Polinom trinomiális faktorizálása. Hogyan lehet négyzetes trinomit tényezőzni
Ez az egyik legelemibb módja a kifejezés egyszerűsítésének. A módszer alkalmazásához emlékezzünk a szorzás eloszlási törvényére az összeadásra vonatkozóan (ne féljen ezektől a szavaktól, ezt a törvényt biztosan ismeri, csak lehet, hogy elfelejtette a nevét).
A törvény azt mondja: ahhoz, hogy két szám összegét megszorozzuk egy harmadik számmal, minden tagot meg kell szorozni ezzel a számmal, és össze kell adni az eredményeket, más szóval.
Megteheti a fordított műveletet is, és minket ez a fordított művelet érdekel. Mint a mintából látható, az a, közös tényező kivehető a zárójelből.
Hasonló művelet elvégezhető változókkal, például és például, és számokkal is: .
Igen, ez is túl elemi példa, csakúgy, mint az előbbi példa, egy szám bővítésével, mert mindenki tudja, mik azok a számok, és oszthatóak velük, de mi van, ha bonyolultabb kifejezést kapunk:
Hogyan lehet megtudni, hogy például egy szám mire van felosztva, nem, számológéppel bárki megteheti, de enélkül gyenge? Ehhez pedig megvannak az oszthatóság jelei, ezeket a jeleket igazán érdemes ismerni, ezek segítenek gyorsan megérteni, hogy ki lehet-e venni a közös tényezőt a zárójelből.
Az oszthatóság jelei
Nem olyan nehéz megjegyezni őket, valószínűleg a legtöbbjük már ismerős volt számodra, és valami új hasznos felfedezés lesz, további részletek a táblázatban:
Megjegyzés: A táblázatból hiányzik a 4-gyel osztható jel. Ha az utolsó két számjegy osztható 4-gyel, akkor az egész szám osztható 4-gyel.
Nos, hogy tetszik a jel? Azt tanácsolom, hogy emlékezzen rá!
Na, de térjünk vissza a kifejezéshez, esetleg vegyük ki a zárójelből és ennyi elég is belőle? Nem, a matematikusoknál bevett szokás, hogy egyszerűsítsenek, így a legteljesebb mértékben, Vegyél ki MINDENT, amit kivesznek!
Tehát a lejátszóval minden világos, de mi a helyzet a kifejezés numerikus részével? Mindkét szám páratlan, így nem lehet osztani
Használhatja az oszthatóság jelét a számjegyek összegével, és, amelyből a szám áll, egyenlő és osztható -val, ami azt jelenti, hogy osztható -val.
Ennek ismeretében nyugodtan osztható oszlopra, a vele való osztás eredményeként kapunk (jól jöttek az oszthatóság jelei!). Így kivehetjük a számot a zárójelből, csakúgy, mint az y-t, és ennek eredményeként megkapjuk:
Annak érdekében, hogy minden megfelelően le legyen bontva, ellenőrizheti a bővítést szorzással!
A közös tényezőt ki lehet venni a hatványkifejezésekből is. Itt például látod a közös tényezőt?
Ennek a kifejezésnek minden tagjának x-je van - kivesszük, mindegyiket elosztjuk - újra kivesszük, megnézzük, mi történt: .
2. Rövidített szorzóképletek
A rövidített szorzóképletekről elméletben már szó esett, ha alig emlékszik, mi az, akkor frissítse fel a memóriájában.
Nos, ha nagyon okosnak tartja magát, és lusta egy ilyen információfelhőt olvasni, akkor csak olvasson tovább, nézze meg a képleteket, és azonnal vegye a példákat.
Ennek a dekompozíciónak az a lényege, hogy észreveszünk az előttünk álló kifejezésben valami határozott képletet, alkalmazzuk, és így megkapjuk valami és valami szorzatát, ennyi a dekompozíció. A következő képletek:
Most próbálja meg faktorálni a következő kifejezéseket a fenti képletekkel:
És ennek meg kellett volna történnie:
Ahogy észrevetted, ezek a formulák a faktorálás nagyon hatékony módja, nem mindig megfelelő, de nagyon hasznos lehet!
3. Csoportosítás vagy csoportosítás módszere
Íme egy másik példa az Ön számára:
Nos, mit fogsz vele csinálni? Úgy tűnik, felosztható valamire és valamire, valamire és valamire
De nem lehet mindent egy dologra felosztani, nos nincs közös tényező, hogy mit ne keressünk, és faktorálás nélkül hagyjuk?
Itt meg kell mutatni a találékonyságot, és ennek a találékonyságnak a neve egy csoportosítás!
Csak akkor használatos, ha nem minden tagnak van közös osztója. A csoportosításhoz szükséges keresse meg a közös osztókkal rendelkező kifejezéscsoportokatés átrendezzük őket úgy, hogy minden csoportból ugyanazt a szorzót kapjuk.
Persze nem szükséges helyenként átrendezni, de ez láthatóságot ad, az áttekinthetőség kedvéért zárójelbe is veheted a kifejezés egyes részeit, nem tilos annyit tenni, amennyit akarsz, a lényeg, hogy ne összekeverni a jeleket.
Mindez nem egészen világos? Hadd magyarázzam el egy példával:
Egy polinomban - tegyünk tagot - a tag után - kapjuk
az első két tagot külön zárójelbe csoportosítjuk, a harmadik és negyedik tagot pedig ugyanúgy csoportosítjuk, a mínusz jelet kihagyva a zárójelből, így kapjuk:
És most külön-külön nézzük meg mind a két "kupacot", amelybe zárójelekkel beletörtük a kifejezést.
A trükk az, hogy olyan cölöpökre bontjuk, amelyekből a lehető legnagyobb tényezőt lehet kivenni, vagy, mint ebben a példában, megpróbáljuk úgy csoportosítani a tagokat, hogy miután a faktorokat a zárójelekből a cölöpökből kiemeljük, ugyanazok a kifejezések vannak a zárójelben.
Mindkét zárójelből kivesszük a tagok közös tényezőit, az első zárójelből, a második zárójelből pedig a következőket kapjuk:
De ez nem bomlás!
Pszamár a bomlás csak szorzás maradjon, de egyelőre van egy polinomunk, amelyet egyszerűen két részre osztunk...
DE! Ennek a polinomnak van egy közös tényezője. azt
a zárójelen kívül, és megkapjuk a végterméket
Bingó! Mint látható, már van szorzat, és a zárójeleken kívül nincs se összeadás, se kivonás, a bontás befejeződött, mert nincs már mit kiszednünk a zárójelből.
Csodának tűnhet, hogy a tényezők zárójelből való kiemelése után továbbra is ugyanazok a kifejezések vannak a zárójelben, amit ismét kivettünk a zárójelből.
És ez egyáltalán nem csoda, tény, hogy a tankönyvekben és a vizsgán a példák kifejezetten úgy vannak elkészítve, hogy a feladatokban a legtöbb kifejezés az egyszerűsítés, ill. faktorizáció a megfelelő megközelítéssel könnyen leegyszerűsíthetők, és hirtelen esernyőként esnek össze, amikor megnyom egy gombot, ezért keresse meg ezt a gombot minden kifejezésben.
Valamit kitérek, mi van az egyszerűsítéssel? A bonyolult polinom egyszerűbb formát öltött: .
Egyetértek, nem olyan terjedelmes, mint régen?
4. Teljes négyzet kiválasztása.
Néha a rövidített szorzás képleteinek alkalmazásához (a téma megismétlése) szükséges a meglévő polinomot átalakítani úgy, hogy egyik tagját két tag összegeként vagy különbségeként kell bemutatni.
Ebben az esetben ezt meg kell tennie, tanulni fog a példából:
Egy ilyen formájú polinom nem bontható fel rövidített szorzóképletekkel, ezért át kell alakítani. Talán eleinte nem lesz nyilvánvaló számodra, hogy melyik kifejezést melyikre kell felosztani, de idővel megtanulod azonnal látni a rövidített szorzóképleteket, még akkor is, ha nincsenek teljes egészükben, és gyorsan meghatározod, hogy mi hiányzik innen. a teljes képletre, de egyelőre - tanulj , diák, pontosabban iskolás.
A különbség négyzetének teljes képletéhez itt kell helyette. A harmadik tagot ábrázoljuk különbségként, kapjuk: A különbség négyzetes képletét alkalmazhatjuk a zárójelben lévő kifejezésre (nem tévesztendő össze a négyzetek különbségével!!!), van: , erre a kifejezésre alkalmazhatjuk a négyzetek különbségének képletét (nem tévesztendő össze a négyzetes különbséggel!!!), elképzelve hogyan, kapjuk: .
A faktorokba nem mindig beleszámított kifejezés egyszerűbbnek és kisebbnek tűnik, mint a dekompozíció előtt, de ebben a formában mobilabbá válik, abban az értelemben, hogy nem kell aggódnia a változó jelek és egyéb matematikai hülyeségek miatt. Nos, ahhoz, hogy önállóan dönthessen, a következő kifejezéseket kell figyelembe venni.
Példák:
Válaszok:
5. Négyzetes trinomiális faktorizálása
A négyzetes trinom faktorizálását lásd alább a felbontási példákban.
Példák 5 polinom faktorálási módszerére
1. A közös tényező zárójelből való kivétele. Példák.
Emlékszel, mi az elosztási törvény? Ez egy ilyen szabály:
Példa:
Tényezősítsünk egy polinomot.
Megoldás:
Egy másik példa:
Szorozni.
Megoldás:
Ha a teljes kifejezést kivesszük a zárójelből, akkor helyette egy marad zárójelben!
2. A rövidített szorzás képletei. Példák.
A leggyakrabban használt képletek a négyzetek különbsége, a kockák különbsége és a kockák összege. Emlékszel ezekre a képletekre? Ha nem, sürgősen ismételje meg a témát!
Példa:
Tényező a kifejezést.
Megoldás:
Ebben a kifejezésben könnyű megtudni a kockák közötti különbséget:
Példa:
Megoldás:
3. Csoportosítási módszer. