U elektrotehnici se koriste Fourierovi redovi i harmonijske komponente (frekvencijski spektar). Teoretski, funkcija se može razložiti na druge komponente koristeći druge serije

Iznad vidimo da proširenje funkcija u nizove stepena omogućava da se izračunaju približne vrijednosti ovih funkcija sa potrebnom preciznošću. Ali postoje mnoge funkcije koje se ne proširuju u nizove snage (Taylor ili Maclaurin niz), jer zahtjevi za funkcije su prilično strogi (funkcija mora biti beskonačno diferencibilna, itd.). Stoga se koriste i drugi tipovi funkcionalnih serija čiji su uvjeti proširenja manje opterećujući. Ovi redovi uključuju trigonometrijske serije.

Definicija: trigonometrijske serije funkcionalni nizovi oblika:, (1)

gdje postoje konstantni brojevi koji se nazivaju:

Koeficijenti trigonometrijskog niza.

Svi članovi serije (1) su funkcionalni neperiodični i imaju zajednički minimalni period 2p. To implicira da ako se funkcija f(x) proširi u trigonometrijski niz (1), tj. to je zbir ovog niza, onda ova funkcija sama po sebi mora biti zbir niza (1) samo u nekom intervalu dužine 2p.

Glavna svojstva trigonometrijskog niza proizlaze iz glavnog svojstva sistema trigonometrijskih funkcija. Stochala jedna definicija.

Definicija: Beskonačan sistem funkcija j1(x),j2(x),...,j3(x)... definisan na segmentu se zove ortogonalno na ovom segmentu ako su ispunjeni sljedeći uslovi:
za m¹n;

za bilo koji n.

Teorema: Sistem trigonometrijskih funkcija je ortogonan na intervalu [-p,p].

dokaz: Moramo provjeriti uslove 1) i 2) prethodne definicije.

1) Razmotrimo integrale:

Primijenimo trigonometrijske formule:

Očigledno, uz njihovu pomoć, svi prethodni integrali se svode na integrale oblika:
I

Hajde da ih izračunamo.

;

Dakle, prvi uslov ortogonalnosti će biti ispunjen.

2)
;

a drugi uslov je ispunjen h., itd.

Trigonometrijska Fourierova serija.

Neka funkcija f(x) periodična sa periodom 2p bude predstavljena kao zbir trigonometrijskog niza
(1).

za sve x iz nekog intervala dužine 2p. Ali zbir niza S(x) je periodična funkcija s periodom od 2p. Dakle, vrijednost f(x) i S(x) se poklapaju na cijeloj brojevnoj pravoj (-¥, +¥). Stoga je dovoljno proučavati jednakost (1) na nekom intervalu dužine 2p, obično [-p,p] .

Dakle, neka je f(x) zbir niza (1) na [-p,p] i, pored toga, pretpostavimo da se može integrirati pojam po član, dakle, segment. To je, na primjer, moguće ako numerički niz koeficijenata niza (1) apsolutno konvergira, tj. serija konvergira

(2).

U ovom slučaju, članovi funkcionalnog niza (1) ne prelaze odgovarajuće članove niza (2) u apsolutnoj vrijednosti, što implicira uniformnu konvergenciju niza (1), a samim tim i mogućnost njegovog ne -term integracija preko [-p,p].

Ovo koristimo za izračunavanje koeficijenta a 0 . Integriramo pojam po član oba dijela nejednakosti (1) preko [-p,p]:

Svi integrali s desne strane, prema svojstvu ortogonalnosti trigonometrijskih funkcija, jednaki su nuli osim prvog. Zbog toga:
, gdje
(3).

Za izračunavanje a do /k¹0/ množimo obje strane (1) sa coskx. Rezultirajući niz će se također ravnomjerno konvergirati na [-p,p], budući da ½coskx1£1 i može se integrirati pojam po član preko [-p,p].

Po istom svojstvu ortogonalnosti, svi integrali na desnoj strani jednaki su nuli, osim onog koji sadrži k.

Onda
. Gdje

(4).

Pomnoživši obje strane (1) sa sin kx i integrirajući rezultirajuću jednakost sa , dobivamo
. Gdje

(5).

Pozivaju se koeficijenti izračunati formulama (3)-(5).

Fourierovi koeficijenti za funkciju f(x), i trigonometrijski niz (1) sa ovim koeficijentima - pored Fourierove funkcije (x).

Treba napomenuti da je daleko od uvijek moguće integrirati niz (1) pojam po član. Stoga je formalno moguće izračunati Fourierove koeficijente, sastaviti Fourierov red (1), ali se ne može garantovati da će ovaj niz uopće konvergirati; a ako konvergira, onda je njegov zbir funkcija f(x). U takvim slučajevima složili smo se umjesto jednakosti (1) “dopisivanje”:

Mogućnost aproksimacije Fourierovih redova u slučaju linearnog signala neophodna je za konstruisanje funkcija u slučaju diskontinuiranih periodičnih elemenata. Mogućnosti upotrebe ove metode za njihovu konstruisanje i dekomponovanje korišćenjem konačnih suma Fourierovih redova koji se koriste u rešavanju mnogih problema različitih nauka, kao što su fizika, seizmologija i dr. Procesi okeanske plime i oseke, solarna aktivnost razmatraju se putem ekspanzije oscilatornih procesa, funkcija opisanih ovim transformacijama. Sa razvojem kompjuterske tehnologije, Fourierovi redovi su počeli da se koriste za sve složenije probleme, a zahvaljujući tome, postalo je moguće koristiti ove transformacije u indirektnim naukama, kao što su medicina, hemija. Fourierova transformacija je opisana u stvarnom i složenom obliku, druga distribucija je omogućila iskorak u istraživanju svemira. Rezultat ovog rada je primjena Fourierovog reda na linearizaciju diskontinuirane funkcije i odabir broja koeficijenata niza za preciznije nametanje reda na funkciju. Štoviše, kada se koristi proširenje u Fourierov red, ova funkcija prestaje biti diskontinuirana i već pri dovoljno maloj, vrši se dobra aproksimacija korištene funkcije.

Fourierova serija

Fourierova transformacija

fazni spektar.

1. Alasheeva E.A., Rogova N.V. Numerička metoda za rješavanje problema elektrodinamike u aproksimaciji tanke žice. Nauka i mir. Međunarodni naučni časopis, br. 8(12), 2014. Tom 1. Volgograd. str.17-19.

