Gorlach B.A., Shigaeva N.V. Fourier sorozat alkalmazása egy nagykereskedelmi vállalkozás kínálatának előrejelzésére és optimalizálására a saját és bérelt gépjárművek kezelése szempontjából

1

A Fourier-sorok közelítésének lehetősége lineáris jel esetén a nem folytonos periodikus elemek esetén szükséges függvények felépítéséhez. Ennek a módszernek a lehetőségei ezek megalkotására és felbontására a Fourier-sor véges összegeinek felhasználásával, amelyeket különféle tudományok számos problémájának megoldására használnak, mint például a fizika, a szeizmológia stb. Az óceán árapály-folyamatait, a naptevékenységet az oszcillációs folyamatok, az ezen átalakulások által leírt funkciók expanziója útján tekintjük. A számítástechnika fejlődésével a Fourier-sorokat egyre összetettebb feladatokra kezdték alkalmazni, és ennek köszönhetően is lehetővé vált ezen átalakítások felhasználása a közvetett tudományokban, mint például az orvostudomány, a kémia. A Fourier-transzformációt valós és komplex formában is leírják, a második eloszlás lehetővé tette az áttörést az űrkutatásban. Ennek a munkának az eredménye a Fourier-sorok alkalmazása egy nem folytonos függvény linearizálására és a sorozat együtthatóinak számának kiválasztása a sorozatnak a függvényre való pontosabb rákényszerítése érdekében. Sőt, ha a bővítést Fourier-sorban használjuk, ez a függvény megszűnik nem folytonos, és már kellően kicsinél a használt függvény jó közelítését hajtja végre.

Fourier sorozat

Fourier transzformáció

fázisspektrum.

1. Alašeeva E.A., Rogova N.V. Numerikus módszer az elektrodinamikai feladat megoldására a vékonyhuzalos közelítésben. Tudomány és béke. International Scientific Journal, No. 8(12), 2014. Volgograd 1. kötet. pp.17-19.

2. Vorobjov N.N. Sorelmélet. Szerk. Nauka, Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, M., 1979, -408 p.

3. Kalinina V.N., Pankin V.F. Matematikai statisztika. - M.: Felsőiskola, 2001.

4. R. Edwards Fourier sorozat modern előadásmódban. Szerk. Világ. 2 kötetben. 1. kötet, 1985. 362 oldal

5. Sigorsky V.P. Mérnök matematikai apparátusa. Szerk. 2. sztereotip. "Technika", 1997. – 768 p.

Egy adott periódusú, tetszőlegesen felvett függvény sorozatként való ábrázolását Fourier-sornak nevezzük. Az ortogonális bázis kiterjesztése egy általános kifejezés erre a megoldásra. A függvények bővítése a Fourier-sorokban meglehetősen hatékony eszköz különféle problémák megoldására. Mert ennek a transzformációnak a tulajdonságai jól ismertek és tanulmányozhatók az integrálás, differenciálás, valamint a kifejezés argumentumhoz és konvolúcióhoz viszonyított eltolásakor. Az a személy, aki nem ismeri a magasabb matematikát, valamint a francia Fourier tudós munkáit, valószínűleg nem fogja megérteni, mik ezek a „sorozatok”, és mire valók. Ez a Fourier-transzformáció életünk nagyon sűrű részévé vált. Nemcsak matematikusok használják, hanem fizikusok, vegyészek, orvosok, csillagászok, szeizmológusok, oceanográfusok és még sokan mások.

A Fourier-sorokat számos alkalmazott probléma megoldására használják. A Fourier-transzformáció végrehajtható analitikai, numerikus és egyéb módszerekkel. Az olyan folyamatok, mint az óceán árapálya és a naptevékenységi ciklusok előtti fényhullámok, a Fourier-sorozatban szereplő oszcillációs folyamatok numerikus kiterjesztésének módjára utalnak. Ezekkel a matematikai technikákkal lehetőség nyílik olyan függvények elemzésére, amelyek bármilyen oszcillációs folyamatot szinuszos komponensek sorozataként ábrázolnak, amelyek a minimumtól a maximumig haladnak, és fordítva. A Fourier-transzformáció egy olyan függvény, amely leírja az adott frekvenciának megfelelő szinuszok fázisát és amplitúdóját. Ezt az átalakítást nagyon összetett egyenletek megoldására használják, amelyek hő-, fény- vagy elektromos energia hatására fellépő dinamikus folyamatokat írnak le. Ezenkívül a Fourier-sorok lehetővé teszik az állandó komponensek elkülönítését komplex oszcillációs jelekben, ami lehetővé tette a kapott kísérleti megfigyelések helyes értelmezését az orvostudományban, a kémiában és a csillagászatban.

A technológia növekedésével, i.e. a számítógép megjelenése és fejlődése új szintre emelte a Fourier-transzformációt. Ez a technika a tudomány és a technológia szinte minden területén szilárdan beépült. Ilyen például a digitális audio- és videojel. Ami a tudományos folyamat növekedésének és a Fourier-sorok alkalmazásának vizuális megvalósítása lett. Így a Fourier-sor összetett formában lehetővé tette az áttörést a világűr tanulmányozásában. Ezen kívül hatással volt a félvezető anyagok és a plazma fizikájának, a mikrohullámú akusztikának, az oceanográfiának, a radarnak, a szeizmológiának a tanulmányozására.

Tekintsük egy periodikus jel fázisspektrumát, amelyet a következő kifejezés határozza meg:

ahol a és a szimbólumok az érték képzeletbeli és valós részét jelölik szögletes zárójelben.

