Gorlach B.A., Shigaeva N.V. Upotreba Fourierove serije za predviđanje i optimizaciju snabdijevanja veletrgovinskog preduzeća u pogledu upravljanja vlastitim i iznajmljenim vozilima
1Mogućnost aproksimacije Fourierovih redova u slučaju linearnog signala neophodna je za konstruisanje funkcija u slučaju diskontinuiranih periodičnih elemenata. Mogućnosti upotrebe ove metode za njihovu konstruisanje i dekomponovanje korišćenjem konačnih suma Fourierovih redova koji se koriste u rešavanju mnogih problema različitih nauka, kao što su fizika, seizmologija i dr. Procesi okeanske plime i oseke, solarna aktivnost razmatraju se putem ekspanzije oscilatornih procesa, funkcija opisanih ovim transformacijama. Sa razvojem kompjuterske tehnologije, Fourierovi redovi su počeli da se koriste za sve složenije probleme, a zahvaljujući tome, postalo je moguće koristiti ove transformacije u indirektnim naukama, kao što su medicina, hemija. Fourierova transformacija je opisana u stvarnom i složenom obliku, druga distribucija je omogućila iskorak u istraživanju svemira. Rezultat ovog rada je primjena Fourierovog reda na linearizaciju diskontinuirane funkcije i odabir broja koeficijenata niza za preciznije nametanje reda na funkciju. Štaviše, kada se koristi proširenje u Fourierov red, ova funkcija prestaje biti diskontinuirana i već pri dovoljno maloj, vrši se dobra aproksimacija korištene funkcije.
Fourierova serija
Fourierova transformacija
fazni spektar.
1. Alasheeva E.A., Rogova N.V. Numerička metoda za rješavanje problema elektrodinamike u aproksimaciji tanke žice. Nauka i mir. Međunarodni naučni časopis, br. 8(12), 2014. Tom 1. Volgograd. str.17-19.
2. Vorobyov N.N. Teorija redova. Ed. Nauka, Glavno izdanje fizičke i matematičke literature, M., 1979, -408 str.
3. Kalinina V.N., Pankin V.F. Math statistics. - M.: Viša škola, 2001.
4. R. Edwards Fourier serijal u modernoj prezentaciji. Ed. Svijet. U 2 toma. Tom 1. 1985. 362 stranice
5. Sigorsky V.P. Matematički aparat inženjera. Ed. 2. stereotipno. "Tehnika", 1997. – 768 str.
Reprezentacija proizvoljno uzete funkcije sa određenim periodom kao niz naziva se Fourierov red. Proširenje u ortogonalnoj bazi je opći termin za ovo rješenje. Proširenje funkcija u Fourierov niz je prilično moćan alat za rješavanje različitih problema. Jer svojstva ove transformacije su dobro poznata i proučavana prilikom integracije, diferenciranja, kao i pomjeranja izraza u odnosu na argument i konvoluciju. Osoba koja nije upoznata sa višom matematikom, kao i sa radovima francuskog naučnika Furijea, najvjerovatnije neće shvatiti šta su i čemu služe ovi "serijali". Ova Fourierova transformacija postala je vrlo gust dio naših života. Koriste ga ne samo matematičari, već i fizičari, hemičari, liječnici, astronomi, seizmolozi, okeanografi i mnogi drugi.
Fourierovi redovi se koriste u rješavanju mnogih primijenjenih problema. Fourierova transformacija se može izvesti analitičkim, numeričkim i drugim metodama. Procesi kao što su okeanske plime i svjetlosni valovi prije ciklusa solarne aktivnosti odnose se na numerički način proširenja bilo kojeg oscilatornog procesa u Fourierovom nizu. Koristeći ove matematičke tehnike, moguće je analizirati funkcije, predstavljajući sve oscilatorne procese kao niz sinusoidnih komponenti koje idu od minimuma do maksimuma i obrnuto. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ova transformacija se koristi za rješavanje vrlo složenih jednadžbi koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod djelovanjem toplinske, svjetlosne ili električne energije. Takođe, Fourierovi redovi omogućavaju izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilatornim signalima, što je omogućilo ispravnu interpretaciju dobijenih eksperimentalnih zapažanja u medicini, hemiji i astronomiji.
Sa razvojem tehnologije, tj. Pojava i razvoj kompjutera dovela je Fourierovu transformaciju na novi nivo. Ova tehnika je čvrsto ukorijenjena u gotovo svim područjima nauke i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video signal. Što je postalo vizualna realizacija rasta naučnog procesa i primjene Fourierove serije. Dakle, Fourierov niz u složenom obliku omogućio je iskorak u proučavanju svemira. Osim toga, utjecao je na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara, seizmologije.
Uzmimo u obzir da je fazni spektar periodičnog signala određen iz sljedećeg izraza:
gdje simboli i označavaju imaginarni i realni dio vrijednosti u uglastim zagradama.
Ako se pomnoži sa realnom konstantnom vrijednošću K, tada proširenje u Fourierov red ima sljedeći oblik:
Iz izraza (1) slijedi da fazni Fourierov spektar ima sljedeća svojstva:
1) je funkcija, odnosno, za razliku od spektra snage, koji ne zavisi od , , menja se kada se signal pomera duž vremenske ose;
2) ne zavisi od K, odnosno invarijantan je na pojačanje ili slabljenje signala, dok je spektar snage funkcija K.