2. Vorobyov N.N. Teorija redova. Ed. Nauka, Glavno izdanje fizičke i matematičke literature, M., 1979, -408 str.

3. Kalinina V.N., Pankin V.F. Math statistics. - M.: Viša škola, 2001.

4. R. Edwards Fourier serijal u modernoj prezentaciji. Ed. Svijet. U 2 toma. Tom 1. 1985. 362 stranice

5. Sigorsky V.P. Matematički aparat inženjera. Ed. 2. stereotipno. "Tehnika", 1997. – 768 str.

Reprezentacija proizvoljno uzete funkcije sa određenim periodom kao niz naziva se Fourierov red. Proširenje u ortogonalnoj bazi je opći termin za ovo rješenje. Proširenje funkcija u Fourierov niz je prilično moćan alat za rješavanje različitih problema. Jer svojstva ove transformacije su dobro poznata i proučavana prilikom integracije, diferenciranja, kao i pomjeranja izraza u odnosu na argument i konvoluciju. Osoba koja nije upoznata sa višom matematikom, kao i sa radovima francuskog naučnika Furijea, najvjerovatnije neće shvatiti šta su i čemu služe ovi „serijali“. Ova Fourierova transformacija postala je vrlo gust dio naših života. Koriste ga ne samo matematičari, već i fizičari, hemičari, liječnici, astronomi, seizmolozi, okeanografi i mnogi drugi.

Fourierovi redovi se koriste u rješavanju mnogih primijenjenih problema. Fourierova transformacija se može izvesti analitičkim, numeričkim i drugim metodama. Procesi kao što su okeanske plime i svjetlosni valovi prije ciklusa solarne aktivnosti odnose se na numerički način proširenja bilo kojeg oscilatornog procesa u Fourierovom nizu. Koristeći ove matematičke tehnike, moguće je analizirati funkcije, predstavljajući sve oscilatorne procese kao niz sinusoidnih komponenti koje idu od minimuma do maksimuma i obrnuto. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ova transformacija se koristi za rješavanje vrlo složenih jednačina koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod djelovanjem toplinske, svjetlosne ili električne energije. Takođe, Fourierovi nizovi omogućavaju izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilatornim signalima, što je omogućilo ispravnu interpretaciju dobijenih eksperimentalnih zapažanja u medicini, hemiji i astronomiji.

Sa razvojem tehnologije, tj. Pojava i razvoj kompjutera dovela je Fourierovu transformaciju na novi nivo. Ova tehnika je čvrsto ukorijenjena u gotovo svim područjima nauke i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video signal. Što je postalo vizualna realizacija rasta naučnog procesa i primjene Fourierove serije. Dakle, Fourierov niz u složenom obliku omogućio je iskorak u proučavanju svemira. Osim toga, utjecao je na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara, seizmologije.

Uzmimo u obzir da je fazni spektar periodičnog signala određen iz sljedećeg izraza:

gdje simboli i označavaju imaginarni i realni dio vrijednosti u uglastim zagradama.

Ako se pomnoži sa realnom konstantnom vrijednošću K, tada proširenje u Fourierov red ima sljedeći oblik:

Iz izraza (1) slijedi da fazni Fourierov spektar ima sljedeća svojstva:

1) je funkcija, odnosno, za razliku od spektra snage, koji ne zavisi od , , menja se kada se signal pomera duž vremenske ose;

2) ne zavisi od K, odnosno invarijantan je na pojačanje ili slabljenje signala, dok je spektar snage funkcija K.

3) tj. je neparna funkcija od n.

Bilješka. S obzirom na geometrijsku interpretaciju gornjeg zaključka, ono se može izraziti u terminima spektra snage i spektra faza na sljedeći način:

Zbog

onda iz (2) i (3) slijedi da se može dobiti jedinstveno ako su poznati amplituda (ili spektar snage) i fazni spektri.

Razmotrimo primjer. Dobili smo funkciju između

Opšti pogled na Fourierov niz:

Zamijenite naše vrijednosti i dobijete:

Zamijenite svoje vrijednosti i dobijte.

U mnogim slučajevima, zadatak dobivanja (izračunavanja) spektra signala je sljedeći. Postoji ADC, koji sa frekvencijom uzorkovanja Fd konvertuje kontinuirani signal koji stiže na njegov ulaz za vrijeme T, u digitalna očitavanja - N komada. Zatim se niz očitavanja unosi u određeni program koji daje N/2 nekih numeričkih vrijednosti (programer koji preuzeto sa interneta napisao program, tvrdi da radi Fourierovu transformaciju).

Da bismo provjerili da li program radi ispravno, formirat ćemo niz očitavanja kao zbir dvije sinusoide sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) i ubaciti ga u program. Program je nacrtao sljedeće:

sl.1 Grafikon vremenske funkcije signala

sl.2 Grafikon spektra signala

Na grafu spektra nalaze se dva štapa (harmonika) 5 Hz sa amplitudom od 0,5 V i 10 Hz - sa amplitudom od 1 V, sve kao u formuli originalnog signala. Sve je u redu, bravo programer! Program radi ispravno.

To znači da ako na ulaz ADC-a primijenimo pravi signal iz mješavine dvaju sinusoida, onda ćemo dobiti sličan spektar koji se sastoji od dva harmonika.

Ukupno, naš pravi izmjereni signal, trajanje 5 sek, digitaliziran od strane ADC-a, tj. predstavljen diskretno broji, ima diskretni neperiodični domet.

Sa matematičke tačke gledišta - koliko je grešaka u ovoj frazi? Sada su nadležni odlučili da smo odlučili da je 5 sekundi predugo, hajde da izmjerimo signal za 0,5 sekundi.
sl.3 Grafikon funkcije sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) za period mjerenja od 0,5 sek.

sl.4 Spektar funkcija

Nešto nije u redu! Harmonik od 10 Hz se iscrtava normalno, ali umjesto štapića od 5 Hz pojavilo se nekoliko nerazumljivih harmonika. Gledamo na internetu šta i kako...

U, kažu da se nule moraju dodati na kraj uzorka i spektar će biti iscrtan normalno.

sl.5 Završene nule do 5 sekundi

sl.6 Dobili smo spektar

Još uvijek nije ono što je bilo na 5 sekundi. Morate se pozabaviti teorijom. Idemo na Wikipedia- izvor znanja.

2. Kontinuirana funkcija i njena reprezentacija Fourierovim redom

Matematički, naš signal u trajanju od T sekundi je određena funkcija f(x) data na intervalu (0, T) (X je u ovom slučaju vrijeme). Takva funkcija se uvijek može predstaviti kao zbir harmonijskih funkcija (sinus ili kosinus) oblika:

(1), gdje:

k - broj trigonometrijske funkcije (broj harmonijske komponente, harmonijski broj) T - segment u kojem je funkcija definisana (trajanje signala) Ak - amplituda k-te harmonijske komponente, θk - početna faza k-te harmonijske komponente

Šta znači "predstaviti funkciju kao zbir niza"? To znači da ćemo dodavanjem vrijednosti harmonijskih komponenti Fourierovog reda u svakoj tački dobiti vrijednost naše funkcije u ovoj tački.

(Strogije rečeno, standardna devijacija niza od funkcije f(x) težit će nuli, ali uprkos standardnoj konvergenciji, Fourierov red funkcije, općenito govoreći, nije potreban da joj konvergira točkasto. Vidi https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

Ova serija se takođe može napisati kao:

(2), gdje je , k-ta kompleksna amplituda.

Odnos između koeficijenata (1) i (3) izražava se sljedećim formulama:

Imajte na umu da su sva ova tri prikaza Fourierovog reda potpuno ekvivalentna. Ponekad je pri radu sa Fourierovim redovima prikladnije koristiti eksponente imaginarnog argumenta umjesto sinusa i kosinusa, odnosno koristiti Fourierovu transformaciju u složenom obliku. Ali nam je zgodno koristiti formulu (1), gdje je Fourierov niz predstavljen kao zbir kosinusnih valova s odgovarajućim amplitudama i fazama. U svakom slučaju, netačno je reći da će rezultat Fourierove transformacije realnog signala biti kompleksne amplitude harmonika. Kao što wiki ispravno kaže, "Furierova transformacija (ℱ) je operacija koja preslikava jednu funkciju realne varijable u drugu funkciju, također realne varijable."

Ukupno: Matematička osnova spektralne analize signala je Fourierova transformacija.

Fourierova transformacija nam omogućava da predstavimo kontinuiranu funkciju f(x) (signal) definiranu na segmentu (0, T) kao zbir beskonačnog broja (beskonačnih nizova) trigonometrijskih funkcija (sinus i/ili kosinus) sa određenim amplitudama i faze, takođe razmatrane na segmentu (0, T). Takav niz se naziva Fourierov red.

Napominjemo još neke tačke čije je razumijevanje potrebno za ispravnu primjenu Fourierove transformacije na analizu signala. Ako uzmemo u obzir Fourierov niz (zbir sinusoida) na cijeloj X-osi, onda možemo vidjeti da će izvan segmenta (0, T), funkcija predstavljena Fourierovim redom povremeno ponavljati našu funkciju.

Na primjer, u grafu na slici 7, originalna funkcija je definirana na segmentu (-T \ 2, + T \ 2), a Fourierov red predstavlja periodičnu funkciju definiranu na cijeloj x-osi.

To je zato što su same sinusoide periodične funkcije, odnosno njihov zbir će biti periodična funkcija.

sl.7 Predstavljanje neperiodične originalne funkcije Fourierovim redom

ovako:

Naša početna funkcija je kontinuirana, neperiodična, definisana na određenom segmentu dužine T. Spektar ove funkcije je diskretan, odnosno predstavljen je kao beskonačan niz harmonijskih komponenti - Fourierov red. U stvari, određena periodična funkcija je definisana Fourierovim redom, koji se poklapa sa našim na segmentu (0, T), ali ta periodičnost za nas nije bitna.

Periodi harmonijskih komponenti su višekratnici segmenta (0, T) na kojem je definirana originalna funkcija f(x). Drugim riječima, periodi harmonika su višekratnici trajanja mjerenja signala. Na primjer, period prvog harmonika Fourierovog reda jednak je intervalu T na kojem je definirana funkcija f(x). Period drugog harmonika Fourierovog reda jednak je intervalu T/2. I tako dalje (vidi sliku 8).

sl.8 Periodi (frekvencije) harmonijskih komponenti Furijeovog reda (ovde T=2π)

Shodno tome, frekvencije harmonijskih komponenti su višekratne od 1/T. Odnosno, frekvencije harmonijskih komponenti Fk jednake su Fk= k\T, gdje se k kreće od 0 do ∞, na primjer, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (na nultoj frekvenciji - konstantna komponenta).

Neka naša originalna funkcija bude signal snimljen T=1 sek. Tada će period prvog harmonika biti jednak trajanju našeg signala T1=T=1 sek, a frekvencija harmonika je 1 Hz. Period drugog harmonika će biti jednak trajanju signala podeljenom sa 2 (T2=T/2=0,5 sek), a frekvencija je 2 Hz. Za treći harmonik T3=T/3 sec i frekvencija je 3 Hz. I tako dalje.

Korak između harmonika u ovom slučaju je 1 Hz.

Dakle, signal u trajanju od 1 sekunde može se razložiti na harmonijske komponente (da bi se dobio spektar) sa frekvencijskom rezolucijom od 1 Hz. Da biste povećali rezoluciju za 2 puta na 0,5 Hz, potrebno je povećati trajanje mjerenja za 2 puta - do 2 sekunde. Signal u trajanju od 10 sekundi može se razložiti na harmonijske komponente (da bi se dobio spektar) sa frekvencijskom rezolucijom od 0,1 Hz. Ne postoje drugi načini za povećanje rezolucije frekvencije.

Postoji način da se vještački poveća trajanje signala dodavanjem nula nizu uzoraka. Ali to ne povećava rezoluciju stvarne frekvencije.

3. Diskretni signali i diskretna Fourierova transformacija

Razvojem digitalne tehnologije promijenili su se i načini pohranjivanja mjernih podataka (signala). Ako se ranije signal mogao snimiti na magnetofon i pohraniti na traku u analognom obliku, sada se signali digitaliziraju i pohranjuju u datoteke u memoriji računala kao skup brojeva (brojeva).

Uobičajena shema za mjerenje i digitalizaciju signala je sljedeća.

sl.9 Šema mjernog kanala

Signal iz mjernog pretvarača stiže do ADC-a tokom vremenskog perioda T. Uzorci signala (uzorak) dobijeni tokom vremena T se prenose u računar i pohranjuju u memoriju.

sl.10 Digitalizovan signal - N očitavanja primljena u vremenu T

Koji su zahtjevi za parametre digitalizacije signala? Uređaj koji pretvara ulazni analogni signal u diskretni kod (digitalni signal) naziva se analogno-digitalni pretvarač (ADC, engleski analogno-digitalni pretvarač, ADC) (Wiki).

Jedan od glavnih parametara ADC-a je maksimalna brzina uzorkovanja (ili brzina uzorkovanja, engleski sample rate) - frekvencija uzimanja uzoraka signala neprekidnog u vremenu tokom njegovog uzorkovanja. Mjereno u hercima. ((Wiki))

Prema teoremi Kotelnikova, ako kontinuirani signal ima spektar ograničen frekvencijom Fmax, tada se može potpuno i jedinstveno obnoviti iz svojih diskretnih uzoraka uzetih u vremenskim intervalima , tj. sa frekvencijom Fd ≥ 2*Fmax, gdje je Fd - frekvencija uzorkovanja; Fmax - maksimalna frekvencija spektra signala. Drugim riječima, brzina uzorkovanja signala (ADC brzina uzorkovanja) mora biti najmanje 2 puta veća od maksimalne frekvencije signala koju želimo izmjeriti.

A šta će se dogoditi ako uzmemo očitanja s nižom frekvencijom nego što to zahtijeva Kotelnikova teorema?

U ovom slučaju dolazi do efekta "aliasinga" (aka stroboskopski efekat, moiré efekat) u kojem se visokofrekventni signal nakon digitalizacije pretvara u niskofrekventni signal koji zapravo ne postoji. Na sl. 11 visokofrekventni crveni sinusni talas je pravi signal. Plavi sinusni talas niže frekvencije je lažni signal koji je rezultat činjenice da više od pola perioda visokofrekventnog signala ima vremena da prođe tokom vremena uzorkovanja.

Rice. 11. Pojava lažnog niskofrekventnog signala kada brzina uzorkovanja nije dovoljno visoka

Da bi se izbjegao efekat aliasinga, ispred ADC-a se postavlja poseban anti-aliasing filter - LPF (low-pass filter), koji propušta frekvencije ispod polovine frekvencije uzorkovanja ADC-a, a odsijeca veće frekvencije.

Da bi se izračunao spektar signala iz njegovih diskretnih uzoraka, koristi se diskretna Fourierova transformacija (DFT). Još jednom napominjemo da je spektar diskretnog signala "po definiciji" ograničen frekvencijom Fmax, koja je manja od polovine frekvencije uzorkovanja Fd. Stoga se spektar diskretnog signala može predstaviti zbirom konačnog broja harmonika, za razliku od beskonačne sume za Fourierov niz kontinuiranog signala, čiji spektar može biti neograničen. Prema teoremi Kotelnikova, maksimalna frekvencija harmonika mora biti takva da obuhvata najmanje dva uzorka, tako da je broj harmonika jednak polovini broja uzoraka diskretnog signala. To jest, ako u uzorku ima N uzoraka, tada će broj harmonika u spektru biti jednak N/2.

Razmotrimo sada diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT).

Poređenje sa Fourierovim redom

vidimo da se poklapaju, osim što je vrijeme u DFT-u diskretno i broj harmonika je ograničen na N/2 - polovinu broja uzoraka.

DFT formule su zapisane u bezdimenzionalnim cjelobrojnim varijablama k, s, gdje su k brojevi uzoraka signala, s brojevi spektralnih komponenti. Vrijednost s pokazuje broj punih oscilacija harmonika u periodu T (trajanje mjerenja signala). Diskretna Fourierova transformacija se koristi za numerički pronalaženje amplituda i faza harmonika, tj. "na kompjuteru"

Da se vratimo na rezultate dobijene na početku. Kao što je gore spomenuto, kada se proširi neperiodična funkcija (naš signal) u Fourierov niz, rezultirajući Fourierov red zapravo odgovara periodičnoj funkciji s periodom T. (Sl. 12).

sl.12 Periodična funkcija f(x) sa periodom T0, sa periodom merenja T>T0

Kao što se može vidjeti na slici 12, funkcija f(x) je periodična sa periodom T0. Međutim, zbog činjenice da se trajanje mjernog uzorka T ne poklapa s periodom funkcije T0, funkcija dobijena kao Fourierov red ima diskontinuitet u tački T. Kao rezultat toga, spektar ove funkcije će sadrže veliki broj visokofrekventnih harmonika. Ako bi se trajanje mjernog uzorka T poklopilo s periodom funkcije T0, tada bi u spektru dobivenom nakon Fourierove transformacije bio prisutan samo prvi harmonik (sinusoid s periodom jednakim trajanju uzorka), budući da je funkcija f (x) je sinusoida.

Drugim riječima, DFT program "ne zna" da je naš signal "komad sinusnog vala", ali pokušava da predstavi periodičnu funkciju kao niz, koji ima prazninu zbog nekonzistentnosti pojedinačnih dijelova sinusni talas.

Kao rezultat, u spektru se pojavljuju harmonici, koji bi ukupno trebali predstavljati oblik funkcije, uključujući i ovaj diskontinuitet.

Dakle, da bi se dobio "tačan" spektar signala, koji je zbir nekoliko sinusoida sa različitim periodima, potrebno je da cijeli broj perioda svake sinusoide stane u period mjerenja signala. U praksi, ovaj uslov se može ispuniti za dovoljno dugo trajanje mjerenja signala.

Sl.13 Primjer funkcije i spektra signala kinematičke greške mjenjača

Sa kraćim trajanjem, slika će izgledati "gore":

Slika 14 Primjer funkcije i spektra vibracijskog signala rotora

U praksi može biti teško razumjeti gdje su "prave komponente", a gdje "artefakti" uzrokovani nemultiplicitetom perioda komponenti i trajanjem uzorka signala ili "skokovima i prekidima" talasni oblik. Naravno, riječi "stvarne komponente" i "artefakti" nisu uzalud citirane. Prisustvo mnogih harmonika na grafu spektra ne znači da se naš signal zapravo „sastoji“ od njih. To je kao da mislite da se broj 7 "sastoji" od brojeva 3 i 4. Broj 7 se može predstaviti kao zbir brojeva 3 i 4 - to je tačno.

Tako je i naš signal ... ili bolje rečeno, čak ni "naš signal", već periodična funkcija sastavljena ponavljanjem našeg signala (uzorkovanje) može se predstaviti kao zbir harmonika (sinusoida) sa određenim amplitudama i fazama. Ali u mnogim slučajevima važnim za praksu (vidi gornje slike), zaista je moguće povezati harmonike dobijene u spektru sa stvarnim procesima koji su ciklične prirode i daju značajan doprinos obliku signala.

Neki rezultati

1. Stvarni izmjereni signal, trajanje T sec, digitaliziran ADC-om, odnosno predstavljen skupom diskretnih uzoraka (N komada), ima diskretni neperiodični spektar, predstavljen skupom harmonika (N/2 komada ).

2. Signal je predstavljen skupom realnih vrijednosti, a njegov spektar je predstavljen skupom realnih vrijednosti. Harmoničke frekvencije su pozitivne. Činjenica da je matematičarima pogodnije predstaviti spektar u složenom obliku koristeći negativne frekvencije ne znači da je „točno“ i „to bi uvijek trebalo raditi na ovaj način“.

3. Signal mjeren na vremenskom intervalu T određen je samo na vremenskom intervalu T. Šta se dešavalo prije nego što smo počeli mjeriti signal, a šta će se dogoditi nakon toga - to je nepoznato nauci. A u našem slučaju - nije zanimljivo. DFT vremenski ograničenog signala daje njegov "pravi" spektar, u smislu da, pod određenim uslovima, omogućava izračunavanje amplitude i frekvencije njegovih komponenti.

Korišteni materijali i drugi korisni materijali.

FourierScope je program za konstruisanje radio signala i njihovu spektralnu analizu. Graph je program otvorenog koda za kreiranje matematičkih grafova. DISKRETNA FOURIEROVA TRANSFORMACIJA - KAKO SE TO RADI Diskretna Fourierova transformacija (DFT)

Poglavlje 10 opisuje primjenu Fourierovih redova na proučavanje elastičnih vibracija strune. U ovom poglavlju ćemo razmotriti neka pitanja elastičnog savijanja greda.

Upotreba Fourierovih redova za rješavanje problema statike elastičnih tijela provodi se prema sljedećoj shemi.

Prije svega, iz fizičkih razmatranja, izvodi se relacija koja povezuje funkciju koja opisuje geometrijsko stanje deformiranog tijela s opterećenjima koja se primjenjuju na tijelo. Ovaj odnos, uopšteno govoreći, sadrži, pored same funkcije stanja, i njene derivate, kao i neke integralne karakteristike.

Zatim, na osnovu geometrijskih obrisa tijela i kinematičkih uvjeta koji ograničavaju njegovo kretanje, odabire se ortogonalni sistem funkcija prema kojem se navedena funkcija stanja proširuje u Fourierov red.

Zamjena ovog Fourierovog reda u izvedenu relaciju dovodi do identične jednakosti dva Fourierova reda, iz koje se, koristeći teoremu 2 odeljka 14 poglavlja 9, može prijeći na jednakost koeficijenata za identične funkcije. Iz ovih zadnjih jednakosti mogu se izračunati vrijednosti Fourierovih koeficijenata i tako opisati stanje deformiranog tijela.

Ovaj proces zamjene Fourierovog reda u relaciju koja karakteriše savijanje mora se provoditi s dovoljnim oprezom, jer je pri tome potrebno više puta diferencirati Fourierov red po članu, čiji se koeficijenti izračunavaju tek naknadno. Uvjerite se u legitimnost ove diferencijacije, tj. (vidi § 10 poglavlja 5) ujednačene konvergencije sastavljenih nizova

od derivativnih članova diferencibilnog niza, a priori je prilično teško. Stoga ćemo pri rješavanju svakog konkretnog problema razmišljati otprilike na sljedeći način.

Prvo ćemo pretpostaviti da se Fourierovi redovi napisani sa do sada nepoznatim koeficijentima mogu (u smislu teoreme § 10 poglavlja 5) diferencirati pojam po član potreban broj puta. Ispisivanjem izvoda i rješavanjem rezultirajućih jednačina, naći ćemo Fourierove koeficijente koji nas zanimaju. To će značiti da ako je Fourierov niz podložan diferencijaciji pojam po član (i, osim toga, onoliko puta koliko je potrebno), onda je sasvim određen, što smo našli u blizini. Ako se sada, iz razmatranja dobijenih koeficijenata, vidi da je ovaj konstruisani, dobro definisani niz zaista diferencijabilan pojam po član, onda su sve operacije koje su stvarno izvedene na ovom nizu bile legitimne, a pronađeni Furijeovi koeficijenti su one željene. Ako se ispostavi da je dobijen nediferenciran niz, onda to znači da su radnje koje su ranije izvršene s njim bile matematički netočne, a rezultat dobiven na njihovoj osnovi je nerazuman, iako možda i ispravan. Zatim ćemo pogledati primjere ishoda oba tipa.

Koji su se već prilično zasitili. I osjećam da je došao trenutak kada je došlo vrijeme da se iz strateških rezervi teorije izvuče nova konzervirana hrana. Da li je moguće proširiti funkciju u niz na neki drugi način? Na primjer, izraziti segment prave linije u smislu sinusa i kosinusa? Čini se nevjerovatnim, ali takve naizgled udaljene funkcije su pogodne za sebe
"ponovno okupljanje". Pored poznatih diploma u teoriji i praksi, postoje i drugi pristupi proširenju funkcije u niz.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa trigonometrijskim Fourierovim redom, dotaknuti se pitanja njegove konvergencije i sume i, naravno, analiziraćemo brojne primere za proširenje funkcija u Fourierov red. Iskreno sam želio nazvati članak "Furierov niz za lutke", ali to bi bilo lukavo, jer će rješavanje problema zahtijevati poznavanje drugih dijelova matematičke analize i određeno praktično iskustvo. Stoga će preambula ličiti na obuku astronauta =)

Prvo, proučavanju materijala stranice treba pristupiti u odličnoj formi. Pospan, odmoran i priseban. Bez jakih emocija o slomljenoj šapi hrčka i opsesivnih misli o teškoćama života akvarijskih riba. Fourierova serija nije teška sa stanovišta razumijevanja, međutim, praktični zadaci jednostavno zahtijevaju povećanu koncentraciju pažnje - idealno bi trebalo potpuno napustiti vanjske podražaje. Situaciju otežava činjenica da ne postoji jednostavan način da se proveri rešenje i odgovor. Dakle, ako je vaše zdravlje ispod prosjeka, onda je bolje učiniti nešto jednostavnije. Da li je istina.

Drugo, prije letenja u svemir potrebno je proučiti instrument ploču letjelice. Počnimo s vrijednostima funkcija koje treba kliknuti na mašini:

Za bilo koju prirodnu vrijednost:

1) . I zapravo, sinusoida "treperi" x-osu kroz svako "pi":
. U slučaju negativnih vrijednosti argumenta, rezultat će, naravno, biti isti: .