Ha megszorozzuk egy K valós állandó értékkel, akkor a Fourier-sor kiterjesztése a következő formában jelenik meg:

Az (1) kifejezésből az következik, hogy a fázis Fourier-spektrum a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) egy függvény, azaz a teljesítményspektrumtól eltérően, amely nem függ -től, , változik, amikor a jelet eltoljuk az időtengely mentén;

2) nem függ K-tól, azaz invariáns a jel erősítésére vagy csillapítására, míg a teljesítményspektrum K függvénye.

3) azaz n páratlan függvénye.

Jegyzet. A fenti okfejtés geometriai értelmezése alapján a teljesítményspektrum és a fázisspektrum a következőképpen fejezhető ki:

Mert a

majd a (2)-ból és (3)-ból az következik, hogy az amplitúdó (vagy teljesítményspektrum) és fázisspektrumok ismerete esetén egyedileg visszanyerhető.

Vegyünk egy példát. Kapunk egy funkciót közte

A Fourier-sorozat általános képe:

Cserélje ki értékeinket és kapja meg:

Cseréld be az értékeidet és szerezd meg.

FOURIER SOROZAT ALKALMAZÁSA NAGYKERESKEDELMI VÁLLALKOZÁS ELŐREJELZÉSÉRE ÉS KIÁLLÍTÁSÁNAK OPTIMALIZÁLÁSÁRA A SAJÁT ÉS BÉRELT SZÁLLÍTÁS KEZELÉSE SZEMPONTJÁBAN

Gorlach Borisz Alekszejevics 1, Shigaeva Natalia Valerievna 2
1 Samara Állami Repülési Egyetem, amelyet S.P. akadémikusról neveztek el. Koroleva (NRU), a műszaki tudományok doktora, professzor
2 Szamarai Állami Repülési Egyetem, amelyet S.P. akadémikusról neveztek el. királynő (NRU)

annotáció
A dolgozat egy véletlenszerű folyamat (egy vállalat statisztikai adataihoz) modellezési mechanizmusát vizsgálja a harmonikus elemzés apparátusával. Megoldásra került az alapanyag-ellátás mennyiségének ésszerű elosztása a saját és bérelt gépjárművek között a termékek tárolási költségeinek csökkentése érdekében.

A FOURIER SOROZAT ALKALMAZÁSA SZÁLLÍTÁSI KÖLTSÉGEK ELŐREJELZÉSÉRE ÉS OPTIMALIZÁLÁSÁRA

Gorlach Borisz Alekszejevics 1, Shigaeva Nathalie Valerievna 2
1 Samara State Aerospace University, a műszaki tudományok doktora, professzor
2 Samara Állami Repülési Egyetem

Absztrakt
Egy véletlenszerű folyamat szimulációs mechanizmusát vizsgáljuk (a vállalati adatoknál). A harmonikus elemzést széles körben alkalmazzák a vállalati költségek modellezésében. Megoldásra került az alapanyag-szállítások ésszerű elosztásának problémája a saját és a bérelt szállítás között.

Bibliográfiai link a cikkhez:
Gorlach B.A., Shigaeva N.V. A Fourier-sorok alkalmazása egy nagykereskedelmi vállalkozás kínálatának előrejelzésére és optimalizálására a saját és bérelt szállítások lebonyolítása szempontjából // Innovatív technológiák gazdaságtana és menedzsmentje. 2014. 7. szám [Elektronikus forrás]...2019.02.).

Bevezetés. A vállalkozásnak az áruraktári rendszer létrehozásának költségei megkövetelik a készletek ésszerű elosztását. Az ellátásmenedzsment problémájának megoldása a vállalkozás nyersanyagigényének megváltozásával jár. A racionális elosztási modell kialakítása érdekében a vállalat nyersanyagigényre vonatkozó statisztikai adatainak feldolgozása történt meg.

A cikk a következő részekből áll: véletlenszerű folyamat modelljének felépítése, kínálat optimalizálás egyszerűsített modell és valós adatok példáján.

Első rész. Véletlenszerű folyamat matematikai modelljének felépítése.

A visszamenőleges időszakban az erőforrás raktári tárolására vonatkozó statisztikák a következők (1. táblázat). Feltételezzük, hogy az Y i =Y(t i) statisztikai adatok halmaza idősor formájában van megadva.

1. táblázat – Erőforrásigény-statisztika

A gazdasági folyamatok idősorainak matematikai modelljeit általában 4 komponensből álló halmazként mutatják be: szezonális S, ciklikus C, véletlenszerű ξ és U trend. Ezek a komponensek a statisztikai adatok additív modelljét alkotják.

Az U komponenst - a trendet - úgy választjuk ki, hogy az ne mondjon ellent a vizsgált függvény változásának fő trendjének, és ne nehezítse elemzését. Ebben a cikkben a trend kiválasztása Excel függvényekkel, valamint manuálisan a "normál egyenletek" módszerével történik.

A legmegfelelőbb trend kiválasztásának eljárása után a funkció normalizálása történik, amely lehetővé teszi az oszcillációs komponens szimulációját. Ebben a tanulmányban az oszcilláló komponenst egy trigonometrikus Fourier-soros modell segítségével választjuk ki:

.

A Fourier-sor együtthatóit a következőképpen határozzuk meg :

Miután 6 iterációt kerestünk Excel eszközökkel, a vibrációs komponens alábbi funkciója derült ki :

S(t) = -0,215sinπt/6 – 0,077cos πt/6 +0,003 sin 5pt/6+0,054cos 5pt/6+0,056cos pt

Az erőforrás raktári ellátásának és tárolásának dinamikáját, valamint az erőforrás térfogatának funkcionális függőségét normalizálás után az 1. ábra mutatja.