3) 
tj. je neparna funkcija od n.
Bilješka. S obzirom na geometrijsku interpretaciju gornjeg zaključka, ono se može izraziti u terminima spektra snage i spektra faza na sljedeći način:
Zbog
onda iz (2) i (3) slijedi da se može dobiti jedinstveno ako su poznati amplituda (ili spektar snage) i fazni spektri.
Razmotrimo primjer. Dobili smo funkciju 
između
Opšti pogled na Fourierov niz:
Zamijenite naše vrijednosti i dobijete:
Zamijenite svoje vrijednosti i dobijte.
PRIMENA FOURIEROVE SERIJE ZA PROGNOZIRANJE I OPTIMIZACIJU SNABDIJEVANJA VELIKO TRGOVAČKOG PREDUZEĆA U ASPEKTU UPRAVLJANJA SOPSTVENIM I IZNAJMLJENIM TRANSPORTOM
Gorlach Boris Alekseevich 1 , Shigaeva Natalia Valerievna 2
1 Državni avio-svemirski univerzitet u Samari nazvan po akademiku S.P. Koroleva (NRU), doktor tehničkih nauka, prof
2 Samarski državni avio-svemirski univerzitet nazvan po akademiku S.P. kraljica (NRU)
anotacija
U radu se razmatra mehanizam za modeliranje slučajnog procesa (za statističke podatke o preduzeću) pomoću aparata harmonijske analize. Rešen je problem racionalne distribucije obima zaliha sirovina između sopstvenih i iznajmljenih vozila u cilju smanjenja troškova skladištenja proizvoda.
APLIKACIJA FOURIEROVE SERIJE ZA PREDVIĐANJE I OPTIMIZACIJU TROŠKOVA ISPORUKE
Gorlach Boris Aleksejevič 1 , Shigaeva Nathalie Valerievna 2
1 Samarski državni vazduhoplovni univerzitet, doktor tehničkih nauka, profesor
2 Samara State Aerospace University
Abstract
Razmatran je mehanizam simulacije slučajnog procesa (za podatke preduzeća). Harmonična analiza je široko prihvaćena u modeliranju troškova preduzeća. Rešen je problem racionalne distribucije isporuke sirovina između sopstvenog i iznajmljenog transporta.
Bibliografska veza na članak:
Gorlach B.A., Shigaeva N.V. Upotreba Fourierovog reda za predviđanje i optimizaciju snabdijevanja veletrgovinskog poduzeća u smislu upravljanja vlastitim i iznajmljenim transportom // Ekonomija i upravljanje inovativnim tehnologijama. 2014. br. 7 [Elektronski izvor]..02.2019).
Uvod. Troškovi preduzeća za stvaranje sistema skladištenja robe stvaraju potrebu za racionalnom distribucijom zaliha. Rješenje problema upravljanja nabavkom povezano je sa promjenom potreba poduzeća za sirovinama. Za razvoj racionalnog modela distribucije izvršena je obrada statističkih podataka kompanije o potražnji za sirovinama.
Članak se sastoji od sljedećih dijelova: izgradnja modela slučajnog procesa, optimizacija ponude na primjeru pojednostavljenog modela i na primjeru stvarnih podataka.
Prvi dio. Konstrukcija matematičkog modela slučajnog procesa.
U retrospektivnom periodu, statistika skladištenja resursa u skladištu je sljedeća (Tabela 1). Pretpostavlja se da je skup statističkih podataka Y i =Y(t i) dat u obliku vremenske serije.
Tabela 1 – Statistika potražnje za resursima
Po pravilu se matematički modeli vremenskih serija ekonomskih procesa predstavljaju kao skup od 4 komponente: sezonska S, ciklična C, slučajni ξ i trend U. Ove komponente čine aditivni model statističkih podataka.
Komponenta U - trend - odabrana je na takav način da nije u suprotnosti s glavnim trendom u promjeni funkcije koja se proučava i ne otežava njenu analizu. U ovom radu odabir trenda se vrši korištenjem Excel funkcija, kao i ručno metodom „normalnih jednačina“.
Nakon što se izvrši postupak odabira najadekvatnijeg trenda, vrši se normalizacija funkcije, što omogućava simulaciju oscilatorne komponente. U ovoj studiji, oscilatorna komponenta je odabrana pomoću modela koji je trigonometrijski Fourierov niz:
.
Koeficijenti Fourierovog reda su definirani na sljedeći način :
Nakon pretraživanja 6 iteracija pomoću Excel alata, otkrivena je sljedeća funkcija vibracijske komponente :
S(t) = -0,215sinπt/6 – 0,077cos πt/6 +0,003 sin 5pt/6+0,054cos 5pt/6+0,056cos pt
Dinamika nabavke i skladištenja resursa u skladištu, kao i funkcionalna zavisnost zapremine resursa nakon normalizacije prikazana je na slici 1.
Slika 1 - Oscilatorna komponenta za stvarne podatke
Izračunajmo koeficijent determinacije za dobijenu funkciju.
Koeficijent determinacije za rezultujuću funkciju je 0,75. Dakle, trend opisuje statističke podatke za 75 posto, a vjerovatnoća da rezultirajuća funkcija ne odgovara stvarnim statističkim vrijednostima je 0,25.
Drugi dio. Optimizacija procesa isporuke
Prilikom sastavljanja udjela u nabavci sirovina treba uzeti u obzir nekoliko faktora koji utiču na pokazatelj ekonomske efikasnosti zaliha:
Blagovremenost i učestalost isporuka
Troškovi nabavke
Dozvoljeni rok trajanja sirovina
Obezbeđenje preduzeća skladišnim prostorima
Ostali faktori.
Razmotrite proces optimizacije ponude na pojednostavljenom grafikonu. Izdvojimo jedan harmonik u normalizovanom trendu (jedan član harmonijskog niza) i ograničimo se na razmatranje jednog perioda. Dobijamo sljedeću pojednostavljenu funkciju opskrbe:
U ovom radu ćemo razmotriti tri opcije isporuke.
1. Isporuke se vrše samo sopstvenim prevozom na nivou y=1, što odgovara vrednosti s(t)=0.
Proces akumulacije resursa u prvoj polovini godine i potrošnje u drugoj polovini godine određen je formulom integrala funkcije na razmatranom području.
Akumulirana sredstva se u potpunosti troše u narednih pola godine. Problem je u tome što količina skladišta u skladištu ima prevelike varijacije u vremenu i treba je optimizirati.
2. Sopstveni transport obezbeđuje zalihe koje odgovaraju minimalnom intenzitetu utroška resursa. Ova opcija je pogodna za kompaniju ako kompanija ima manje kapitala i iz drugih razloga ne može priuštiti transport više od minimalnog nivoa zahtjeva za resursima, izgleda ovako. Preduzeće prima manje resursa u iznosu koji je jednak površini integrala između s(t) i prave linije koja karakteriše minimalni nivo zaliha.
Pretpostavimo da kompanija odluči da iznajmi vozilo na nivou maksimalnih zahtjeva resursa u prvoj polovini godine, tada se uštede u potpunosti troše u drugoj polovini godine.
3. Sopstveni transport obezbeđuje isporuke na nivou -h. Nedostatak sredstava nadoknađuje se iznajmljivanjem transporta.
Izračunavamo nivo ponude h iz uslova jednakosti područja akumulacije i potrošnje:
Sa primljenom vrednošću h nedostatak resursa bez zakupa izgleda ovako:
Sumirajući dobijene rezultate, napravljen je opšti grafikon akumulacije/utroška koji pokazuje kako se optimalni plan razlikuje u minimalnoj količini resursa za skladištenje (Slika 2).
Slika 2 - Minimizacija skladišnih resursa
Na osnovu grafikona, učešće iznajmljenih vozila pri optimizaciji skladištenja u skladištu omogućava smanjenje specifične zapremine skladištenja u skladištu do 10 puta, budući da se amplituda vrednosti funkcije akumulacije smanjila sa 10 jedinica na 1.
Dio 3. Optimizacija lanca opskrbe korištenjem stvarnih podataka
Implementacija optimizacije ponude počinje odabirom perioda oscilatorne komponente (u našem primjeru t i ϵ 11..23) i traženjem presječnih tačaka funkcije s(t) sa Ox osom.
Ilustracija varijante dinamike prijema i potrošnje resursa u preduzeću u kojem nije obezbeđen transportni zakup prikazana je na slici 3.
Slika 3 - Akumulacija/trošak za stvarne podatke bez zakupa
Funkcija oscilatorne komponente izgleda ovako:
S(t) = -0,215 sin πt/6-0,077cos πt/6 2pt/3+0,003 sin 5pt/6+0,054cos 5pt/6+0,056cos pt
Funkcija akumulacije:
Q = ∫S = (1/π)(0,215 *6* cos (πt/6)-0,077*6*sin (πt/6) +0,085*3*cos πt/3 – 0,013*3*sin πt/3 – 0,0013*2*cos πt/2+(0,023*2*sin πt/2+0,0349*6/4 cos 2πt/3+(0,0552*6/4)sin 2πt/3 – (0,0032*6/5) cos 5πt/6 + (0,0538*6/5)sin 5πt/6 + (0,0559*sin π t)
Odredimo maksimalne površine zaliha i potrošnje za funkciju snabdevanja, pod uslovom da je intenzitet snabdevanja s(t) jednak nuli.
Tabela 2 – Određivanje površina zaliha i potrošnje resursa
Dakle, Q max =0,9078 je maksimalna moguća količina resursa uskladištenih u skladištu. Sredstva akumulirana u prvoj polovini godine u potpunosti se troše u drugoj, jer trigonometrijske funkcije imaju svojstvo simetrije.
Optimizacija uz uključivanje iznajmljenih vozila je efikasan način za smanjenje troškova skladištenja resursa u skladištu. Nivo isporuka preduzeća sopstvenim transportom dat je vrednošću Y(t)=1-h, ili S(t)=-h iz uslova jednakosti površina akumulacije i potrošnje za pola godine (slika 4).
Slika 4 - Određivanje nivoa isporuka iznajmljenim transportom
U ovom slučaju, postojat će potreba za resursom u količini određenoj površinom pravokutnika s visinom h a osnova, koja čini čitav interval razmatranja, jednaka (od svojstava simetrije) površini integrala ciklične komponente preko prave linije nivoa isporuka sopstvenim transportom. Preduzeće iznajmljuje prevoz za deo razmatranog intervala. Nivo isporuke iznajmljenih vozila odrediće se iz jednakosti oblasti nedostatka resursa (2) i obima zakupnine (1), prikazanih na slici 4.
