В електротехниката се използват редове на Фурие и хармонични компоненти (честотен спектър). Теоретично функцията може да се разложи на други компоненти, като се използват други серии

По-горе виждаме, че разширяването на функциите в степенни серии дава възможност да се изчислят приблизителните стойности на тези функции с необходимата точност. Но има много функции, които не се разширяват в степенни редове (серии на Тейлър или Маклорен), защото изискванията към функциите са доста строги (функцията трябва да бъде безкрайно диференцируема и т.н.). Следователно се използват и други типове функционални серии, условията за разширяване в които са по-малко обременителни. Тези редове включват тригонометрични серии.

Определение: тригонометрични серии функционална серия от формата:, (1)

където има постоянни числа, наречени:

Коефициентите на тригонометричния ред.

Всички членове на ред (1) са функционални непериодични и имат общ минимален период 2p. Това означава, че ако функцията f(x) се разшири в тригонометричен ред (1), т.е. тя е сумата от тази серия, тогава самата тази функция трябва да бъде сумата от серията (1) само в някакъв интервал с дължина 2p.

Основните свойства на тригонометричните редове следват от основното свойство на системата от тригонометрични функции. Stochala едно определение.

Определение: Безкрайна система от функции j1(x),j2(x),...,j3(x)... дефинирана върху сегмента се нарича ортогонален на този сегментако са изпълнени следните условия:
за m¹n;

за всяко n.

Теорема: Системата от тригонометрични функции е ортогонална на интервала [-p,p].

Доказателство:Трябва да проверим условия 1) и 2) от предишната дефиниция.

1) Разгледайте интегралите:

Нека приложим тригонометрични формули:

Очевидно с тяхна помощ всички предишни интеграли се редуцират до интеграли от формата:
И

Нека ги изчислим.

;

Така ще бъде изпълнено първото изискване за ортогоналност.

2)
;

и второто изискване е изпълнено ч. и т.н.

Тригонометрични редове на Фурие.

Нека функция f(x), периодична с период 2p, бъде представена като сума от тригонометрична серия
(1).

за всички x от някакъв интервал с дължина 2p. Но сумата от серията S(x) е периодична функция с период 2p. Следователно стойността на f(x) и S(x) съвпада на цялата числова ос (-¥, +¥). Следователно, достатъчно е да се изследва равенството (1) на някакъв интервал с дължина 2p, обикновено [-p,p] .

И така, нека f(x) е сумата от серията (1) върху [-p,p] и в допълнение да предположим, че може да се интегрира член по член, следователно сегмент. Това например е възможно, ако числовата редица от коефициентите на редицата (1) се сближава абсолютно, т.е. серия се събира

(2).

В този случай членовете на функционалния ред (1) не надвишават съответните членове на реда (2) по абсолютна стойност, което предполага равномерна конвергенция на реда (1), а оттам и възможността за неговото не -членна интеграция върху [-p,p].

Използваме това, за да изчислим коефициента a 0 . Ние интегрираме член по член и двете части на неравенството (1) върху [-p,p]:

Всички интеграли вдясно, съгласно свойството за ортогоналност на тригонометричните функции, са равни на нула с изключение на първия. Ето защо:
, където
(3).

За да изчислим a към /k¹0/, ние умножаваме двете страни на (1) по coskx. Получената серия също ще се сближава равномерно върху [-p,p], тъй като ½coskx1£1 и може да се интегрира член по член върху [-p,p].

По същото свойство за ортогоналност всички интеграли отдясно са равни на нула, с изключение на този, съдържащ k.

Тогава
. Където

(4).

Умножавайки двете страни на (1) по sin kx и интегрирайки полученото равенство по , получаваме
. Където

(5).

Коефициентите, изчислени по формули (3)-(5), се наричат

Коефициенти на Фуриеза функцията f(x) и тригонометричния ред (1) с тези коефициенти - до функцията на Фурие (x).

Трябва да се отбележи, че далеч не винаги е възможно серия (1) да се интегрира термин по термин. Следователно, формално е възможно да се изчислят коефициентите на Фурие, да се състави редът на Фурие (1), но не може да се гарантира, че този ред изобщо се сближава; и ако тя се сближава, тогава нейната сума е функция на f(x). В такива случаи се съгласихме вместо равенство (1) „кореспонденция“:

Възможността за апроксимиране на редове на Фурие в случай на линеен сигнал е необходима за конструиране на функции в случай на прекъснати периодични елементи. Възможностите за използване на този метод за тяхното конструиране и разлагане с помощта на крайните суми на реда на Фурие, използвани при решаването на много проблеми на различни науки, като физика, сеизмология и т.н. Процесите на океанските приливи и отливи, слънчевата активност се разглеждат чрез разширяване на колебателни процеси, функции, описани от тези трансформации. С развитието на компютърните технологии редовете на Фурие започнаха да се използват за все по-сложни задачи, а също така благодарение на това стана възможно тези трансформации да се използват в индиректни науки, като медицина, химия. Преобразуването на Фурие е описано както в реална, така и в сложна форма, второто разпределение направи възможно пробивът в изследването на космоса. Резултатът от тази работа е прилагането на редовете на Фурие към линеаризацията на прекъсната функция и избора на броя на коефициентите на серията за по-точно налагане на серията върху функцията. Освен това, когато се използва разширение в ред на Фурие, тази функция престава да бъде прекъсната и вече при достатъчно малка се извършва добро приближение на използваната функция.

Редица на Фурие

Преобразуване на Фурие

фазов спектър.

1. Алашеева Е.А., Рогова Н.В. Числен метод за решаване на задачата на електродинамиката в приближението на тънката жица. Наука и мир. Международен научен журнал, № 8 (12), 2014 г. Том 1. Волгоград. стр.17-19.

2. Воробьов Н.Н. Теория на редовете. Изд. Наука, Основно издание на физико-математическата литература, М., 1979, -408 с.

3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическа статистика. - М.: Висше училище, 2001.

4. Редът на Фурие на Р. Едуардс в съвременното представяне. Изд. Свят. В 2 тома. Том 1. 1985 г. 362 страници

5. Сигорски В.П. Математически апарат на инженера. Изд. 2-ро стереотипно. "Техника", 1997 г. – 768 стр.

Представянето на произволно взета функция с определен период като серия се нарича серия на Фурие. Разширение в ортогонален базис е общ термин за това решение. Разширяването на функциите в редица на Фурие е доста мощен инструмент за решаване на различни проблеми. защото свойствата на тази трансформация са добре познати и проучени при интегриране, диференциране, както и изместване на израза по отношение на аргумента и конволюцията. Човек, който не е запознат с висшата математика, както и с трудовете на френския учен Фурие, най-вероятно няма да разбере какво представляват тези „серии“ и за какво служат. Това преобразуване на Фурие се превърна в много плътна част от живота ни. Използва се не само от математици, но и от физици, химици, лекари, астрономи, сеизмолози, океанографи и много други.

Редовете на Фурие се използват при решаването на много приложни проблеми. Преобразуването на Фурие може да се извърши чрез аналитични, числени и други методи. Процеси като океански приливи и светлинни вълни преди циклите на слънчевата активност се отнасят до числения начин за разширяване на всички колебателни процеси в ред на Фурие. С помощта на тези математически техники е възможно да се анализират функции, представящи всякакви осцилационни процеси като поредица от синусоидални компоненти, които преминават от минимум към максимум и обратно. Преобразуването на Фурие е функция, която описва фазата и амплитудата на синусоидите, съответстващи на определена честота. Тази трансформация се използва за решаване на много сложни уравнения, които описват динамични процеси, протичащи под действието на топлинна, светлинна или електрическа енергия. Също така, сериите на Фурие позволяват да се изолират постоянните компоненти в сложни колебателни сигнали, което прави възможно правилното интерпретиране на получените експериментални наблюдения в медицината, химията и астрономията.

С разрастването на технологиите, т.е. появата и развитието на компютъра изведе трансформацията на Фурие на ново ниво. Тази техника е твърдо вкоренена в почти всички области на науката и технологиите. Пример за това е цифров аудио и видео сигнал. Което се превърна в визуална реализация на разрастването на научния процес и прилагането на редовете на Фурие. Така серията на Фурие в сложна форма позволи да се направи пробив в изследването на космическото пространство. В допълнение, той повлия върху изучаването на физиката на полупроводниковите материали и плазмата, микровълновата акустика, океанографията, радара, сеизмологията.

Помислете, че фазовият спектър на периодичен сигнал се определя от следния израз:

където символите и съответно означават имагинерната и реалната част от стойността, оградена в квадратни скоби.

Ако се умножи по реална постоянна стойност K, тогава разширението в ред на Фурие има следната форма:

От израз (1) следва, че фазовият спектър на Фурие има следните свойства:

1) е функция, т.е., за разлика от спектъра на мощността, който не зависи от , , се променя, когато сигналът се измества по времевата ос;

2) не зависи от K, т.е. той е инвариантен към усилването или затихването на сигнала, докато спектърът на мощността е функция на K.

3) е нечетна функция на n.

Забележка. Като се има предвид геометричната интерпретация на горните разсъждения, тя може да бъде изразена по отношение на спектъра на мощността и фазовия спектър, както следва:

Тъй като

тогава от (2) и (3) следва, че той може да бъде възстановен еднозначно, ако са известни амплитудата (или спектърът на мощността) и фазовите спектри.

Помислете за пример. Дадена ни е функция между

Общ изглед на реда на Фурие:

Заменете нашите стойности и получете:

Заменете вашите стойности и вземете.

В много случаи задачата за получаване (изчисляване) на спектъра на сигнала е следната. Има АЦП, който със семплираща честота Fd преобразува непрекъснат сигнал, постъпващ на входа му за време T, в цифрови показания - N броя. След това масивът от показания се подава в определена програма, която дава N / 2 от някои числови стойности (програмистът, който изтеглен от интернетнаписа програма, твърди, че прави трансформацията на Фурие).

За да проверим дали програмата работи правилно, ще формираме масив от показания като сумата от две синусоиди sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и ще го пъхнем в програма. Програмата привлече следното:

фиг.1 Графика на времевата функция на сигнала

фиг.2 Графика на спектъра на сигнала

На графиката на спектъра има две пръчици (хармоници) 5 Hz с амплитуда 0,5 V и 10 Hz - с амплитуда 1 V, всички като във формулата на оригиналния сигнал. Всичко е наред, браво програмист! Програмата работи коректно.

Това означава, че ако подадем реален сигнал от смес от две синусоиди към входа на ADC, тогава ще получим подобен спектър, състоящ се от два хармоника.

Общо, нашите истинскиизмерен сигнал, времетраене 5 сек, дигитализиран от ADC, т.е отделенброи, има дискретни непериодичнидиапазон.

От математическа гледна точка - колко грешки има в тази фраза? Сега властите решиха, че сме решили, че 5 секунди са твърде много, нека измерим сигнала за 0,5 секунди.
фиг.3 Графика на функцията sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) за период на измерване от 0.5 сек.

фиг.4 Функционален спектър

Нещо не е както трябва! Хармоникът от 10 Hz се рисува нормално, но вместо пръчка от 5 Hz се появиха няколко неразбираеми хармоника. Гледаме в интернет какво и как ...

В, те казват, че трябва да се добавят нули в края на пробата и спектърът ще бъде начертан нормално.

фиг.5 Готови нули до 5 секунди

фиг.6 Получихме спектъра

Все още не е това, което беше на 5 секунди. Трябва да се справите с теорията. Хайде да отидем до Уикипедия- източник на знания.