1. ábra - Oszcillációs komponens valós adatokhoz

Számítsuk ki a kapott függvényre a determinációs együtthatót.

Az eredményül kapott függvény determinációs együtthatója 0,75. Ezért a trend 75 százalékkal írja le a statisztikai adatokat, és 0,25 annak a valószínűsége, hogy a kapott függvény nem felel meg a valós statisztikai értékeknek.

Második rész. Szállítási folyamat optimalizálása

Az alapanyag-ellátás arányának összeállításakor több olyan tényezőt is figyelembe kell venni, amelyek befolyásolják az ellátás gazdasági hatékonyságának mutatóját:

A szállítások időszerűsége és gyakorisága


Ellátási költség


Az alapanyagok megengedett eltarthatósági ideje


A vállalkozás biztosítása raktárhelyiséggel


Egyéb tényezők.

Tekintsük a kínálatoptimalizálási folyamatot egy egyszerűsített diagramon. Válasszunk ki egy harmonikust a normalizált trendből (a harmonikus sorozat egy tagja), és szorítkozzunk egy periódus figyelembevételére. A következő egyszerűsített ellátási funkciót kapjuk:

Ebben a cikkben három szállítási lehetőséget vizsgálunk meg.

1. A kiszállításokat csak saját szállítással biztosítjuk y=1 szinten, ami az s(t)=0 értéknek felel meg.

Az első félévi forrásfelhalmozás és a második félévi fogyasztás folyamatát a függvény integráljának képlete határozza meg a vizsgált területen.

A felhalmozott forrásokat a következő fél évben teljes egészében elköltjük. A probléma az, hogy a raktárban lévő tárhely mennyisége túl nagy időbeli eltéréseket mutat, ezért optimalizálni kell.

2. A saját fuvarozás az erőforrás-ráfordítás minimális intenzitásának megfelelő ellátást biztosít. Ez a lehetőség akkor megfelelő egy cégnek, ha a cég kevesebb tőkével rendelkezik és egyéb okok miatt nem engedheti meg magának a minimális erőforrásigénynél többet a szállítást, ez így néz ki. A vállalkozás kevesebb erőforrást kap az s(t) és a minimális ellátási szintet jellemző egyenes közötti integrál területével megegyező összegben.

Tegyük fel, hogy a vállalat úgy dönt, hogy az első félévben a maximális erőforrásigény szintjén bérel egy járművet, majd a megtakarítást az év második felében teljes egészében elkölti.

3. Saját szállítás biztosítja a szinten a kiszállításokat -h. A forráshiányt a közlekedési eszközök bérbeadása kompenzálja.

Kiszámoljuk a kínálat szintjét h a felhalmozási és fogyasztási területek egyenlőségének feltételétől:

A kapott értékkel h a forráshiány bérlet nélkül így néz ki:

A kapott eredményeket összegezve készült egy általános felhalmozási/kiadási grafikon, amely megmutatja, hogy az optimális terv miben tér el a minimális tárolási erőforrás mennyiségben (2. ábra).

2. ábra - Raktári erőforrások minimalizálása

A grafikon alapján a bérelt járművek bevonása a raktári tárolás optimalizálása során akár 10-szeresére is csökkentheti a raktár fajlagos tárolási térfogatát, mivel a felhalmozási függvény értékeinek amplitúdója 10 egységről 10 egységre csökkent. 1.

3. rész: Ellátási lánc optimalizálása valós adatok felhasználásával

Az ellátás optimalizálás megvalósítása az oszcillációs komponens periódusának kiválasztásával (példánkban t i ϵ 11..23) és az s(t) függvény Ox tengellyel való metszéspontjainak keresésével kezdődik.

A 3. ábra szemlélteti egy erőforrás átvételének és felhasználásának dinamikájának változatát egy olyan vállalkozásnál, ahol nincs szállítási lízing.

3. ábra - Felhalmozás/ráfordítás valós adatokra bérlet nélkül

Az oszcilláló komponens funkciója így néz ki:

S(t) = -0,215 sin πt/6-0,077 cos πt/6 2pt/3+0,003 sin 5pt/6+0,054 cos 5pt/6+0,056 cos pt

Akkumulációs funkció:

Q = ∫S = (1/π) (0,215 *6* cos (πt/6)-0,077*6*sin (πt/6) +0,085*3*cos πt/3 – 0,013*3*sin πt/3 – 0,0013*2*cos πt/2+(0,023*2*sin πt/2+0,0349*6/4 cos 2πt/3+(0,0552*6/4)sin 2πt/3 – (0,0032*6/5) cos 5πt/6 + (0,0538*6/5)sin 5πt/6 + (0,0559*sin π t)

Határozzuk meg a készlet és fogyasztás maximális területeit az ellátási függvényhez, feltéve, hogy az s(t) ellátási intenzitás nulla.

2. táblázat - A készletterületek és az erőforrás-felhasználás meghatározása

Így Q max =0,9078 a raktárban tárolt erőforrások maximális lehetséges mennyisége. Az első félévben felhalmozott forrásokat a másodikban teljesen elköltik, mert A trigonometrikus függvények szimmetria tulajdonsággal rendelkeznek.

A bérelt járművek bevonásával történő optimalizálás hatékony módja az erőforrások raktárban való tárolásának költségeinek csökkentésének. A vállalkozás saját szállítmányozással történő szállításának mértékét az érték adja meg Y(t)=1 óra, vagy S(t)=-h a felhalmozási és fogyasztási területek egyenlőségének feltételétől fél évre (4. ábra).

