Razdalja od točke m do ravnine. Težave c2 enotnega državnega izpita iz matematike za iskanje razdalje od točke do ravnine

Vzemimo neko ravnino π in poljubno točko M 0 v prostoru. Izberimo za letalo enotski normalni vektor n s začetek v neki točki M 1 ∈ π in naj bo p(M 0 ,π) razdalja od točke M 0 do ravnine π. Nato (slika 5.5)

p(M 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5,8)

od |n| = 1.

Če je ravnina π podana v pravokotni koordinatni sistem s svojo splošno enačbo Ax + By + Cz + D = 0, potem je njegov normalni vektor vektor s koordinatami (A; B; C) in kot enotski normalni vektor lahko izberemo

Naj sta (x 0 ; y 0 ; z 0) in (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinate točk M 0 in M ​​1 . Potem je izpolnjena enakost Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, saj točka M 1 pripada ravnini in lahko najdete koordinate vektorja M 1 M 0 : M 1 M 0 = (x 0 -x 1; y 0 -y 1; z 0 -z 1). zapisovanje skalarni produkt nM 1 M 0 v koordinatni obliki in transformacijo (5.8), dobimo


ker je Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Če želite torej izračunati razdaljo od točke do ravnine, morate koordinate točke nadomestiti s splošno enačbo ravnine in nato razdeliti absolutno vrednost rezultat z normalizacijskim faktorjem, ki je enak dolžini ustreznega normalnega vektorja.

, Natečaj "Predstavitev za lekcijo"

Razred: 11

Predstavitev za lekcijo
















Nazaj naprej

Pozor! Predogled diapozitiva je zgolj informativne narave in morda ne predstavlja celotnega obsega predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Cilji:

  • posploševanje in sistematizacija znanja in spretnosti študentov;
  • razvoj veščin za analizo, primerjavo, sklepanje.

Oprema:

  • multimedijski projektor;
  • računalnik;
  • listi z nalogami

ŠTUDIJSKI PROCES

I. Organizacijski trenutek

II. Faza posodabljanja znanja(diapozitiv 2)

Ponovimo, kako se določi razdalja od točke do ravnine

III. Predavanje(prosojnice 3-15)

V lekciji si bomo ogledali različne načine iskanja razdalje od točke do ravnine.

Prva metoda: računanje po korakih

Razdalja od točke M do ravnine α:
je enaka razdalji do ravnine α od poljubne točke P, ki leži na premici a, ki poteka skozi točko M in je vzporedna z ravnino α;
– je enaka razdalji do ravnine α od poljubne točke P, ki leži na ravnini β, ki poteka skozi točko M in je vzporedna z ravnino α.

Rešili bomo naslednje naloge:

№1. V kocki A ... D 1 poiščite razdaljo od točke C 1 do ravnine AB 1 C.

Ostaja še izračunati vrednost dolžine segmenta O 1 N.

№2. V pravilni šesterokotni prizmi A ... F 1, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite razdaljo od točke A do ravnine DEA 1.

Naslednja metoda: volumenska metoda.

Če je prostornina piramide ABCM V, potem razdaljo od točke M do ravnine α, ki vsebuje ∆ABC, izračunamo po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri reševanju nalog uporabljamo enakost prostornin ene figure, izraženo na dva različna načina.

Rešimo naslednjo težavo:

№3. Rob AD piramide DABC je pravokoten na ravnino osnove ABC. Poiščite razdaljo od A do ravnine, ki poteka skozi razpolovišča robov AB, AC in AD, če.

Pri reševanju problemov koordinatna metoda razdaljo od točke M do ravnine α lahko izračunamo po formuli ρ(M; α) = , kjer je M(x 0; y 0; z 0), ravnina pa je podana z enačbo ax + by + cz + d = 0

Rešimo naslednjo težavo:

№4. V enotski kocki A…D 1 poiščite razdaljo od točke A 1 do ravnine BDC 1 .

Vstavimo koordinatni sistem z izhodiščem v točki A, os y bo potekala vzdolž roba AB, os x - vzdolž roba AD, os z - vzdolž roba AA 1. Nato koordinate točk B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Sestavimo enačbo ravnine, ki poteka skozi točke B, D, C 1 .

Potem – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Zato je ρ =

Naslednja metoda, ki se lahko uporablja pri reševanju tovrstnih problemov - metoda referenčnih nalog.

Uporaba te metode je sestavljena iz uporabe dobro znanih referenčnih problemov, ki so formulirani kot izreki.

Rešimo naslednjo težavo:

№5. V enotski kocki A ... D 1 poiščite razdaljo od točke D 1 do ravnine AB 1 C.

Razmislite o aplikaciji vektorska metoda.

№6. V enotski kocki A ... D 1 poiščite razdaljo od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Zato smo preučili različne metode, ki jih je mogoče uporabiti pri reševanju te vrste problema. Izbira ene ali druge metode je odvisna od specifične naloge in vaših želja.

IV. Skupinsko delo

Poskusite rešiti problem na različne načine.

№1. Rob kocke А…D 1 je enak . Poiščite razdaljo od oglišča C do ravnine BDC 1 .

№2. V pravilnem tetraedru ABCD z robom poiščite razdaljo od točke A do ravnine BDC

№3. V pravilni trikotni prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite razdaljo od A do ravnine BCA 1.

№4. V pravilni štirikotni piramidi SABCD, katere vsi robovi so enaki 1, poiščite razdaljo od A do ravnine SCD.

V. Povzetek lekcije, domača naloga, refleksija

NALOGE C2 ENOTNEGA DRŽAVNEGA IZPITA IZ MATEMATIKE ZA ISKANJE RAZDALJE OD TOČKE DO RAVNINE

Kulikova Anastasia Yurievna

Študentka 5. letnika Oddelka za matematiko. Analiza, algebra in geometrija EI KFU, Ruska federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

znanstveni mentor dr. ped. znanosti, izredni profesor, EI KFU, Ruska federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

V zadnjih letih so se v nalogah USE iz matematike pojavile naloge za izračun razdalje od točke do ravnine. V tem članku so na primeru ene težave obravnavane različne metode za iskanje razdalje od točke do ravnine. Za rešitev različnih težav lahko uporabite najprimernejšo metodo. Po rešitvi problema z eno metodo lahko druga metoda preveri pravilnost rezultata.

Opredelitev. Razdalja od točke do ravnine, ki te točke ne vsebuje, je dolžina odseka navpičnice, spuščene iz te točke na dano ravnino.

Naloga. Podan je pravokoten paralelepiped ABZDA 1 B 1 C 1 D 1 s stranicami AB=2, pr. n. št=4, AA 1=6. Poiščite razdaljo od točke D do letala ACD 1 .

1 način. Uporaba definicija. Poiščite razdaljo r( D, ACD 1) iz točke D do letala ACD 1 (slika 1).

Slika 1. Prvi način

Porabimo D.H.⊥AC, torej po izreku o treh navpičnicah D 1 H⊥AC in (DD 1 H)⊥AC. Porabimo neposredno DT pravokotno D 1 H. Naravnost DT leži v letalu DD 1 H, torej DT⊥AC. torej DT⊥ACD 1.

ADC poiščite hipotenuzo AC in višina D.H.

Iz pravokotnega trikotnika D 1 D.H. poiščite hipotenuzo D 1 H in višina DT

Odgovor: .

2 način.Volumenska metoda (uporaba pomožne piramide). Problem te vrste lahko skrčimo na problem izračuna višine piramide, kjer je višina piramide želena razdalja od točke do ravnine. Dokaži, da je ta višina želena razdalja; poiščite prostornino te piramide na dva načina in izrazite to višino.

Upoštevajte, da pri tej metodi ni treba zgraditi pravokotnice iz dane točke na dano ravnino.

Kvader je kvader, katerega vse ploskve so pravokotniki.

AB=CD=2, pr. n. št=AD=4, AA 1 =6.

Želena razdalja bo višina h piramide ACD 1 D, padla z vrha D na tleh ACD 1 (slika 2).

Izračunaj prostornino piramide ACD 1 D dva načina.

Pri izračunu na prvi način za osnovo vzamemo ∆ ACD 1, torej

Pri izračunu pri drugem načinu za osnovo vzamemo ∆ ACD, Potem

Izenačimo desni strani zadnjih dveh enakosti, dobimo

Slika 2. Drugi način

Iz pravokotnih trikotnikov ACD, DODAJ 1 , CDD 1 poiščite hipotenuzo s pomočjo Pitagorovega izreka

ACD

Izračunajte ploščino trikotnika ACD 1 z uporabo Heronove formule

Odgovor: .

3 način. koordinatna metoda.

Naj bo podana točka M(x 0 ,l 0 ,z 0) in letalo α , podana z enačbo sekira+avtor+cz+d=0 v pravokotnih kartezičnih koordinatah. Oddaljenost od točke M na ravnino α lahko izračunamo po formuli:

Predstavimo koordinatni sistem (slika 3). Izvor na točki IN;

Naravnost AB- os X, naravnost sonce- os l, naravnost BB 1 - os z.

Slika 3. Tretji način

B(0,0,0), A(2,0,0), Z(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Pustiti ax+avtor+ cz+ d=0 – enačba ravnine ACD 1. V njej nadomestimo koordinate točk A, C, D 1 dobimo:

Enačba ravnine ACD 1 bo prevzel obrazec

Odgovor: .

4 način. vektorska metoda.

Uvedemo osnovo (slika 4) , .

Slika 4. Četrti način

Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Sledi nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

  • Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

  • Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
  • Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke, da vam pošljemo pomembna obvestila in sporočila.
  • Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
  • Če sodelujete v nagradnem žrebanju, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmemo od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

  • V primeru, da je to potrebno - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnem postopku in / ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti vaše osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih namenov javnega interesa.
  • V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega tretjega naslednika.

Varstvo osebnih podatkov

Sprejemamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse glede zasebnosti in varnosti ter jih strogo uveljavljamo.