Trinomska faktorizacija polinoma. Kako faktorizirati kvadratni trinom
To je eden najosnovnejših načinov za poenostavitev izraza. Za uporabo te metode se spomnimo distribucijskega zakona množenja glede na seštevanje (ne bojte se teh besed, ta zakon zagotovo poznate, morda ste le pozabili njegovo ime).
Zakon pravi: če želite pomnožiti vsoto dveh števil s tretjim številom, morate vsak člen pomnožiti s tem številom in rezultate sešteti, z drugimi besedami,.
Lahko naredite tudi obratno operacijo in prav ta obratna operacija nas zanima. Kot je razvidno iz vzorca, lahko skupni faktor a, vzamemo iz oklepaja.
Podobno operacijo je mogoče izvesti s spremenljivkami, kot sta in, na primer, in s številkami: .
Da, to je preveč elementaren primer, tako kot prejšnji primer z razširitvijo števila, saj vsi vedo, kaj so števila in s katerimi so deljiva, a kaj, ko imate bolj zapleten izraz:
Kako ugotoviti, na kaj je na primer razdeljeno število, ne, s kalkulatorjem lahko vsak, brez njega pa je slabo? In za to obstajajo znaki deljivosti, te znake je res vredno poznati, pomagali vam bodo hitro razumeti, ali je mogoče skupni faktor vzeti iz oklepaja.
Znaki deljivosti
Ni jih tako težko zapomniti, najverjetneje vam je bila večina že znana in nekaj bo novo uporabno odkritje, več podrobnosti v tabeli:
Opomba: Tabela nima znaka deljivosti s 4. Če sta zadnji dve števki deljivi s 4, potem je celotno število deljivo s 4.
No, kako vam je všeč znak? Svetujem vam, da si ga zapomnite!
No, vrnimo se k izrazu, morda ga vzamemo iz oklepaja in je dovolj? Ne, v navadi je, da matematiki poenostavljajo, torej do maksimuma, vzemi ven VSE, kar se vzame ven!
In tako, z igralcem je vse jasno, kaj pa numerični del izraza? Obe števili sta lihi, zato ne morete deliti s
Lahko uporabite znak deljivosti z, vsoto števk in, iz katerih je število sestavljeno, je enako in je deljivo s, kar pomeni, da je deljivo s.
Če veste to, lahko varno razdelite v stolpec, kot rezultat deljenja z dobimo (znaki deljivosti so nam prišli prav!). Tako lahko številko vzamemo iz oklepaja, tako kot y, in kot rezultat imamo:
Da se prepričate, ali je vse pravilno razstavljeno, lahko preverite razširitev z množenjem!
Prav tako je skupni faktor mogoče odstraniti iz potenčnih izrazov. Tukaj na primer vidite skupni faktor?
Vsi členi tega izraza imajo x - vzamemo ven, vse delimo z - ponovno vzamemo ven, pogledamo, kaj se je zgodilo: .
2. Formule za skrajšano množenje
Formule za skrajšano množenje smo v teoriji že omenili, če se komaj spomnite, kaj je to, potem si jih raje osvežite v spominu.
No, če se imate za zelo pametnega in ste preleni, da bi prebrali takšen oblak informacij, potem samo berite naprej, si oglejte formule in se takoj lotite primerov.
Bistvo te dekompozicije je, da v izrazu pred sabo opaziš neko določeno formulo, jo uporabiš in tako dobiš produkt nečesa in nečesa, to je vsa dekompozicija. Sledijo formule:
Zdaj poskusite faktorizirati naslednje izraze z uporabo zgornjih formul:
In to se je moralo zgoditi:
Kot ste opazili, so te formule zelo učinkovit način faktoringa, ni vedno primeren, je pa lahko zelo uporaben!
3. Metoda združevanja ali združevanja
Tukaj je še en primer za vas:
No, kaj boš naredil s tem? Zdi se, da je deljivo z in v nekaj, nekaj pa v in v
Ampak ne moreš vse skupaj razdeliti na eno stvar, no skupnega faktorja ni, kako ne iskati česa in pustiti brez faktoringa?
Tukaj morate pokazati iznajdljivost in ime te iznajdljivosti je združevanje!
Uporablja se samo takrat, ko vsi člani nimajo skupnih deliteljev. Za združevanje potrebujete poiščite skupine izrazov, ki imajo skupne delilnike in jih preuredite tako, da lahko iz vsake skupine dobite enak množitelj.
Seveda ni treba preurediti na mestih, vendar to daje vidnost, zaradi jasnosti lahko posamezne dele izraza vzamete v oklepajih, ni prepovedano, da jih postavite kolikor želite, glavna stvar je, da ne zamešati znake.
Vse to ni zelo jasno? Naj pojasnim s primerom:
V polinom - postavimo člen - za članom - dobimo
prva dva izraza združimo v ločen oklepaj in na enak način združimo tretji in četrti izraz, pri čemer pustimo znak minus izven oklepaja, dobimo:
In zdaj pogledamo ločeno vsakega od dveh "kupov", v katere smo razdelili izraz z oklepaji.
Trik je v tem, da ga razdelimo na takšne kupčke, iz katerih bo mogoče vzeti največji možni faktor, ali pa, kot v tem primeru, poskušamo člane združiti v skupine tako, da potem, ko iz kupčkov vzamemo faktorje iz oklepajev, imajo enake izraze v oklepajih.
Iz obeh oklepajev izvzamemo skupne faktorje členov, iz prvega oklepaja in iz drugega oklepaja dobimo:
Ampak to ni razkroj!
posel razgradnja naj ostane samo množenje, toda za zdaj imamo polinom preprosto razdeljen na dva dela ...
AMPAK! Ta polinom ima skupni faktor. to
zunaj oklepaja in dobimo končni izdelek
Bingo! Kot lahko vidite, produkt že obstaja in zunaj oklepaja ni niti seštevanja niti odštevanja, razgradnja je končana, ker nimamo več kaj izvleči iz oklepaja.
Morda se zdi čudež, da imamo po izločitvi faktorjev iz oklepajev še vedno iste izraze v oklepajih, ki smo jih spet vzeli iz oklepajev.
In to sploh ni čudež, dejstvo je, da so primeri v učbenikih in na izpitu posebej narejeni tako, da je večina izrazov v nalogah za poenostavitev oz. faktorizacija s pravim pristopom do njih se zlahka poenostavijo in se ob pritisku na gumb nenadoma zrušijo kot dežnik, zato v vsakem izrazu poiščite prav ta gumb.
Nekaj sem odvrnil, kaj imamo s poenostavitvijo? Zapleteni polinom je dobil enostavnejšo obliko: .
Se strinjate, ne tako zajetno, kot je bilo?
4. Izbira polnega kvadrata.
Včasih je za uporabo formul za skrajšano množenje (ponovite temo) potrebno transformirati obstoječi polinom tako, da enega od njegovih členov predstavite kot vsoto ali razliko dveh členov.
V katerem primeru morate to storiti, se boste naučili iz primera:
Polinoma v tej obliki ni mogoče razstaviti s skrajšanimi formulami za množenje, zato ga je treba pretvoriti. Morda vam sprva ne bo jasno, kateri izraz na katerega razdeliti, a sčasoma se boste naučili takoj videti skrajšane formule za množenje, tudi če niso prisotne v celoti, in hitro ugotovili, kaj tu manjka na polno formulo, a zaenkrat - uči , študent, natančneje šolar.
Za celotno formulo kvadrata razlike tukaj potrebujete namesto tega. Predstavimo tretji člen kot razliko, dobimo: Na izraz v oklepaju lahko uporabimo formulo kvadrata razlike (ne zamenjujte z razliko kvadratov!!!), imamo: , na ta izraz lahko uporabimo formulo za razliko kvadratov (ne zamenjujte z razliko na kvadrat!!!), če si predstavljamo kako, dobimo: .
Izraz, ki ni vedno razdeljen na faktorje, je videti preprostejši in manjši, kot je bil pred dekompozicijo, vendar v tej obliki postane bolj mobilen, v smislu, da ne morete skrbeti za spreminjanje predznakov in druge matematične neumnosti. No, da se lahko odločite sami, je treba naslednje izraze faktorizirati.
Primeri:
Odgovori:
5. Faktorizacija kvadratnega trinoma
Za faktorizacijo kvadratnega trinoma glejte spodnje primere dekompozicije.
Primeri 5 metod faktoriziranja polinoma
1. Izvzem skupnega faktorja iz oklepaja. Primeri.
Se spomnite, kaj je distribucijski zakon? To je tako pravilo:
primer:
Faktoriziraj polinom.
rešitev:
Še en primer:
Pomnožite.
rešitev:
Če iz oklepaja vzamemo cel izraz, ostane namesto njega v oklepaju eden!