4. ábra - A kiszállítások szintjének meghatározása bérelt szállítással

Ebben az esetben szükség lesz olyan mennyiségű erőforrásra, amelyet egy magasságú téglalap területe határoz meg hés az alap, amely a teljes mérlegelési intervallumot alkotja, egyenlő (a szimmetriatulajdonságokból) a ciklikus komponens integráljának területével a saját szállítással történő szállítások szintje felett. A vállalkozás a szóban forgó intervallum egy részére szállítást bérel. A bérelt járművek szállításának mértéke a 4. ábrán látható forráshiányos területek (2) és a bérleti díj mértékének (1) egyenlőségéből kerül meghatározásra.

Szintek keresése h iteratív módon hajtják végre. Bérelt járművek bevonása esetén a raktárban a készlettárolás maximális szintje megegyezik:

Felső szint h* a 4. ábrán jelzett kielégítetlen erőforrásigényű területek (1) és kínálati mennyiség (2) egyenlőségi feltételéből kapjuk meg. A bérleti szintet a h*=0,144 érték határozza meg.

Az optimalizálás után az áramlás és a tartalék területét találtuk:

A tartalékok összterülete 0,9-ről 0,5-re csökkent:

Qmax2 = 0,2016+ 0,3137=0,515

Így a szállítási folyamat bérelt járművekkel történő optimalizálása a tárolási költségek 44%-os csökkenését eredményezte, ami az optimalizálási feladat sikeres elvégzését jelzi.

Eredmények és következtetések. A költségfüggvény modellezése során a készletek racionális elosztására a cég saját szállítmánya és a bérelt Fourier-sorok között javasolt algoritmus a normalizált trendgráf jellemzőire épül, figyelembe veszi a tárhely korlátait, az eltarthatóságot. nyersanyagok mennyiségét, és akár 50%-ra csökkenti a tárolási költségeket (az erőforrások raktári tárolási szintjét) a figyelembe vett ellátási függvény adatoknál. Így a bérelt járművek bevonása hatékony módja a raktári és raktározási költségek csökkentésének a raktárterület magas bérbeadása és fenntartása mellett.

Bibliográfiai lista

1. Saveliev G.L. A vállalati erőforrások optimalizálásának feladata a kereslet ciklikus változásai mellett. - Samara: SSAU, 2010. - 30 oldal.
2. Chuikova Yu.S. Anyagáramlás optimalizálás a vállalati készletgazdálkodás problémájában / Tudományos cikkgyűjtemény "Szervezeti és gazdasági rendszerek irányítása". - Samara: SSAU, 2009. - p. 25-30.
3. Rardin R.L. Optimalizálás az operatív kutatásban. Prentice Hall, 1998.

Bejegyzés megtekintések: Kérlek várj

A Fourier-sorozat így íródik:

, ahol k a harmonikus szám.

Ennek a sorozatnak a Fourier-együtthatóit a következő képletek határozzák meg:

A periodikus jeleket egy Fourier-sor képviseli a következő formában:

, hol az alapfrekvencia;

Itt az együtthatók kiszámítása a következő képletekkel történik:

A Fourier-sorozat másik formáját gyakran használják:

, Ahol:

– amplitúdó k th harmonikus; - kezdeti fázis

A számítások megkönnyítése érdekében a Fourier-sort összetett formában írják:

Grafikus idő és frekvencia kijelzés

Periodikus jel spektruma

ideiglenes kép

(f)

ASF frekvencia kép

Hasonló az FChS-hez, csak akkor, ha a fázisok negatívak lehetnek.

Az ilyen spektrumot diszkrétnek vagy vonalnak nevezik, ez egy periodikus jelre jellemző.

Téglalap alakú impulzussorozat spektruma

Tekintsük az impulzusok szimmetrikus elrendezését

, hol van a munkaciklus.

Keresse meg a szinusz nulla pontjait:

Az első nullpont a legfontosabb négyszöghullám-spektrum.

Téglalap alakú impulzusok sorozatának ASF:

ω 1 ω 2 2π/t u 4π/t u

Az energia nagy részét a 0-tól az első nullapontig elhelyezkedő harmonikusok hordozzák (az energia kb. 90%-át). Ezt a frekvenciatartományt, ahol a jelenergia 90%-a koncentrálódik, a jel spektrumának (frekvenciájának) nevezzük.

Téglalap alakú impulzus esetén a spektrum szélessége .

Minden digitális jelátvitel több spektrumot igényel, mint az egyszerű analóg átvitel.

Téglalap alakú impulzusok sorozatának FFS:

ha nap(x)>0 akkor Ψ k =0

ha bűn(x)<0, то Ψ k = π

Az impulzus időtartamának és periódusának hatása a spektrum formájára

Ha az időtartam csökken, akkor az alapfrekvencia nem változik, a nulla pontok jobbra mozognak. Több komponens esik az első nulla pontba, ahol a fő energia koncentrálódik. Technikailag vegye figyelembe, hogy a spektrum bővül.

Ha az impulzus időtartama nő, akkor a spektrum szűkül.

Ha az ismétlési periódus nő, akkor az alapfrekvencia csökken. Ha az ismétlési periódus csökken, akkor az alapfrekvencia nő.