Potražite nivoe h sprovedeno iterativno. U opciji privlačenja iznajmljenih vozila, maksimalni nivo skladištenja zaliha u skladištu je jednak:
Vrhunski nivo h* nalazimo iz uslova jednakosti površina neispunjene potražnje (1) za resursima i obima zaliha (2), prikazanih na slici 4. Nivo zakupnine je određen vrijednošću h*=0,144.
Nakon optimizacije pronađeno je područje protoka i rezerve:
Ukupna površina rezervata smanjena je sa 0,9 na 0,5:
Qmax2 = 0,2016+ 0,3137=0,515
Tako je optimizacija procesa dostave iznajmljenim vozilima rezultirala smanjenjem troškova skladištenja za 44%, što ukazuje na uspješan završetak zadatka optimizacije.
Rezultati i zaključci. Predloženi algoritam za racionalnu distribuciju zaliha između vlastitog transporta kompanije i Fourierove serije iznajmljenih tokom modeliranja funkcije troškova temelji se na karakterističnim karakteristikama normaliziranog grafa trenda, uzima u obzir ograničenja skladišnog prostora, rok trajanja. sirovina, te smanjuje troškove skladištenja (nivo skladištenja resursa u skladištu) do 50% puta za razmatrane podatke funkcije snabdijevanja. Stoga je uključivanje iznajmljenih vozila efikasan način da se smanje troškovi skladištenja i skladištenja uz visoku cijenu zakupa i održavanja skladišnog prostora.
Bibliografska lista
- Saveliev G.L. Zadatak optimizacije resursa preduzeća u uslovima cikličnih promena potražnje. - Samara: SSAU, 2010. - 30 str.
- Chuikova Yu.S. Optimizacija materijalnih tokova u problemu upravljanja zalihama preduzeća / Zbornik naučnih članaka "Upravljanje organizacionim i ekonomskim sistemima". - Samara: SSAU, 2009. - str. 25-30.
- Rardin R.L. Optimizacija u istraživanju operacija. Prentice Hall, 1998.
Fourierov niz se piše kao:
, gdje je k harmonijski broj.
Fourierovi koeficijenti za ovu seriju nalaze se po formulama:
Periodični signali su predstavljeni Fourierovim nizom u obliku:
, gdje je osnovna frekvencija;
Ovdje se koeficijenti izračunavaju po formulama:
Često se koristi drugi oblik Fourierovog reda:
, Gdje:
- amplituda k th harmonic; - početna faza
Radi lakšeg izračunavanja, Fourierov red je napisan u složenom obliku:
Grafički prikaz vremena i frekvencije
Spektar periodičnog signala
privremena slika
|
Slika frekvencije ASF-a
Slično FChS-u, samo s obzirom da faze mogu biti negativne.
Takav spektar se naziva diskretni ili linijski, karakterističan je za periodični signal.
Spektar niza pravokutnih impulsa
Razmotrite simetričan raspored impulsa
, gdje je radni ciklus.
Pronađite nulte tačke sinusa:
Prva nulta tačka je najvažniji spektar pravougaonog talasa.
ASF niza pravokutnih impulsa:
ω 1 ω 2 2π/t u 4π/t u
Glavni dio energije nose harmonici koji se nalaze od 0 do prve nulte tačke (oko 90% energije). Ovaj frekvencijski raspon, gdje je koncentrisano 90% energije signala, naziva se širina spektra (frekvencija) signala.
Za pravougaoni impuls, širina spektra je .
Svaki digitalni prijenos signala zahtijeva više spektra nego jednostavan analogni prijenos.
FFS niza pravokutnih impulsa:
ako je sun(x)>0 onda Ψ k =0
ako sin(x)<0, то Ψ k = π
Utjecaj trajanja i perioda pulsa na oblik spektra
Ako se trajanje smanji, tada se osnovna frekvencija neće promijeniti, nulte točke će se pomaknuti udesno. Više komponenti pada na prvu nultu tačku, gdje je koncentrisana glavna energija. Tehnički imajte na umu da se spektar širi.
Ako se trajanje pulsa povećava, tada se spektar sužava.
Ako se period ponavljanja povećava, tada se osnovna frekvencija smanjuje. Ako se period ponavljanja smanji, tada se osnovna frekvencija povećava.
Promjena položaja pulsa ili početka
Ovo ne utiče na ASF, samo se menja fazni spektar. Ovo se može odraziti na osnovu teoreme o kašnjenju:
| |
Fazni spektar pomaknutog signala pri N=4:
Koncept proračuna kola sa periodičnim signalima
Metoda obračuna:
1. Određuje se kompleksni spektar periodičnog signala;
2. Procjenjuje se spektar, ostavljaju se najznačajniji harmonici (prvi kriterij: svi koji su manji od 0,1 maksimalne amplitude harmonika se odsijecaju);
Struje i naponi iz svake komponente se posebno izračunavaju. Možete koristiti složenu metodu izračuna.
I 0 =0
Neharmonična funkcija se može procijeniti efektivnom vrijednošću, tj. rms za period:
Koncept spektra neperiodičnih signala
Neperiodični signali su najvažniji, jer nose informacije. Periodični signali služe za prenos informacija, a nove informacije se ne prenose. Stoga se postavlja pitanje spektra neperiodičnih signala. Možete ih pokušati dobiti graničnim prijelazom s periodičnih signala, usmjeravajući period u beskonačnost (). Ostao je samo jedan signal. Nađimo kompleksnu amplitudu spektra jednog signala: na .
, 
Neperiodični signal se može raščlaniti na beskonačan zbir harmonijskih komponenti sa beskonačno malim amplitudama i koji se razlikuju po frekvenciji za beskonačno male vrijednosti - To se naziva kontinuirani spektar neperiodičnih signala, a ne diskretnog. Za proračune se koristi koncept nekompleksnih amplituda, a kompleksna spektralna gustina amplituda je veličina amplitude po jedinici frekvencije.
Ovo je direktna Fourierova transformacija (dvostrana).
Poglavlje 10 opisuje primjenu Fourierovih redova na proučavanje elastičnih vibracija strune. U ovom poglavlju ćemo razmotriti neka pitanja elastičnog savijanja greda.
Upotreba Fourierovih redova za rješavanje problema statike elastičnih tijela provodi se prema sljedećoj shemi.
Prije svega, iz fizičkih razmatranja, izvodi se relacija koja povezuje funkciju koja opisuje geometrijsko stanje deformiranog tijela s opterećenjima koja se primjenjuju na tijelo. Ovaj odnos, uopšteno govoreći, sadrži, pored same funkcije stanja, i njene derivate, kao i neke integralne karakteristike.
Zatim, na osnovu geometrijskih obrisa tijela i kinematičkih uvjeta koji ograničavaju njegovo kretanje, odabire se ortogonalni sistem funkcija prema kojem se navedena funkcija stanja proširuje u Fourierov red.
Zamjena ovog Fourierovog reda u izvedenu relaciju dovodi do identične jednakosti dva Fourierova reda, iz koje se, koristeći teoremu 2 odeljka 14 poglavlja 9, može prijeći na jednakost koeficijenata za identične funkcije. Iz ovih zadnjih jednakosti mogu se izračunati vrijednosti Fourierovih koeficijenata i tako opisati stanje deformiranog tijela.
Ovaj proces zamjene Fourierovog reda u relaciju koja karakteriše savijanje mora se provoditi s dovoljnim oprezom, jer je pri tome potrebno više puta diferencirati Fourierov red po članu, čiji se koeficijenti izračunavaju tek naknadno. Uvjerite se u legitimnost ove diferencijacije, tj. (vidi § 10 poglavlja 5) ujednačene konvergencije sastavljenih nizova
od derivativnih članova diferencibilnog niza, a priori je prilično teško. Stoga ćemo pri rješavanju svakog konkretnog problema razmišljati otprilike na sljedeći način.
Prvo ćemo pretpostaviti da se Fourierovi redovi napisani sa do sada nepoznatim koeficijentima mogu (u smislu teoreme § 10 poglavlja 5) diferencirati pojam po član potreban broj puta. Ispisivanjem izvoda i rješavanjem rezultirajućih jednačina, naći ćemo Fourierove koeficijente koji nas zanimaju. To će značiti da ako je Fourierov niz podložan diferencijaciji pojam po član (i, osim toga, onoliko puta koliko je potrebno), onda je sasvim određen, što smo našli u blizini. Ako se sada, iz razmatranja dobijenih koeficijenata, vidi da je ovaj konstruisani, dobro definisani niz zaista diferencijabilan pojam po član, onda su sve operacije koje su stvarno izvedene na ovom nizu bile legitimne, a pronađeni Furijeovi koeficijenti su one željene. Ako se ispostavi da je dobijen nediferenciran niz, onda to znači da su radnje koje su ranije izvršene s njim bile matematički netočne, a rezultat dobiven na njihovoj osnovi je nerazuman, iako možda i ispravan. Zatim ćemo pogledati primjere ishoda oba tipa.
U mnogim slučajevima, zadatak dobivanja (izračunavanja) spektra signala je sljedeći. Postoji ADC, koji sa frekvencijom uzorkovanja Fd konvertuje kontinuirani signal koji stiže na njegov ulaz za vrijeme T, u digitalna očitavanja - N komada. Zatim se niz očitavanja unosi u određeni program koji daje N/2 nekih numeričkih vrijednosti (programer koji preuzeto sa interneta napisao program, tvrdi da radi Fourierovu transformaciju).Da bismo provjerili da li program radi ispravno, formirat ćemo niz očitavanja kao zbir dvije sinusoide sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) i ubaciti ga u program. Program je nacrtao sljedeće:
sl.1 Grafikon vremenske funkcije signala
sl.2 Grafikon spektra signala
Na grafu spektra nalaze se dva štapa (harmonika) 5 Hz sa amplitudom od 0,5 V i 10 Hz - sa amplitudom od 1 V, sve kao u formuli originalnog signala. Sve je u redu, bravo programer! Program radi ispravno.
To znači da ako na ulaz ADC-a primijenimo pravi signal iz mješavine dvaju sinusoida, onda ćemo dobiti sličan spektar koji se sastoji od dva harmonika.
Ukupno, naš pravi izmjereni signal, trajanje 5 sek, digitaliziran od strane ADC-a, tj. predstavljen diskretno broji, ima diskretni neperiodični domet.
Sa matematičke tačke gledišta - koliko je grešaka u ovoj frazi? Sada su nadležni odlučili da smo odlučili da je 5 sekundi predugo, hajde da izmjerimo signal za 0,5 sekundi. 
sl.3 Grafikon funkcije sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) za period mjerenja od 0,5 sek.
sl.4 Spektar funkcija
Nešto nije u redu! Harmonik od 10 Hz se iscrtava normalno, ali umjesto štapića od 5 Hz pojavilo se nekoliko nerazumljivih harmonika. Gledamo na internetu šta i kako...
U, kažu da se nule moraju dodati na kraj uzorka i spektar će biti iscrtan normalno.
sl.5 Završene nule do 5 sekundi
sl.6 Dobili smo spektar
Još uvijek nije ono što je bilo na 5 sekundi. Morate se pozabaviti teorijom. Idemo na Wikipedia- izvor znanja.
2. Kontinuirana funkcija i njena reprezentacija Fourierovim redom
Matematički, naš signal u trajanju od T sekundi je određena funkcija f(x) data na intervalu (0, T) (X je u ovom slučaju vrijeme). Takva funkcija se uvijek može predstaviti kao zbir harmonijskih funkcija (sinus ili kosinus) oblika:
(1), gdje:
k - broj trigonometrijske funkcije (broj harmonijske komponente, harmonijski broj) T - segment u kojem je funkcija definisana (trajanje signala) Ak - amplituda k-te harmonijske komponente, θk - početna faza k-te harmonijske komponente
Šta znači "predstaviti funkciju kao zbir niza"? To znači da ćemo dodavanjem vrijednosti harmonijskih komponenti Fourierovog reda u svakoj tački dobiti vrijednost naše funkcije u ovoj tački.
(Strogije rečeno, standardna devijacija niza od funkcije f(x) težit će nuli, ali uprkos standardnoj konvergenciji, Fourierov red funkcije, općenito govoreći, nije potreban da joj konvergira točkasto. Vidi https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)
Ova serija se takođe može napisati kao:
(2), gdje je , k-ta kompleksna amplituda.
Odnos između koeficijenata (1) i (3) izražava se sljedećim formulama:
Imajte na umu da su sva ova tri prikaza Fourierovog reda potpuno ekvivalentna. Ponekad je pri radu sa Fourierovim redovima prikladnije koristiti eksponente imaginarnog argumenta umjesto sinusa i kosinusa, odnosno koristiti Fourierovu transformaciju u složenom obliku. Ali nam je zgodno koristiti formulu (1), gdje je Fourierov niz predstavljen kao zbir kosinusnih valova s odgovarajućim amplitudama i fazama. U svakom slučaju, netačno je reći da će rezultat Fourierove transformacije realnog signala biti kompleksne amplitude harmonika. Kao što wiki ispravno kaže, "Furierova transformacija (ℱ) je operacija koja preslikava jednu funkciju realne varijable u drugu funkciju, također realne varijable."
Ukupno: Matematička osnova spektralne analize signala je Fourierova transformacija.
Fourierova transformacija nam omogućava da predstavimo kontinuiranu funkciju f(x) (signal) definiranu na segmentu (0, T) kao zbir beskonačnog broja (beskonačnih nizova) trigonometrijskih funkcija (sinus i/ili kosinus) sa određenim amplitudama i faze, takođe razmatrane na segmentu (0, T). Takav niz se naziva Fourierov red.
Napominjemo još neke tačke čije je razumijevanje potrebno za ispravnu primjenu Fourierove transformacije na analizu signala. Ako uzmemo u obzir Fourierov niz (zbir sinusoida) na cijeloj X-osi, onda možemo vidjeti da će izvan segmenta (0, T), funkcija predstavljena Fourierovim redom povremeno ponavljati našu funkciju.
Na primjer, u grafu na slici 7, originalna funkcija je definirana na segmentu (-T \ 2, + T \ 2), a Fourierov red predstavlja periodičnu funkciju definiranu na cijeloj x-osi.
To je zato što su same sinusoide periodične funkcije, odnosno njihov zbir će biti periodična funkcija.
sl.7 Predstavljanje neperiodične originalne funkcije Fourierovim redom
ovako:
Naša početna funkcija je kontinuirana, neperiodična, definisana na određenom segmentu dužine T. Spektar ove funkcije je diskretan, odnosno predstavljen je kao beskonačan niz harmonijskih komponenti - Fourierov red. U stvari, određena periodična funkcija je definisana Fourierovim redom, koji se poklapa sa našim na segmentu (0, T), ali ta periodičnost za nas nije bitna.
Periodi harmonijskih komponenti su višekratnici segmenta (0, T) na kojem je definirana originalna funkcija f(x). Drugim riječima, periodi harmonika su višekratnici trajanja mjerenja signala. Na primjer, period prvog harmonika Fourierovog reda jednak je intervalu T na kojem je definirana funkcija f(x). Period drugog harmonika Fourierovog reda jednak je intervalu T/2. I tako dalje (vidi sliku 8).
sl.8 Periodi (frekvencije) harmonijskih komponenti Furijeovog reda (ovde T=2π)
Shodno tome, frekvencije harmonijskih komponenti su višekratne od 1/T. Odnosno, frekvencije harmonijskih komponenti Fk jednake su Fk= k\T, gdje se k kreće od 0 do ∞, na primjer, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (na nultoj frekvenciji - konstantna komponenta).
Neka naša originalna funkcija bude signal snimljen T=1 sek. Tada će period prvog harmonika biti jednak trajanju našeg signala T1=T=1 sek, a frekvencija harmonika je 1 Hz. Period drugog harmonika će biti jednak trajanju signala podeljenom sa 2 (T2=T/2=0,5 sek), a frekvencija je 2 Hz. Za treći harmonik T3=T/3 sec i frekvencija je 3 Hz. I tako dalje.
Korak između harmonika u ovom slučaju je 1 Hz.
Dakle, signal u trajanju od 1 sekunde može se razložiti na harmonijske komponente (da bi se dobio spektar) sa frekvencijskom rezolucijom od 1 Hz. Da biste povećali rezoluciju za 2 puta na 0,5 Hz, potrebno je povećati trajanje mjerenja za 2 puta - do 2 sekunde. Signal u trajanju od 10 sekundi može se razložiti na harmonijske komponente (da bi se dobio spektar) sa frekvencijskom rezolucijom od 0,1 Hz. Ne postoje drugi načini za povećanje rezolucije frekvencije.
Postoji način da se vještački poveća trajanje signala dodavanjem nula nizu uzoraka. Ali to ne povećava rezoluciju stvarne frekvencije.
3. Diskretni signali i diskretna Fourierova transformacija
Razvojem digitalne tehnologije promijenili su se i načini pohranjivanja mjernih podataka (signala). Ako se ranije signal mogao snimiti na magnetofon i pohraniti na traku u analognom obliku, sada se signali digitaliziraju i pohranjuju u datoteke u memoriji računala kao skup brojeva (brojeva).Uobičajena shema za mjerenje i digitalizaciju signala je sljedeća.
sl.9 Šema mjernog kanala
Signal iz mjernog pretvarača stiže do ADC-a tokom vremenskog perioda T. Uzorci signala (uzorak) dobijeni tokom vremena T se prenose u računar i pohranjuju u memoriju.
sl.10 Digitalizovan signal - N očitavanja primljena u vremenu T
Koji su zahtjevi za parametre digitalizacije signala? Uređaj koji pretvara ulazni analogni signal u diskretni kod (digitalni signal) naziva se analogno-digitalni pretvarač (ADC, engleski analogno-digitalni pretvarač, ADC) (Wiki).
Jedan od glavnih parametara ADC-a je maksimalna brzina uzorkovanja (ili brzina uzorkovanja, engleski sample rate) - frekvencija uzimanja uzoraka signala neprekidnog u vremenu tokom njegovog uzorkovanja. Mjereno u hercima. ((Wiki))
Prema teoremi Kotelnikova, ako kontinuirani signal ima spektar ograničen frekvencijom Fmax, tada se može potpuno i jedinstveno obnoviti iz svojih diskretnih uzoraka uzetih u vremenskim intervalima 
, tj. sa frekvencijom Fd ≥ 2*Fmax, gdje je Fd - frekvencija uzorkovanja; Fmax - maksimalna frekvencija spektra signala. Drugim riječima, brzina uzorkovanja signala (ADC brzina uzorkovanja) mora biti najmanje 2 puta veća od maksimalne frekvencije signala koju želimo izmjeriti.
A šta će se dogoditi ako uzmemo očitanja s nižom frekvencijom nego što to zahtijeva Kotelnikova teorema?
U ovom slučaju dolazi do efekta "aliasinga" (aka stroboskopski efekat, moiré efekat) u kojem se visokofrekventni signal nakon digitalizacije pretvara u niskofrekventni signal koji zapravo ne postoji. Na sl. 11 visokofrekventni crveni sinusni talas je pravi signal. Plavi sinusni talas niže frekvencije je lažni signal koji je rezultat činjenice da više od pola perioda visokofrekventnog signala ima vremena da prođe tokom vremena uzorkovanja.
Rice. 11. Pojava lažnog niskofrekventnog signala kada brzina uzorkovanja nije dovoljno visoka
Da bi se izbjegao efekat aliasinga, ispred ADC-a se postavlja poseban anti-aliasing filter - LPF (low-pass filter), koji propušta frekvencije ispod polovine frekvencije uzorkovanja ADC-a, a odsijeca veće frekvencije.
Da bi se izračunao spektar signala iz njegovih diskretnih uzoraka, koristi se diskretna Fourierova transformacija (DFT). Još jednom napominjemo da je spektar diskretnog signala "po definiciji" ograničen frekvencijom Fmax, koja je manja od polovine frekvencije uzorkovanja Fd. Stoga se spektar diskretnog signala može predstaviti zbirom konačnog broja harmonika, za razliku od beskonačne sume za Fourierov niz kontinuiranog signala, čiji spektar može biti neograničen. Prema teoremi Kotelnikova, maksimalna frekvencija harmonika mora biti takva da obuhvata najmanje dva uzorka, tako da je broj harmonika jednak polovini broja uzoraka diskretnog signala. To jest, ako u uzorku ima N uzoraka, tada će broj harmonika u spektru biti jednak N/2.
Razmotrimo sada diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT).
Poređenje sa Fourierovim redom
vidimo da se poklapaju, osim što je vrijeme u DFT-u diskretno i broj harmonika je ograničen na N/2 - polovinu broja uzoraka.
DFT formule su zapisane u bezdimenzionalnim cjelobrojnim varijablama k, s, gdje su k brojevi uzoraka signala, s brojevi spektralnih komponenti. Vrijednost s pokazuje broj punih oscilacija harmonika u periodu T (trajanje mjerenja signala). Diskretna Fourierova transformacija se koristi za numerički pronalaženje amplituda i faza harmonika, tj. "na kompjuteru"
Da se vratimo na rezultate dobijene na početku. Kao što je gore pomenuto, kada se proširi neperiodična funkcija (naš signal) u Fourierov niz, rezultujući Fourierov red zapravo odgovara periodičnoj funkciji sa periodom T. (Sl. 12).
sl.12 Periodična funkcija f(x) sa periodom T0, sa periodom merenja T>T0
Kao što se može vidjeti na slici 12, funkcija f(x) je periodična sa periodom T0. Međutim, zbog činjenice da se trajanje mjernog uzorka T ne poklapa s periodom funkcije T0, funkcija dobijena kao Fourierov red ima diskontinuitet u tački T. Kao rezultat toga, spektar ove funkcije će sadrže veliki broj visokofrekventnih harmonika. Ako bi se trajanje mjernog uzorka T poklopilo s periodom funkcije T0, tada bi u spektru dobivenom nakon Fourierove transformacije bio prisutan samo prvi harmonik (sinusoid s periodom jednakim trajanju uzorka), budući da je funkcija f (x) je sinusoida.
Drugim riječima, DFT program "ne zna" da je naš signal "komad sinusnog vala", ali pokušava da predstavi periodičnu funkciju kao niz, koji ima prazninu zbog nekonzistentnosti pojedinačnih dijelova sinusni talas.
Kao rezultat, u spektru se pojavljuju harmonici, koji bi ukupno trebali predstavljati oblik funkcije, uključujući i ovaj diskontinuitet.
Dakle, da bi se dobio "tačan" spektar signala, koji je zbir nekoliko sinusoida sa različitim periodima, potrebno je da cijeli broj perioda svake sinusoide stane u period mjerenja signala. U praksi, ovaj uslov se može ispuniti za dovoljno dugo trajanje mjerenja signala.
Sl.13 Primjer funkcije i spektra signala kinematičke greške mjenjača
Sa kraćim trajanjem, slika će izgledati "gore":
Slika 14 Primjer funkcije i spektra vibracijskog signala rotora
U praksi može biti teško razumjeti gdje su "prave komponente", a gdje "artefakti" uzrokovani nevišestrukim periodima komponenti i trajanjem uzorka signala ili "skokovima i prekidima" talasni oblik. Naravno, riječi "stvarne komponente" i "artefakti" nisu uzalud citirane. Prisustvo mnogih harmonika na grafu spektra ne znači da se naš signal zapravo „sastoji“ od njih. To je kao da mislite da se broj 7 "sastoji" od brojeva 3 i 4. Broj 7 se može predstaviti kao zbir brojeva 3 i 4 - to je tačno.
Tako je i naš signal ... ili bolje rečeno, čak ni "naš signal", već periodična funkcija sastavljena ponavljanjem našeg signala (uzorkovanje) može se predstaviti kao zbir harmonika (sinusoida) sa određenim amplitudama i fazama. Ali u mnogim slučajevima važnim za praksu (vidi gornje slike), zaista je moguće povezati harmonike dobijene u spektru sa stvarnim procesima koji su ciklične prirode i daju značajan doprinos obliku signala.
Neki rezultati
1. Stvarni izmjereni signal, trajanje T sec, digitaliziran ADC-om, odnosno predstavljen skupom diskretnih uzoraka (N komada), ima diskretni neperiodični spektar, predstavljen skupom harmonika (N/2 komada ).2. Signal je predstavljen skupom realnih vrijednosti, a njegov spektar je predstavljen skupom realnih vrijednosti. Harmoničke frekvencije su pozitivne. Činjenica da je matematičarima pogodnije predstaviti spektar u složenom obliku koristeći negativne frekvencije ne znači da je „točno“ i „to bi uvijek trebalo raditi na ovaj način“.
3. Signal mjeren na vremenskom intervalu T određen je samo na vremenskom intervalu T. Šta se dešavalo prije nego što smo počeli mjeriti signal, a šta će se dogoditi nakon toga - to je nepoznato nauci. A u našem slučaju - nije zanimljivo. DFT vremenski ograničenog signala daje njegov "pravi" spektar, u smislu da, pod određenim uslovima, omogućava izračunavanje amplitude i frekvencije njegovih komponenti.
Korišteni materijali i drugi korisni materijali.
FourierScope je program za konstruisanje radio signala i njihovu spektralnu analizu. Graph je program otvorenog koda za kreiranje matematičkih grafova. DISKRETNA FOURIEROVA TRANSFORMACIJA - KAKO SE TO RADI Diskretna Fourierova transformacija (DFT)