2. Formule za skrajšano množenje. Primeri.
Najpogosteje uporabljene formule so razlika kvadratov, razlika kubov in vsota kubov. Se spomnite teh formul? Če ne, nujno ponovite temo!
primer:
Faktorizirajte izraz.
rešitev:
V tem izrazu je enostavno ugotoviti razliko med kockami:
primer:
rešitev:
3. Metoda združevanja. Primeri
Včasih je mogoče izraze zamenjati tako, da se iz vsakega para sosednjih členov izlušči en in isti faktor. Ta skupni faktor lahko vzamemo iz oklepaja in prvotni polinom se bo spremenil v produkt.
primer:
Odštejte polinom.
rešitev:
Pojme združujemo na naslednji način:
.
V prvi skupini vzamemo skupni faktor iz oklepaja, v drugi pa - :
.
Zdaj lahko skupni faktor vzamemo tudi iz oklepaja:
.
4. Metoda izbire polnega kvadrata. Primeri.
Če je polinom mogoče predstaviti kot razliko kvadratov dveh izrazov, ostane le še uporaba skrajšane formule množenja (razlika kvadratov).
primer:
Odštejte polinom.
rešitev:primer:
\begin(matrika)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\pod oklepajem(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(kvadrat\vsote\ ((\levo (x+3 \desno))^(2)))-9-7=((\levo(x+3 \desno))^(2))-16= \\
=\levo(x+3+4 \desno)\levo(x+3-4 \desno)=\levo(x+7 \desno)\levo(x-1 \desno) \\
\konec(niz)
Odštejte polinom.
rešitev:
\begin(matrika)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\pod oklepajem(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(kvadrat\ razlike((\levo(((x)^(2))-2 \desno))^(2)))-4-1=((\levo(((x)^ (2))-2 \desno))^(2))-5= \\
=\levo(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \desno)\levo(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \desno) \\
\konec(niz)
5. Faktorizacija kvadratnega trinoma. Primer.
Kvadratni trinom je polinom oblike, kjer je neznanka, nekaj števil.
Vrednosti spremenljivk, ki spremenijo kvadratni trinom na nič, se imenujejo korenine trinoma. Zato so korenine trinoma korenine kvadratne enačbe.
Izrek.
primer:
Faktorizirajmo kvadratni trinom: .
Najprej rešimo kvadratno enačbo: Sedaj lahko zapišemo faktorizacijo tega kvadratnega trinoma na faktorje:
Zdaj pa vaše mnenje...
Podrobno smo opisali, kako in zakaj faktorizirati polinom.
Navedli smo veliko primerov, kako to narediti v praksi, opozorili na pasti, podali rešitve ...
Kaj praviš?
Kako vam je všeč ta članek? Ali uporabljate te trike? Ali razumete njihovo bistvo?
Zapiši v komentar in...pripravi se na izpit!
Zaenkrat je to najpomembnejša stvar v tvojem življenju.
V tej lekciji se bomo naučili razstaviti kvadratne trinome na linearne faktorje. Za to je treba spomniti na Vietov izrek in njegov inverz. Ta veščina nam bo pomagala hitro in priročno razstaviti kvadratne trinome na linearne faktorje ter poenostaviti redukcijo ulomkov, sestavljenih iz izrazov.
Torej nazaj k kvadratni enačbi, kjer je.
Kar imamo na levi strani, se imenuje kvadratni trinom.
Izrek je resničen:Če so korenine kvadratnega trinoma, potem je identiteta resnična
Kjer je vodilni koeficient, so korenine enačbe.
Imamo torej kvadratno enačbo - kvadratni trinom, kjer korenine kvadratne enačbe imenujemo tudi korenine kvadratnega trinoma. Torej, če imamo korenine kvadratnega trinoma, potem je ta trinom razstavljen na linearne faktorje.
Dokaz:
Dokaz tega dejstva je izveden z uporabo izreka Vieta, ki smo ga obravnavali v prejšnjih lekcijah.
Spomnimo se, kaj nam pove Vietin izrek:
Če so korenine kvadratnega trinoma, za katere , Potem .
Ta izrek implicira naslednjo trditev, da.
Vidimo, da v skladu z izrekom Vieta, tj. če nadomestimo te vrednosti v zgornjo formulo, dobimo naslednji izraz
Q.E.D.
Spomnimo se, da smo dokazali izrek, da če so koreni kvadratnega trinoma, potem je dekompozicija veljavna.
Zdaj pa se spomnimo primera kvadratne enačbe, ki smo ji izbrali korene z uporabo Vietovega izreka. Iz tega dejstva lahko zaradi dokazanega izreka dobimo naslednjo enakost:
Zdaj pa preverimo pravilnost tega dejstva tako, da preprosto razširimo oklepaje:
Vidimo, da smo faktorizirali pravilno, in vsak trinom, če ima korenine, je mogoče faktorizirati v skladu s tem izrekom na linearne faktorje po formuli
Vendar pa preverimo, ali je za katero koli enačbo takšna faktorizacija možna:
Vzemimo za primer enačbo. Najprej preverimo predznak diskriminante
In spomnimo se, da mora biti za izpolnitev izreka, ki smo se ga naučili, D večji od 0, zato je v tem primeru faktoriziranje po preučenem izreku nemogoče.
Zato oblikujemo nov izrek: če kvadratni trinom nima korenin, ga ni mogoče razstaviti na linearne faktorje.
Torej, upoštevali smo izrek Vieta, možnost razgradnje kvadratnega trinoma na linearne faktorje, zdaj pa bomo rešili več problemov.
Naloga #1
V tej skupini bomo dejansko reševali problem inverzno od zastavljenega. Imeli smo enačbo in našli njene korenine, razčlenjene na faktorje. Tukaj bomo naredili nasprotno. Recimo, da imamo korenine kvadratne enačbe
Inverzni problem je naslednji: napišite kvadratno enačbo tako, da so njene korenine.
Ta problem lahko rešite na 2 načina.
Ker so torej korenine enačbe 
je kvadratna enačba, katere koreni so dane številke. Zdaj pa odprimo oklepaje in preverimo:
To je bil prvi način, kako smo ustvarili kvadratno enačbo z danimi koreninami, ki nima drugih korenin, saj ima vsaka kvadratna enačba največ dva korena.
Ta metoda vključuje uporabo inverznega Vieta izreka.
Če so koreni enačbe, potem izpolnjujejo pogoj, da .
Za reducirano kvadratno enačbo 
, , torej v tem primeru in .
Tako smo ustvarili kvadratno enačbo, ki ima dane korenine.
Naloga št. 2
Zmanjšati morate delež.
Imamo trinom v števcu in trinom v imenovalcu, trinome pa lahko faktoriziramo ali pa ne. Če sta tako števec kot imenovalec faktorizirana, potem so med njima lahko enaki faktorji, ki jih je mogoče zmanjšati.
Najprej je treba faktorizirati števec.
Najprej morate preveriti, ali je to enačbo mogoče faktorizirati, poiskati diskriminanco. Ker je , potem je predznak odvisen od zmnožka (mora biti manjši od 0), v tem primeru, tj. dana enačba ima korene.
Za rešitev uporabimo izrek Vieta:
Ker imamo v tem primeru opravka s koreninami, bo korenine kar težko preprosto pobrati. Vidimo pa, da so koeficienti uravnoteženi, tj. če predpostavimo, da je , in to vrednost nadomestimo v enačbo, dobimo naslednji sistem: tj. 5-5=0. Tako smo izbrali enega od korenov te kvadratne enačbe.
Drugi koren bomo iskali tako, da v sistem enačb nadomestimo že znano, na primer , tj. .
Tako smo našli oba korena kvadratne enačbe in lahko nadomestimo njuni vrednosti v izvirno enačbo, da jo faktoriziramo:
Spomnimo se prvotnega problema, morali smo zmanjšati ulomek.
Poskusimo rešiti problem tako, da namesto števca nadomestimo .
Ne smemo pozabiti, da v tem primeru imenovalec ne more biti enak 0, tj.
Če so ti pogoji izpolnjeni, smo prvotni ulomek reducirali na obliko .
Naloga št. 3 (naloga s parametrom)
Pri katerih vrednostih parametra je vsota korenin kvadratne enačbe
Če korenine te enačbe obstajajo, potem 
, vprašanje je kdaj.
Poiščite vsoto in produkt korenin kvadratne enačbe. Z uporabo formul (59.8) za korenine zgornje enačbe dobimo
(prva enakost je očitna, drugo dobimo po preprostem izračunu, ki ga bo bralec izvedel samostojno; priročno je uporabiti formulo za množenje vsote dveh števil z njuno razliko).
Naslednji
Vietov izrek. Vsota korenin dane kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, njihov produkt pa je enak prostemu členu.
V primeru nereducirane kvadratne enačbe je treba izraze formule (60.1) nadomestiti s formulami (60.1) in prevzeti obliko
Primer 1. Sestavite kvadratno enačbo po njenih koreninah:
Rešitev, a) Ugotovimo, da ima enačba obliko
Primer 2. Poiščite vsoto kvadratov korenov enačbe, ne da bi rešili samo enačbo.
rešitev. Vsota in produkt korenov sta znana. Predstavimo vsoto kvadratnih korenov v obliki
in dobiš
Iz formul Vieta je enostavno dobiti formulo
izražanje pravila za faktorizacijo kvadratnega trinoma.
Formule (60.2) namreč zapišemo v obliki
Zdaj imamo
kar morate dobiti.
Zgornjo izpeljavo formul Vieta pozna bralec iz srednješolskega tečaja algebre. Lahko podamo še eno izpeljavo z uporabo Bezoutovega izreka in faktorizacije polinoma (§§ 51, 52).
Pustimo korenine enačbe, potem se v skladu s splošnim pravilom (52.2) trinom na levi strani enačbe faktorizira:
Če razširimo oklepaje na desni strani te enake enakosti, dobimo
in primerjava koeficientov pri enakih potencah nam bo dala formule Vieta (60.1).
Prednost te izpeljave je, da jo lahko uporabimo tudi za enačbe višjih stopenj, da dobimo izraze za koeficiente enačbe v smislu njenih korenin (brez iskanja samih korenin!). Na primer, če so korenine zmanjšane kubične enačbe
bistvo je, da glede na enakost (52.2) najdemo
(v našem primeru z odpiranjem oklepajev na desni strani enakosti in zbiranjem koeficientov na različnih stopnjah dobimo
V tej lekciji se bomo naučili razstaviti kvadratne trinome na linearne faktorje. Za to je treba spomniti na Vietov izrek in njegov inverz. Ta veščina nam bo pomagala hitro in priročno razstaviti kvadratne trinome na linearne faktorje ter poenostaviti redukcijo ulomkov, sestavljenih iz izrazov.
Torej nazaj k kvadratni enačbi, kjer je.
Kar imamo na levi strani, se imenuje kvadratni trinom.
Izrek je resničen:Če so korenine kvadratnega trinoma, potem je identiteta resnična
Kjer je vodilni koeficient, so korenine enačbe.
Imamo torej kvadratno enačbo - kvadratni trinom, kjer korenine kvadratne enačbe imenujemo tudi korenine kvadratnega trinoma. Torej, če imamo korenine kvadratnega trinoma, potem je ta trinom razstavljen na linearne faktorje.
Dokaz:
Dokaz tega dejstva je izveden z uporabo izreka Vieta, ki smo ga obravnavali v prejšnjih lekcijah.
Spomnimo se, kaj nam pove Vietin izrek:
Če so korenine kvadratnega trinoma, za katere , Potem .
Ta izrek implicira naslednjo trditev, da.
Vidimo, da v skladu z izrekom Vieta, tj. če nadomestimo te vrednosti v zgornjo formulo, dobimo naslednji izraz
Q.E.D.
Spomnimo se, da smo dokazali izrek, da če so koreni kvadratnega trinoma, potem je dekompozicija veljavna.
Zdaj pa se spomnimo primera kvadratne enačbe, ki smo ji izbrali korene z uporabo Vietovega izreka. Iz tega dejstva lahko zaradi dokazanega izreka dobimo naslednjo enakost:
Zdaj pa preverimo pravilnost tega dejstva tako, da preprosto razširimo oklepaje:
Vidimo, da smo faktorizirali pravilno, in vsak trinom, če ima korenine, je mogoče faktorizirati v skladu s tem izrekom na linearne faktorje po formuli
Vendar pa preverimo, ali je za katero koli enačbo takšna faktorizacija možna:
Vzemimo za primer enačbo. Najprej preverimo predznak diskriminante
In spomnimo se, da mora biti za izpolnitev izreka, ki smo se ga naučili, D večji od 0, zato je v tem primeru faktoriziranje po preučenem izreku nemogoče.
Zato oblikujemo nov izrek: če kvadratni trinom nima korenin, ga ni mogoče razstaviti na linearne faktorje.
Torej, upoštevali smo izrek Vieta, možnost razgradnje kvadratnega trinoma na linearne faktorje, zdaj pa bomo rešili več problemov.
Naloga #1
V tej skupini bomo dejansko reševali problem inverzno od zastavljenega. Imeli smo enačbo in našli njene korenine, razčlenjene na faktorje. Tukaj bomo naredili nasprotno. Recimo, da imamo korenine kvadratne enačbe
Inverzni problem je naslednji: napišite kvadratno enačbo tako, da so njene korenine.
