Kaip atskleisti n faktorialą 1. Kodėl nulio faktorialas lygus vienetui? Kas yra faktorialai ir kaip juos išspręsti

Kombinatorika yra, kaip rodo pats pavadinimas, matematikos šaka, tirianti įvairius dalykus rinkiniai arba deriniai bet kokie objektai (elementai) – skaičiai, daiktai, raidės žodžiuose ir kt. Labai įdomus skyrius.) Bet dėl ​​vienokių ar kitokių priežasčių sunku suprasti. Kodėl? Kadangi jame dažnai yra terminų ir simbolių, kurie yra sunkesni vizualiniam suvokimui. Jei simboliai yra 10, 2, 3/4 ir lyginiai, arba log 2 5 mums vizualiai aiškūs, t.y. mes galime juos kažkaip „jausti“, tada su pavadinimais kaip 15!,P9 ... prasideda problemos. Be to, daugumoje vadovėlių ši tema pateikiama gana sausai ir sunkiai suprantama. Tikiuosi, kad ši medžiaga bent šiek tiek padės išspręsti šias problemas ir jums patiks kombinatorika.)

Kiekvienas iš mūsų kiekvieną dieną susiduriame su kombinacinėmis problemomis. Kai ryte nusprendžiame, kaip rengtis, mes sujungti tam tikrų tipų drabužius. Kai ruošiame salotas, sudedame ingredientus. Rezultatas priklauso nuo to, koks produktų derinys pasirenkamas – skanus ar neskanus. Tiesa, skonio klausimus sprendžia jau ne matematika, o kulinarija, bet vis dėlto.) Kai žaidžiame „žodžius“, iš vieno ilgo sudėliodami mažus žodžius, deriname raides. Kai atidarome kodinę užraktą arba surinkome telefono numerį, numerius sujungiame.) Mokyklos vadovas sudaro pamokų grafikus, derindamas dalykus. Futbolo rinktinės pasaulio ar Europos čempionatuose yra suskirstytos į grupes, sudarydamos derinius. Ir taip toliau.)

Kombinatorines problemas žmonės spręsdavo senovėje (stebuklingi kvadratai, šachmatai), o tikras kombinatorikos suklestėjimas atėjo VI-VII a., plačiai paplitus azartiniams lošimams (kortos, kauliukai), kai žaidėjams reikėjo apgalvoti įvairius judesius. ir taip iš tikrųjų sprendžia kombinatorinius uždavinius.) Kartu su kombinatorika gimė ir kita matematikos šaka – tikimybių teorija . Šios dvi dalys yra labai artimos ir eina koja kojon.) O studijuodami tikimybių teoriją dažnai susidursime su kombinatorikos problemomis.

O kombinatorikos studijas pradėsime nuo tokios kertinės koncepcijos kaip faktorinis .

Kas yra faktorialus?

Gražus žodis „faktorialus“, bet daugelį gąsdina ir glumina. Bet veltui. Šioje pamokoje mes suprasime ir sunkiai dirbsime su šia paprasta sąvoka.) Šis žodis kilęs iš lotynų kalbos „factorialis“, reiškiančio „dauginti“. Ir dėl geros priežasties: bet koks faktorialas apskaičiuojamas pagal įprastą daugyba.)) Taigi, kas yra faktorialas.

Paimkime šiek tiek natūralusis skaičius n . Visiškai savavališka: norime 2, norime 10, - bet ko, jei tai natūralu.) Taigi, natūraliojo skaičiaus faktorialas n yra visų natūraliųjų skaičių sandauga iš Nuo 1 iki n imtinai. Jis pažymėtas taip: n! Tai yra,

Kad šio ilgo darbo nenupieštų kiekvieną kartą, jie tiesiog sugalvojo trumpą užrašą. :) Skaitoma kiek neįprastai: „en faktorial“ (o ne atvirkščiai „factorial en“, kaip gali atrodyti).

Štai ir viskas! Pavyzdžiui,

Ar supratote idėją?)) Puiku! Tada apsvarstykite pavyzdžius:

Atsakymai (netvarkingai): 30; 0,1; 144; 6; 720; 2; 5040.

Viskas pavyko? Nuostabu! Jau mokame skaičiuoti faktorialus ir jais spręsti paprastus pavyzdžius. Pirmyn. :)

Gamyklinės savybės

Apsvarstykite išraišką 0, kuri faktorialo apibrėžimo požiūriu nėra labai aiški! Taigi matematikoje sutariama, kad

Taip taip! Tai įdomi lygybė. Kas yra iš vieno, kas yra iš nulio, faktorialas yra tas pats - vienas.)) Kol kas šią lygybę laikykime dogma, bet kodėl taip yra, paaiškės šiek tiek vėliau su pavyzdžiais.))

Šios dvi savybės yra labai panašios:

Jie įrodomi elementariai. Visai kaip faktorialas.)

Šios dvi formulės leidžia, pirma, lengvai apskaičiuoti esamo natūraliojo skaičiaus faktorialą per faktorialą ankstesnis skaičių. Arba toliau per dabartinę.) Tokios formulės matematikoje vadinamos pasikartojantis.

Antra, naudodamiesi šiomis formulėmis galite supaprastinti ir apskaičiuoti kai kurias sudėtingas išraiškas faktorialais. Kažkaip taip.

Apskaičiuoti:

Kaip pasielgsime? Iš eilės padauginti visus natūraliuosius skaičius nuo 1 iki 1999 ir nuo 1 iki 2000? Tai beprotiška! Tačiau pagal savybes pavyzdys išspręstas pažodžiui vienoje eilutėje:

Arba taip:

Arba tokia užduotis. Supaprastinti:

Vėlgi, mes dirbame tiesiogiai su savybėmis:

Kodėl reikalingi faktorialai ir iš kur jie atsirado? Na, kam jie reikalingi – filosofinis klausimas. Matematikoje, grynai dėl grožio, nieko nevyksta.)) Tiesą sakant, faktorialas turi labai daug pritaikymų. Tai yra Niutono dvejetainis, ir tikimybių teorija, ir eilutė, ir Teiloro formulė, ir net garsusis skaičiuse , kuri yra tokia įdomi begalinė suma:

Kuo daugiau klausėn , tuo didesnis terminų skaičius sumoje ir tuo ši suma bus artimesnė skaičiuie . Ir į riba kai jis tampa lygiai lygus skaičiuie . :) Bet apie šį nuostabų skaičių pakalbėsime atitinkamoje temoje. Ir čia yra faktorialai ir kombinatorika.)

Iš kur jie atsirado? Jie atėjo kaip tik iš kombinatorikos, iš elementų aibių tyrimo.) Paprasčiausia tokia aibė yra permutacija be pasikartojimo. Pradėkime nuo jos. :)

Permutacija be pasikartojimo

Tarkime, kad turime du įvairių objektas. Arba elementas. Visiškai bet koks. Du obuoliai (raudoni ir žali), du saldainiai (šokoladinis ir karamelė), dvi knygos, du skaičiai, dvi raidės, bet kas. Jei tik jie būtų įvairių.) Paskambinkime jiemsA IrB atitinkamai.

Ką su jais galima padaryti? Jei tai yra saldumynai, tada, žinoma, galite juos valgyti.)) Kol kas mes juos toleruosime ir mes išdėstyti kita tvarka.

Kiekvienas toks susitarimas vadinamas permutacija be pasikartojimo. Kodėl „nėra pasikartojimo“? Kadangi visi elementai, dalyvaujantys permutacijoje skirtinga. Taip iki šiol nusprendėme dėl paprastumo. Ar yra daugiau permutacija su pasikartojimu, kur kai kurie elementai gali būti vienodi. Tačiau tokios permutacijos yra šiek tiek sudėtingesnės. Daugiau apie juos vėliau.)

Taigi, jei atsižvelgiama į du skirtingus elementus, galimos šios parinktys:

AB , B A .

Galimi tik du variantai, t.y. dvi permutacijos. Nedaug.)

Dabar į savo rinkinį įtraukime dar vieną elementą.C . Šiuo atveju bus šeši permutacijos:

ABC , ACB , BAC , BCA , TAKSI , CBA .

Keturių elementų permutacijos bus sudarytos taip. Pirmiausia įdėkite elementą į pirmąją vietąA . Tuo pačiu metu likę trys elementą galima pertvarkyti, kaip jau žinome, šeši būdai:

Taigi permutacijų su pirmuoju elementu skaičiusA lygus 6.

Tačiau ta pati istorija paaiškės, jei įdėsime pirmąją vietą bet koks iš šių keturių elementų. Jie yra lygūs ir visi nusipelno būti pirmoje vietoje.) Taigi bendras keturių elementų permutacijų skaičius bus lygus . Jie yra čia:

Taigi, pakartokime: permutacija iš n elementai vadinami bet kuriais užsakytašių rinkinys nelementai .

Žodis „užsakyta“ čia yra pagrindinis: kiekviena permutacija skiriasi tik elementų tvarka, o rinkinio elementai išlieka tokie patys.

Belieka tik išsiaiškinti, iš kokio skaičiaus tokių permutacijų bet koks elementų skaičius: mes nesame mazochistai, todėl kiekvieną kartą išrašome Visiįvairių variantų ir juos suskaičiuokite. :) 4 elementams gavome 24 permutacijas - tai jau nemaža vizualiniam suvokimui. O jei yra 10 elementų? Arba 100? Būtų puiku sukurti formulę, kuri vienu ypu suskaičiuotų visų tokių permutacijų skaičių bet kokiam elementų skaičiui. Ir yra tokia formulė! Dabar mes ją išvesime.) Bet pirmiausia suformuluojame vieną pagalbinę taisyklę, kuri yra labai svarbi visoje kombinatorikoje, vadinama gaminio taisyklė .

Produkto taisyklė: jei rinkinyje yra n skirtingos pirmojo elemento pasirinkimo galimybės, ir kiekvienam iš jų yra m skirtingos antrojo elemento pasirinkimo galimybės, tada galima sudaryti bendrą sumą n m skirtingos šių elementų poros.

Dabar turėkime rinkinįn įvairių elementų

,

kur, žinoma, . Turime suskaičiuoti visų galimų permutacijų skaičių iš šio rinkinio elementų. Mes ginčijamės lygiai taip pat.)) Pirmiausia galite įdėti bet kurį iš šiųn elementai. Tai reiškia kad pirmojo elemento pasirinkimo būdų skaičius yra n .

Dabar įsivaizduokite, kad pasirinkome pirmąjį elementą (n būdais, kaip prisimename). Kiek rinkinyje liko nepasirinktų elementų? Teisingai,n-1 . :) Tai reiškia, kad galima pasirinkti tik antrą elementąn-1 būdai. Trečias -n-2 būdais (nes jau pasirinktos 2 prekės). Ir taip toliau, galima pasirinkti k-tą elementąn-(k-1) būdai, priešpaskutinis – dviem būdais, o paskutinis – tik vienu būdu, nes visi kiti elementai jau buvo vienaip ar kitaip pasirinkti. :)

Na, dabar mes sudarome formulę.

Taigi, kelių būdų, kaip pasirinkti pirmąjį elementą iš rinkinio, skaičius yra toksn . Įjungta kas iš jųn būdain-1 būdas pasirinkti antrąjį. Tai reiškia, kad bendras 1 ir 2 elementų pasirinkimo būdų skaičius pagal gaminio taisyklė, bus lygusn(n-1) . Be to, kiekvienas iš jų, savo ruožtu, sudaron-2 būdas pasirinkti trečiąjį elementą. Reiškia, trys elementą galima pasirinktin(n-1)(n-2) būdai. Ir taip toliau:

4 elementai - būdai,

k elementų būdais,

n elementų būdais.

Reiškia, nelementai gali būti pasirenkami (arba mūsų atveju – išdėstyti) būdai.

Tokių būdų skaičius nurodytas taip:P n . Jame parašyta: „pe iš en“. iš prancūzų kalbos" P ermutacija – permutacija“. Išvertus į rusų kalbą reiškia: "permutacija iš n elementai".

Reiškia,

Dabar pažvelkime į išraiškądešinėje formulės pusėje. Ar tai tau nieko neprimena? O jei perrašytum iš dešinės į kairę, taip?

Na žinoma! Faktiškai, asmeniškai. :) Dabar galime trumpai parašyti:

Reiškia, numerį visi galimos permutacijos iš n skirtingi elementai n! .

Tai yra pagrindinė faktorialo praktinė reikšmė.))

Dabar galime lengvai atsakyti į daugelį klausimų, susijusių su deriniais ir permutacijomis.)

Keliais būdais į lentyną galima sudėti 7 skirtingas knygas?

P 7 = 7! = 12 3 4 5 6 7 = 5040 būdai.)

Kiek būdų galite sudaryti 6 skirtingų dalykų tvarkaraštį (vienai dienai)?

P6 = 6! = 12 3 4 5 6 = 720 būdai.

Kiek būdų kolonoje gali būti išdėstyta 12 žmonių?

Jokiu problemu! P 12 = 12! = 12 3 ... 12 = 479001600 būdai. :)

Tai puiku, tiesa?

Permutacijų tema yra viena labai gerai žinoma pokštų problema:

Kartą 8 draugai užėjo į restoraną, kuriame buvo didelis apvalus stalas, ir ilgai ginčijosi, kaip jiems geriau sėdėti prie šio stalo. Jie ginčijosi ir ginčijosi, kol galiausiai restorano savininkas pasiūlė jiems susitarti: „Dėl ko jūs ginčijatės? Nė vienas iš jūsų taip ir neliks alkanas :) Sėskite kaip nors pradėti! Prisiminkite šios dienos sėdimą vietą. Tada grįžk rytoj ir atsisėsk kitaip. Kitą dieną ateik ir vėl atsisėsk nauju būdu! Ir taip toliau... Kai tik peržvelgsite visus įmanomus sėdėjimo variantus ir ateis laikas vėl sėsti taip, kaip šiandien, tada taip ir bus, pažadu, kad maitinsite mano restorane nemokamai! Kas laimės – savininkas ar lankytojai? :)

Na, mes atsižvelgiame į visų galimų sėdėjimo variantų skaičių. Mūsų atveju tai yra 8 elementų permutacijų skaičius:

P8 = 8! = 40320 būdų.

Tegul turime 365 dienas per metus (paprastumo dėlei į keliamuosius metus neatsižvelgsime). Taigi, net ir darant šią prielaidą, prireiks metų, kad išbandytumėte visus įmanomus nusileidimo būdus:

Daugiau nei 110 metų! Tai yra, net jei mūsų herojus vežimėliuose į restoraną mamos atveš tiesiai iš ligoninės, nemokamą maitinimą jie galės gauti tik sulaukę labai pagyvenusių šimtamečių. Nebent, žinoma, visi aštuoni sugyventų iki tokio amžiaus.))

Taip yra todėl, kad faktorialas yra labai greitai auganti funkcija! Pasižiūrėk pats:

Beje, ką daro lygybės ir1! = 1 ? Ir štai kaip: iš tuščio rinkinio (0 elementų) galime tik sudaryti vienas permutacija yra tuščias rinkinys. :) Kaip ir iš rinkinio, susidedančio tik iš vieno elemento, taip pat galime komponuoti tik vienas permutacija – pats šis elementas.

Ar viskas aišku su permutacijomis? Puiku, tada atlikime užduotis.)

1 pratimas

Apskaičiuoti:

A)P3 b)P5

IN)P9:P8 G)P 2000: P 1999

2 užduotis

Ar tiesa, kad

3 užduotis

Kiek skirtingų 4 skaitmenų skaičių galima sudaryti

a) iš skaičių 1, 2, 3, 4

b) iš skaičių 0, 5, 6, 7?

Patarimas dėl b punkto): skaičius negali prasidėti skaičiumi 0!

4 užduotis

Vadinami žodžiai ir frazės su pertvarkytomis raidėmis anagramos. Kiek anagramų galite padaryti su hipotenuze?

5 užduotis

Kiek penkiaženklių skaičių, dalijamų iš 4, galima sudaryti sukeitus skaitmenis skaičiuje 61135?

Užuomina: atsiminkite dalijimosi iš 4 ženklą (iš paskutinių dviejų skaitmenų)!

Netvarkingi atsakymai: 2000; 3628800; 9; 24; 120; 18; 12; 6.

Na, viskas pavyko! Sveikiname! 1 lygis baigtas, pereikite prie kito. vadinamas " Vietos be pasikartojimo."

FAKTORIAUS.

Faktorinis - tai dažnai praktikoje sutinkamos funkcijos pavadinimas, apibrėžiamas neneigiamiems sveikiesiems skaičiams. Funkcijos pavadinimas kilęs iš angliško matematinio termino veiksnys- "daugiklis". Jis yra paskirtas n!. Faktinis ženklas " ! “ buvo pristatytas 1808 metais prancūzų kalbos vadovėlyje Chr. Krump.

Kiekvienam teigiamam sveikajam skaičiui n funkcija n! yra lygus visų sveikųjų skaičių sandaugai iš 1 prieš n.

Pavyzdžiui:

4! = 1*2*3*4 = 24.

Patogumui darome prielaidą pagal apibrėžimą 0! = 1 . Tai, kad nulis – faktorialas pagal apibrėžimą turėtų būti lygus vienetui, J. Vallis 1656 metais parašė knygoje „Begalybės aritmetika“.

Funkcija n! auga didėjant n labai greitai. Taigi,

(n + 1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)! (1)

Anglų matematikas J. Stirlingas 1970 metais pasiūlė labai patogų formulę norint apytiksliai apskaičiuoti funkciją n!:

Kur e = 2,7182... yra natūraliųjų logaritmų pagrindas.

Santykinė paklaida naudojant šią formulę yra labai maža ir greitai mažėja, kai skaičius n didėja.

Apsvarstysime reiškinių, turinčių faktorių, sprendimo būdus naudodami pavyzdžius.

1 pavyzdys. (n! + 1)! = (n! + 1) n! .

2 pavyzdys. Apskaičiuoti 10! 8!

Sprendimas. Mes naudojame formulę (1):

10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!

3 pavyzdys. išspręskite lygtį (n + 3)! = 90 (n + 1)!

Sprendimas. Pagal (1) formulę turime

= (n + 3) (n + 2) = 90.

(n + 3)! = (n + 3)(n+2)(n+1)!(n + 1)! (n + 1)!

Išplėsdami gaminio skliaustus, gauname kvadratinę lygtį

n 2 + 5n - 84 = 0, kurių šaknys yra skaičiai n = 7 ir n = -12. Tačiau faktorialas apibrėžiamas tik neneigiamiems sveikiesiems skaičiams, t.y. visiems sveikiesiems skaičiams n ≥ 0. Todėl skaičius n = -12 netenkina uždavinio sąlygos. Taigi n = 7.

4 pavyzdys Raskite bent vieną natūraliųjų skaičių trigubą x, y ir z, kurių lygybė x! =y! z!.

Sprendimas. Iš natūraliojo skaičiaus n faktorialo apibrėžimo išplaukia, kad

(n+1)! = (n + 1) n!

Į šią lygybę įtraukiame n + 1 = y! = x, Kur adresu yra savavališkas natūralusis skaičius, gauname

Dabar matome, kad formoje galima nurodyti norimus skaičių trigubus

(y!;y;y!-1) (2)

kur y yra natūralusis skaičius, didesnis už 1.

Pavyzdžiui, lygybės

5 pavyzdys Nustatykite, kiek nulių baigiasi skaičiaus 32 dešimtainis vaizdas!

Sprendimas. Jei dešimtainis žymėjimas R= 32! baigiasi k nuliai, tada skaičius R gali būti pavaizduotas kaip

P = q 10 tūkst.,

kur numeris q nesidalija iš 10. Tai reiškia, kad skaičiaus išplėtimas qĮ pirminius veiksnius nėra ir 2, ir 5.

Todėl norėdami atsakyti į pateiktą klausimą, pabandykime nustatyti, su kokiais rodikliais sandauga 1 2 3 4 ... 30 31 32 apima skaičius 2 ir 5. Jei skaičius k- mažiausias iš rastų rodiklių, tada skaičius P baigsis k nuliai.

Taigi, nustatykime, kiek skaičių tarp natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 32 dalijasi iš 2. Akivaizdu, kad jų skaičius yra 32/2 = 16. Tada nustatome, kiek iš 16 rastų skaičių dalijasi iš 4; tada - kiek iš jų dalijasi iš 8 ir tt Dėl to gauname, kad tarp trisdešimt dviejų pirmųjų natūraliųjų skaičių 16 skaičių dalijasi iš 2,

iš kurių 32/4 = 8 skaičiai dalijasi iš 4, iš kurių 32/8 = 4 skaičiai dalijasi iš 8, iš kurių 32/16 = 2 skaičiai dalijasi iš 16 ir galiausiai, iš kurių 32/32 = 1 yra dalijasi iš 32, tie. vienas skaičius. Aišku, kad gautų kiekių suma:

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

yra lygus eksponentui, su kuriuo skaičius 2 įtrauktas į 32!.

Panašiai nustatome, kiek skaičių tarp natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 32 dalijasi iš 5, o iš rasto skaičiaus – iš 10. Padalinkite 32 iš 5.

Gauname 32/5 = 6,4. Todėl tarp natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 32

yra 6 skaičiai, kurie dalijasi iš 5. Iš jų vienas dalijasi iš 25

numeris, nuo 32/25 = 1,28. Dėl to skaičius 5 įtrauktas į skaičių 32! su rodikliu, lygiu sumai 6+1 = 7.

Iš gautų rezultatų matyti, kad 32!= 2 31 5 7 T, kur numeris T nesidalija iš 2 ar 5. Todėl skaičius 32! yra daugiklis

10 7 ir todėl baigiasi 7 nuliais.

Taigi, šiame rašinyje apibrėžiama faktorialo sąvoka.

Anglų matematiko J. Stirlingo formulė funkcijos n apytikriam skaičiavimui!

Konvertuojant išraiškas, kuriose yra faktorialas, naudinga naudoti lygybę

(n + 1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)!

Pavyzdžiuose išsamiai parodyta, kaip išspręsti problemas naudojant faktorialą.

Faktorius naudojamas įvairiose formulėse kombinatorika, gretose ir kt.

Pavyzdžiui, rikiuotės būdų skaičius n moksleiviai vienoje eilutėje lygūs n!.

Skaičius n! lygus, pavyzdžiui, skaičiui būdų, kuriais knygų lentynoje galima išdėstyti n skirtingų knygų, arba, pavyzdžiui, skaičiui 5! yra lygus būdų, kuriais penki žmonės gali pasodinti viename suole, skaičiui. Arba, pavyzdžiui, skaičius 27! lygus skaičiui būdų, kaip mūsų klasė, kurią sudaro 27 mokiniai, gali išsirikiuoti į fizinį aktyvumą.

Literatūra.

Ryazanovskis A.R., Zaicevas E.A.

Matematika. 5-11 klasės: Papildoma medžiaga matematikos pamokai. -M.: Bustard, 2001.- (Mokytojo biblioteka).

Enciklopedinis jauno matematiko žodynas. /Comp. A.P.Savin.-M.: Pedagogika, 1985 m

Matematika. Mokinio vadovas. /Comp. G.M. Jakuševa.- M.: Filologas. Draugija „Slovo“, 1996 m.

FAKTORIAUS.

Faktorinis - tai dažnai praktikoje sutinkamos funkcijos pavadinimas, apibrėžiamas neneigiamiems sveikiesiems skaičiams. Funkcijos pavadinimas kilęs iš angliško matematinio termino veiksnys- "daugiklis". Jis yra paskirtas n!. Faktinis ženklas " ! “ buvo pristatytas 1808 metais prancūzų kalbos vadovėlyje Chr. Krump.

Kiekvienam teigiamam sveikajam skaičiui n funkcija n! yra lygus visų sveikųjų skaičių sandaugai iš 1 prieš n.

Pavyzdžiui:

4! = 1*2*3*4 = 24.

Patogumui darome prielaidą pagal apibrėžimą 0! = 1 . Tai, kad nulis – faktorialas pagal apibrėžimą turėtų būti lygus vienetui, J. Vallis 1656 metais parašė knygoje „Begalybės aritmetika“.

Funkcija n! auga didėjant n labai greitai. Taigi,

(n + 1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)! (1)

Anglų matematikas J. Stirlingas 1970 metais pasiūlė labai patogų formulę norint apytiksliai apskaičiuoti funkciją n!:

Kur e = 2,7182... yra natūraliųjų logaritmų pagrindas.

Santykinė paklaida naudojant šią formulę yra labai maža ir greitai mažėja, kai skaičius n didėja.

Apsvarstysime reiškinių, turinčių faktorių, sprendimo būdus naudodami pavyzdžius.

1 pavyzdys. (n! + 1)! = (n! + 1) n! .

2 pavyzdys. Apskaičiuoti 10! 8!

Sprendimas. Mes naudojame formulę (1):

10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!

3 pavyzdys. išspręskite lygtį (n + 3)! = 90 (n + 1)!

Sprendimas. Pagal (1) formulę turime

= (n + 3) (n + 2) = 90.

(n + 3)! = (n + 3)(n+2)(n+1)!(n + 1)! (n + 1)!

Išplėsdami gaminio skliaustus, gauname kvadratinę lygtį

n 2 + 5n - 84 = 0, kurių šaknys yra skaičiai n = 7 ir n = -12. Tačiau faktorialas apibrėžiamas tik neneigiamiems sveikiesiems skaičiams, t.y. visiems sveikiesiems skaičiams n ≥ 0. Todėl skaičius n = -12 netenkina uždavinio sąlygos. Taigi n = 7.

4 pavyzdys Raskite bent vieną natūraliųjų skaičių trigubą x, y ir z, kurių lygybė x! =y! z!.

Sprendimas. Iš natūraliojo skaičiaus n faktorialo apibrėžimo išplaukia, kad

(n+1)! = (n + 1) n!

Į šią lygybę įtraukiame n + 1 = y! = x, Kur adresu yra savavališkas natūralusis skaičius, gauname

Dabar matome, kad formoje galima nurodyti norimus skaičių trigubus

(y!;y;y!-1) (2)

kur y yra natūralusis skaičius, didesnis už 1.

Pavyzdžiui, lygybės

5 pavyzdys Nustatykite, kiek nulių baigiasi skaičiaus 32 dešimtainis vaizdas!

Sprendimas. Jei dešimtainis žymėjimas R= 32! baigiasi k nuliai, tada skaičius R gali būti pavaizduotas kaip

P = q 10 tūkst.,

kur numeris q nesidalija iš 10. Tai reiškia, kad skaičiaus išplėtimas qĮ pirminius veiksnius nėra ir 2, ir 5.

Todėl norėdami atsakyti į pateiktą klausimą, pabandykime nustatyti, su kokiais rodikliais sandauga 1 2 3 4 ... 30 31 32 apima skaičius 2 ir 5. Jei skaičius k- mažiausias iš rastų rodiklių, tada skaičius P baigsis k nuliai.

Taigi, nustatykime, kiek skaičių tarp natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 32 dalijasi iš 2. Akivaizdu, kad jų skaičius yra 32/2 = 16. Tada nustatome, kiek iš 16 rastų skaičių dalijasi iš 4; tada - kiek iš jų dalijasi iš 8 ir tt Dėl to gauname, kad tarp trisdešimt dviejų pirmųjų natūraliųjų skaičių 16 skaičių dalijasi iš 2,

iš kurių 32/4 = 8 skaičiai dalijasi iš 4, iš kurių 32/8 = 4 skaičiai dalijasi iš 8, iš kurių 32/16 = 2 skaičiai dalijasi iš 16 ir galiausiai, iš kurių 32/32 = 1 yra dalijasi iš 32, tie. vienas skaičius. Aišku, kad gautų kiekių suma:

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

yra lygus eksponentui, su kuriuo skaičius 2 įtrauktas į 32!.

Panašiai nustatome, kiek skaičių tarp natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 32 dalijasi iš 5, o iš rasto skaičiaus – iš 10. Padalinkite 32 iš 5.

Gauname 32/5 = 6,4. Todėl tarp natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 32

yra 6 skaičiai, kurie dalijasi iš 5. Iš jų vienas dalijasi iš 25

numeris, nuo 32/25 = 1,28. Dėl to skaičius 5 įtrauktas į skaičių 32! su rodikliu, lygiu sumai 6+1 = 7.

Iš gautų rezultatų matyti, kad 32!= 2 31 5 7 T, kur numeris T nesidalija iš 2 ar 5. Todėl skaičius 32! yra daugiklis

10 7 ir todėl baigiasi 7 nuliais.

Taigi, šiame rašinyje apibrėžiama faktorialo sąvoka.

Anglų matematiko J. Stirlingo formulė funkcijos n apytikriam skaičiavimui!

Konvertuojant išraiškas, kuriose yra faktorialas, naudinga naudoti lygybę

(n + 1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)!

Pavyzdžiuose išsamiai parodyta, kaip išspręsti problemas naudojant faktorialą.

Faktorius naudojamas įvairiose formulėse kombinatorika, gretose ir kt.

Pavyzdžiui, rikiuotės būdų skaičius n moksleiviai vienoje eilutėje lygūs n!.

Skaičius n! lygus, pavyzdžiui, skaičiui būdų, kuriais knygų lentynoje galima išdėstyti n skirtingų knygų, arba, pavyzdžiui, skaičiui 5! yra lygus būdų, kuriais penki žmonės gali pasodinti viename suole, skaičiui. Arba, pavyzdžiui, skaičius 27! lygus skaičiui būdų, kaip mūsų klasė, kurią sudaro 27 mokiniai, gali išsirikiuoti į fizinį aktyvumą.

Literatūra.

Ryazanovskis A.R., Zaicevas E.A.

Matematika. 5-11 klasės: Papildoma medžiaga matematikos pamokai. -M.: Bustard, 2001.- (Mokytojo biblioteka).

Enciklopedinis jauno matematiko žodynas. /Comp. A.P.Savin.-M.: Pedagogika, 1985 m

Matematika. Mokinio vadovas. /Comp. G.M. Jakuševa.- M.: Filologas. Draugija „Slovo“, 1996 m.

Užklausa primena, kodėl skaičius, padidintas iki nulinės galios, yra vienetas, užklausą, kurią išsprendžiau ankstesniame straipsnyje. Taip pat leiskite nuraminti tai, ką jau raminau anksčiau, aiškindamas šį akivaizdų, begėdiškai priimtą, bet nepaaiškinamą faktą – požiūris nėra savavališkas.

Yra trys būdai nustatyti, kodėl koeficientas nulis yra lygus vienetui.

Pilnas šablonas

1! = 1 * 1 = 1

2! = 1 * 2 = 2

3! = 1 * 2 * 3 = 6

4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Jei, (n-1)! = 1 * 2 * 3 * 4

,

(P-3) * (P-2) * (N-1)

Tada logiškai n! = 1 * 2 * 3 * 4

,

(P-3) * (p-2) * (p-1) * p

Arba, n! = n * (n-1)! - (i)

Jei atidžiai pažvelgsite į šiuos kelius, vaizdas pasirodys pats. Užbaikime, kol pavyks gauti teisėtų rezultatų:

4! / 4 = 3!

3! / 3 = 2!

2! / 2 = 1!

1! / 1 = 0!

Arba 0! = 1

Tokį rezultatą galima pasiekti tiesiog įjungus 1 prie „n“, kad gautumėte:

1! = 1 * (1-1)!

1 = 1 * 0!

Arba 0! = 1

Tačiau šis paaiškinimas nieko nepasako apie tai, kodėl neigiamų skaičių faktorialai negali egzistuoti. Pažvelkime į savo modelį dar kartą, kad sužinotume, kodėl.

2! / 2 = 1!

1! / 1 = 0!

0! / 0 =

,

Sutinku, kad šie metodai yra šiek tiek įtartini; jie atrodo gudrūs, numanomi nulio faktorialo apibrėžimo būdai. Tai tarsi ginčas dėl šiaudų. Tačiau lauke galima rasti paaiškinimą, visas jos egzistavimas priklauso nuo faktorialų skaičiavimo – kombinatorikos.

Susitarimai

Apsvarstykite, kad 4 kėdės turi būti užimtos 4 žmonėms. Pirmoje kėdėje gali užimti bet kuris iš šių keturių žmonių, todėl gautas pasirinkimų skaičius yra 4. Dabar, kai viena kėdė užimta, turime 3 variantus, kurie potencialiai galėtų būti užimti kitai kėdei. Panašiai kita kėdė reiškia du pasirinkimus, o paskutinė kėdė – vieną pasirinkimą; jis užsiėmęs paskutiniu vyru. Taigi bendras pasirinkimų skaičius yra 4x3x2x1 arba 4!. Arba galima sakyti, kad yra 4! 4 skirtingų kėdžių išdėstymo būdai.

Taigi, kai „n“ reikšmė yra nulis, kyla klausimas, kokie yra skirtingi nulinio objektų skaičiaus organizavimo būdai? Vienas, žinoma! Yra tik viena permutacija arba vienas būdas nieko sutvarkyti, nes nėra ką tvarkyti. KĄ? Tiesą sakant, tai priklauso filosofijos šakai, nors ir viena iš bjaurių ar klaidingų sampratų, kuo pirmakursiai pasitiki perskaitę Nietzsche's Pinterest citatas.

Pažvelkime į pavyzdį, kuriame yra fizinių objektų, nes tai gali pagerinti supratimą. Faktoriai taip pat yra pagrindiniai kompiuteriniai deriniai – procesas, kuris taip pat nustato mechanizmus, tačiau, skirtingai nei permutacija, dalykų tvarka nėra svarbi. Skirtumas tarp permutacijos ir derinio slypi skirtume tarp kombinuoto užrakto ir dubenėlio vaisių kubo melanžo. Kombinuotos spynos dažnai klaidingai vadinamos „kombinuotomis spynomis“, kai jos iš tikrųjų vadinamos permutacijomis, nes 123 ir 321 negali jų atrakinti.

Bendroji formulė „k“ objektų takų skaičiui nustatyti gali būti suskirstyta tarp „n“ vietų:

Kadangi norint nustatyti, kiek būdų pasirinkti arba sujungti „k“ objektus iš „n“ objektų:

Tai leidžia, tarkime, nustatyti, kiek būdų iš maišelio, kuriame yra penki skirtingų spalvų rutuliukai, galima pasirinkti du rutuliukus. Kadangi pasirinktų rutuliukų eiliškumas nėra svarbus, remiamės antrąja piešinių kombinacijų skaičiavimo formule.

Taigi, ką daryti, jei „n“ ir „k“ reikšmės yra visiškai vienodos? Pakeiskime šias reikšmes ir išsiaiškinkime. Atkreipkite dėmesį, kad nulio faktorialas gaunamas vardiklyje.

Bet kaip mes suprantame šį matematinį skaičiavimą vizualiai, atsižvelgiant į mūsų pavyzdį? Skaičiavimas iš esmės yra klausimo, kuriame klausiama, sprendimas: kiek skirtingų būdų galime pasirinkti tris rutuliukus iš maišelio, kuriame yra tik trys rutuliukai? Na žinoma! Jų pasirinkimas bet kokia tvarka neturės įtakos! Skaičiavimo lygtis su vienetu ir faktorialu iš nulio pasirodo esanti *būgno sukimas*

..

Kas yra faktorialai ir kaip juos išspręsti

Skaičiaus n faktorialas, kuris matematikoje žymimas lotyniška raide n, po kurios yra šauktukas!. Ši išraiška balsu tariama kaip „n faktorius“. Faktorius yra natūraliųjų skaičių sekos nuoseklaus dauginimo nuo 1 iki norimo skaičiaus n rezultatas. Pavyzdžiui, 5! \u003d 1 x 2 x 3 x 4 x 5 \u003d 720 Skaičiaus n faktorialas žymimas lotyniška raide n! ir tariamas en faktorialas. Tai visų natūraliųjų skaičių, pradedant nuo 1, iki skaičiaus n, nuoseklus daugyba (sandarinė). Pavyzdžiui: 6! \u003d 1 x 2 x 3 x 4 x 5 \u003d 720

Faktorius turi matematinę reikšmę tik tada, kai šis skaičius yra sveikasis skaičius ir teigiamas (natūralus). Ši reikšmė išplaukia iš paties faktorialo apibrėžimo, nes Visi natūralūs skaičiai yra neneigiami ir sveikieji skaičiai. Faktorių reikšmes, būtent sekos padauginimo iš vieno iki skaičiaus n rezultatą, galite peržiūrėti faktorių lentelėje. Tokia lentelė yra įmanoma dėl to, kad bet kurio sveikojo skaičiaus faktorialo reikšmė yra žinoma iš anksto ir yra, taip sakant, lentelės reikšmė.

Pagal apibrėžimą, 0! = 1. Tai yra, jei yra nulinis faktorialas, tai mes nieko nedauginame ir rezultatas bus pirmasis natūralusis skaičius, tai yra vienas.

Faktorinės funkcijos augimą galima pavaizduoti. Tai bus lankas, panašus į x kvadrato funkciją, kuri greitai pakils.

Factorial yra greitai auganti funkcija. Jis auga greičiau nei bet kokio laipsnio daugianario funkcija ir net eksponentinė funkcija. Faktorius auga greičiau nei bet kokio laipsnio polinomas ir eksponentinė funkcija (bet lėčiau nei dviguba eksponentinė funkcija). Štai kodėl gali būti sunku apskaičiuoti faktorialą ranka, nes rezultatas gali būti labai didelis skaičius. Kad faktorialo neskaičiuotumėte rankiniu būdu, galite pasinaudoti faktorine skaičiuokle, su kuria greitai gausite atsakymą. Faktorius naudojamas funkcinėje analizėje, skaičių teorijoje ir kombinatorikoje, kur jis turi didelę matematinę reikšmę, susietą su visų galimų netvarkingų objektų (skaičių) kombinacijų skaičiumi.

Nemokamas internetinis faktorių skaičiuoklė

Mūsų nemokamas sprendimas leidžia per kelias sekundes apskaičiuoti bet kokio sudėtingumo faktorines. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į skaičiuotuvą. Taip pat galite sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei turite klausimų, galite juos užduoti mūsų „Vkontakte“ grupėje.