Segmento lanko plotas. apskritimo geometrija

Matematinė vietovės vertė buvo žinoma nuo senovės Graikijos. Dar tais tolimais laikais graikai išsiaiškino, kad plotas yra ištisinė paviršiaus dalis, kurią iš visų pusių riboja uždaras kontūras. Tai skaitinė reikšmė, matuojama kvadratiniais vienetais. Plotas yra skaitinė ir plokščių geometrinių figūrų (planimetrinė), ir erdvėje esančių kūnų paviršių (tūrinė) charakteristika.

Šiuo metu jis randamas ne tik pagal mokyklos programą geometrijos ir matematikos pamokose, bet ir astronomijoje, kasdieniame gyvenime, statybose, dizaino kūrime, gamyboje ir daugelyje kitų žmonių. Labai dažnai segmentų plotus skaičiuojame asmeniniame sklype projektuodami kraštovaizdžio zoną arba taisydami itin modernų kambario dizainą. Todėl žinios apie skirtingų plotų apskaičiavimo metodus bus naudingos visada ir visur.

Norint apskaičiuoti apskritimo ir rutulio segmento plotą, būtina suprasti geometrinius terminus, kurių reikės skaičiavimo procese.

Visų pirma, apskritimo atkarpa – tai plokščios apskritimo figūros fragmentas, esantis tarp apskritimo lanko ir jį nupjaunančios stygos. Šios sąvokos nereikėtų painioti su sektoriaus skaičiumi. Tai visiškai skirtingi dalykai.

Akordas yra linijos atkarpa, jungianti du apskritimo taškus.

Centrinis kampas susidaro tarp dviejų segmentų – spindulių. Jis matuojamas laipsniais pagal lanką, ant kurio jis remiasi.

Rutulio atkarpa susidaro, kai dalis nupjaunama kokia nors plokštuma.Šiuo atveju sferinės atkarpos pagrindas yra apskritimas, o aukštis – statmuo, išeinantis iš apskritimo centro į sankirtą su paviršiumi. sferos. Šis susikirtimo taškas vadinamas rutulio atkarpos viršūne.

Norint nustatyti rutulio segmento plotą, reikia žinoti ribinį apskritimą ir rutulio segmento aukštį. Šių dviejų komponentų sandauga bus rutulio atkarpos plotas: S=2πRh, kur h – atkarpos aukštis, 2πR – apskritimas, o R – didžiojo apskritimo spindulys.

Norėdami apskaičiuoti apskritimo atkarpos plotą, galite naudoti šias formules:

1. Norint lengviausiu būdu rasti atkarpos plotą, reikia apskaičiuoti skirtumą tarp sektoriaus, kuriame atkarpa įrašyta ir kurio pagrindas yra atkarpos styga, ploto: S1=S2 -S3, kur S1 yra atkarpos plotas, S2 yra sektoriaus plotas, o S3 yra trikampio plotas.

Apskrito atkarpos plotui apskaičiuoti galite naudoti apytikslę formulę: S=2/3*(a*h), kur a yra trikampio pagrindas arba h yra atkarpos aukštis, kuris yra rezultatas. skirtumo tarp apskritimo spindulio ir

2. Atkarpos, išskyrus puslankį, plotas apskaičiuojamas taip: S = (π R2:360)*α ± S3, kur π R2 yra apskritimo plotas, α yra centrinio kampo, kuriame yra apskritimo atkarpos lankas, laipsnio matas, S3 yra trikampio, susidariusio tarp dviejų apskritimo spindulių, plotas ir styga, kuriai priklauso kampas centriniame apskritimo taške ir dvi viršūnės spindulių sąlyčio su apskritimu taškuose.

Jei kampas α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 laipsnių, pritaikytas pliuso ženklas.

3. Galite apskaičiuoti atkarpos plotą kitais metodais naudodami trigonometriją. Kaip taisyklė, kaip pagrindas imamas trikampis. Jei centrinis kampas matuojamas laipsniais, priimtina ši formulė: S \u003d R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, kur R2 yra apskritimo spindulio kvadratas, α yra centrinio kampo laipsnio matas.

4. Norėdami apskaičiuoti atkarpos plotą naudodami trigonometrines funkcijas, galite naudoti kitą formulę, jei centrinis kampas matuojamas radianais: S \u003d R2 * (α - sin α) / 2, kur R2 yra apskritimo spindulio kvadratas, α yra laipsnio matavimo centrinis kampas.

Iš pradžių tai atrodo taip:

463.1 pav. a) esamą lanką, b) atkarpos stygos ilgio ir aukščio nustatymą.

Taigi, kai yra lankas, galime sujungti jo galus ir gauti L ilgio stygą. Akordo viduryje galime nubrėžti stygai statmeną liniją ir taip gauti atkarpos H aukštį. stygos ilgį ir atkarpos aukštį, pirmiausia galime nustatyti centrinį kampą α, t.y. kampas tarp spindulių, nubrėžtų nuo atkarpos pradžios ir pabaigos (neparodyta 463.1 pav.), o tada apskritimo spindulys.

Tokios problemos sprendimas buvo pakankamai išsamiai aptartas straipsnyje „Arkos sąramos skaičiavimas“, todėl čia pateiksiu tik pagrindines formules:

tg( a/4) = 2H/L (278.1.2)

a/4 = arctan( 2H/L)

R = H/(1 - cos( a/2)) (278.1.3)

Kaip matote, matematikos požiūriu nėra jokių problemų nustatant apskritimo spindulį. Šis metodas leidžia nustatyti lanko spindulio vertę bet kokiu galimu tikslumu. Tai yra pagrindinis šio metodo privalumas.

Dabar pakalbėkime apie trūkumus.

Šio metodo problema net ne ta, kad reikia atsiminti formules iš mokyklos geometrijos kurso, sėkmingai pamirštas prieš daugelį metų - norint prisiminti formules - yra internetas. O štai skaičiuotuvas su funkcija arctg, arcsin ir pan. Ne kiekvienas vartotojas jį turi. Ir nors internetas taip pat sėkmingai išsprendžia šią problemą, nereikėtų pamiršti, kad sprendžiame gana taikomą problemą. Tie. toli gražu ne visada reikia nustatyti apskritimo spindulį 0,0001 mm tikslumu, 1 mm tikslumas gali būti gana priimtinas.

Be to, norėdami rasti apskritimo centrą, turite išplėsti atkarpos aukštį ir nustatyti atstumą, lygų šios tiesios linijos spinduliui. Kadangi praktikoje susiduriame su ne idealiais matavimo prietaisais, prie to reikėtų pridėti galimą ženklinimo klaidą, paaiškėja, kad kuo mažesnis segmento aukštis stygos ilgio atžvilgiu, tuo didesnė klaida nustatant. lanko centras.

Vėlgi, nereikėtų pamiršti, kad svarstome ne idealų atvejį, t.y. Taip kreivę iš karto pavadinome lanku. Tiesą sakant, tai gali būti kreivė, aprašyta gana sudėtingu matematiniu ryšiu. Todėl tokiu būdu rastas apskritimo spindulys ir centras gali nesutapti su tikruoju centru.

Šiuo atžvilgiu noriu pasiūlyti kitą apskritimo spindulio nustatymo metodą, kurį pats dažnai naudoju, nes šiuo metodu daug greičiau ir lengviau nustatyti apskritimo spindulį, nors tikslumas daug mažesnis.

Antrasis lanko spindulio nustatymo metodas (nuoseklaus aproksimavimo metodas)

Taigi tęskime dabartinę situaciją.

Kadangi vis tiek turime rasti apskritimo centrą, pirmiausia iš taškų, atitinkančių lanko pradžią ir pabaigą, nubrėžiame bent du savavališko spindulio lankus. Per šių lankų sankirtą eis tiesi linija, ant kurios yra norimo apskritimo centras.

Dabar reikia sujungti lankų sankirtą su stygos viduriu. Tačiau jei iš nurodytų taškų brėžiame ne vieną lanką, o du, tai ši tiesi linija eis per šių lankų sankirtą ir tada stygos vidurio ieškoti visai nebūtina.

Jei atstumas nuo lankų sankirtos iki svarstomo lanko pradžios arba pabaigos yra didesnis nei atstumas nuo lankų sankirtos iki taško, atitinkančio atkarpos aukštį, tada nagrinėjamo lanko centras yra žemiau tiesi linija, nubrėžta per lankų ir stygos vidurio sankirtą. Jei mažiau, tada norimas lanko centras yra aukščiau tiesėje.

Remiantis tuo, ant tiesės imamas kitas taškas, tikriausiai atitinkantis lanko centrą, ir iš jo atliekami tie patys matavimai. Tada imamas kitas taškas ir matavimai kartojami. Su kiekvienu nauju tašku matavimų skirtumas bus vis mažesnis.

Tai iš tikrųjų viskas. Nepaisant tokio ilgo ir sudėtingo aprašymo, tokiu būdu nustatyti lanko spindulį 1 mm tikslumu užtrunka 1-2 minutes.

Teoriškai tai atrodo maždaug taip:

463.2 pav. Lanko centro nustatymas nuoseklių aproksimacijų metodu.

Bet praktikoje kažkas panašaus:

463.1 nuotrauka. Sudėtingos formos ruošinio žymėjimas skirtingais spinduliais.

Čia tik pridursiu, kad kartais tenka susirasti ir nupiešti kelis spindulius, nes nuotraukoje labai daug dalykų sumaišoma.

Apskritimas, jo dalys, jų dydžiai ir santykiai – tai dalykai, su kuriais juvelyras nuolat susiduria. Žiedai, apyrankės, kastos, vamzdeliai, rutuliukai, spiralės – daug apvalių dalykų reikia padaryti. Kaip visa tai apskaičiuoti, ypač jei pasisekė praleisti geometrijos pamokas mokykloje? ..

Pirmiausia pažiūrėkime, kokios apskritimo dalys yra ir kaip jos vadinamos.

• Apskritimas yra linija, kuri gaubia apskritimą.
• Lankas yra apskritimo dalis.
• Spindulys yra atkarpa, jungianti apskritimo centrą su apskritimo tašku.
• Akordas yra linijos atkarpa, jungianti du apskritimo taškus.
• Atkarpa yra apskritimo dalis, kurią riboja styga ir lankas.
• Sektorius yra apskritimo dalis, kurią riboja du spinduliai ir lankas.

Mus dominantys kiekiai ir jų pavadinimai:

Dabar pažiūrėkime, kokias užduotis, susijusias su apskritimo dalimis, reikia išspręsti.

• Raskite bet kurios žiedo dalies (apyrankės) išsivystymo ilgį. Atsižvelgdami į skersmenį ir stygą (parinktis: skersmuo ir centrinis kampas), raskite lanko ilgį.
• Plokštumoje yra brėžinys, jo dydį reikia sužinoti projekcijoje po lenkimo į lanką. Atsižvelgdami į lanko ilgį ir skersmenį, raskite stygos ilgį.
• Išsiaiškinkite detalės aukštį, gautą lenkiant plokščią ruošinį į lanką. Pradinių duomenų parinktys: lanko ilgis ir skersmuo, lanko ilgis ir styga; raskite segmento aukštį.

Gyvenimas pareikalaus kitų pavyzdžių, ir aš juos pateikiau tik norėdamas parodyti, kad reikia nustatyti bet kokius du parametrus, kad būtų galima rasti visus kitus. Tai mes ir padarysime. Būtent, paimame penkis segmento parametrus: D, L, X, φ ir H. Tada iš jų pasirinkę visas įmanomas poras, laikysime juos pradiniais duomenimis, o visus likusius rasime smegenų šturmu.

Kad neapkrautų skaitytojo veltui, detalių sprendimų nepateiksiu, o tik formulių pavidalu pateiksiu rezultatus (pakalbėsiu tuos atvejus, kai formalaus sprendimo pakeliui nėra).

Ir dar viena pastaba: apie matavimo vienetus. Visi dydžiai, išskyrus centrinį kampą, matuojami tais pačiais abstrakčiais vienetais. Tai reiškia, kad jei, pavyzdžiui, nurodysite vieną reikšmę milimetrais, tada kitos nereikia nurodyti centimetrais, o gautos vertės bus matuojamos tais pačiais milimetrais (o plotai kvadratiniais milimetrais) . Tą patį galima pasakyti apie colius, pėdas ir jūrmyles.

Ir tik centrinis kampas visais atvejais matuojamas laipsniais ir niekuo kitu. Nes, kaip rodo praktika, žmonės, kuriantys kažką apvalaus, nėra linkę matuoti kampų radianais. Frazė „pi kampas keturiais“ daugelį suklaidina, o „keturiasdešimt penkių laipsnių kampas“ yra suprantamas visiems, nes jis tik penkiais laipsniais viršija normą. Tačiau visose formulėse kaip tarpinė reikšmė bus dar vienas kampas – α. Kalbant apie prasmę, tai yra pusė centrinio kampo, matuojama radianais, tačiau galite drąsiai nesigilinti į šią reikšmę.

1. Duotas skersmuo D ir lanko ilgis L

; akordo ilgis ;
segmento aukštis ; centrinis kampas .

2. Pateikiamas skersmuo D ir stygos ilgis X

; arkos ilgis;
segmento aukštis ; centrinis kampas .

Kadangi styga padalija apskritimą į dvi atkarpas, ši problema turi ne vieną, o du sprendimus. Norėdami gauti antrąjį, turite pakeisti kampą α kampu aukščiau pateiktose formulėse.

3. Pateiktas skersmuo D ir centrinis kampas φ

; arkos ilgis;
akordo ilgis ; segmento aukštis .

4. Duotas skersmuo D ir atkarpos H aukštis

; arkos ilgis;
akordo ilgis ; centrinis kampas .

6. Duotas lanko ilgis L ir centrinis kampas φ

; skersmuo;
akordo ilgis ; segmento aukštis .

8. Duotas stygos ilgis X ir centrinis kampas φ

; arkos ilgis ;
skersmuo; segmento aukštis .

9. Duotas stygos ilgis X ir atkarpos H aukštis

; arkos ilgis ;
skersmuo; centrinis kampas .

10. Duotas centrinis kampas φ ir atkarpos H aukštis

; skersmuo ;
arkos ilgis; akordo ilgis .

Dėmesingas skaitytojas negalėjo nepastebėti, kad praleidau du variantus:

5. Duotas lanko ilgis L ir stygos ilgis X

7. Duotas lanko ilgis L ir atkarpos H aukštis

Tai tik tie du nemalonūs atvejai, kai problema neturi sprendimo, kurį būtų galima parašyti formulės forma. Ir užduotis nėra tokia reta. Pavyzdžiui, turite plokščią L ilgio gabalą ir norite jį sulenkti taip, kad jo ilgis būtų X (arba aukštis būtų H). Kokio skersmens paimti šerdį (skersinį)?

Ši užduotis sumažinama iki lygčių sprendimo:
; - 5 variante
; - 7 variante
ir nors jie nesprendžiami analitiškai, bet lengvai išsprendžiami programiškai. Ir net žinau, kur gauti tokią programą: šioje svetainėje pavadinimu . Viską, ką aš čia ilgai pasakoju, ji daro per mikrosekundes.

Norėdami užbaigti paveikslėlį, prie mūsų skaičiavimų rezultatų pridėkite apskritimą ir tris plotų reikšmes - apskritimą, sektorių ir atkarpą. (Plotai mums labai padės skaičiuojant bet kokių apvalių ir pusapvalių dalių masę, bet apie tai – atskirame straipsnyje.) Visi šie dydžiai apskaičiuojami naudojant tas pačias formules:

perimetras;
apskritimo plotas ;
sektoriaus srityje ;
segmento plotas ;

Ir pabaigai leiskite man dar kartą priminti apie absoliučiai nemokamos programos, kuri atlieka visus aukščiau išvardintus skaičiavimus, egzistavimą, išlaisvindama jus nuo būtinybės prisiminti, kas yra lanko liestinė ir kur jos ieškoti.

• 01.10.2018

  Remiantis NodeMcu v3 wi-fi moduliu su ESP8266 (ESP-12e) lustu, galite pagaminti (pavyzdžiui) termometrą ant 18B20 skaitmeninio jutiklio, informacija apie temperatūrą naudojant GET užklausą bus siunčiama į MySQL duomenų bazę. Šis eskizas leidžia siųsti GET užklausas į nurodytą puslapį, mano atveju tai yra test.php. #įtraukti #įtraukti …

• 22.09.2014

  Automatinis stacionarus reguliatorius, valdomas fotorezistoriumi R7, skirtas veikti atšiauriomis šalto ir vidutiniškai šalto klimato sąlygomis, esant aplinkos temperatūrai nuo -25 iki +45 °C, santykinei oro drėgmei iki 85% esant +20 °C ir atmosferos slėgiui 200 ... 900 mmHg Pritemdymas naudojamas reguliuoti asmens apšvietimą ...

• 25.09.2014

  Kad remonto metu nepažeistumėte laidų, būtina naudoti paslėptų laidų aptikimo įrenginį. Prietaisas aptinka ne tik paslėptų laidų vietą, bet ir paslėptų laidų pažeidimo vietą. Įrenginys yra garso dažnio stiprintuvas, pirmajame etape įvesties varžai padidinti naudojamas lauko tranzistorius. Antrame OS etape. Jutiklis yra...

• 03.10.2014

  Siūlomas įrenginys stabilizuoja įtampą iki 24V ir srovę iki 2A su apsauga nuo trumpojo jungimo. Nestabilios stabilizatoriaus paleidimo atveju turėtų būti naudojamas sinchronizavimas iš autonominio impulsų generatoriaus (1 pav.). 2. Stabilizatoriaus grandinė parodyta 1 pav. Ant VT1 VT2 sumontuotas Schmitt trigeris, kuris valdo galingą reguliavimo tranzistorių VT3. Išsami informacija: VT3 yra su šilumos šalintuvu ...

Apskritimo atkarpos apibrėžimas

Segmentas- Tai geometrinė figūra, kuri gaunama nupjaunant dalį apskritimo styga.

Internetinis skaičiuotuvas

Ši figūra yra tarp stygos ir apskritimo lanko.

Tai segmentas, esantis apskritimo viduje ir jungiantis du savavališkai pasirinktus taškus.

Nupjaunant dalį apskritimo styga, galima laikyti dvi figūras: tai mūsų atkarpa ir lygiašonis trikampis, kurio kraštinės yra apskritimo spinduliai.

Atkarpos plotą galima rasti kaip skirtumą tarp apskritimo ir šio lygiašonio trikampio sektoriaus plotų.

Segmento plotą galima rasti keliais būdais. Pakalbėkime apie juos išsamiau.

Apskritimo atkarpos ploto formulė pagal apskritimo lanko spindulį ir ilgį, trikampio aukštį ir pagrindą

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS =2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h ⋅a

R R R- apskritimo spindulys;
s s s- arkos ilgis;
h val h- lygiašonio trikampio aukštis;
a a a yra šio trikampio pagrindo ilgis.

Duotas apskritimas, jo spindulys skaičiais lygus 5 (žr.), aukštis, nubrėžtas iki trikampio pagrindo, lygus 2 (žr.), lanko ilgis 10 (žr.). Raskite apskritimo atkarpos plotą.

Sprendimas

R=5 R=5 R=5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s=1 0

Norėdami apskaičiuoti plotą, mums trūksta tik trikampio pagrindo. Raskime pagal formulę:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 - 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R−h)​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Dabar galite apskaičiuoti segmento plotą:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S =2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h ⋅a =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (žr. kv.)

Atsakymas: 17 cm kvadratas

Apskritimo atkarpos ploto formulė atsižvelgiant į apskritimo spindulį ir centrinį kampą

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S =2 R 2 ​ ⋅ (α − nuodėmė (α ) )

R R R- apskritimo spindulys;
α\alfa α yra centrinis kampas tarp dviejų spindulių, besiribojančių su styga, matuojamas radianais.

Raskite apskritimo atkarpos plotą, jei apskritimo spindulys yra 7 (cm), o centrinis kampas yra 30 laipsnių.

Sprendimas

R = 7 R = 7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Pirmiausia paverskime kampą laipsniais į radianus. Nes π\pi π radianas lygus 180 laipsnių, tada:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ radianas. Tada segmento plotas:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\apytiksliai 0,57S =2 R 2 ​ ⋅ (α − sin (α ) ) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − nuodėmė ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (žr. kv.)

Atsakymas: 0,57 cm kvadratas