Ta problem lahko rešite na 2 načina.
Ker so torej korenine enačbe je kvadratna enačba, katere koreni so dane številke. Zdaj pa odprimo oklepaje in preverimo:
To je bil prvi način, kako smo ustvarili kvadratno enačbo z danimi koreninami, ki nima drugih korenin, saj ima vsaka kvadratna enačba največ dva korena.
Ta metoda vključuje uporabo inverznega Vieta izreka.
Če so koreni enačbe, potem izpolnjujejo pogoj, da .
Za reducirano kvadratno enačbo , , torej v tem primeru in .
Tako smo ustvarili kvadratno enačbo, ki ima dane korenine.
Naloga št. 2
Zmanjšati morate delež.
Imamo trinom v števcu in trinom v imenovalcu, trinome pa lahko faktoriziramo ali pa ne. Če sta tako števec kot imenovalec faktorizirana, potem so med njima lahko enaki faktorji, ki jih je mogoče zmanjšati.
Najprej je treba faktorizirati števec.
Najprej morate preveriti, ali je to enačbo mogoče faktorizirati, poiskati diskriminanco. Ker je , potem je predznak odvisen od zmnožka (mora biti manjši od 0), v tem primeru, tj. dana enačba ima korene.
Za rešitev uporabimo izrek Vieta:
Ker imamo v tem primeru opravka s koreninami, bo korenine kar težko preprosto pobrati. Vidimo pa, da so koeficienti uravnoteženi, tj. če predpostavimo, da je , in to vrednost nadomestimo v enačbo, dobimo naslednji sistem: tj. 5-5=0. Tako smo izbrali enega od korenov te kvadratne enačbe.
Drugi koren bomo iskali tako, da v sistem enačb nadomestimo že znano, na primer , tj. .
Tako smo našli oba korena kvadratne enačbe in lahko nadomestimo njuni vrednosti v izvirno enačbo, da jo faktoriziramo:
Spomnimo se prvotnega problema, morali smo zmanjšati ulomek.
Poskusimo rešiti problem tako, da namesto števca nadomestimo .
Ne smemo pozabiti, da v tem primeru imenovalec ne more biti enak 0, tj.
Če so ti pogoji izpolnjeni, smo prvotni ulomek reducirali na obliko .
Naloga št. 3 (naloga s parametrom)
Pri katerih vrednostih parametra je vsota korenin kvadratne enačbe
Če korenine te enačbe obstajajo, potem , vprašanje je kdaj.
Za faktorizacijo je potrebno izraze poenostaviti. To je potrebno za nadaljnje zmanjšanje. Razgradnja polinoma je smiselna, če njegova stopnja ni nižja od sekunde. Polinom s prvo stopnjo imenujemo linearen.
Članek bo razkril vse koncepte dekompozicije, teoretične osnove in metode faktoriziranja polinoma.
Teorija
1. izrekKo ima kateri koli polinom s stopnjo n obliko P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, so predstavljeni kot produkt s konstantnim faktorjem z najvišjo stopnjo a n in n linearnimi faktorji (x - x i), i = 1, 2, …, n, potem je P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , kjer x i , i = 1 , 2 , … , n - to so korenine polinoma.
Izrek je namenjen za korene kompleksnega tipa x i , i = 1 , 2 , … , n in za kompleksne koeficiente a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . To je osnova vsake razgradnje.
Če so koeficienti oblike a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n realna števila, se bodo v konjugiranih parih pojavili kompleksni koreni. Na primer, korena x 1 in x 2, povezana s polinomom oblike P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 štejemo za kompleksne konjugirane, potem so druge korenine realne, zato dobimo, da ima polinom obliko P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kjer je x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Komentiraj
Korenine polinoma se lahko ponovijo. Razmislite o dokazu izreka algebre, posledice Bezoutovega izreka.
Temeljni izrek algebre
2. izrekVsak polinom stopnje n ima vsaj en koren.
Bezoutov izrek
Po deljenju polinoma oblike P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s) , potem dobimo ostanek, ki je enak polinomu v točki s , potem dobimo
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kjer je Q n - 1 (x) polinom s stopnjo n - 1 .
Posledica iz Bezoutovega izreka
Če se šteje, da je koren polinoma P n (x) s, potem je P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Ta posledica zadostuje, če se uporablja za opis rešitve.