2. Непрекъсната функция и нейното представяне чрез ред на Фурие

Математически, нашият сигнал с продължителност T секунди е определена функция f(x), дадена на интервала (0, T) (X в този случай е време). Такава функция винаги може да бъде представена като сума от хармонични функции (синус или косинус) от формата:

(1), където:

k - номер на тригонометрична функция (номер на хармоничен компонент, хармоничен номер) T - сегмент, където е дефинирана функцията (продължителност на сигнала) Ak - амплитуда на k-тия хармоничен компонент, θk - начална фаза на k-тия хармоничен компонент

Какво означава „представяне на функция като сбор от редица“? Това означава, че като добавим стойностите на хармоничните компоненти на реда на Фурие във всяка точка, ще получим стойността на нашата функция в тази точка.

(По-стриктно, стандартното отклонение на серията от функцията f(x) ще клони към нула, но въпреки стандартната конвергенция, серията на Фурие на функцията, най-общо казано, не е необходимо да се сходи точково към нея. Вижте https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

Тази серия може да бъде написана и като:

(2), където , k-та комплексна амплитуда.

Връзката между коефициентите (1) и (3) се изразява със следните формули:

Имайте предвид, че всички тези три представяния на реда на Фурие са напълно еквивалентни. Понякога, когато работите с редове на Фурие, е по-удобно да използвате експонентите на въображаемия аргумент вместо синуси и косинуси, тоест да използвате преобразуването на Фурие в сложна форма. Но за нас е удобно да използваме формула (1), където редът на Фурие е представен като сума от косинусови вълни със съответните амплитуди и фази. Във всеки случай е неправилно да се каже, че резултатът от преобразуването на Фурие на реалния сигнал ще бъдат комплексните амплитуди на хармониците. Както правилно се казва в wiki, "Преобразуването на Фурие (ℱ) е операция, която преобразува една функция на реална променлива в друга функция, също на реална променлива."

Обща сума:Математическата основа на спектралния анализ на сигналите е преобразуването на Фурие.

Преобразуването на Фурие ни позволява да представим непрекъсната функция f(x) (сигнал), дефинирана на сегмента (0, T) като сума от безкраен брой (безкрайни серии) от тригонометрични функции (синус и/или косинус) с определени амплитуди и фази, също разгледани на сегмента (0, T). Такъв ред се нарича ред на Фурие.

Отбелязваме още някои точки, чието разбиране е необходимо за правилното прилагане на преобразуването на Фурие към анализа на сигнала. Ако разгледаме реда на Фурие (сумата от синусоидите) по цялата ос X, тогава можем да видим, че извън сегмента (0, T), функцията, представена от реда на Фурие, периодично ще повтаря нашата функция.

Например в графиката на фиг. 7 оригиналната функция е дефинирана на сегмента (-T \ 2, + T \ 2), а редът на Фурие представлява периодична функция, дефинирана върху цялата ос x.

Това е така, защото самите синусоиди са съответно периодични функции и тяхната сума ще бъде периодична функция.

фиг.7 Представяне на непериодична оригинална функция чрез ред на Фурие

По този начин:

Нашата начална функция е непрекъсната, непериодична, дефинирана върху определен сегмент с дължина T. Спектърът на тази функция е дискретен, т.е. представен е като безкрайна поредица от хармонични компоненти - редът на Фурие. Всъщност определена периодична функция се определя от реда на Фурие, който съвпада с нашия на отсечката (0, T), но тази периодичност не е съществена за нас.

Периодите на хармоничните компоненти са кратни на сегмента (0, T), на който е дефинирана оригиналната функция f(x). С други думи, хармоничните периоди са кратни на продължителността на измерването на сигнала. Например, периодът на първия хармоник от реда на Фурие е равен на интервала T, на който е дефинирана функцията f(x). Периодът на втория хармоник от реда на Фурие е равен на интервала T/2. И така нататък (виж фиг. 8).

фиг.8 Периоди (честоти) на хармоничните компоненти на реда на Фурие (тук T=2π)

Съответно, честотите на хармоничните компоненти са кратни на 1/T. Тоест, честотите на хармоничните компоненти Fk са равни на Fk= k\T, където k варира от 0 до ∞, например k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (при нулева честота - постоянен компонент).

Нека оригиналната ни функция е сигнал, записан за T=1 сек. Тогава периодът на първия хармоник ще бъде равен на продължителността на нашия сигнал T1=T=1 сек и честотата на хармоника е 1 Hz. Периодът на втория хармоник ще бъде равен на продължителността на сигнала, разделена на 2 (T2=T/2=0,5 сек), а честотата е 2 Hz. За третия хармоник T3=T/3 sec и честотата е 3 Hz. И така нататък.

Стъпката между хармониците в този случай е 1 Hz.

Така сигнал с продължителност 1 сек може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 1 Hz. За да се увеличи разделителната способност 2 пъти до 0,5 Hz, е необходимо да се увеличи продължителността на измерването 2 пъти - до 2 секунди. Сигнал с продължителност 10 секунди може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 0,1 Hz. Няма други начини за увеличаване на честотната разделителна способност.

Има начин за изкуствено увеличаване на продължителността на сигнала чрез добавяне на нули към масива от проби. Но това не увеличава реалната разделителна способност на честотата.

3. Дискретни сигнали и дискретно преобразуване на Фурие

С развитието на цифровите технологии се промениха и начините за съхраняване на данните от измерванията (сигналите). Ако по-рано сигналът можеше да бъде записан на магнетофон и съхранен на лента в аналогов вид, сега сигналите се дигитализират и се съхраняват във файлове в паметта на компютъра като набор от числа (броя).

Обичайната схема за измерване и цифровизиране на сигнал е следната.

фиг.9 Схема на измервателния канал

Сигналът от измервателния преобразувател пристига в ADC за период от време T. Получените за времето T образци на сигнала (проба) се прехвърлят към компютъра и се съхраняват в паметта.

фиг.10 Цифров сигнал - N показания, получени за време T

Какви са изискванията за параметрите за цифровизация на сигнала? Устройство, което преобразува входен аналогов сигнал в дискретен код (цифров сигнал), се нарича аналогово-цифров преобразувател (ADC, английски Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Един от основните параметри на ADC е максималната честота на дискретизация (или честота на дискретизация, английска честота на дискретизация) - честотата на вземане на проби от сигнал, непрекъснат във времето по време на неговото дискретизиране. Измерва се в херци. ((Уики))

Според теоремата на Котелников, ако непрекъснатият сигнал има спектър, ограничен от честотата Fmax, тогава той може да бъде напълно и уникално възстановен от неговите дискретни проби, взети на интервали от време , т.е. с честота Fd ≥ 2*Fmax, където Fd - честота на дискретизация; Fmax - максимална честота на спектъра на сигнала. С други думи, честотата на дискретизация на сигнала (ADC честота на дискретизация) трябва да бъде поне 2 пъти максималната честота на сигнала, който искаме да измерим.

И какво ще стане, ако вземем показания с по-ниска честота от изискваната от теоремата на Котелников?

В този случай възниква ефектът на "алиасинг" (известен още като стробоскопичен ефект, ефект на моаре), при който високочестотният сигнал след дигитализиране се превръща в нискочестотен сигнал, който всъщност не съществува. На фиг. 11 високочестотна червена синусоида е истинският сигнал. Синята синусоида с по-ниска честота е фиктивен сигнал, произтичащ от факта, че повече от половината период на високочестотен сигнал има време да премине по време на времето за вземане на проби.

Ориз. 11. Появата на фалшив нискочестотен сигнал, когато честотата на дискретизация не е достатъчно висока

За да се избегне ефекта на алиасинг, пред АЦП се поставя специален антиалиасинг филтър - LPF (нискочестотен филтър), който пропуска честоти под половината от честотата на семплиране на АЦП и отсича по-високите честоти.

За да се изчисли спектърът на сигнал от неговите дискретни проби, се използва дискретното преобразуване на Фурие (DFT). Отбелязваме още веднъж, че спектърът на дискретния сигнал е "по дефиниция" ограничен от честотата Fmax, която е по-малка от половината от честотата на дискретизация Fd. Следователно спектърът на дискретния сигнал може да бъде представен от сумата от краен брой хармоници, за разлика от безкрайната сума за редицата на Фурие на непрекъснат сигнал, чийто спектър може да бъде неограничен. Съгласно теоремата на Котелников максималната хармонична честота трябва да бъде такава, че да обхваща най-малко две проби, така че броят на хармониците да е равен на половината от броя на пробите на дискретния сигнал. Тоест, ако има N проби в пробата, тогава броят на хармониците в спектъра ще бъде равен на N/2.

Помислете сега за дискретното преобразуване на Фурие (DFT).

Сравнение с редовете на Фурие

виждаме, че те съвпадат, с изключение на това, че времето в DFT е дискретно и броят на хармониците е ограничен до N/2 - половината от броя на пробите.

DFT формулите се записват в безразмерни цели променливи k, s, където k са броят на сигналните проби, s е броят на спектралните компоненти. Стойността на s показва броя на пълните трептения на хармоника в периода T (продължителността на измерване на сигнала). Дискретното преобразуване на Фурие се използва за числено намиране на амплитудите и фазите на хармониците, т.е. "на компютъра"

Връщайки се към резултатите, получени в началото. Както бе споменато по-горе, при разширяване на непериодична функция (нашият сигнал) в ред на Фурие, полученият ред на Фурие всъщност съответства на периодична функция с период T. (фиг. 12).

фиг.12 Периодична функция f(x) с период Т0, с период на измерване Т>T0

Както се вижда от фиг. 12, функцията f(x) е периодична с период Т0. Въпреки това, поради факта, че продължителността на измервателната проба T не съвпада с периода на функцията T0, функцията, получена като ред на Фурие, има прекъсване в точката T. В резултат на това спектърът на тази функция ще съдържат голям брой високочестотни хармоници. Ако продължителността на измервателната проба T съвпада с периода на функцията T0, тогава само първият хармоник (синусоида с период, равен на продължителността на пробата) ще присъства в спектъра, получен след преобразуването на Фурие, тъй като функцията f (x) е синусоида.

С други думи, DFT програмата "не знае", че нашият сигнал е "парче от синусоида", но се опитва да представи периодична функция като серия, която има пропуск поради несъответствието на отделните части от синусоида.

В резултат на това в спектъра се появяват хармоници, които общо трябва да представляват формата на функцията, включително тази прекъсваемост.

По този начин, за да се получи "правилният" спектър на сигнала, който е сумата от няколко синусоиди с различни периоди, е необходимо цял брой периоди на всяка синусоида да пасват на периода на измерване на сигнала. На практика това условие може да бъде изпълнено при достатъчно голяма продължителност на измерването на сигнала.

Фиг.13 Пример за функцията и спектъра на сигнала за кинематична грешка на скоростната кутия

При по-кратка продължителност картината ще изглежда "по-зле":

Фиг.14 Пример за функцията и спектъра на вибрационния сигнал на ротора

На практика може да бъде трудно да се разбере къде са „истинските компоненти“ и къде са „артефактите“, причинени от немножеството на периодите на компонентите и продължителността на сигналната проба или „скоковете и прекъсванията“ на формата на вълната. Разбира се, не напразно се цитират думите "реални компоненти" и "артефакти". Наличието на много хармоници на спектралната графика не означава, че нашият сигнал всъщност се „състои” от тях. Това е като да мислите, че числото 7 се „състои“ от числата 3 и 4. Числото 7 може да бъде представено като сбор от числата 3 и 4 – това е правилно.

Такъв е и нашият сигнал ... или по-скоро дори не „нашият сигнал“, а периодична функция, съставена чрез повтаряне на нашия сигнал (семплиране), може да бъде представена като сума от хармоници (синусоиди) с определени амплитуди и фази. Но в много случаи, важни за практиката (вижте фигурите по-горе), наистина е възможно хармониците, получени в спектъра, да се свържат с реални процеси, които са циклични по природа и имат значителен принос за формата на сигнала.

Някои резултати

1. Реално измереният сигнал с продължителност T sec, цифровизиран от ADC, т.е. представен от набор от дискретни проби (N части), има дискретен непериодичен спектър, представен от набор от хармоници (N/2 части ).

2. Сигналът е представен от набор от реални стойности и неговият спектър е представен от набор от реални стойности. Хармоничните честоти са положителни. Фактът, че за математиците е по-удобно да представят спектъра в сложна форма, използвайки отрицателни честоти, не означава, че „това е правилно“ и „винаги трябва да се прави по този начин“.

3. Сигналът, измерен на времевия интервал T, се определя само на времевия интервал T. Какво се е случило преди да започнем да измерваме сигнала и какво ще се случи след това - това е неизвестно на науката. А в нашия случай – не е интересно. DFT на ограничен във времето сигнал дава неговия "реален" спектър, в смисъл, че при определени условия ви позволява да изчислите амплитудата и честотата на неговите компоненти.

Използвани материали и други полезни материали.

FourierScope е програма за конструиране на радиосигнали и техния спектрален анализ. Graph е програма с отворен код за създаване на математически графики. ДИСКРЕТНА ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ - КАК СЕ ПРАВИ Дискретна трансформация на Фурие (DFT)

Глава 10 описва приложението на редовете на Фурие за изследване на еластичните вибрации на струна. В тази глава ще разгледаме някои въпроси на еластичното огъване на греди.

Използването на редове на Фурие за решаване на проблеми със статиката на еластични тела се извършва по следната схема.

На първо място, от физически съображения се извежда връзка, която свързва функцията, която описва геометричното състояние на деформираното тяло с натоварванията, приложени към тялото. Това съотношение, най-общо казано, съдържа освен самата държавна функция и нейни производни, както и някои интегрални характеристики.

След това въз основа на геометричните очертания на тялото и кинематичните условия, които ограничават движението му, се избира ортогонална система от функции, според която зададената функция на състоянието се разширява в ред на Фурие.

Заместването на този ред на Фурие в производната връзка води до идентично равенство на двата реда на Фурие, от което, използвайки теорема 2 от раздел 14 на глава 9, може да се премине към равенството на коефициентите за еднакви функции. От тези последни равенства могат да се изчислят стойностите на коефициентите на Фурие и по този начин да се опише състоянието на деформираното тяло.

Този процес на заместване на редовете на Фурие във връзката, характеризираща огъването, трябва да се извършва с достатъчна предпазливост, тъй като по време на него е необходимо да се диференцират редовете на Фурие няколко пъти член по член, чиито коефициенти се изчисляват едва впоследствие. Уверете се в легитимността на тази диференциация, т.е. (вижте § 10 от глава 5) на равномерното сближаване на реда, съставен

от производните членове на диференцируема серия, е априори доста трудно. Следователно, когато решаваме всеки конкретен проблем, ще разсъждаваме приблизително по следния начин.

Първо, ще приемем, че редовете на Фурие, записани с досега неизвестни коефициенти, могат (в смисъла на теоремата от § 10 от глава 5) да бъдат диференцирани член по член необходимия брой пъти. Като изпишем производните и решим получените уравнения, ще намерим коефициентите на Фурие, които ни интересуват. Това ще означава, че ако редът на Фурие се поддава на диференциране член по член (и освен това толкова пъти, колкото е необходимо), тогава той е съвсем определен, което открихме наблизо. Ако сега, от разглеждането на получените коефициенти, ще се види, че тази конструирана, добре дефинирана серия е наистина диференцируема член по член, тогава всички операции, действително извършени върху тази серия, са законни и намерените коефициенти на Фурие са желаните. Ако се окаже, че се получава недиференцируема серия, това означава, че действията, извършени по-рано с нея, са били математически неправилни и полученият въз основа на тях резултат е необоснован, макар и вероятно правилен. След това ще разгледаме примери за резултати от двата вида.

На които вече доста им писна. И чувствам, че е настъпил моментът, когато е време да извлечем нови консерви от стратегическите запаси на теорията. Възможно ли е функцията да се разшири в серия по някакъв друг начин? Например, за да изразите отсечка от права линия чрез синуси и косинуси? Изглежда невероятно, но такива привидно далечни функции се поддават
"реюнион". В допълнение към познатите степени в теорията и практиката, има и други подходи за разширяване на функция в серия.

В този урок ще се запознаем с тригонометричния ред на Фурие, ще засегнем въпроса за неговата конвергенция и сумата и, разбира се, ще анализираме множество примери за разширяване на функции в ред на Фурие. Искрено исках да нарека статията „Серии на Фурие за манекени“, но това би било хитро, тъй като решаването на проблеми ще изисква познаване на други раздели на математическия анализ и известен практически опит. Следователно преамбюлът ще прилича на обучението на астронавтите =)

Първо, изучаването на материалите на страницата трябва да се подходи в отлична форма. Сънен, отпочинал и трезвен. Без силни емоции за счупената лапа на хамстер и натрапчиви мисли за трудностите в живота на аквариумните рибки. Серията на Фурие не е трудна от гледна точка на разбиране, но практическите задачи просто изискват повишена концентрация на внимание - в идеалния случай човек трябва напълно да изостави външните стимули. Ситуацията се утежнява от факта, че няма лесен начин за проверка на решението и отговора. Така че, ако здравето ви е под средното, тогава е по-добре да направите нещо по-просто. Вярно ли е.

Второ, преди да полетите в космоса, е необходимо да изучите инструменталния панел на космическия кораб. Нека започнем със стойностите на функциите, върху които трябва да щракнете върху машината:

За всяка природна стойност:

1) . И всъщност, синусоидата "премигва" оста x през всяко "pi":
. В случай на отрицателни стойности на аргумента, резултатът, разбира се, ще бъде същият: .

2). Но не всички знаеха това. Косинусът "pi en" е еквивалентът на "мигаща светлина":

Отрицателният аргумент не променя случая: .

Може би достатъчно.

И трето, скъпи отряд космонавти, трябва да можете да ... интегрирам.
По-специално, разбира се подведете функция под диференциален знак, интегрирайте по частии бъдете в добри отношения с Формула на Нютон-Лайбниц. Да започнем важните предполетни упражнения. Силно не препоръчвам да го пропускате, така че по-късно да не се сплескате при нулева гравитация:

Пример 1

Изчисляване на определени интеграли

където приема природни ценности.

Решение: интегрирането се извършва върху променливата "x" и на този етап дискретната променлива "en" се счита за константа. Във всички интеграли поднесете функцията под знака на диференциала:

Кратка версия на решението, по която би било добре да се снима, изглежда така:

Свиквам с:

Останалите четири точки са сами. Опитайте се да се отнесете съвестно към задачата и подредете интегралите по кратък начин. Примерни решения в края на урока.

След КАЧЕСТВЕНО упражнение обличаме скафандри
и се готви да започнем!

Разлагане на функция в ред на Фурие върху интервала

Нека разгледаме функция, която определенпоне на интервала (и евентуално на по-голям интервал). Ако тази функция е интегрируема на сегмента, тогава тя може да бъде разширена в тригонометрия Редица на Фурие:
, където са т.нар Коефициенти на Фурие.

В този случай номерът се обажда период на разлагане, а числото е полуживот разлагане.

Очевидно в общия случай редът на Фурие се състои от синуси и косинуси:

Наистина, нека го напишем подробно:

Нулевият член на серията обикновено се записва като .

Коефициентите на Фурие се изчисляват по следните формули:

Разбирам много добре, че новите термини все още са неясни за начинаещите да изучават темата: период на разлагане, половин цикъл, Коефициенти на Фуриеи други Не се паникьосвайте, не е сравнимо с вълнението преди излизане в открития космос. Нека да разберем всичко в най-близкия пример, преди да изпълним, което е логично да зададем належащи практически въпроси:

Какво трябва да направите в следващите задачи?

Разгънете функцията в ред на Фурие. Освен това често се изисква да се начертае графика на функция, графика на сумата от редица, частична сума, а в случай на сложни професорски фантазии, да се направи нещо друго.

Как да разширим функция в ред на Фурие?

По същество трябва да намерите Коефициенти на Фурие, тоест съставете и изчислете три определени интеграли.

Моля, копирайте общата форма на реда на Фурие и трите работни формули в тетрадката си. Много се радвам, че някои от посетителите на сайта имат детска мечта да станат космонавти, които се сбъдват пред очите ми =)

Пример 2

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала . Постройте графика, графика на сумата от редица и частична сума.

Решение: първата част от задачата е да разширим функцията в ред на Фурие.

Началото е стандартно, не забравяйте да запишете, че:

В този проблем периодът на разширяване, полупериодът.

Развиваме функцията в ред на Фурие на интервала:

Използвайки подходящите формули, намираме Коефициенти на Фурие. Сега трябва да съставим и изчислим три определени интеграли. За удобство ще номерирам точките:

1) Първият интеграл е най-простият, но вече изисква око и око:

2) Използваме втората формула:

Този интеграл е добре известен и той го взема на парче:

При установяване на употреба метод за привеждане на функция под диференциален знак.

В разглежданата задача е по-удобно да се използва незабавно формула за интегриране по части в определен интеграл :

Няколко технически бележки. Първо, след прилагане на формулата целият израз трябва да бъде ограден в големи скоби, тъй като има константа пред оригиналния интеграл. Нека не го губим! Скобите могат да бъдат отворени на всяка следваща стъпка, аз го направих на последния ход. В първото "парче" ние показваме изключителна точност при заместването, както можете да видите, константата не работи и границите на интеграция са заменени в продукта. Това действие е отбелязано с квадратни скоби. Е, интеграла на второто "парче" от формулата ви е добре познат от тренировъчната задача ;-)

И най-важното - крайна концентрация на внимание!

3) Търсим третия коефициент на Фурие:

Получава се относителен на предходния интеграл, който също е интегрирани по части:

Този случай е малко по-сложен, ще коментирам следващите стъпки стъпка по стъпка:

(1) Целият израз е ограден в големи скоби.. Не исках да изглеждам като скука, те губят константата твърде често.

(2) В този случай веднага разширих тези големи скоби. Специално вниманиепосвещаваме на първото „парче“: постоянното пуши отстрани и не участва в подмяната на границите на интеграция (и) в продукта. С оглед на бъркотията на записа, отново е препоръчително да подчертаете това действие в квадратни скоби. С второто "парче" всичко е по-просто: тук фракцията се появи след отваряне на големи скоби, а константата - в резултат на интегриране на познатия интеграл ;-)

(3) В квадратни скоби извършваме трансформации, а в десния интеграл заместваме границите на интегриране.

(4) Изваждаме „мигача“ от квадратните скоби: , след което отваряме вътрешните скоби: .

(5) Съкращаваме 1 и -1 в скоби, правим окончателни опростявания.

Най-накрая намерих и трите коефициента на Фурие:

Заместете ги във формулата :

Не забравяйте да разделите наполовина. На последната стъпка от сумата се изважда константата ("минус две"), която не зависи от "en".

Така получихме разлагането на функцията в ред на Фурие на интервала:

Нека проучим въпроса за сходимостта на реда на Фурие. Ще обясня по-специално теорията Теорема на Дирихле, буквално „на пръсти“, така че ако имате нужда от строги формулировки, моля, вижте учебник по смятане (например 2-ри том на Бохан; или 3-ти том на Фихтенхолц, но в него е по-трудно).

Във втората част на задачата е необходимо да се начертаят графика, графика на серия от суми и графика на частична сума.

Графиката на функцията е обичайната права линия в равнината, който е начертан с черна пунктирана линия:

Ние се занимаваме със сбора на серията. Както знаете, функционалните редове се събират във функции. В нашия случай конструираният ред на Фурие за всяка стойност на "x"се сближава към функцията, показана в червено. Тази функция подлежи на прекъсвания от 1-ви видв точки , но и определени в тях (червени точки на чертежа)

По този начин: . Лесно се вижда, че тя се различава значително от оригиналната функция, поради което в нотацията вместо знак за равенство се използва тилда.

Нека да проучим алгоритъм, чрез който е удобно да се конструира сумата на серия.

В централния интервал редът на Фурие се сближава към самата функция (централният червен сегмент съвпада с черната пунктирана линия на линейната функция).

Сега нека поговорим малко за природата на разглежданото тригонометрично разширение. Редица на Фурие включва само периодични функции (константа, синуси и косинуси), така че сумата от серията също е периодична функция.

Какво означава това в нашия конкретен пример? А това означава, че сумата от серията –задължително периодичнои червеният сегмент от интервала трябва да се повтаря безкрайно отляво и отдясно.

Мисля, че сега най-накрая стана ясно значението на фразата "период на разлагане". Просто казано, всеки път ситуацията се повтаря отново и отново.

На практика обикновено е достатъчно да се изобразят три периода на разлагане, както е направено на чертежа. Е, и още "пънове" от съседни периоди - за да стане ясно, че графиката продължава.

Особен интерес представляват точки на прекъсване от 1-ви род. В такива точки редът на Фурие се сближава до изолирани стойности, които се намират точно в средата на "скока" на прекъсването (червени точки на чертежа). Как да намерим ординатата на тези точки? Първо, нека намерим ординатата на "горния етаж": за това изчисляваме стойността на функцията в най-дясната точка на централния период на разширение: . За да изчислите ординатата на „долния етаж“, най-лесният начин е да вземете най-лявата стойност за същия период: . Ординатата на средната стойност е средноаритметичната стойност на сумата от "горната и долната част": . Хубав е фактът, че при изграждането на чертеж веднага ще видите дали средата е изчислена правилно или неправилно.

Нека да построим частична сума на редицата и в същото време да повторим значението на термина "конвергенция". Мотивът е известен от урока за сумата от числовата серия. Нека опишем подробно нашето богатство:

За да направите частичен сбор, трябва да запишете нула + още два члена от редицата. Това е,

На чертежа графиката на функцията е показана в зелено и, както можете да видите, тя обгръща общата сума доста плътно. Ако разгледаме частична сума от пет термина от серията, тогава графиката на тази функция ще приближи червените линии още по-точно, ако има сто термина, тогава „зелената змия“ всъщност напълно ще се слее с червените сегменти, и т.н. Така редът на Фурие се сближава към сбора си.

Интересно е да се отбележи, че всяка частична сума е непрекъсната функция, но общата сума на серията все още е прекъсната.

На практика не е необичайно да се построи графика на частична сума. Как да го направим? В нашия случай е необходимо да се разгледа функцията на сегмента, да се изчислят нейните стойности в краищата на сегмента и в междинните точки (колкото повече точки смятате, толкова по-точна ще бъде графиката). След това трябва да маркирате тези точки на чертежа и внимателно да начертаете графика върху периода и след това да го „копирате“ в съседни интервали. Как иначе? В края на краищата, приближението също е периодична функция ... ... нейната графика по някакъв начин ми напомня за равномерен сърдечен ритъм на дисплея на медицинско устройство.

Разбира се, не е много удобно да се извърши конструкцията, тъй като трябва да бъдете изключително внимателни, като поддържате точност не по-малка от половин милиметър. Ще зарадвам обаче читателите, които са в противоречие с чертането - в "истинска" задача далеч не винаги е необходимо да се извърши чертеж, някъде в 50% от случаите е необходимо функцията да се разшири в ред на Фурие и това е то.

След като завършим чертежа, изпълняваме задачата:

Отговор:

При много задачи функцията страда разкъсване от 1-ви видточно в периода на разлагане:

Пример 3

Разгънете в ред на Фурие функцията, дадена на интервала. Начертайте графика на функцията и общата сума на редицата.

Предложената функция е дадена на части (и имайте предвид, само на сегмента)и издържат разкъсване от 1-ви видв точка . Възможно ли е да се изчислят коефициентите на Фурие? Няма проблем. Както лявата, така и дясната част на функцията са интегрируеми на своите интервали, така че интегралите във всяка от трите формули трябва да бъдат представени като сбор от два интеграла. Да видим например как се прави това за нулев коефициент:

Вторият интеграл се оказа равен на нула, което намали работата, но това не винаги е така.

Два други коефициента на Фурие се записват по подобен начин.

Как да покажа сумата на серия? На левия интервал рисуваме сегмент от права линия, а на интервала - сегмент от права линия (маркирайте участъка на оста с получер шрифт). Тоест, в интервала на разширение сумата от серията съвпада с функцията навсякъде, с изключение на три "лоши" точки. В точката на прекъсване на функцията редът на Фурие се сближава до изолирана стойност, която се намира точно в средата на „скока“ на прекъсването. Не е трудно да го видите устно: лява граница:, дясна граница: и, очевидно, ординатата на средната точка е 0,5.

Поради периодичността на сумата, картината трябва да бъде „умножена“ в съседни периоди, по-специално, изобразете едно и също нещо на интервалите и . В този случай в точките редът на Фурие се сближава с медианните стойности.

Всъщност тук няма нищо ново.

Опитайте се да разрешите този проблем сами. Приблизителна извадка за фин дизайн и рисуване в края на урока.

Развиване на функция в ред на Фурие върху произволен период

За произволен период на разширение, където "el" е всяко положително число, формулите за редовете на Фурие и коефициентите на Фурие се различават в малко по-сложен аргумент синус и косинус:

Ако , тогава получаваме формулите за интервала, с който сме започнали.

Алгоритъмът и принципите за решаване на проблема са напълно запазени, но техническата сложност на изчисленията се увеличава:

Пример 4

Разгънете функцията в ред на Фурие и начертайте сумата.

Решение: всъщност аналог на Пример № 3 с разкъсване от 1-ви видв точка . В този проблем периодът на разширяване, полупериодът. Функцията е дефинирана само на полуинтервала, но това не променя нещата - важно е и двете части на функцията да са интегрируеми.

Нека разширим функцията в ред на Фурие:

Тъй като функцията е прекъсната в началото, всеки коефициент на Фурие очевидно трябва да бъде записан като сбор от два интеграла:

1) Ще напиша първия интеграл възможно най-подробно:

2) Внимателно се вгледайте в повърхността на луната:

Втори интеграл вземете на части:

На какво трябва да обърнете специално внимание, след като отворим продължението на решението със звездичка?

Първо, ние не губим първия интеграл , където незабавно изпълняваме подвеждане под знака на диференциала. Второ, не забравяйте злополучната константа преди големите скоби и не се обърквайте от знаципри използване на формулата . Големите скоби, в края на краищата, е по-удобно да се отварят веднага в следващата стъпка.

Останалото е въпрос на техника, само недостатъчният опит в решаването на интеграли може да създаде трудности.

Да, не напразно изтъкнатите колеги на френския математик Фурие бяха възмутени - как се осмели да разложи функциите на тригонометрични серии?! =) Между другото, вероятно всеки се интересува от практическия смисъл на въпросната задача. Самият Фурие работи върху математически модел на топлопроводимост и впоследствие серията, наречена на негово име, започва да се използва за изследване на много периодични процеси, които очевидно са невидими за външния свят. Сега, между другото, се хванах на мисълта, че неслучайно сравних графиката на втория пример с периодичен сърдечен ритъм. Желаещите могат да се запознаят с практическото приложение Трансформации на Фуриеот източници на трети страни. ... Въпреки че е по-добре да не го правите - ще бъде запомнено като първа любов =)

3) Предвид многократно споменаваните слаби връзки, ние се занимаваме с третия коефициент:

Интегриране по части:

Заместваме намерените коефициенти на Фурие във формулата , като не забравяме да разделим нулевия коефициент наполовина:

Нека да начертаем сбора на серията. Нека накратко повторим процедурата: върху интервала изграждаме права, а върху интервала - права. С нулева стойност на "x" поставяме точка в средата на "скока" на празнината и "репликираме" графиката за съседни периоди:

В "кръстовищата" на периодите сумата също ще бъде равна на средните точки на "скока" на празнината.

Готов. Напомням ви, че самата функция е условно дефинирана само на полуинтервала и, очевидно, съвпада със сумата на серията на интервалите

Отговор:

Понякога частично дадена функция също е непрекъсната в периода на разширение. Най-простият пример: . Решение (Вижте Бохан том 2)е същото като в предишните два примера: въпреки непрекъснатост на функциятав точката всеки коефициент на Фурие се изразява като сбор от два интеграла.

В интервала на разпадане точки на прекъсване от 1-ви роди/или "съединителните" точки на графиката могат да бъдат повече (две, три и като цяло всякакви финалколичество). Ако една функция е интегрируема на всяка част, тогава тя също е разширима в ред на Фурие. Но от практически опит не помня такъв калай. Въпреки това има по-трудни задачи от току-що разгледаните, а в края на статията за всички има връзки към редове на Фурие с повишена сложност.

Междувременно нека се отпуснем, облегнати на столовете си и съзерцавайки безкрайните простори от звезди:

Пример 5

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала и начертайте сумата на реда.

В тази задача функцията непрекъснатовърху полуинтервала на разлагане, което опростява решението. Всичко е много подобно на Пример #2. Не можете да се измъкнете от космическия кораб - ще трябва да решите =) Примерен дизайн в края на урока, графикът е приложен.

Разгъване в ред на Фурие на четни и нечетни функции

С четни и нечетни функции процесът на решаване на проблема е значително опростен. И ето защо. Нека се върнем към разширяването на функцията в ред на Фурие за период от "две пи" и произволна точка "два ейла" .

Да приемем, че нашата функция е четна. Общият член на серията, както можете да видите, съдържа четни косинуси и нечетни синуси. И ако разлагаме ЧЕТНА функция, тогава защо имаме нужда от нечетни синуси?! Нека нулираме ненужния коефициент: .

По този начин, четна функция се разширява в ред на Фурие само по косинуси:

Тъй като интеграли на четни функциинад сегмент на интеграция, симетричен по отношение на нула, може да бъде удвоен, тогава останалите коефициенти на Фурие също се опростяват.

За обхват:

За произволен интервал:

Примерите от учебници, които се намират в почти всеки учебник по смятане, включват разширения на четни функции . Освен това те многократно са се срещали в моята лична практика:

Пример 6

Дадена функция. Задължително:

1) разгънете функцията в ред на Фурие с период , където е произволно положително число;

2) запишете разширението на интервала, изградете функция и начертайте общата сума на серията.

Решение: в първия параграф се предлага да се реши проблема по общ начин и това е много удобно! Ще има нужда - просто заменете стойността си.

1) В този проблем периодът на разширяване, полупериодът. В хода на по-нататъшните действия, по-специално по време на интегрирането, "el" се счита за константа

Функцията е четна, което означава, че се разширява в ред на Фурие само по косинуси: .

Коефициентите на Фурие се търсят по формулите . Обърнете внимание на абсолютните им предимства. Първо, интеграцията се извършва върху положителния сегмент на разширението, което означава, че безопасно се отърваваме от модула , като се има предвид само "х" от два броя. И второ, интеграцията е значително опростена.