Razstavite kvadratni trinom na binom. Faktorizacija kvadratnega trinoma

Faktorizacija kvadratnih trinomov je ena izmed šolskih nalog, s katero se prej ali slej sreča vsak. Kako narediti? Kakšna je formula za faktorizacijo kvadratnega trinoma? Pojdimo skozi to korak za korakom s primeri.

Splošna formula

Faktorizacija kvadratnih trinomov se izvede z reševanjem kvadratne enačbe. To je preprosta naloga, ki jo je mogoče rešiti na več načinov – z iskanjem diskriminante, z uporabo Vieta izreka, obstaja pa tudi grafična rešitev. Prvi dve metodi se učijo v srednji šoli.

Splošna formula izgleda takole:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritem za izvedbo naloge

Če želite faktorizirati kvadratne trinome, morate poznati Witov izrek, imeti pri roki program za reševanje, znati grafično poiskati rešitev ali poiskati korenine enačbe druge stopnje prek diskriminantne formule. Če je podan kvadratni trinom in ga je treba faktorizirati, je algoritem dejanj naslednji:

1) Izenačite izvirni izraz z nič, da dobite enačbo.

2) Navedite podobne izraze (če je potrebno).

3) Poiščite korenine s katero koli znano metodo. Grafično metodo je najbolje uporabiti, če je vnaprej znano, da so koreni cela in majhna števila. Ne smemo pozabiti, da je število korenin enako največji stopnji enačbe, to pomeni, da ima kvadratna enačba dve korenini.

4) Nadomestna vrednost X v izraz (1).

5) Zapišite faktorizacijo kvadratnih trinomov.

Primeri

Praksa vam omogoča, da končno razumete, kako se ta naloga izvaja. Primeri ponazarjajo faktorizacijo kvadratnega trinoma:

izraz morate razširiti:

Uporabimo naš algoritem:

1) x 2 -17x+32=0

2) podobni pogoji so zmanjšani

3) po formuli Vieta je težko najti korenine za ta primer, zato je bolje uporabiti izraz za diskriminant:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Nadomestite korene, ki smo jih našli v glavni formuli za razširitev:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Potem bo odgovor:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Preverimo, ali rešitve, ki jih je našel diskriminant, ustrezajo formulam Vieta:

14,845 . 2,155=32

Za te korene velja Vietov izrek, našli so jih pravilno, kar pomeni, da je tudi faktorizacija, ki smo jo dobili, pravilna.

Podobno razširimo 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

V prejšnjem primeru so bile rešitve necela, ampak realna števila, ki jih zlahka najdemo s kalkulatorjem pred seboj. Zdaj pa razmislite o bolj zapletenem primeru, v katerem so korenine kompleksne: faktorizirajte x 2 + 4x + 9. Po formuli Vieta korenin ni mogoče najti, diskriminanta pa je negativna. Korenine bodo na kompleksni ravnini.

D=-20

Na podlagi tega dobimo korenine, ki nas zanimajo -4 + 2i * 5 1/2 in -4-2i * 5 1/2, ker je (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Želeno razširitev dobimo tako, da korene nadomestimo v splošno formulo.

Drug primer: faktorizirati morate izraz 23x 2 -14x + 7.

Imamo enačbo 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Torej so korenine 14+21,166i in 14-21,166i. Odgovor bo:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Naj navedemo primer, ki ga je mogoče rešiti brez pomoči diskriminatorja.

Naj bo potrebno razstaviti kvadratno enačbo x 2 -32x + 255. Očitno jo je mogoče rešiti tudi z diskriminanto, vendar je v tem primeru hitreje najti korenine.

x 1 =15

x2=17

Pomeni x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Ta spletni kalkulator je zasnovan za faktorizacijo funkcije.

Na primer, faktorizirajte: x 2 /3-3x+12. Zapišimo ga kot x^2/3-3*x+12. Uporabite lahko tudi to storitev, kjer so vsi izračuni shranjeni v Word formatu.

Na primer, razstavite na izraze. Zapišimo ga kot (1-x^2)/(x^3+x) . Če si želite ogledati napredek rešitve, kliknite Pokaži korake . Če želite dobiti rezultat v formatu Word, uporabite to storitev.

Opomba: število "pi" (π) zapišemo kot pi ; kvadratni koren kot sqrt , npr. sqrt(3) , tangens tg je zapisan kot tan . Za odgovor si oglejte poglavje Nadomestno.

  1. Če je podan preprost izraz, na primer 8*d+12*c*d, potem faktoriziranje izraza pomeni faktoriziranje izraza. Če želite to narediti, morate najti skupne dejavnike. Ta izraz zapišemo kot: 4*d*(2+3*c) .
  2. Izrazi produkt kot dva binoma: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Tukaj že moramo najti več skupnih faktorjev: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Odvzamemo (x+7z) in dobimo: (x+7z)(x + 3y) .

glej tudi Deljenje polinomov z vogalom (prikazani so vsi koraki deljenja s stolpcem)

Koristna pri učenju so pravila faktorizacije formule za skrajšano množenje, s katerim bo jasno, kako odpreti oklepaje s kvadratom:

  1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
  2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
  3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
  4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
  5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
  6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
  7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Metode faktoringa

Ko se naučite nekaj trikov faktorizacija rešitve lahko razvrstimo na naslednji način:
  1. Uporaba formul za skrajšano množenje.
  2. Poiščite skupni faktor.

V tej lekciji se bomo naučili razstaviti kvadratne trinome na linearne faktorje. Za to je treba spomniti na Vietov izrek in njegov inverz. Ta veščina nam bo pomagala hitro in priročno razstaviti kvadratne trinome na linearne faktorje ter poenostaviti redukcijo ulomkov, sestavljenih iz izrazov.

Torej nazaj k kvadratni enačbi, kjer je.

Kar imamo na levi strani, se imenuje kvadratni trinom.

Izrek je resničen:Če so korenine kvadratnega trinoma, potem je identiteta resnična

Kjer je vodilni koeficient, so korenine enačbe.

Imamo torej kvadratno enačbo - kvadratni trinom, kjer korenine kvadratne enačbe imenujemo tudi korenine kvadratnega trinoma. Torej, če imamo korenine kvadratnega trinoma, potem je ta trinom razstavljen na linearne faktorje.

Dokaz:

Dokaz tega dejstva je izveden z uporabo izreka Vieta, ki smo ga obravnavali v prejšnjih lekcijah.

Spomnimo se, kaj nam pove Vietin izrek:

Če so korenine kvadratnega trinoma, za katere , Potem .

Ta izrek implicira naslednjo trditev, da.

Vidimo, da v skladu z izrekom Vieta, tj. če nadomestimo te vrednosti v zgornjo formulo, dobimo naslednji izraz

Q.E.D.

Spomnimo se, da smo dokazali izrek, da če so koreni kvadratnega trinoma, potem je dekompozicija veljavna.

Zdaj pa se spomnimo primera kvadratne enačbe, ki smo ji izbrali korene z uporabo Vietovega izreka. Iz tega dejstva lahko zaradi dokazanega izreka dobimo naslednjo enakost:

Zdaj pa preverimo pravilnost tega dejstva tako, da preprosto razširimo oklepaje:

Vidimo, da smo faktorizirali pravilno, in vsak trinom, če ima korenine, je mogoče faktorizirati v skladu s tem izrekom na linearne faktorje po formuli

Vendar pa preverimo, ali je za katero koli enačbo takšna faktorizacija možna:

Vzemimo za primer enačbo. Najprej preverimo predznak diskriminante

In spomnimo se, da mora biti za izpolnitev izreka, ki smo se ga naučili, D večji od 0, zato je v tem primeru faktoriziranje po preučenem izreku nemogoče.

Zato oblikujemo nov izrek: če kvadratni trinom nima korenin, ga ni mogoče razstaviti na linearne faktorje.

Torej, upoštevali smo izrek Vieta, možnost razgradnje kvadratnega trinoma na linearne faktorje, zdaj pa bomo rešili več problemov.

Naloga #1

V tej skupini bomo dejansko reševali problem inverzno od zastavljenega. Imeli smo enačbo in našli njene korenine, razčlenjene na faktorje. Tukaj bomo naredili nasprotno. Recimo, da imamo korenine kvadratne enačbe

Inverzni problem je naslednji: napišite kvadratno enačbo tako, da so njene korenine.

Ta problem lahko rešite na 2 načina.

Ker so torej korenine enačbe je kvadratna enačba, katere koreni so dane številke. Zdaj pa odprimo oklepaje in preverimo:

To je bil prvi način, kako smo ustvarili kvadratno enačbo z danimi koreninami, ki nima drugih korenin, saj ima vsaka kvadratna enačba največ dva korena.

Ta metoda vključuje uporabo inverznega Vieta izreka.

Če so koreni enačbe, potem izpolnjujejo pogoj, da .

Za reducirano kvadratno enačbo , , torej v tem primeru in .

Tako smo ustvarili kvadratno enačbo, ki ima dane korenine.

Naloga št. 2

Zmanjšati morate delež.

Imamo trinom v števcu in trinom v imenovalcu, trinome pa lahko faktoriziramo ali pa ne. Če sta tako števec kot imenovalec faktorizirana, potem so med njima lahko enaki faktorji, ki jih je mogoče zmanjšati.

Najprej je treba faktorizirati števec.

Najprej morate preveriti, ali je to enačbo mogoče faktorizirati, poiskati diskriminanco. Ker je , potem je predznak odvisen od zmnožka (mora biti manjši od 0), v tem primeru, tj. dana enačba ima korene.

Za rešitev uporabimo izrek Vieta:

Ker imamo v tem primeru opravka s koreninami, bo korenine kar težko preprosto pobrati. Vidimo pa, da so koeficienti uravnoteženi, tj. če predpostavimo, da je , in to vrednost nadomestimo v enačbo, dobimo naslednji sistem: tj. 5-5=0. Tako smo izbrali enega od korenov te kvadratne enačbe.

Drugi koren bomo iskali tako, da v sistem enačb nadomestimo že znano, na primer , tj. .

Tako smo našli oba korena kvadratne enačbe in lahko nadomestimo njuni vrednosti v izvirno enačbo, da jo faktoriziramo:

Spomnimo se prvotnega problema, morali smo zmanjšati ulomek.

Poskusimo rešiti problem tako, da namesto števca nadomestimo .

Ne smemo pozabiti, da v tem primeru imenovalec ne more biti enak 0, tj.

Če so ti pogoji izpolnjeni, smo prvotni ulomek reducirali na obliko .

Naloga št. 3 (naloga s parametrom)

Pri katerih vrednostih parametra je vsota korenin kvadratne enačbe

Če korenine te enačbe obstajajo, potem , vprašanje je kdaj.

Kvadratni trinom je polinom oblike ax^2+bx+c, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila, a ni enako nič.
Pravzaprav je prva stvar, ki jo moramo vedeti, da faktoriziramo ponesrečeni trinom, izrek. Videti je takole: "Če sta x1 in x2 korena kvadratnega trinoma ax^2+bx+c, potem je ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)". Seveda obstaja tudi dokaz tega izreka, vendar zahteva nekaj teoretičnega znanja (če polinomu ax^2+bx+c izvzamemo faktor a, dobimo ax^2+bx+c=a(x^ 2+(b/a) x + c/a) Po Viettovem izreku x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, torej b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), torej ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Včasih vas učitelji prisilijo, da se naučite dokaz, a če je ni potrebno, svetujem vam, da si le zapomnite končno formulo.

2 korak

Vzemimo za primer trinom 3x^2-24x+21. Prva stvar, ki jo moramo narediti, je enačiti trinom na nič: 3x^2-24x+21=0. Koreni dobljene kvadratne enačbe bodo koreni trinoma.

3 korak

Rešite enačbo 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Torej, odločimo se. Kdor ne zna rešiti kvadratnih enačb, si oglejte moja navodila z 2 načinoma reševanja na primeru iste enačbe. Dobili smo korenine x1=7, x2=1.

4 korak

Zdaj, ko imamo trinomske korene, jih lahko varno nadomestimo v formulo =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
dobimo: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Izraza a se lahko znebite tako, da ga postavite v oklepaj: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
kot rezultat dobimo: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Opomba: vsak od dobljenih faktorjev ((x-7), (3x-3) je polinom prve stopnje. To je celotna razširitev =) Če dvomite o odgovoru, ki ste ga dobili, ga lahko vedno preverite z množenjem oklepajev.

5 korak

Preverjanje rešitve. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Zdaj zagotovo vemo, da je naša rešitev pravilna! Upam, da bodo moja navodila komu pomagala =) Vso srečo pri študiju!

  • V našem primeru v enačbi D > 0 in smo dobili po 2 korena. Če bi bil D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
  • Če kvadratni trinom nima korenin, ga ni mogoče faktorizirati na faktorje, ki so polinomi prve stopnje.

Kvadratni trinom je polinom oblike ax^2 + bx + c, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila, poleg tega je a ≠ 0.

Če želite faktorizirati trinom, morate poznati korenine tega trinoma. (v nadaljevanju primer na trinomu 5x^2 + 3x- 2)

Opomba: vrednost kvadratnega trinoma 5x^2 + 3x - 2 je odvisna od vrednosti x. Na primer: če je x = 0, potem je 5x^2 + 3x - 2 = -2

Če je x = 2, potem je 5x^2 + 3x - 2 = 24

Če je x = -1, potem je 5x^2 + 3x - 2 = 0

Ko je x \u003d -1, kvadratni trinom 5x ^ 2 + 3x - 2 izgine, v tem primeru se imenuje število -1 koren kvadratnega trinoma.

Kako dobiti koren enačbe

Razložimo, kako smo dobili koren te enačbe. Najprej morate jasno poznati izrek in formulo, po kateri bomo delali:

"Če sta x1 in x2 korena kvadratnega trinoma ax^2 + bx + c, potem je ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Ta formula za iskanje korenin polinoma je najbolj primitivna formula, pri reševanju katere ne boste nikoli zmedeni.

Izraz 5x^2 + 3x - 2.

1. Izenačite z nič: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Najdemo korenine kvadratne enačbe, za to nadomestimo vrednosti v formuli (a je koeficient za X ^ 2, b je koeficient za X, prosti izraz, to je a številka brez X):

Najdemo prvi koren z znakom plus pred kvadratnim korenom:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Drugi koren z znakom minus pred kvadratnim korenom:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Tako smo našli korenine kvadratnega trinoma. Če se želite prepričati, ali so pravilne, lahko preverite: najprej nadomestimo prvi koren v enačbi, nato drugega:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Če po zamenjavi vseh korenov enačba izgine, je enačba pravilno rešena.

3. Zdaj pa uporabimo formulo iz izreka: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), ne pozabite, da sta X1 in X2 korena kvadratne enačbe. Torej: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Da se prepričate o pravilni razgradnji, lahko preprosto pomnožite oklepaje:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Kar potrjuje pravilnost odločitve.

Druga možnost za iskanje korenin kvadratnega trinoma

Druga možnost za iskanje korenin kvadratnega trinoma je inverzni izrek Viettovega izreka. Tukaj so korenine kvadratne enačbe najdene s formulami: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Vendar je pomembno razumeti, da je ta izrek mogoče uporabiti le, če je koeficient a \u003d 1, to je število pred x ^ 2 \u003d 1.

Na primer: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Reševanje: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Zdaj je pomembno razmisliti, katere številke v izdelku dajejo enoto? Seveda to 1 * 1 in -1 * (-1) . Iz teh števil izberemo tiste, ki ustrezajo izrazu x1 + x2 = 2, seveda - to je 1 + 1. Tako smo našli korenine enačbe: x1 = 1, x2 = 1. To je enostavno preveriti, če zamenjamo x ^ 2 v izraz - 2x + 1 = 0.