Faktorizacija kvadratnega trinoma
Kvadratni trinom oblike a x 2 + b x + c je mogoče faktorizirati na linearne faktorje. potem dobimo, da a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kjer sta x 1 in x 2 korena (kompleksna ali prava).
To kaže, da se sama razgradnja zmanjša na kasnejše reševanje kvadratne enačbe.
Primer 1
Faktoriziraj kvadratni trinom.
rešitev
Treba je najti korenine enačbe 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Če želite to narediti, morate po formuli najti vrednost diskriminante, potem dobimo D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Zato imamo to
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Od tu dobimo, da je 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Za izvedbo preverjanja morate odpreti oklepaje. Nato dobimo izraz v obliki:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po preverjanju pridemo do izvirnega izraza. To pomeni, da lahko sklepamo, da je razširitev pravilna.
Primer 2
Faktoriziraj kvadratni trinom oblike 3 x 2 - 7 x - 11 .
rešitev
Dobimo, da je treba izračunati nastalo kvadratno enačbo oblike 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Če želite najti korenine, morate določiti vrednost diskriminante. To razumemo
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816
Od tu dobimo, da je 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Primer 3
Faktoriziraj polinom 2 x 2 + 1.
rešitev
Zdaj morate rešiti kvadratno enačbo 2 x 2 + 1 = 0 in poiskati njene korenine. To razumemo
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Ti koreni se imenujejo kompleksni konjugati, kar pomeni, da lahko samo razgradnjo predstavimo kot 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Primer 4
Razširite kvadratni trinom x 2 + 1 3 x + 1 .
rešitev
Najprej morate rešiti kvadratno enačbo oblike x 2 + 1 3 x + 1 = 0 in poiskati njene korenine.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Ko smo pridobili korenine, pišemo
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentiraj
Če je vrednost diskriminante negativna, bodo polinomi ostali polinomi drugega reda. Iz tega sledi, da jih ne bomo razgradili na linearne faktorje.
Metode faktoriziranja polinoma stopnje, višje od druge
Razgradnja predvideva univerzalno metodo. Večina vseh primerov temelji na posledici Bezoutovega izreka. Če želite to narediti, morate izbrati vrednost korena x 1 in znižati njegovo stopnjo z deljenjem s polinomom z 1 z deljenjem z (x - x 1) . Nastali polinom mora najti koren x 2 , postopek iskanja pa je cikličen, dokler ne dobimo popolne razširitve.
Če korena ni mogoče najti, se uporabijo druge metode faktorizacije: združevanje, dodatni izrazi. Ta tema predvideva reševanje enačb z višjimi potencami in celimi koeficienti.
Če vzamemo skupni faktor iz oklepaja
Razmislite o primeru, ko je prosti člen enak nič, potem postane oblika polinoma P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.
Vidimo, da bo koren takšnega polinoma enak x 1 \u003d 0, potem lahko polinom predstavite v obliki izraza P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Ta metoda se šteje za jemanje skupnega faktorja iz oklepajev.
Primer 5
Faktoriziraj polinom tretje stopnje 4 x 3 + 8 x 2 - x.
rešitev
Vidimo, da je x 1 \u003d 0 koren danega polinoma, potem lahko x postavimo v oklepaj iz celotnega izraza. Dobimo:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Pojdimo k iskanju korenin kvadratnega trinoma 4 x 2 + 8 x - 1. Poiščimo diskriminanco in korenine:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Potem sledi tole
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Za začetek vzemimo v obravnavo dekompozicijsko metodo, ki vsebuje celoštevilske koeficiente oblike P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pri čemer je koeficient največje moči 1 .
Če ima polinom celoštevilske korenine, se te štejejo za delitelje prostega člena.
Primer 6
Razširite izraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
rešitev
Razmislite, ali obstajajo celi koreni. Treba je izpisati delilnike števila - 18. Dobimo, da je ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. Iz tega sledi, da ima ta polinom cele korenine. Lahko preverite po Hornerjevi shemi. Je zelo priročno in vam omogoča hitro pridobivanje koeficientov razširitve polinoma:
Iz tega sledi, da sta x \u003d 2 in x \u003d - 3 koreni prvotnega polinoma, ki ga lahko predstavimo kot produkt oblike:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Preidemo na razgradnjo kvadratnega trinoma oblike x 2 + 2 x + 3 .
Ker je diskriminanta negativna, to pomeni, da pravih korenin ni.
odgovor: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentiraj
Namesto Hornerjeve sheme je dovoljeno uporabljati izbiranje korena in deljenje polinoma s polinomom. Nadaljujmo z raztezanjem polinoma, ki vsebuje celoštevilske koeficiente oblike P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pri čemer največji ni enak ena.
Ta primer velja za ulomke in racionalne ulomke.
Primer 7
Faktoriziraj f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
rešitev
Treba je spremeniti spremenljivko y = 2 x , preiti je treba na polinom s koeficienti enakimi 1 na najvišji stopnji. Začeti morate z množenjem izraza s 4. To razumemo
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Ko ima nastala funkcija oblike g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celoštevilske korenine, potem je njihova ugotovitev med delitelji prostega člena. Vnos bo izgledal takole:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Nadaljujemo z izračunom funkcije g (y) na teh točkah, da bi kot rezultat dobili nič. To razumemo
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Dobimo, da je y \u003d - 5 koren enačbe oblike y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, kar pomeni, da je x \u003d y 2 \u003d - 5 2 koren prvotne funkcije.
Primer 8
Treba je razdeliti s stolpcem 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 z x + 5 2.
rešitev
Napišemo in dobimo:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Preverjanje deliteljev bo vzelo veliko časa, zato je bolj donosno faktorizirati dobljeni kvadratni trinom v obliki x 2 + 7 x + 3. Z enačenjem na nič najdemo diskriminanco.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Iz tega sledi, da
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Umetni triki pri faktoriziranju polinoma
Racionalni koreni niso lastni vsem polinomom. Če želite to narediti, morate uporabiti posebne metode za iskanje faktorjev. Vendar vseh polinomov ni mogoče razstaviti ali predstaviti kot produkt.
Metoda združevanja
Obstajajo primeri, ko lahko združite člane polinoma, da poiščete skupni faktor in ga vzamete iz oklepajev.
Primer 9
Faktoriziraj polinom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
rešitev
Ker so koeficienti cela števila, so lahko tudi koreni cela števila. Za preverjanje vzamemo vrednosti 1, - 1, 2 in - 2, da izračunamo vrednost polinoma na teh točkah. To razumemo
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To kaže, da ni korenin, treba je uporabiti drugačno metodo razgradnje in raztopine.
Združevanje je potrebno:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8) x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Po grupiranju prvotnega polinoma ga je potrebno predstaviti kot produkt dveh kvadratnih trinomov. Da bi to naredili, moramo faktorizirati. to razumemo
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentiraj
Enostavnost združevanja ne pomeni, da je izbira izrazov dovolj enostavna. Dokončnega načina za rešitev ni, zato je treba uporabiti posebne izreke in pravila.
Primer 10
Faktoriziraj polinom x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
rešitev
Dani polinom nima celih korenin. Izrazi naj bodo združeni. To razumemo
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktoringu dobimo to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Uporaba skrajšanega množenja in Newtonovih binomskih formul za faktorizacijo polinoma
Iz videza pogosto ni vedno jasno, katero pot uporabiti med razgradnjo. Po opravljenih transformacijah lahko zgradite premico, sestavljeno iz Pascalovega trikotnika, sicer se imenujejo Newtonov binom.
Primer 11
Faktoriziraj polinom x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
rešitev
Izraz je treba pretvoriti v obliko
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Zaporedje koeficientov vsote v oklepajih je označeno z izrazom x + 1 4 .
Torej imamo x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
Po uporabi razlike kvadratov dobimo
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Razmislite o izrazu v drugem oklepaju. Jasno je, da tam ni konjev, zato je treba ponovno uporabiti formulo za razliko kvadratov. Dobimo izraz, kot je
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Primer 12
Faktoriziraj x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
rešitev
Spremenimo izraz. To razumemo
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Uporabiti je treba formulo za skrajšano množenje razlike kock. Dobimo:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metoda za zamenjavo spremenljivke pri faktoriziranju polinoma
Pri spreminjanju spremenljivke se stopnja zmanjša in polinom faktorizira.
Primer 13
Faktoriziraj polinom oblike x 6 + 5 x 3 + 6 .
rešitev
Iz pogoja je razvidno, da je treba narediti zamenjavo y = x 3 . Dobimo:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Koreni dobljene kvadratne enačbe so y = - 2 in y = - 3, potem
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Uporabiti je treba formulo za skrajšano množenje vsote kubov. Dobimo izraze oblike:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
To pomeni, da smo dosegli želeno širitev.
Zgoraj obravnavani primeri bodo pomagali pri obravnavanju in faktoriziranju polinoma na različne načine.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter