji je izmislio - noseća konstrukcija dokaza.

Praznina je otkrivena nekoliko mjeseci kasnije Wilesovim postupnim objašnjenjem svog dokaza kolegi iz njegovog odjela na Princetonu, Niku Katzu. Nick Katz, koji je dugo u prijateljskim odnosima sa Andrewom, preporučuje mu saradnju sa perspektivnim mladim engleskim matematičarem Richardom Taylorom.

Prolazi još jedna godina napornog rada, povezanog sa proučavanjem dodatnog alata za napad na nerešivi problem - takozvanih Eulerovih sistema, koje je osamdesetih godina samostalno otkrio naš sunarodnik Viktor Kolyvagin (već dugo radi na Univerzitetu u Njujorku) i Thain.

I evo novog izazova. O nedovršenom, ali još uvijek vrlo impresivnom rezultatu Wilesovog rada, on izvještava na Međunarodnom kongresu matematičara u Cirihu krajem avgusta 1994. godine. Wiles se bori svom snagom. Bukvalno prije izvještaja, prema riječima očevidaca, on još uvijek grozničavo nešto piše, pokušavajući što više da popravi situaciju sa “opuštenim” dokazima.

Nakon ove intrigantne publike najvećih matematičara svijeta, Wilesovog izvještaja, matematička zajednica “radosno izdiše” i sažaljivo aplaudira: ništa, momak, s kim god da se dogodi, ali ima naprednu nauku, pokazujući da je moguće uspješno napredovanje u rešavanju tako neosvojive hipoteze, što niko do sada nije uradio, nije ni pomišljao da to uradi. Drugi fermatičar, Andrew Wiles, nije mogao oduzeti najdublji san mnogih matematičara o dokazivanju Fermatove teoreme.

Prirodno je zamisliti stanje Wilesa u to vrijeme. Čak ni podrška i blagonaklon odnos kolega u radnji nisu mogli nadoknaditi njegovo psihičko stanje devastacije.

I tako, samo mjesec dana kasnije, kada sam, kako Wiles piše u uvodu svog konačnog dokaza u Annals, „odlučio da posljednji put pogledam Ojlerove sisteme u pokušaju da oživim ovaj argument za dokaz“, dogodilo se. Wiles je imao bljesak uvida 19. septembra 1994. Tog dana je praznina u dokazu zatvorena.

Onda su se stvari pomakle velikom brzinom. Već uspostavljena saradnja sa Richardom Taylorom u proučavanju Ojlerovih sistema Kolivagina i Thaina omogućila je finaliziranje dokaza u obliku dva velika rada već u oktobru.

Njihovo objavljivanje, koje je zauzelo cijeli broj Annals of Mathematics, uslijedilo je već u novembru 1994. godine. Sve je to izazvalo novu moćnu informaciju. Priča o Wilesovom dokazu dobila je oduševljenu štampu u Sjedinjenim Državama, snimljen je film i objavljene knjige o autoru fantastičnog otkrića u matematici. U jednoj evaluaciji vlastitog rada, Wiles je primijetio da je izmislio matematiku budućnosti.

(Pitam se da li je to istina? Napominjemo samo da je uz svu ovu informacijsku navalu postojao oštar kontrast sa skoro nultom informacijskom rezonancom u Rusiji, koja traje do danas).

Postavimo sebi pitanje - koja je "unutrašnja kuhinja" postizanja izvanrednih rezultata? Uostalom, zanimljivo je znati kako naučnik organizuje svoj rad, na šta se u njemu fokusira, kako određuje prioritete svoje aktivnosti. Šta se u tom smislu može reći o Andrew Wilesu? I začudo, u današnjoj eri aktivne naučne komunikacije i kolaborativnog stila rada, Wiles je imao svoj način rada na superproblemima.

Wiles je do svog fantastičnog rezultata došao na osnovu intenzivnog, kontinuiranog, višegodišnjeg individualnog rada. Organizacija njegovih aktivnosti, govoreći službenim jezikom, bila je krajnje neplanirana. To se ne bi moglo kategorički nazvati aktivnošću u okviru određenog granta, o kojoj je potrebno redovno izvještavati i ponovo planirati da svaki put do određenog datuma dobijete određene rezultate.

Ovakve aktivnosti van društva, ne koristeći direktnu naučnu komunikaciju sa kolegama, čak i na konferencijama, delovale su u suprotnosti sa svim kanonima rada savremenog naučnika.

Ali individualni rad je omogućio da se prevaziđe već uspostavljene standardne koncepte i metode. Ovaj stil rada, zatvoren u formu, a istovremeno slobodan u suštini, omogućio je izmišljanje novih moćnih metoda i dobijanje rezultata na novom nivou.

Problem s kojim se Wiles suočava (pretpostavka Taniyama-Shimura-Weyl) nije bio čak ni među najbližim vrhovima koje je moderna matematika mogla osvojiti tih godina. Istovremeno, niko od stručnjaka nije poricao njen veliki značaj, a nominalno je bio u "mainstreamu" moderne matematike.

Dakle, Wilesove aktivnosti su bile izražene nesistemske prirode, a rezultat je postignut zahvaljujući najjačoj motivaciji, talentu, kreativnoj slobodi, volji, više nego povoljnim materijalnim uslovima za rad na Princetonu i, što je najvažnije, međusobnom razumijevanju u porodici. .

Wilesov dokaz, koji se pojavio kao grom iz vedra neba, postao je svojevrsni test za međunarodnu matematičku zajednicu. Reakcija čak i najprogresivnijeg dijela ove zajednice u cjelini pokazala se, začudo, prilično neutralnom. Nakon što su se emocije i entuzijazam od prvog puta nakon pojave znakovitog dokaza splasnuli, svi su mirno nastavili svojim poslom. Stručnjaci za aritmetičku algebarsku geometriju polako su proučavali "moćni dokaz" u svom uskom krugu, dok su ostali orali svoje matematičke staze, razilazeći se, kao i ranije, sve dalje i dalje.

Pokušajmo razumjeti ovu situaciju, koja ima i objektivne i subjektivne razloge. Objektivni faktori neopažanja, začudo, imaju svoje korijene u organizacionoj strukturi moderne naučne djelatnosti. Ova aktivnost je poput klizališta koje se spušta niz padinu sa ogromnim zamahom: vlastita škola, utvrđeni prioriteti, vlastiti izvori finansiranja, itd. Sve je to dobro sa stanovišta uspostavljenog sistema izvještavanja koncedenta, ali otežava podizanje glave i pogled oko sebe: šta je zaista važno i relevantno za nauku i društvo, a ne za naredni dio grant?

Onda - opet - ne želim da izađem iz svoje udobne minke, gde je sve tako poznato, i da se popnem u drugu, potpuno nepoznatu rupu. Ne zna se šta tamo očekivati. Štaviše, očigledno je jasno da oni ne daju novac za invaziju.

Sasvim je prirodno da nijedna od birokratskih struktura koje organiziraju nauku u različitim zemljama, uključujući i Rusiju, nije izvukla zaključke ne samo iz fenomena dokaza Andrewa Wilesa, već i iz sličnog fenomena senzacionalnog dokaza Grigorija Perelmana o drugom, također poznatom matematički problem.

Subjektivni faktori neutralnosti reakcije matematičkog svijeta na "milenijumski događaj" leže u sasvim prozaičnim razlozima. Dokaz je zaista izuzetno komplikovan i dugačak. Laiku u aritmetičkoj algebarskoj geometriji čini se da se sastoji od slojevitosti terminologije i konstrukcija najapstraktnijih matematičkih disciplina. Čini se da autoru uopšte nije bio cilj da ga razume što veći broj zainteresovanih matematičara.

Ova metodološka složenost, nažalost, prisutna je kao neizbježna cijena velikih dokaza novijeg vremena (na primjer, analiza nedavnog dokaza Grigorija Perelmana Poincaréove pretpostavke traje do danas).

Složenost percepcije dodatno je pojačana činjenicom da je aritmetička algebarska geometrija vrlo egzotično podpolje matematike, što uzrokuje poteškoće čak i profesionalnim matematičarima. Stvar je otežavala i izuzetna sintetičnost Wilesovog dokaza, koji je koristio razne moderne alate koje je poslednjih godina stvorio veliki broj matematičara.

Ali mora se uzeti u obzir da Wiles nije bio suočen s metodičkim zadatkom objašnjenja – on je konstruirao novu metodu. Bila je to sinteza Wilesovih vlastitih briljantnih ideja i konglomerata najnovijih rezultata iz različitih matematičkih polja koji su radili u metodi. I bio je to tako moćan dizajn koji je zabio neosvojiv problem. Dokaz nije bio slučajan. Činjenica njegove kristalizacije u potpunosti je odgovarala i logici razvoja nauke i logici spoznaje. Čini se da je zadatak objašnjavanja takvog super-dokaza apsolutno nezavisan, vrlo težak, iako vrlo obećavajući problem.

Možete sami testirati javno mnijenje. Pokušajte pitati matematičare koje poznajete o Wilesovom dokazu: Ko ga je dobio? Ko je razumio barem osnovne ideje? Ko želi da razume? Ko je smatrao da je ovo nova matematika? Čini se da su odgovori na ova pitanja retorički. I malo je vjerovatno da ćete sresti mnoge koji žele probiti palisadu tehničkih pojmova i savladati nove koncepte i metode kako bi riješili samo jednu vrlo egzotičnu jednačinu. I zašto je zarad ovog zadatka potrebno sve ovo proučiti?!

Dozvolite mi da vam dam smiješan primjer. Prije nekoliko godina, poznati francuski matematičar, Fieldsov laureat, Pierre Deligne, istaknuti specijalista za algebarsku geometriju i teoriju brojeva, na pitanje autora o značenju jednog od ključnih objekata Wilesovog dokaza - tzv. "prsten deformacija" - nakon pola sata razmišljanja, rekao je da ne razumije u potpunosti značenje ovog objekta. Prošlo je deset godina od dokaza.

Sada možete reproducirati reakciju ruskih matematičara. Glavna reakcija je njegovo gotovo potpuno odsustvo. To je uglavnom zbog Wilesove "teške" i "nenaviknute" matematike.

Na primjer, u klasičnoj teoriji brojeva nećete naći tako dugačke dokaze kao Wilesov. Kako su teoretičari brojeva rekli, "dokaz mora biti stranica" (Wylesov dokaz, u saradnji sa Taylorom, ima 120 stranica u verziji časopisa).

Takođe je nemoguće isključiti faktor straha od neprofesionalnosti vaše procjene: reagujući, preuzimate odgovornost za procjenu dokaza. A kako to uraditi kada ne znaš ovu matematiku?

Karakterističan je stav koji zauzimaju direktni stručnjaci za teoriju brojeva: "...i strahopoštovanje, i gorući interes, i oprez pred jednom od najvećih misterija u istoriji matematike" (iz predgovora knjizi Paula Ribenboima "Fermat's Posljednja teorema za amatere" - jedina dostupna danas za direktan izvor Wilesovog dokaza za opće čitatelje.

Reakcija jednog od najpoznatijih savremenih ruskih matematičara, akademika V.I. Arnold je na dokazu “aktivno skeptičan”: ovo nije prava matematika – prava matematika je geometrijska i ima jake veze s fizikom. Štaviše, sam Fermatov problem, po svojoj prirodi, ne može generisati razvoj matematike, jer je „binarni“, odnosno formulacija problema zahteva odgovor samo na pitanje „da ili ne“. U isto vrijeme, matematički radovi posljednjih godina V.I. Ispostavilo se da su Arnoldovi radovi uglavnom posvećeni varijacijama na vrlo bliske teme teorije brojeva. Moguće je da je Wiles, paradoksalno, postao indirektni uzrok ove aktivnosti.

Ipak, na Mehmatu Moskovskog državnog univerziteta pojavljuju se entuzijasti dokaza. Izvanredan matematičar i popularizator Yu.P. Solovjov (koji je umro prerano) započinje prevod knjige E. Knappa o eliptičkim krivuljama sa potrebnim materijalom o pretpostavci Taniyama–Shimura–Weil. Aleksej Pančiškin, koji sada radi u Francuskoj, 2001. godine čita predavanja na Mekhmatu, što je činilo osnovu odgovarajućeg dela njegovog rada sa Yu.I. Manin iz gore pomenute odlične knjige o modernoj teoriji brojeva (objavljena u ruskom prevodu Sergeja Gorčinskog uz montažu Alekseja Paršina 2007. godine).

Pomalo je iznenađujuće da na moskovskom Institutu za matematiku Steklov, centru ruskog matematičkog svijeta, Wilesov dokaz nije proučavan na seminarima, već su ga proučavali samo pojedinačni specijalizovani stručnjaci. Štaviše, dokaz već potpune Taniyama-Shimura-Weil pretpostavke nije shvaćen (Wyles je dokazao samo njen dio, dovoljan za dokazivanje Fermatove teoreme). Ovaj dokaz je 2000. godine dao cijeli tim stranih matematičara, uključujući Richarda Taylora, Wilesovog koautora na završnoj fazi dokaza Fermatove teoreme.

Takođe, nije bilo javnih izjava i, štaviše, diskusija poznatih ruskih matematičara o Wilesovom dokazu. Poznata je prilično oštra rasprava između Rusa V. Arnolda („skeptik metode dokazivanja“) i Amerikanca S. Lenga („entuzijasta metode dokazivanja“), međutim, njeni se tragovi gube u zapadnim publikacijama . U ruskoj centralnoj matematičkoj štampi, od objavljivanja Wilesovog dokaza, nije bilo publikacija na temu dokaza. Možda je jedina publikacija na ovu temu bila prijevod članka kanadskog matematičara Henryja Darmona, čak i neuvjerljiva verzija dokaza u Napredcima u matematičkim naukama iz 1995. (smiješno je da je cijeli dokaz već objavljen).

Nasuprot ovoj "uspavanoj" matematičkoj pozadini, uprkos visoko apstraktnoj prirodi Wilesovog dokaza, neki neustrašivi teoretski fizičari uključili su ga u područje svog potencijalnog interesa i počeli ga proučavati, nadajući se prije ili kasnije da će pronaći primjenu Wilesove matematike. Ovo ne može a da ne raduje, makar samo zato što je ova matematika svih ovih godina bila praktično u samoizolaciji.

Ipak, problem prilagođavanja dokaza, koji uvelike otežava njegov primijenjeni potencijal, ostao je i ostaje vrlo aktuelan. Do danas je originalni, visoko specijalizirani tekst Wilesovog članka i zajednički članak Wilesa i Taylora već prilagođen, ali samo za prilično uski krug profesionalnih matematičara. To su u pomenutoj knjizi uradili Yu. Manin i A. Panchishkin. Uspeli su da izglade izvesnu izveštačenost originalnog dokaza. Osim toga, američki matematičar Serge Leng, žestoki promotor Wilesovog dokaza (nažalost preminuo u septembru 2005.), uključio je neke od najvažnijih konstrukcija dokaza u treće izdanje svog sada klasičnog univerzitetskog udžbenika Algebra.

Kao primjer izvještačenosti originalnog dokaza napominjemo da je jedna od najupečatljivijih karakteristika koja ostavlja ovaj utisak posebna uloga pojedinačnih prostih brojeva, kao što su 2, 3, 5, 11, 17, kao i pojedinačnih prirodnih brojeva, kao što su 15, 30 i 60. Između ostalog, sasvim je očigledno da dokaz nije geometrijski u najobičnijem smislu. Ne sadrži prirodne geometrijske slike koje bi se mogle priložiti radi boljeg razumijevanja teksta. Super-moćna "terminološka" apstraktna algebra i "napredna" teorija brojeva čisto psihološki pogađaju percepciju dokaza čak i kvalifikovanog čitaoca-matematičara.

Može se samo zapitati zašto ga, u takvoj situaciji, stručnjaci za dokaz, uključujući i samog Wilesa, ne „poliraju“, ne promoviraju i ne populariziraju očigledni „matematički hit“ čak ni u matičnoj matematičkoj zajednici.

Dakle, ukratko, danas je činjenica Wilesovog dokaza jednostavno činjenica dokaza Fermatove teoreme sa statusom prvog ispravnog dokaza i "neke super-moćne matematike" koja se u njemu koristi.

Što se tiče moćnih, ali nenađenih primjena matematike, poznati ruski matematičar iz sredine prošlog stoljeća, bivši dekan Mehmatskog fakulteta V.V. Golubev:

“... prema duhovitoj opasci F. Kleina, mnoge matematičke katedre su slične onim izložbama najnovijih modela oružja koje postoje u firmama koje proizvode oružje; uz svu duhovitost koju ulažu pronalazači, često se dešava da kada počne pravi rat, te novine se iz ovog ili onog razloga pokažu neprikladnim... Savremena nastava matematike predstavlja potpuno istu sliku; studentima se daju vrlo savršena i moćna sredstva matematičkog istraživanja... ali dalji studenti ne mogu imati nikakvu predstavu o tome gdje i kako se ove moćne i genijalne metode mogu primijeniti u rješavanju glavnog zadatka cijele nauke: u razumijevanju svijeta oko nas i u uticaju na njega na stvaralačku volju čoveka. Svojevremeno je A.P. Čehov je rekao da ako u prvom činu drame na sceni visi pištolj, onda je neophodno da se iz njega ispali barem u trećem činu. Ovo zapažanje je u potpunosti primjenjivo na nastavu matematike: ako se studentima izlaže neka teorija, onda je potrebno prije ili kasnije pokazati kakve se primjene iz ove teorije mogu napraviti, prvenstveno u oblasti mehanike, fizike ili tehnologije iu drugim oblastima. oblasti.

Nastavljajući ovu analogiju, možemo reći da je Wilesov dokaz izuzetno povoljan materijal za proučavanje ogromnog sloja moderne fundamentalne matematike. Ovdje se studentima može pokazati kako je problem klasične teorije brojeva usko povezan sa oblastima čiste matematike kao što su moderna algebarska teorija brojeva, moderna Galoisova teorija, p-adična matematika, aritmetička algebarska geometrija, komutativna i nekomutativna algebra.

Bilo bi pošteno da se potvrdi Wilesovo uvjerenje da je matematika koju je izmislio – matematika novog nivoa. I zaista ne želim da ova zaista lijepa i sintetička matematika doživi sudbinu "neispaljenog pištolja".

Pa ipak, postavimo sebi pitanje: da li je moguće opisati Wilesov dokaz na dovoljno pristupačan način za široku zainteresiranu publiku?

Sa stanovišta stručnjaka, ovo je apsolutna utopija. Ali hajde da ipak pokušamo, vođeni jednostavnim razmatranjem da je Fermatova teorema izjava samo o cijelim tačkama našeg uobičajenog trodimenzionalnog euklidskog prostora.

U Fermatovu jednačinu ćemo sekvencijalno zamijeniti tačke sa cjelobrojnim koordinatama.

Wiles pronalazi optimalan mehanizam za ponovno izračunavanje cijelih tačaka i njihovo testiranje na zadovoljenje jednačine Fermatove teoreme (nakon uvođenja potrebnih definicija, takvo ponovno izračunavanje će samo odgovarati tzv. „modularnom svojstvu eliptičkih krivulja nad poljem racionalnih brojeva ", opisano pretpostavkom Taniyama-Shimura-Weyl").

Mehanizam ponovnog izračunavanja optimiziran je uz pomoć izvanrednog otkrića njemačkog matematičara Gerharda Freya, koji je povezao potencijalno rješenje Fermatove jednadžbe s proizvoljnim eksponentom s drugom, potpuno drugačijom jednačinom. Ova nova jednačina je data posebnom krivom (nazvanom Freyeva eliptična kriva). Ova Freyeva kriva je data vrlo jednostavnom jednadžbom:

Iznenađenje Freyeve ideje bio je prijelaz sa teorijske prirode problema na njegov "skriveni" geometrijski aspekt. Naime: Frey u poređenju sa bilo kojim rješenjem Fermatove jednadžbe, odnosno brojevima koji zadovoljavaju odnos

gornju krivu. Sada ostaje pokazati da takve krive ne postoje za . U ovom slučaju, Fermatova posljednja teorema slijedi odavde. Upravo je ovu strategiju odabrao Wiles 1986. godine, kada je započeo svoj očaravajući napad.

Freyev izum u vrijeme Wilesovog "početka" bio je prilično svjež (85. godina) i također je odrazio relativno noviji pristup francuskog matematičara Hellegouarcha (70-ih godina), koji je predložio korištenje eliptičkih krivulja za pronalaženje rješenja Diofantovih jednačina, tj. jednačine slične Fermatovoj jednačini.

Pokušajmo sada sagledati Freyovu krivu iz drugačije tačke gledišta, naime, kao alat za ponovno izračunavanje cijelih tačaka u Euklidskom prostoru. Drugim riječima, naša Freyeva kriva će igrati ulogu formule koja određuje algoritam za takvo ponovno izračunavanje.

U tom kontekstu, može se reći da Wiles izmišlja alate (specijalne algebarske konstrukcije) za kontrolu ovog ponovnog izračunavanja. Strogo govoreći, ova Wilesova suptilna instrumentacija čini centralnu srž i glavnu složenost dokaza. Upravo u proizvodnji ovih alata nastaju Wilesova glavna sofisticirana algebarska otkrića, koja je tako teško uočiti.

Ali ipak, najneočekivaniji efekat dokaza je, možda, dovoljnost upotrebe samo jedne "Freev" krive, koja je predstavljena potpuno jednostavnom, gotovo "školskom" zavisnošću. Iznenađujuće, upotreba samo jedne takve krive je dovoljna za testiranje svih tačaka trodimenzionalnog euklidskog prostora sa cjelobrojnim koordinatama za zadovoljenje njihovog odnosa Fermatove posljednje teoreme s proizvoljnim eksponentom.

Drugim riječima, upotreba samo jedne krive (iako one koja ima specifičan oblik), koja je razumljiva i običnom srednjoškolcu, pokazuje se kao ekvivalentna izgradnji algoritma (programa) za sekvencijalno ponovno izračunavanje cijelih tačaka u običnom trodimenzionalni prostor. I to ne samo ponovno izračunavanje, već ponovno izračunavanje uz istovremeno testiranje cijele tačke na “njeno zadovoljstvo” Fermatovom jednačinom.

Tu nastaje fantom samog Pierrea de Fermata, budući da u takvom preračunavanju oživljava ono što se obično naziva "Ferma't descent", ili Fermatova redukcija (ili "metoda beskonačnog spuštanja").

U tom kontekstu, odmah postaje jasno zašto sam Fermat nije mogao dokazati svoju teoremu iz objektivnih razloga, iako je u isto vrijeme mogao dobro "vidjeti" geometrijsku ideju njenog dokaza.

Činjenica je da se ponovno izračunavanje odvija pod kontrolom matematičkih alata koji nemaju analoga ne samo u dalekoj prošlosti, već i nepoznati prije Wilesa čak ni u modernoj matematici.

Ovdje je najvažnije da su ti alati „minimalni“, tj. ne mogu se pojednostaviti. Iako je sam po sebi ovaj "minimalizam" veoma težak. I upravo je Wilesova realizacija ove netrivijalne "minimalnosti" postala odlučujući završni korak dokaza. Bio je to potpuno isti "bljesak" 19. septembra 1994. godine.

Neki problem koji izaziva nezadovoljstvo i dalje ostaje ovdje - u Wilesu ova minimalna konstrukcija nije eksplicitno opisana. Stoga, oni koji su zainteresovani za Fermatov problem imaju još zanimljivog posla - potrebno je jasno tumačenje ove "minimalnosti".

Moguće je da se upravo tu treba sakriti geometrija “algebriziranog” dokaza. Moguće je da je i sam Fermat osjetio upravo tu geometriju kada je napravio čuveni zapis na uskim marginama svoje rasprave: "Našao sam zaista izvanredan dokaz...".

Idemo sada direktno na virtuelni eksperiment i pokušajmo da "ukopamo" u razmišljanja matematičara-pravnika Pierrea de Fermata.

Geometrijska slika takozvane Fermaove male teoreme može se predstaviti kao krug koji se kotrlja "bez klizanja" duž prave linije i "navija" na sebe čitave tačke. Jednačina Fermaove male teoreme u ovoj interpretaciji dobija i fizičko značenje - značenje zakona održanja takvog kretanja u jednodimenzionalnom diskretnom vremenu.

Možemo pokušati prenijeti ove geometrijske i fizičke slike u situaciju kada se dimenzija problema (broj varijabli u jednadžbi) povećava i jednačina Fermatovog malog teorema se pretvara u jednadžbu Fermatove velike teoreme. Naime: pretpostavimo da je geometrija Fermatove posljednje teoreme predstavljena sferom koja se kotrlja po ravni i "navija" na sebe cijele tačke na ovoj ravni. Bitno je da to kotrljanje ne bude proizvoljno, već „periodično“ (matematičari kažu i „ciklomično“). Periodičnost kotrljanja znači da se vektori linearne i ugaone brzine kugle koja se kotrlja na najopštiji način nakon određenog fiksnog vremena (perioda) ponavljaju po veličini i pravcu. Takva periodičnost je slična periodičnosti linearne brzine kružnice koja se kotrlja duž prave linije, modelirajući “malu” Fermaovu jednačinu.

U skladu s tim, Fermatova "velika" jednačina već u dvodimenzionalnom diskretnom vremenu poprima značenje zakona održanja gornjeg kretanja sfere. Uzmimo sada dijagonalu ovog dvodimenzionalnog vremena (u ovom koraku leži cijela poteškoća!). Ova izuzetno zeznuta dijagonala, za koju se ispostavilo da je jedina, je jednačina Fermaove posljednje teoreme kada je eksponent jednadžbe tačno dva.

Važno je napomenuti da u jednodimenzionalnoj situaciji - situaciji Fermatove male teoreme - takvu dijagonalu nije potrebno pronaći, pošto je vrijeme jednodimenzionalno i nema razloga da se uzima dijagonala. Stoga, stepen varijable u jednadžbi Fermatove male teoreme može biti proizvoljan.

Tako, prilično neočekivano, dobijamo most do "fizikalizacije" posljednje Fermatove teoreme, odnosno do pojave njenog fizičkog značenja. Kako se ne sjetiti da ni Ferma nije bila strana fizika.

Inače, iskustvo fizike takođe pokazuje da su zakoni održanja mehaničkih sistema navedenog tipa kvadratni u fizičkim varijablama problema. I konačno, sve je to sasvim u skladu s kvadratnom strukturom zakona održanja energije u Njutnovoj mehanici, poznatom iz škole.

Sa stanovišta gornje "fizičke" interpretacije Fermatove posljednje teoreme, "minimalno" svojstvo odgovara minimalnom stepenu zakona održanja (ovo je dva). A redukcija Fermata i Wilesa odgovara redukciji zakona održanja ponovnog izračunavanja tačaka na zakon najjednostavnijeg oblika. Ovo najjednostavnije (minimalno složeno) ponovno izračunavanje, i geometrijski i algebarski, predstavljeno je kotrljanjem sfere po ravni, budući da su sfera i ravan „minimalni“, kako potpuno razumijemo, dvodimenzionalni geometrijski objekti.

Cijela složenost, koja na prvi pogled izostaje, ovdje leži u činjenici da tačan opis tako naizgled „jednostavnog“ kretanja sfere nije nimalo lak. Poenta je da "periodično" kotrljanje sfere "apsorbuje" gomilu takozvanih "skrivenih" simetrija našeg trodimenzionalnog prostora. Ove skrivene simetrije nastaju zbog netrivijalnih kombinacija (kompozicija) linearnog i ugaonog kretanja sfere – vidi sl.1.

Upravo za tačan opis ovih skrivenih simetrija, geometrijski kodiranih tako lukavim kotrljanjem sfere (tačke sa cjelobrojnim koordinatama "sjede" na čvorovima nacrtane rešetke), potrebne su Wilesove algebarske konstrukcije.

U geometrijskoj interpretaciji prikazanoj na slici 1, linearno kretanje centra sfere „broji“ cele tačke na ravni, a njegovo ugaono (ili rotaciono) kretanje obezbeđuje prostornu (ili vertikalnu) komponentu ponovnog izračunavanja. Rotaciono kretanje sfere nije moguće odmah "videti" u proizvoljnom kotrljanju sfere po ravni. To je rotacijsko kretanje koje odgovara skrivenim simetrijama Euklidskog prostora spomenutog gore.

Freyeva kriva uvedena iznad samo "kodira" estetski najljepše ponovno izračunavanje cijelih tačaka u prostoru, koje podsjeća na kretanje duž spiralnog stepeništa. Zaista, ako pratimo krivu koju je neka tačka sfere pomerila u jednom periodu, otkrićemo da će naša označena tačka pomeriti krivu prikazanu na Sl. 2, nalik na "dvostruku prostornu sinusoidu" - prostorni analog grafa. Ova prekrasna kriva može se protumačiti kao graf "minimalne" Freyeve krive. Ovo je grafikon našeg ponovnog izračunavanja testiranja.

Nakon što smo povezali neku asocijativnu percepciju ove slike, na naše iznenađenje otkrićemo da je površina ograničena našom krivuljom zapanjujuće slična površini molekule DNK - "ugaone cigle" biologije! Možda nije slučajno što se terminologija konstrukata koji kodiraju DNK iz Wilesovog dokaza koristi u Singhovoj knjizi Fermatova posljednja teorema.

Još jednom naglašavamo da je odlučujući momenat naše interpretacije činjenica da je analog zakona održanja za Fermatovu malu teoremu (njegov stepen može biti proizvoljno velik) jednačina Fermatove posljednje teoreme upravo u slučaju . Upravo ovaj efekat "minimalnosti stepena zakona održanja kotrljanja sfere po ravni" odgovara tvrdnji Fermaove Velike teoreme.

Moguće je da je sam Fermat vidio ili osjetio ove geometrijske i fizičke slike, ali u isto vrijeme nije mogao pretpostaviti da ih je tako teško opisati s matematičke točke gledišta. Štaviše, nije mogao pretpostaviti da bi za opisivanje takve netrivijalne, ali ipak dovoljno transparentne geometrije bilo potrebno još tri stotine pedeset godina rada matematičke zajednice.

Hajde sada da izgradimo most do moderne fizike. Geometrijska slika Wilesovog argumenta koja je ovdje predložena vrlo je bliska geometriji moderne fizike koja pokušava doći do enigme prirode gravitacije - kvantne opšte relativnosti. Da bismo potvrdili ovu, na prvi pogled neočekivanu, interakciju Fermatove posljednje teoreme i "Velike fizike", zamislimo da je sfera koja se kotrlja masivna i "pritišće" ravan ispod sebe. Tumačenje ovog "probijanja" na sl. 3 upadljivo podsjeća na dobro poznatu geometrijsku interpretaciju Ajnštajnove opšte teorije relativnosti, koja opisuje upravo "geometriju gravitacije".

A ako uzmemo u obzir i sadašnju diskretizaciju naše slike, oličenu diskretnom celobrojnom rešetkom na ravni, onda u potpunosti posmatramo „kvantnu gravitaciju“ sopstvenim očima!

Na ovoj glavnoj "ujedinjujućoj" fizičkoj i matematičkoj noti ćemo završiti naš "konjički" pokušaj da damo vizuelnu interpretaciju Wilesovog "superapstraktnog" dokaza.

Sada, možda, treba naglasiti da u svakom slučaju, bez obzira na točan dokaz Fermatove teoreme, on mora na ovaj ili onaj način nužno koristiti konstrukcije i logiku Wilesovog dokaza. Sve ovo jednostavno nije moguće zaobići zbog spomenutog "svojstva minimalnosti" Wilesovih matematičkih alata korištenih za dokaz. U našoj "geometrodinamičkoj" interpretaciji ovog dokaza, ovo "svojstvo minimalnosti" obezbjeđuje "minimalno neophodne uslove" za ispravnu (tj. "konvergirajuću") konstrukciju algoritma testiranja.

S jedne strane, ovo je veliko razočarenje za fermatiste amatere (osim ako, naravno, ne saznaju za to; kako kažu, „što manje znaš, bolje spavaš“). S druge strane, prirodna "nesvodljivost" Wilesovog dokaza formalno olakšava život profesionalnim matematičarima - oni možda neće čitati periodično pojavljivanje "elementarnih" dokaza matematičara amatera, pozivajući se na nedostatak korespondencije sa Wilesovim dokazom.

Opšti zaključak je da se i jedni i drugi moraju “napregnuti” i razumjeti ovaj “divljački” dokaz, shvaćajući, u suštini, “svu matematiku”.

Šta je još važno ne propustiti kada sumiramo ovu jedinstvenu priču kojoj smo svjedočili? Snaga Wilesovog dokaza je da to nije samo formalno logičko rasuđivanje, već je široka i moćna metoda. Ova kreacija nije poseban alat za dokazivanje jednog jedinog rezultata, već odličan skup dobro odabranih alata koji vam omogućava da "razdvojite" širok spektar problema. Takođe je od fundamentalne važnosti da kada pogledamo dole sa visine nebodera Wilesovog dokaza, vidimo svu prethodnu matematiku. Patos je u tome što to neće biti "patchwork", već panoramska vizija. Sve ovo govori ne samo o naučnom, već i o metodološkom kontinuitetu ovog zaista magičnog dokaza. Ostaje “samo ništa” – samo da ga shvatite i naučite kako ga primijeniti.

Pitam se šta danas radi naš savremeni heroj Wiles? Nema posebnih vijesti o Andrewu. On je, naravno, dobio razne nagrade i nagrade, uključujući i vrlo poznatu njemačku Wolfskel nagradu koja je oslabila tokom prvog građanskog rata. Za sve vreme koje je prošlo od trijumfa dokaza Fermatovog problema do danas, uspeo sam da primetim samo jedan, ali kao i uvek veliki, članak u istim Analima (u koautorstvu sa Skinerom). Možda se Andrew ponovo krije u iščekivanju novog matematičkog otkrića, na primjer, takozvane "abc" hipoteze - nedavno formulirane (od strane Massera i Osterlea 1986.) i koja se danas smatra najvažnijim problemom u teoriji brojeva (ovo je " problem veka" po rečima Serža Lenga).

Mnogo više informacija o Wilesovom koautoru na završnom dijelu dokaza, Richardu Tayloru. Bio je jedan od četiri autora dokaza potpune Taniyama-Shmura-Weyl pretpostavke i bio je ozbiljan kandidat za Fieldsovu medalju na Kineskom matematičkom kongresu 2002. godine. Međutim, on ga nije dobio (u to vreme su ga dobila samo dva matematičara - ruski matematičar sa Prinstona Vladimir Voevodski "za teoriju motiva" i Francuz Laurent Laforgue "za važan deo Lenglandsovog programa"). Tejlor je u to vreme objavio značajan broj izuzetnih radova. A tek nedavno, Richard je postigao novi veliki uspjeh - dokazao je vrlo poznatu hipotezu - Tate-Saito pretpostavku, također vezanu za aritmetičku algebarsku geometriju i uopštavanje rezultata njemačkog jezika. Matematičar iz 19. veka G. Frobenius i ruski matematičar iz 20. veka N. Čebotarjev.

Hajde da konačno malo maštamo. Možda će doći vrijeme kada će kursevi matematike na univerzitetima, pa čak i u školama, biti prilagođeni metodama Wilesovog dokaza. To znači da će Fermatova posljednja teorema postati ne samo model matematičkog problema, već i metodološki model za nastavu matematike. Na njegovom primjeru bit će moguće proučavati, zapravo, sve glavne grane matematike. Štaviše, buduća fizika, a možda čak i biologija i ekonomija, zasnivaće se na ovom matematičkom aparatu. Ali šta ako?

Čini se da su prvi koraci u tom pravcu već napravljeni. O tome svjedoči, na primjer, činjenica da je američki matematičar Serge Leng u treće izdanje svog klasičnog priručnika o algebri uključio glavne konstrukcije Wilesovog dokaza. Rus Jurij Manin i Aleksej Pančiškin idu još dalje u pomenutom novom izdanju svoje „Moderne teorije brojeva“, detaljno izlažući sam dokaz u kontekstu savremene matematike.

A sada kako ne uzviknuti: Fermatova velika teorema je "mrtva" - živjela Wilesova metoda!

Matematičar sa Univerziteta Princeton, šef njegovog odeljenja za matematiku, član naučnog veća.

Vrhunac njegove karijere bio je dokaz Fermatove posljednje teoreme 1994. godine. Za ovaj dokaz 2016. godine dobio je Abelovu nagradu.

Fermatova posljednja teorema

Wilesov rad je fundamentalan, ali metoda je primjenjiva samo na eliptičke krive nad racionalnim brojevima. Možda postoji opštiji dokaz da su eliptičke krive modularne.

Refleksija u kulturi

Wilesov rad na Fermatovoj posljednjoj teoremi predstavljen je u mjuziklu Fermatov veliki tango Lesnera i Rosenblooma.

Wiles i njegov rad spominju se u epizodi "Facets" u "Zvjezdanim stazama: Deep Space Nine".

Nagrade

Andrew Wiles je dobitnik mnogih međunarodnih nagrada iz matematike, uključujući:

• Wolfskel nagrada (1996.)
• Nagrada za matematiku Nacionalne akademije nauka SAD (1996.)
• Nagrada Ostrovsky (1996.)
• Vukova nagrada za matematiku (1996.)
• Srebrna ploča Međunarodne matematičke unije ()
• Međunarodna nagrada kralja Faisala (1998.)
• (1999)
• Vitez zapovednik Reda Britanske imperije (2000.)

vidi takođe

Napišite recenziju o Wiles, Andrew John

Bilješke

Logika i filozofija Matematika Muzika vizualna umjetnost Rafael Moneo (1993.) · Claes Oldenburg (1995.) · Torsten Andersson (1997.) · Herzog i de Meuron (1999.) · Giuseppe Penone (2001.) · Susan Rothenberg (2003.) · SANAA / Kazuyo Seijima + Ryuyo Nishizawa (2005.) · Mona Hatoum (2008) · i/ili eksterne reference, ali izvori pojedinačnih tvrdnji ostaju nejasni zbog nedostatka fusnota. Izjave koje nisu, mogu se ispitati i ukloniti. Možete poboljšati članak dodavanjem preciznijih referenci na izvore.

Odlomak koji karakteriše Wilesa, Andrewa Johna

- Oni su! Dragi očevi!.. Bogami, jesu. Četiri, na konju!.. - vikala je.
Gerasim i domar su pustili Makara Alekseiča, a u tihom hodniku su jasno čuli kucanje nekoliko ruku na ulazna vrata.

Pjer, koji je sam sa sobom odlučio da prije ispunjenja svoje namjere ne treba da otkriva ni svoj čin ni znanje francuskog jezika, stajao je na poluotvorenim vratima hodnika, s namjerom da se odmah sakrije čim Francuzi uđu. . Ali Francuzi su ušli, a Pjer i dalje nije napustio vrata: neodoljiva radoznalost ga je sputala.
Bilo ih je dvoje. Jedan je oficir, visok, hrabar i zgodan muškarac, drugi je očigledno vojnik ili batman, zdepast, mršav, preplanuli čovjek upalih obraza i tupog izraza lica. Policajac je, oslonjen na štap i šepajući, išao naprijed. Napravivši nekoliko koraka, oficir, kao da sam sobom odlučuje da je ovaj stan dobar, stao je, okrenuo se prema vojnicima koji su stajali na vratima i glasnim zapovjedničkim glasom viknuo im da uvedu konje. Završivši ovaj posao, oficir galantnim pokretom, visoko podižući lakat, ispravi brkove i rukom dotakne šešir.
Bonjour la compagnie! [Poštovanje cijeloj kompaniji!] – rekao je veselo, smiješeći se i gledajući okolo. Niko se nije javio.
– Vous etes le bourgeois? [Jeste li vi šef?] – okrenuo se oficir Gerasimu.
Gerasim upitno pogleda oficira uplašeno.
"Kvartire, kvartire, logement", reče oficir, gledajući dole u malog čoveka sa snishodljivim i dobrodušnim osmehom. – Les Francais sont de bons enfants. Que diable! Voyons! Ne nous fachons pas, mon vieux, [Apartmani, apartmani… Francuzi su dobri momci. Prokletstvo, da se ne svađamo, deda.] - dodao je, potapšavši uplašenog i ćutljivog Gerasima po ramenu.
– A ca! Dites donc, on ne parle donc pas francais dans cette boutique? [Pa, zar i ovde niko ne govori francuski?] dodao je, osvrćući se okolo i susrevši se sa Pjerovim očima. Pjer se udalji od vrata.
Policajac se ponovo okrenuo Gerasimu. Tražio je da mu Gerasim pokaže sobe u kući.
"Ne gospodaru - ne razumijem... moje tvoje..." reče Gerasim, pokušavajući da svoje riječi razjasni izgovarajući ih unazad.
Francuski oficir je, smešeći se, raširio ruke ispred Gerasimovog nosa, dajući osećaj da ni on njega ne razume, i šepajući priđe vratima na kojima je stajao Pjer. Pjer je htio da se odmakne kako bi se sakrio od njega, ali je u tom trenutku ugledao Makara Alekseiča kako se sa pištoljem u rukama naginjao kroz kuhinjska vrata koja su se otvarala. Sa lukavštinom, Makar Aleksejevič je pogledao Francuza i, podigavši ​​pištolj, nanišanio.
- Ukrcaj se!!! - vikao je pijanac, pritiskajući obarač pištolja. Francuski oficir se okrenuo na krik, a u istom trenutku Pjer je jurnuo na pijanca. Dok je Pjer zgrabio i podigao pištolj, Makar Alekseič je konačno prstom pogodio okidač i odjeknuo je hitac koji je oglušio i zasuo sve dimom baruta. Francuz je problijedio i pojurio natrag prema vratima.
Zaboravivši na svoju nameru da ne otkrije svoje znanje francuskog jezika, Pjer je, zgrabivši pištolj i bacivši ga, pritrčao oficiru i razgovarao s njim na francuskom.
- Vous n "etes pas blesse? [Jeste li povređeni?] - rekao je.
„Je crois que non“, odgovorio je policajac, osjećajući sebe, „mais je l „ai manque belle cette fois ci“, dodao je, pokazujući na okrhnutu žbuku u zidu. „Quel est cet homme? [Izgleda da nije. .. ali ovo jednom je bilo blizu. Ko je ovaj čovek?] - gledajući strogo u Pjera, reče policajac.
- Ah, je suis vraiment au desespoir de ce qui vient d "arriver, [Ah, stvarno sam očajan zbog onoga što se dogodilo,] - brzo je rekao Pierre, potpuno zaboravljajući svoju ulogu. - C" est un fou, un malheureux qui ne savait pas ce qu "il faisait. [Ovo je nesretni ludak koji nije znao šta radi.]
Oficir je prišao Makaru Aleksejeviču i uhvatio ga za kragnu.
Makar Alekseič, razdvojenih usana, kao da je zaspao, zaljuljao se, naslonjen na zid.
"Brigand, tu me la payeras", reče Francuz povlačeći ruku.
– Nous autres nous sommes clements apres la victoire: mais nous ne pardonnons pas aux traitres, [Razbojniče, platit ćeš mi za ovo. Naš brat je milostiv nakon pobjede, ali ne opraštamo izdajnicima,] dodao je s tmurnom svečanošću u licu i prekrasnim energičnim gestom.
Pjer je nastavio da ubeđuje policajca na francuskom da ne traži od ovog pijanog, ludog čoveka. Francuz je slušao ćutke, ne menjajući mrko pogled, i odjednom se sa osmehom okrenuo Pjeru. Gledao ga je nemo nekoliko sekundi. Njegovo zgodno lice poprimi tragično nežan izraz i on ispruži ruku.
- Vous m "avez sauve la vie! Vous etes Francais, [Spasio si mi život. Ti si Francuz,]", rekao je. Za Francuza je ovaj zaključak bio nepobitan. Samo je Francuz mogao učiniti veliko djelo, i spasiti svoj život, m r Ramball "I capitaine du 13 me leger [Monsieur Rambal, kapetan 13. lakog puka] je, bez sumnje, bilo najveće djelo.
Ali koliko god da je ovaj zaključak bio nesumnjiv i na njemu zasnovano oficirsko uvjerenje, Pjer je smatrao potrebnim da ga razočara.
„Je suis Russe, [ja sam Rus]“, brzo je rekao Pjer.
- Ti ti ti, a d "autres, [pričaj to drugima] - rekao je Francuz, mašući prstom ispred nosa i osmehujući se. - Tout a l "heure vous allez me conter tout ca", rekao je. – Charme de rencontrer un compatiriote. Eh bien! qu "allons nous faire de cet homme? [Sada ćeš mi sve ovo ispričati. Veoma je lepo upoznati sunarodnika. Pa! šta da radimo sa ovim čovekom?] - dodao je, obraćajući se Pjeru, već kao bratu. Samo da Pjer nije Francuz, nakon što je jednom dobio ovu najvišu titulu na svijetu, ne bi je se mogao odreći, govorio je izraz lica i ton francuskog oficira. Na posljednje pitanje Pjer je još jednom objasnio ko je Makar Alekseich , objasnio je da je ovaj pijani, neuračunljiv čovjek neposredno prije njihovog dolaska odvukao napunjen pištolj, koji nisu stigli da mu oduzmu, i zatražio da njegovo djelo ostane bez kazne.

Šef njegovog odsjeka za matematiku, član naučnog vijeća (). Diplomirao je 1999. na Merton koledžu, Oksfordski univerzitet. Svoju naučnu karijeru započeo je u ljeto pod vodstvom profesora Johna Coatesa na Clare College, Cambridge University, gdje je i doktorirao. Tokom perioda od do Wiles je bio na pozicijama vanrednog saradnika na Clare Collegeu i vanrednog profesora na Univerzitetu Harvard. Zajedno sa John Coatesom radio je na aritmetici eliptičke krive sa kompleksnim množenjem koristeći metode Iwasawa teorije. Godine Wiles se preselio iz Velike Britanije u SAD.

Jedan od vrhunaca njegove karijere bila je najava dokaza Fermatove posljednje teoreme 1993. i otkriće elegantne metode za završetak dokaza 1994. godine. Profesionalni rad na Fermatovoj posljednjoj teoremi započeo je u ljeto 1986. nakon što je Ken Ribet dokazao pretpostavku o povezanosti polustabilnih eliptičkih krivulja (poseban slučaj Taniyama-Shimura teoreme) i Fermatove teoreme.

Istorija dokaza

Andrew Wiles se upoznao sa Fermatovom posljednjom teoremom u dobi od deset godina. Zatim je pokušao da to dokaže koristeći metode iz školskog udžbenika. Kasnije je počeo da proučava rad matematičara koji su pokušali da dokažu ovu teoremu. Nakon upisa na koledž, Andrew je odustao od pokušaja da dokaže Fermatovu posljednju teoremu i počeo je proučavati eliptičke krive pod John Coatesom.

U 50-im i 60-im godinama, sugestiju da postoji veza između eliptičkih krivulja i modularnih oblika iznio je japanski matematičar Shimura, koji se temeljio na idejama koje je iznio drugi japanski matematičar Taniyama. U zapadnim naučnim krugovima ova hipoteza je bila poznata zahvaljujući radu Andréa Weila, koji je, kao rezultat njene detaljne analize, pronašao mnogo fundamentalnih dokaza u njenu korist. Zbog toga se teorema često naziva Shimura-Taniyama-Weil teorema. Teorema kaže da je svaka eliptična kriva nad poljem racionalnih brojeva modularna. Teoremu su u potpunosti dokazali 1998. Christoph Broglie, Brian Conrad, Fred Diamond i Richard Taylor, koji su koristili metode koje je objavio Andrew Wiles 1995. godine.

Veza između Fermatovih i Taniyama-Shimurovih teorema

Neka je p prost broj i a, b i c prirodni brojevi takvi da je a p +b p =c p . Tada odgovarajuća jednačina y 2 = x(x - a p)(x + b p) definira hipotetičku eliptičku krivu, nazvanu Freyeva kriva, koja postoji ako postoji kontraprimjer Fermatovoj posljednjoj teoremi. Gerhard Frey, baziran na Helleguarkovom radu, istakao je da bi takva kriva, da postoji, imala izuzetno neobična svojstva, te sugerirao da možda nije modularna.

Vezu između Taniyama-Shimura i Fermatovih teorema uspostavio je Ken Ribet, koji je gradio na radu Barryja Mazura i Jean-Pierrea Serra. Ribet je dokazao da Freyeva kriva nije modularna. To je značilo da dokaz polustabilnog slučaja Taniyama-Shimura teoreme potvrđuje istinitost Fermatove posljednje teoreme. Nakon što je saznao za dokaz Kena Ribeta iz 1986. godine, Wiles je odlučio da svoju punu pažnju posveti dokazivanju Taniyama-Shimura pretpostavke. Dok su mnogi matematičari bili krajnje skeptični u pogledu mogućnosti pronalaženja ovog dokaza, Andrew Wiles je vjerovao da se pretpostavka može dokazati korištenjem metoda dvadesetog stoljeća.

Na samom početku svog rada na pretpostavci Taniyama-Shimura, Wiles je svojim kolegama usputno spomenuo Fermatovu posljednju teoremu, što je izazvalo povećan interes s njihove strane. Ali Wiles se želio fokusirati što je više moguće na problem, a previše pažnje moglo je samo stati na put. Kako bi spriječio da se to dogodi, Wiles je odlučio zadržati u tajnosti pravu suštinu svog istraživanja, povjeravajući svoju tajnu samo Nicholasu Katzu. U to vrijeme, Wiles, iako je nastavio predavati na Univerzitetu Princeton, nije se bavio nijednim istraživanjem koje nije povezano s hipotezom Taniyama-Shimura.

Refleksija u kulturi

Wilesov rad na Fermatovoj posljednjoj teoremi predstavljen je u mjuziklu Fermatov veliki tango Lesnera i Rosenblooma.

Wiles i njegov rad spominju se u epizodi "Facets" u "Zvjezdanim stazama: Deep Space Nine".

Nagrade

Andrew Wiles je dobitnik mnogih međunarodnih nagrada iz matematike, uključujući:

• Šok nagrada (1995.)
• Cole nagrada (1996.)
• Nagrada Nacionalne akademije nauka za matematiku koju dodjeljuje Američko matematičko društvo (1996.)
• Nagrada Ostrovsky (1996.)
• Kraljevska medalja (1996.)
• Wolfskel nagrada (1997.)
• Srebrna ploča Međunarodne matematičke unije (1998.)
• Nagrada kralja Faisala (1998.)
• Nagrada Clay Mathematical Institute (1999.)
• Knighting of the British Empire (2000)
• Izložbena nagrada (2005.)

vidi takođe

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta je "Wiles, Andrew" u drugim rječnicima:

Andrew John Wiles Sir Andrew John Wiles ... Wikipedia

Sir Andrew John Wiles Sir Andrew John Wiles (eng. Sir Andrew John Wiles, titula sera od 2000. godine, nakon proglašenja viteza; rođen 11. aprila 1953., Cambridge, UK) engleski i američki matematičar, profesor matematike na Princetonu... . .. Wikipedia

Sir Andrew John Wiles Sir Andrew John Wiles (eng. Sir Andrew John Wiles, titula sera od 2000. godine, nakon proglašenja viteza; rođen 11. aprila 1953., Cambridge, UK) engleski i američki matematičar, profesor matematike na Princetonu... . .. Wikipedia

Sir Andrew John Wiles Sir Andrew John Wiles (eng. Sir Andrew John Wiles, titula sera od 2000. godine, nakon proglašenja viteza; rođen 11. aprila 1953., Cambridge, UK) engleski i američki matematičar, profesor matematike na Princetonu... . .. Wikipedia

Sir Andrew John Wiles Sir Andrew John Wiles (eng. Sir Andrew John Wiles, titula sera od 2000. godine, nakon proglašenja viteza; rođen 11. aprila 1953., Cambridge, UK) engleski i američki matematičar, profesor matematike na Princetonu... . .. Wikipedia

Sir Andrew John Wiles Sir Andrew John Wiles (eng. Sir Andrew John Wiles, titula sera od 2000. godine, nakon proglašenja viteza; rođen 11. aprila 1953., Cambridge, UK) engleski i američki matematičar, profesor matematike na Princetonu... . .. Wikipedia