2). Ali nisu svi to znali. Kosinus "pi en" je ekvivalent "blistavom svjetlu":

Negativan argument ne mijenja slučaj: .

Mozda dosta.

I treće, dragi kosmonautski zbor, morate biti u stanju da ... integrisati.
Konkretno, svakako dovesti funkciju pod diferencijalni predznak, integrirati po dijelovima i biti u dobrim odnosima sa Newton-Leibnizova formula. Počnimo sa važnim vježbama prije leta. Izričito ne preporučujem da ga preskačete, kako se kasnije ne biste spljoštili u nultom gravitaciji:

Primjer 1

Izračunati određene integrale

gdje preuzima prirodne vrijednosti.

Rješenje: integracija se vrši preko varijable "x" i u ovoj fazi se diskretna varijabla "en" smatra konstantom. U svim integralima dovesti funkciju pod znak diferencijala:

Kratka verzija rješenja, na koju bi bilo dobro pucati, izgleda ovako:

navikavanje na:

Četiri preostale tačke su same za sebe. Pokušajte da se savjesno odnosite prema zadatku i na kratak način posložite integrale. Primjeri rješenja na kraju lekcije.

Nakon KVALITETNE vježbe obukli smo skafandere
i spremam se za početak!

Proširivanje funkcije u Fourierov red na intervalu

Razmotrimo funkciju koja odlučan barem na intervalu (i, eventualno, na većem intervalu). Ako je ova funkcija integrabilna na segmentu, onda se može proširiti u trigonometriju Fourierova serija:
, gdje se nalaze tzv Fourierovi koeficijenti.

U ovom slučaju se poziva broj period raspadanja, a broj je razlaganje poluraspada.

Očigledno, u opštem slučaju, Fourierov red se sastoji od sinusa i kosinusa:

Zaista, hajde da to napišemo detaljno:

Nulti član serije obično se piše kao .

Fourierovi koeficijenti se izračunavaju pomoću sljedećih formula:

Savršeno dobro razumijem da su novi pojmovi još uvijek nejasni za početnike da proučavaju temu: period raspadanja, poluciklus, Fourierovi koeficijenti i drugi Bez panike, to se ne može porediti sa uzbuđenjem prije svemirske šetnje. Hajde da sve shvatimo u najbližem primjeru, prije izvođenja kojeg je logično postaviti goruća praktična pitanja:

Šta treba da uradite u sledećim zadacima?

Proširite funkciju u Fourierov niz. Osim toga, često je potrebno nacrtati graf funkcije, graf zbira niza, parcijalni zbir, au slučaju sofisticiranih profesorskih fantazija, učiniti nešto drugo.

Kako proširiti funkciju u Fourierov red?

U suštini, morate pronaći Fourierovi koeficijenti, odnosno sastaviti i izračunati tri određeni integrali.

Molimo kopirajte opći oblik Fourierove serije i tri radne formule u svoju bilježnicu. Veoma mi je drago da se nekim posetiocima sajta ostvario san iz detinjstva da postanu astronaut pred mojim očima =)

Primjer 2

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu . Napravi graf, graf zbira niza i parcijalnog zbira.

Rješenje: prvi dio zadatka je proširiti funkciju u Fourierov red.

Početak je standardan, obavezno zapišite:

U ovom problemu, period ekspanzije, poluperiod.

Proširujemo funkciju u Fourierov red na interval:

Koristeći odgovarajuće formule, nalazimo Fourierovi koeficijenti. Sada treba da sastavimo i izračunamo tri određeni integrali. Radi praktičnosti, numerisaću tačke:

1) Prvi integral je najjednostavniji, ali već zahtijeva oko i oko:

2) Koristimo drugu formulu:

Ovaj integral je dobro poznat i uzima to po komadu:

Kada se nađe korišteno metoda dovođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

U zadatku koji se razmatra, pogodnije je odmah koristiti formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu :

Par tehničkih napomena. Prvo, nakon primjene formule cijeli izraz mora biti stavljen u velike zagrade, pošto postoji konstanta ispred originalnog integrala. Nemojmo ga izgubiti! Zagrade se mogu otvoriti na bilo kom daljem koraku, ja sam to uradio na poslednjem koraku. U prvom "komadu" pokazujemo izuzetnu tačnost u zameni, kao što vidite, konstanta je van funkcije, a granice integracije su zamenjene u proizvodu. Ova radnja je označena uglastim zagradama. Pa, integral drugog "komadića" formule vam je dobro poznat iz zadatka za obuku ;-)

I što je najvažnije - krajnja koncentracija pažnje!

3) Tražimo treći Furijeov koeficijent:

Dobija se relativ prethodnog integrala, koji je takođe integrisan po dijelovima:

Ovaj primjer je malo složeniji, komentirat ću dalje korake korak po korak:

(1) Čitav izraz je stavljen u velike zagrade.. Nisam želio da izgledam kao dosadno, prečesto gube konstantu.

(2) U ovom slučaju, odmah sam proširio te velike zagrade. Posebna pažnja posvećujemo prvom “komadu”: stalno puši sa strane i ne učestvuje u zamjeni granica integracije ( i ) u proizvod. S obzirom na nered u zapisu, ponovo je preporučljivo ovu radnju istaknuti u uglastim zagradama. Sa drugim "komadom" sve je jednostavnije: ovdje se razlomak pojavio nakon otvaranja velikih zagrada, a konstanta - kao rezultat integracije poznatog integrala ;-)

(3) U uglastim zagradama vršimo transformacije, au desnom integralu zamjenjujemo granice integracije.

(4) Izvadimo “flašer” iz uglastih zagrada: , nakon čega otvaramo unutrašnje zagrade: .

(5) Poništimo 1 i -1 u zagradama, napravimo konačna pojednostavljenja.

Konačno pronađena sva tri Furijeova koeficijenta:

Zamijenite ih u formulu :

Ne zaboravite podijeliti na pola. U poslednjem koraku, konstanta ("minus dva"), koja ne zavisi od "en", izvlači se iz zbira.

Tako smo dobili proširenje funkcije u Fourierov red na intervalu:

Proučimo pitanje konvergencije Fourierovog reda. Posebno ću objasniti teoriju Dirichletova teorema, doslovno "na prste", pa ako su vam potrebne stroge formulacije, pogledajte udžbenik iz matematike (na primjer, 2. tom Bohana; ili 3. tom Fihtenholca, ali je u njemu teže).

U drugom dijelu zadatka potrebno je nacrtati graf, graf sume serije i graf parcijalne sume.

Grafikon funkcije je uobičajen prava linija na ravni, koji je nacrtan crnom isprekidanom linijom:

Bavimo se zbirom serije. Kao što znate, funkcionalni nizovi konvergiraju funkcijama. U našem slučaju, konstruisani Fourierov red za bilo koju vrijednost "x" konvergira funkciji prikazanoj crvenom bojom. Ova funkcija podliježe pauze 1. vrste u tačkama, ali i definisane u njima (crvene tačke na crtežu)

ovako: . Lako je uočiti da se značajno razlikuje od originalne funkcije, zbog čega je u notaciji umjesto znaka jednakosti koristi se tilda.

Proučimo algoritam pomoću kojeg je zgodno konstruirati zbir niza.

Na središnjem intervalu, Fourierov red konvergira samoj funkciji (središnji crveni segment poklapa se sa crnom isprekidanom linijom linearne funkcije).

Hajdemo sada malo o prirodi razmatrane trigonometrijske ekspanzije. Fourierova serija uključuje samo periodične funkcije (konstante, sinuse i kosinuse), dakle zbir serije je također periodična funkcija.

Šta to znači u našem konkretnom primjeru? A to znači da je zbir serije –obavezno periodično a crveni segment intervala mora se beskonačno ponavljati lijevo i desno.

Mislim da je sada konačno postalo jasno značenje izraza "period raspadanja". Jednostavno rečeno, svaki put se situacija iznova ponavlja.

U praksi je obično dovoljno prikazati tri perioda dekompozicije, kao što je urađeno na crtežu. Pa, i još "panjeva" susjednih perioda - da bude jasno da se grafikon nastavlja.

Od posebnog interesa su tačke diskontinuiteta 1. vrste. U takvim tačkama Fourierov red konvergira ka izolovanim vrednostima, koje se nalaze tačno na sredini „skoka“ diskontinuiteta (crvene tačke na crtežu). Kako pronaći ordinate ovih tačaka? Prvo, pronađimo ordinatu "gornjeg kata": za ovo izračunavamo vrijednost funkcije u krajnjoj desnoj tački centralnog perioda proširenja: . Da biste izračunali ordinatu „donjeg sprata“, najlakši način je da uzmete krajnju levu vrednost istog perioda: . Ordinata srednje vrijednosti je aritmetička sredina zbira "vrh i dna": . Lijepo je to što ćete prilikom izrade crteža odmah vidjeti da li je sredina ispravno ili netačno izračunata.

Konstruirajmo parcijalni zbir niza i u isto vrijeme ponovimo značenje pojma "konvergencija". Motiv je poznat iz lekcije o zbir niza brojeva. Hajde da detaljno opišemo naše bogatstvo:

Da biste napravili delimičan zbir, potrebno je da zapišete nula + još dva člana serije. To je,

Na crtežu je grafik funkcije prikazan zelenom bojom i, kao što vidite, prilično čvrsto obavija ukupan zbir. Ako uzmemo u obzir djelomični zbir pet članova serije, tada će graf ove funkcije još preciznije aproksimirati crvene linije, ako postoji stotinu članova, tada će se "zelena zmija" zapravo potpuno spojiti s crvenim segmentima, itd. Dakle, Fourierov red konvergira svom zbiru.

Zanimljivo je napomenuti da bilo koji parcijalni zbroj jeste kontinuirana funkcija, ali je ukupan zbroj serije i dalje diskontinuiran.

U praksi, nije neuobičajeno da se napravi graf parcijalne sume. Kako uraditi? U našem slučaju, potrebno je razmotriti funkciju na segmentu, izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u međutočkama (što više tačaka uzmete u obzir, to će graf biti tačniji). Zatim treba da označite ove tačke na crtežu i pažljivo nacrtate grafikon na periodu, a zatim ga „replicirate“ u susedne intervale. Kako drugačije? Uostalom, aproksimacija je također periodična funkcija ... ... njen graf me nekako podsjeća na ujednačen srčani ritam na displeju medicinskog uređaja.

Naravno, nije baš zgodno izvoditi konstrukciju, jer morate biti izuzetno oprezni, održavajući tačnost ne manju od pola milimetra. Ipak, ugodit ću čitaocima koji se ne slažu sa crtanjem - u "pravom" zadatku, daleko od toga nije uvijek potrebno crtanje, negdje u 50% slučajeva je potrebno proširiti funkciju u Fourierov niz i to je to.

Nakon završetka crteža, završavamo zadatak:

Odgovori:

U mnogim zadacima funkcija trpi ruptura 1. vrste pravo na period raspadanja:

Primjer 3

Proširite u Fourierov red funkciju datu na intervalu . Nacrtajte graf funkcije i ukupnog zbroja niza.

Predložena funkcija je data po komadima (i, imajte na umu, samo na segmentu) i izdržati ruptura 1. vrste u tački . Da li je moguće izračunati Fourierove koeficijente? Nema problema. I lijevi i desni dio funkcije su integrabilni na svojim intervalima, tako da integrale u svakoj od tri formule treba predstaviti kao zbir dva integrala. Pogledajmo, na primjer, kako se to radi za nulti koeficijent:

Pokazalo se da je drugi integral jednak nuli, što je smanjilo rad, ali to nije uvijek slučaj.

Dva druga Fourierova koeficijenta pišu se slično.

Kako prikazati zbir niza? Na lijevom intervalu crtamo segment ravne linije, a na intervalu - segment prave linije (označite dio ose podebljanim-podebljanim slovima). Odnosno, na intervalu proširenja, zbir niza se poklapa sa funkcijom svuda, osim za tri "loše" tačke. U tački diskontinuiteta funkcije, Fourierov red konvergira do izolovane vrijednosti, koja se nalazi tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta. Nije teško to vidjeti usmeno: lijevo ograničenje:, desna granica: i, očigledno, ordinata sredine je 0,5.

Zbog periodičnosti sume, slika se mora „pomnožiti“ u susjedne periode, posebno prikazati istu stvar na intervalima i . U ovom slučaju, u tačkama, Fourierov red konvergira srednjim vrijednostima.

U stvari, tu nema ničeg novog.

Pokušajte sami riješiti ovaj problem. Približan uzorak finog dizajna i crteža na kraju lekcije.

Proširenje funkcije u Fourierov red na proizvoljan period

Za proizvoljni period ekspanzije, gdje je "el" bilo koji pozitivan broj, formule za Fourierov red i Fourierove koeficijente razlikuju se u malo kompliciranijem sinusnom i kosinusnom argumentu:

Ako je , tada dobivamo formule za interval s kojim smo započeli.

Algoritam i principi za rješavanje problema u potpunosti su očuvani, ali se povećava tehnička složenost proračuna:

Primjer 4

Proširite funkciju u Fourierov red i nacrtajte zbir.

Rješenje: zapravo, analog primjera br. 3 sa ruptura 1. vrste u tački . U ovom problemu, period ekspanzije, poluperiod. Funkcija je definirana samo na poluintervalu, ali to ne mijenja stvari - važno je da su oba dijela funkcije integrabilna.

Proširimo funkciju u Fourierov niz:

Budući da je funkcija diskontinuirana u početku, svaki Fourierov koeficijent očito treba napisati kao zbir dvaju integrala:

1) Prvi integral ću napisati što je moguće detaljnije:

2) Pažljivo zavirite u površinu mjeseca:

Drugi integral uzeti u delovima:

Na šta treba obratiti posebnu pažnju nakon što otvorimo nastavak rješenja sa zvjezdicom?

Prvo, ne gubimo prvi integral , gdje odmah izvršavamo dovodeći pod znak diferencijala. Drugo, ne zaboravite na nesrećnu konstantu ispred velikih zagrada i nemojte se zbuniti znakovima kada koristite formulu . Velike zagrade, na kraju krajeva, pogodnije je otvoriti odmah u sljedećem koraku.

Ostalo je stvar tehnike, samo nedovoljno iskustvo u rješavanju integrala može uzrokovati poteškoće.

Da, nisu uzalud bili ogorčeni eminentni kolege francuskog matematičara Fouriera - kako se usudio da razloži funkcije u trigonometrijske nizove ?! =) Inače, vjerovatno sve zanima praktično značenje dotičnog zadatka. I sam Fourier je radio na matematičkom modelu provođenja toplote, a potom je serija nazvana po njemu počela da se koristi za proučavanje mnogih periodičnih procesa, koji su očigledno nevidljivi u spoljnom svetu. Sada sam, inače, uhvatio sebe kako mislim da nije slučajno što sam uporedio grafikon drugog primjera s periodičnim srčanim ritmom. Zainteresovani se mogu upoznati sa praktičnom primjenom Fourierove transformacije iz izvora trećih strana. ... Iako je bolje ne - pamtiće se kao Prva ljubav =)

3) S obzirom na više puta spominjane slabe karike, bavimo se trećim koeficijentom:

Integracija po dijelovima:

Pronađene Fourierove koeficijente zamjenjujemo u formulu , ne zaboravljajući podijeliti nulti koeficijent na pola:

Nacrtajmo zbir serije. Ponovimo ukratko postupak: na intervalu gradimo liniju, a na intervalu - liniju. Sa nultom vrijednošću "x", stavljamo tačku u sredinu "skoka" jaza i "repliciramo" grafikon za susjedne periode:

Na "spojnicama" perioda, zbir će takođe biti jednak sredinama "skoka" jaza.

Spreman. Podsjećam da je sama funkcija uvjetno definirana samo na poluintervalu i očito se poklapa sa zbrojem nizova na intervalima

Odgovori:

Ponekad je funkcija zadana po komadima također kontinuirana u periodu ekspanzije. Najjednostavniji primjer: . Rješenje (Vidi Bohan tom 2) je isto kao u prethodna dva primjera: uprkos kontinuitet funkcije u tački , svaki Fourier koeficijent se izražava kao zbir dva integrala.

U intervalu raskida tačke diskontinuiteta 1. vrste i/ili "spojnih" tačaka grafa može biti više (dvije, tri i općenito bilo koje final količina). Ako je funkcija integrabilna na svakom dijelu, onda je i proširiva u Fourierov red. Ali iz praktičnog iskustva ne pamtim takvu limenku. Ipak, postoje i teži zadaci nego što su samo razmatrani, a na kraju članka za svakoga su linkovi na Fourierove serije povećane složenosti.

U međuvremenu, opustimo se, zavalivši se u fotelje i promatrajući beskrajna zvjezdana prostranstva:

Primjer 5

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu i nacrtajte zbir tog niza.

U ovom zadatku, funkcija kontinuirano na poluintervalu dekompozicije, što pojednostavljuje rješenje. Sve je vrlo slično primjeru #2. Ne možete pobjeći od svemirskog broda - morate odlučiti =) Primjer dizajna na kraju lekcije, raspored je u prilogu.

Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red

Uz parne i neparne funkcije, proces rješavanja problema je značajno pojednostavljen. I zato. Vratimo se na proširenje funkcije u Fourierov red na period od "dva pi" i proizvoljna tačka "dva ala" .

Pretpostavimo da je naša funkcija parna. Opšti pojam serije, kao što vidite, sadrži parne kosinuse i neparne sinuse. A ako dekomponiramo EVEN funkciju, zašto su nam onda potrebni neparni sinusi?! Resetujmo nepotreban koeficijent: .

dakle, parna funkcija se proširuje u Fourierov red samo u kosinusima:

Zbog integrali parnih funkcija preko segmenta integracije simetričan u odnosu na nulu može se udvostručiti, tada se ostali Furijeovi koeficijenti također pojednostavljuju.

za raspon:

Za proizvoljan interval:

Primjeri udžbenika koji se nalaze u gotovo svakom udžbeniku računanja uključuju proširenja parnih funkcija . Osim toga, više puta su se sreli u mojoj ličnoj praksi:

Primjer 6

Zadata funkcija. Obavezno:

1) proširiti funkciju u Fourierov red s periodom, gdje je proizvoljan pozitivan broj;

2) zapisati ekspanziju na intervalu, izgraditi funkciju i nacrtati ukupan zbir niza.

Rješenje: u prvom pasusu se predlaže da se problem riješi na opći način, i to je vrlo zgodno! Biće potrebe - samo zamijenite svoju vrijednost.

1) U ovom problemu, period ekspanzije , poluperiod . U toku daljih radnji, posebno tokom integracije, "el" se smatra konstantom

Funkcija je parna, što znači da se širi u Fourierov niz samo u kosinusima: .

Fourierovi koeficijenti se traže po formulama . Obratite pažnju na njihove apsolutne prednosti. Prvo, integracija se vrši preko pozitivnog segmenta proširenja, što znači da se sigurno rješavamo modula , uzimajući u obzir samo "x" od dva komada. I, drugo, integracija je primjetno pojednostavljena.