Az impulzus vagy az origó helyzetének megváltoztatása

Ez nem befolyásolja az ASF-et, csak a fázisspektrum változik. Ez tükrözhető a késleltetési tétel alapján:

Az eltolt jel fázisspektruma at N=4:

A periodikus jelű áramkörök számításának fogalma

Számítási módszer:

1. Meghatározzuk egy periodikus jel komplex spektrumát;

2. A spektrumot kiértékeljük, a legjelentősebb harmonikusokat meghagyjuk (első kritérium: levágjuk mindazokat, amelyek a maximális harmonikus amplitúdó 0,1-nél kisebbek);

Az egyes alkatrészek áramait és feszültségeit külön számítják ki. Használhat összetett számítási módszert.

I 0 =0

A nem-harmonikus függvény az effektív értékkel becsülhető meg, pl. effektív érték az időszakra:

A nem periodikus jel spektrumának fogalma

A nem periodikus jelek a legfontosabbak, mivel információt hordoznak. Az időszakos jelek információtovábbítási szolgálatot tesznek, és új információ nem kerül átvitelre. Ezért felmerül a nem periodikus jelek spektrumának kérdése. Megpróbálhatja megszerezni őket a periodikus jelek határátmenetével, a periódus végtelenbe irányításával (). Már csak egy jel maradt. Határozzuk meg egyetlen jel spektrumának komplex amplitúdóját: -nál.

,

A nem periódusos jel felbontható végtelenül kicsi amplitúdójú, frekvenciájukban végtelenül kicsiny értékekkel különbözõ harmonikus komponensek végtelen összegére - Ezt egy nem periodikus jel folytonos spektrumának nevezzük, nem pedig diszkrétnek. A számításokhoz a nem komplex amplitúdók fogalmát használjuk, és az amplitúdók komplex spektrális sűrűsége az egységnyi frekvenciára eső amplitúdó nagysága.

Ez a közvetlen Fourier transzformáció (kétoldalas).

A 10. fejezet ismerteti a Fourier-sor alkalmazását egy húr rugalmas rezgésének vizsgálatára. Ebben a fejezetben megvizsgáljuk a gerendák rugalmas hajlításának néhány kérdését.

A Fourier-sorok alkalmazása rugalmas testek statikai problémáinak megoldására a következő séma szerint történik.

Mindenekelőtt fizikai megfontolások alapján olyan összefüggést vezetünk le, amely a deformált test geometriai állapotát leíró függvényt összekapcsolja a testre ható terhelésekkel. Ez az arány általánosságban magában az állapotfüggvényen kívül tartalmazza annak származékait, valamint néhány integráljellemzőt is.

Ezután a test geometriai körvonalai és a mozgását korlátozó kinematikai feltételek alapján kiválasztunk egy ortogonális függvényrendszert, amely szerint a megadott állapotfüggvény Fourier-sorrá bővül.

Ennek a Fourier-sornak a származtatott relációba való behelyettesítése a két Fourier-sor azonos egyenlőségéhez vezet, amelyből a 9. fejezet 14. szakaszának 2. Tételével át lehet térni az azonos függvények együtthatóinak egyenlőségére. Ezekből az utolsó egyenlőségekből ki lehet számítani a Fourier-együtthatók értékeit, és így leírni a deformált test állapotát.

A Fourier-sornak a hajlítást jellemző relációba való behelyettesítésének ezt a folyamatát kellő körültekintéssel kell végrehajtani, mert ennek során többször is tagonként kell megkülönböztetni a Fourier-sorokat, amelyek együtthatóit csak utólag számítjuk ki. Győződjön meg ennek a megkülönböztetésnek a jogosságáról, azaz (lásd az 5. fejezet 10. §-át) az összeállított sorozatok egységes konvergenciájáról

egy differenciálható sorozat származékos tagjaiból, eleve elég nehéz. Ezért az egyes konkrét problémák megoldása során hozzávetőlegesen a következőképpen érvelünk.

Először is feltételezzük, hogy az eddig ismeretlen együtthatókkal írt Fourier-sorok (az 5. fejezet 10. §-ának tétele értelmében) tagonként a szükséges számú alkalommal differenciálhatók. A deriváltok kiírásával és a kapott egyenletek megoldásával megtaláljuk a számunkra érdekes Fourier-együtthatókat. Ez azt jelenti, hogy ha a Fourier-sor alkalmas a tagok közötti differenciálásra (sőt, ahányszor szükséges), akkor egészen határozott, amit a közelben találtunk. Ha most a kapott együtthatók figyelembevételéből látható, hogy ez a megszerkesztett, jól definiált sorozat valóban tagonként differenciálható, akkor ezen a sorozaton minden ténylegesen végrehajtott művelet jogos volt, és a talált Fourier-együtthatók a kívántakat. Ha kiderül, hogy nem differenciálható sorozatot kapunk, akkor ez azt jelenti, hogy a vele korábban végrehajtott műveletek matematikailag hibásak voltak, és az ezek alapján kapott eredmény ésszerűtlen, bár valószínűleg helyes. A következőkben mindkét típusú eredményre tekintünk példákat.

A jelspektrum megszerzésének (számításának) feladata sok esetben a következő. Létezik egy ADC, amely Fd mintavételi frekvenciával a T idő alatt a bemenetére érkező folyamatos jelet N darab digitális leolvasásra alakítja. Ezután a leolvasási tömb egy bizonyos programba kerül, amely N/2-t ad ki néhány számértékből (a programozó, aki internetről húzvaírt egy programot, azt állítja, hogy az elvégzi a Fourier-transzformációt).

Annak ellenőrzésére, hogy a program megfelelően működik-e, összeállítunk egy leolvasási tömböt két sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) szinusz összegeként, és becsúsztatjuk a program. A program a következőket rajzolta:

1. ábra A jel időfüggvényének grafikonja

2. ábra A jelspektrum grafikonja

A spektrumgrafikonon két pálca (harmonikus) található, 0,5 V és 10 Hz amplitúdójú - 1 V amplitúdójú, mindezt úgy, mint az eredeti jel képletében. Minden rendben, ügyes programozó! A program megfelelően működik.

Ez azt jelenti, hogy ha két szinuszos keverékből valós jelet viszünk az ADC bemenetére, akkor hasonló, két harmonikusból álló spektrumot kapunk.

Összesen, a miénk igazi mért jel, időtartam 5 mp, az ADC digitalizálta, azaz képviseli diszkrét számít, van diszkrét nem periodikus hatótávolság.

Matematikai szempontból - hány hiba van ebben a mondatban?Most az illetékesek úgy döntöttek, hogy úgy döntöttünk, hogy az 5 másodperc túl hosszú, mérjük meg a jelet 0,5 másodpercben.
3. ábra: sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) függvény grafikonja 0,5 másodperces mérési időszakra

4. ábra Funkcióspektrum

Valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus rendesen megrajzolódik, de az 5 Hz-es pálca helyett több érthetetlen harmonikus is megjelent. Az interneten nézzük, mit és hogyan...

Azt mondják, hogy nullákat kell hozzáadni a minta végéhez, és a spektrum normális lesz.

5. ábra Kész nullák 5 másodpercig

6. ábra Megkaptuk a spektrumot

Még mindig nem az, ami 5 másodpercnél volt. Az elmélettel kell foglalkozni. Menjünk-hoz Wikipédia- tudásforrás.

2. Folyamatos függvény és ábrázolása Fourier-sorral

Matematikailag a T másodperc időtartamú jelünk egy bizonyos f(x) függvény, amely a (0, T) intervallumon adott (X ebben az esetben az idő). Egy ilyen függvény mindig ábrázolható a következő alakú harmonikus függvények (szinusz vagy koszinusz) összegeként:

(1), ahol:

k - trigonometrikus függvényszám (harmonikus komponens száma, harmonikus szám) T - szegmens, ahol a függvény definiálva van (jel időtartama) Ak - a k-adik harmonikus komponens amplitúdója, θk - a k-a harmonikus komponens kezdeti fázisa

Mit jelent "egy függvényt sorozat összegeként ábrázolni"? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sor harmonikus összetevőinek értékeit minden ponton összeadva megkapjuk a függvényünk értékét ezen a ponton.

(Szigorúbban elmondható, hogy a sorozat szórása az f(x) függvénytől nullára hajlamos lesz, de a standard konvergencia ellenére a függvény Fourier-sorának általában nem kell pontszerűen konvergálnia hozzá. Lásd https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

Ezt a sorozatot így is írhatjuk:

(2), ahol , k-edik komplex amplitúdó.

Az (1) és (3) együtthatók közötti kapcsolatot a következő képletekkel fejezzük ki:

Megjegyzendő, hogy a Fourier-sor mindhárom ábrázolása teljesen egyenértékű. Néha, amikor Fourier-sorokkal dolgozunk, kényelmesebb az imaginárius argumentum kitevőit használni a szinuszok és koszinuszok helyett, vagyis a Fourier-transzformációt komplex formában használni. De célszerű az (1) képletet használni, ahol a Fourier-sort koszinuszhullámok összegeként ábrázoljuk a megfelelő amplitúdókkal és fázisokkal. Mindenesetre helytelen azt állítani, hogy a valós jel Fourier-transzformációjának eredménye a harmonikusok komplex amplitúdója lesz. Ahogy a wiki helyesen mondja: "A Fourier-transzformáció (ℱ) egy olyan művelet, amely egy valós változó egyik függvényét képezi le egy másik, szintén valós változó függvényére."

Teljes: A jelek spektrális elemzésének matematikai alapja a Fourier-transzformáció.

A Fourier-transzformáció lehetővé teszi, hogy a (0, T) szakaszon definiált folytonos f(x) (jel) függvényt bizonyos amplitúdójú trigonometrikus függvények (szinusz és/vagy koszinusz) végtelen számú (végtelen sorozatának) összegeként ábrázoljunk. és fázisok, a (0, T) szakaszon is figyelembe véve. Az ilyen sorozatot Fourier-sorozatnak nevezik.

Megjegyezzük még néhány pontot, amelyek megértése szükséges a Fourier-transzformáció helyes alkalmazásához a jelanalízishez. Ha figyelembe vesszük a Fourier-sort (a szinuszok összegét) a teljes X-tengelyen, akkor láthatjuk, hogy a (0, T) szakaszon kívül a Fourier-sor által reprezentált függvény periodikusan megismétli függvényünket.

Például a 7. ábra grafikonján az eredeti függvény a szegmensen van definiálva (-T \ 2, + T \ 2), a Fourier-sor pedig a teljes x tengelyen meghatározott periodikus függvényt reprezentál.

Ennek az az oka, hogy maguk a szinuszosok periodikus függvények, és összegük periodikus függvény lesz.

7. ábra Egy nem periodikus eredeti függvény ábrázolása Fourier-sorral

És így:

A kezdeti függvényünk folytonos, nem periodikus, egy bizonyos T hosszúságú szegmensre definiálva. Ennek a függvénynek a spektruma diszkrét, vagyis harmonikus komponensek végtelen sorozataként – a Fourier-sorként – jelenítjük meg. Valójában egy bizonyos periodikus függvényt a Fourier-sor határoz meg, amely egybeesik a miénkkel a (0, T) szakaszon, de ez a periodicitás számunkra nem lényeges.

A harmonikus komponensek periódusai annak a (0, T) szakasznak a többszörösei, amelyen az eredeti f(x) függvény definiálva van. Más szavakkal, a harmonikus periódusok a jelmérés időtartamának többszörösei. Például a Fourier-sor első harmonikusának periódusa megegyezik azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) függvény definiálva van. A Fourier-sor második harmonikusának periódusa megegyezik a T/2 intervallummal. És így tovább (lásd 8. ábra).

8. ábra A Fourier-sor harmonikus komponenseinek periódusai (frekvenciái) (itt T=2π)

Ennek megfelelően a harmonikus komponensek frekvenciái 1/T többszörösei. Azaz az Fk harmonikus komponensek frekvenciája egyenlő Fk= k\T-vel, ahol k 0-tól ∞-ig terjed, például k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nulla frekvencián - állandó komponens).

Legyen eredeti függvényünk egy T=1 mp-ig rögzített jel. Ekkor az első harmonikus periódusa egyenlő lesz a jelünk időtartamával T1=T=1 sec, a harmonikus frekvenciája pedig 1 Hz. A második harmonikus periódusa egyenlő lesz a jel időtartamának osztva 2-vel (T2=T/2=0,5 mp), a frekvencia pedig 2 Hz. A harmadik harmonikusnál T3=T/3 sec és a frekvencia 3 Hz. Stb.

A harmonikusok közötti lépés ebben az esetben 1 Hz.

Így egy 1 mp időtartamú jel harmonikus komponensekre bontható (spektrum előállításához), 1 Hz frekvenciafelbontással. A felbontás 2-szeres 0,5 Hz-re növeléséhez a mérés időtartamát 2-szeresére kell növelni - legfeljebb 2 másodpercig. Egy 10 másodperces jelet harmonikus komponensekre lehet bontani (spektrum előállításához), 0,1 Hz frekvenciafelbontással. Nincs más mód a frekvenciafelbontás növelésére.

Van mód a jel időtartamának mesterséges növelésére úgy, hogy nullákat adunk a minták tömbjéhez. De nem növeli a valós frekvenciafelbontást.

3. Diszkrét jelek és diszkrét Fourier transzformáció

A digitális technika fejlődésével a mérési adatok (jelek) tárolásának módjai is megváltoztak. Ha korábban a jelet magnóra lehetett rögzíteni és szalagon analóg formában tárolni, akkor most a jelek digitalizálása és a számítógép memóriájában lévő fájlokban, számok (számlálások) formájában tárolódik.

A jel mérésének és digitalizálásának szokásos sémája a következő.

9. ábra A mérőcsatorna vázlata

A mérőátalakító jele T időtartam alatt érkezik meg az ADC-hez. A T idő alatt kapott jelminták (minta) átvitelre kerülnek a számítógépre és a memóriában tárolódnak.

10. ábra Digitalizált jel - N leolvasás érkezett T időben

Milyen követelmények vonatkoznak a jeldigitalizálási paraméterekre? A bemeneti analóg jelet diszkrét kóddá (digitális jellé) alakító eszközt analóg-digitális átalakítónak (ADC, angol Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki) nevezzük.

Az ADC egyik fő paramétere a maximális mintavételezési frekvencia (vagy mintavételezési frekvencia, angolul sample rate) - a mintavételezés során időben folyamatos jelből történő mintavétel gyakorisága. Hertzben mérve. ((Wiki))

A Kotelnyikov-tétel szerint, ha egy folytonos jelnek az Fmax frekvencia által korlátozott spektruma van, akkor az időközönként vett diszkrét mintáiból teljesen és egyedileg visszaállítható. , azaz frekvenciával Fd ≥ 2*Fmax, ahol Fd - mintavételi frekvencia; Fmax - a jel spektrumának maximális frekvenciája. Más szavakkal, a jel mintavételezési gyakoriságának (ADC mintavételezési frekvenciának) legalább kétszerese a mérni kívánt jel maximális frekvenciájának.

És mi történik, ha a Kotelnyikov-tétel által megköveteltnél alacsonyabb frekvenciával mérünk?

Ilyenkor az "aliasing" (más néven stroboszkópos effektus, moaré effektus) hatása lép fel, mely során a digitalizálás után a nagyfrekvenciás jelből egy valójában nem létező alacsony frekvenciájú jel alakul át. ábrán. 11 magas frekvenciájú vörös szinuszhullám az igazi jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék szinuszhullám egy áljel, amely abból adódik, hogy egy nagyfrekvenciás jel több mint fél periódusának van ideje a mintavételezési idő alatt.

Rizs. 11. Hamis alacsony frekvenciájú jel megjelenése, ha a mintavételezési frekvencia nem elég magas

Az aliasing hatásának elkerülése érdekében az ADC - LPF (low-pass filter) elé egy speciális élsimító szűrőt helyeznek el, amely az ADC mintavételi frekvenciájának fele alatti frekvenciákat engedi át, és levágja a magasabb frekvenciákat.

Egy jel spektrumának kiszámításához a diszkrét mintákból a diszkrét Fourier transzformációt (DFT) használjuk. Még egyszer megjegyezzük, hogy a diszkrét jel spektrumát "definíció szerint" az Fmax frekvencia korlátozza, amely kevesebb, mint az Fd mintavételi frekvencia fele. Ezért egy diszkrét jel spektruma véges számú harmonikus összegével ábrázolható, ellentétben a folytonos jel Fourier-sorának végtelen összegével, amelynek spektruma korlátlan lehet. A Kotelnyikov-tétel szerint a maximális harmonikus frekvenciának olyannak kell lennie, hogy legalább két mintát vegyen figyelembe, tehát a harmonikusok száma megegyezik a diszkrét jel mintáinak felével. Vagyis ha N minta van a mintában, akkor a spektrum harmonikusainak száma N/2 lesz.

Tekintsük most a diszkrét Fourier transzformációt (DFT).

Összehasonlítás a Fourier sorozattal

azt látjuk, hogy egybeesnek, kivéve, hogy a DFT-ben az idő diszkrét, és a harmonikusok száma N/2-re korlátozódik - a minták számának felére.

A DFT képleteket dimenzió nélküli k, s egész változókba írjuk, ahol k a jelminták száma, s a spektrális komponensek száma. Az s értéke a harmonikus teljes rezgésének számát mutatja a T periódusban (a jelmérés időtartama). A diszkrét Fourier-transzformációt a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak numerikus megkeresésére használjuk, pl. "a számítógépen"

Visszatérve az elején elért eredményekhez. Ahogy fentebb említettük, ha egy nem periódusos függvényt (jelünket) Fourier-sorba terjesztjük ki, a kapott Fourier-sor valójában egy T periódusú periodikus függvénynek felel meg (12. ábra).

12. ábra f(x) periódusos függvény Т0 periódussal, Т>T0 mérési periódussal

Ahogy a 12. ábrán látható, az f(x) függvény periodikus Т0 periódussal. Mivel azonban a T mérési minta időtartama nem esik egybe a T0 függvény periódusával, a Fourier-sorként kapott függvény a T pontban szakadást mutat. nagyszámú nagyfrekvenciás harmonikust tartalmaznak. Ha a T mérési minta időtartama egybeesne a T0 függvény periódusával, akkor a Fourier-transzformáció után kapott spektrumban csak az első harmonikus (a minta időtartamával megegyező periódusú szinusz) lenne jelen, mivel az f függvény (x) egy szinuszos.

Vagyis a DFT program "nem tudja", hogy a jelünk egy "szinuszhullám darabja", hanem egy periodikus függvényt próbál sorozatként ábrázolni, amiben az egyes darabok inkonzisztenciája miatt rés van. a szinuszhullám.

Ennek eredményeként harmonikusok jelennek meg a spektrumban, amelyek összességében a függvény formáját kell, hogy képviseljék, beleértve ezt a megszakadást is.

Így a jel "helyes" spektrumának megszerzéséhez, amely több, különböző periódusú szinusz összege, szükséges, hogy minden szinuszos periódusok egész száma illeszkedjen a jel mérési periódusára. A gyakorlatban ez a feltétel a jelmérés kellően hosszú időtartamára teljesíthető.

13. ábra Példa a sebességváltó kinematikai hibája jelének funkciójára és spektrumára

Rövidebb időtartammal a kép "rosszabbul" fog kinézni:

14. ábra Példa a forgórész vibrációs jelének funkciójára és spektrumára

A gyakorlatban nehéz lehet megérteni, hol vannak a „valódi komponensek” és hol vannak a „műtermékek”, amelyeket a komponensek periódusainak nem sokfélesége és a jelminta időtartama vagy a jelminta „ugrásai és törései” okoznak. a hullámforma. Természetesen a „valódi komponensek” és a „termékek” szavakat nem hiába idézzük. A sok harmonikus jelenléte a spektrumgráfon nem jelenti azt, hogy a jelünk valójában ezekből „áll”. Ez olyan, mintha azt gondolnánk, hogy a 7-es szám a 3-as és a 4-es számokból áll. A 7-es szám ábrázolható a 3-as és a 4-es számok összegeként – ez így van.

Így a mi jelünk is... vagy inkább nem is „a mi jelünk”, hanem a jelünk megismétlésével összeállított periodikus függvény (mintavételezés) bizonyos amplitúdójú és fázisú harmonikusok (szinuszoidok) összegeként ábrázolható. De sok esetben, ami a gyakorlat szempontjából fontos (lásd a fenti ábrákat), valóban lehetséges a spektrumban kapott harmonikusokat olyan valós folyamatokhoz kapcsolni, amelyek ciklikus jellegűek, és jelentősen hozzájárulnak a jel alakjához.

Néhány eredmény

1. Az ADC által digitalizált, azaz diszkrét minták halmazával (N darab) ábrázolt valós mért, T sec időtartamú jel diszkrét nem periodikus spektrummal rendelkezik, amelyet felharmonikusok halmaza képvisel (N/2 darab). ).

2. A jelet valós értékek halmaza, spektrumát pedig valós értékek halmaza képviseli. A harmonikus frekvenciák pozitívak. Az, hogy a matematikusok számára kényelmesebb a spektrumot komplex formában negatív frekvenciák segítségével ábrázolni, nem jelenti azt, hogy „ez helyes” és „mindig így kell csinálni”.

3. A T időintervallumban mért jelet csak a T időintervallum határozza meg. Hogy mi történt a jel mérésének megkezdése előtt, és mi lesz ezután - ezt a tudomány nem ismeri. És a mi esetünkben - ez nem érdekes. Az időkorlátos jel DFT-je adja meg "valódi" spektrumát, abban az értelemben, hogy bizonyos feltételek mellett lehetővé teszi összetevői amplitúdójának és frekvenciájának kiszámítását.

Használt anyagok és egyéb hasznos anyagok.

A FourierScope egy program rádiójelek létrehozására és spektrális elemzésére. A Graph egy nyílt forráskódú program matematikai grafikonok készítésére. DISZKRÉT FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ – HOGYAN KÉSZÜLT Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT)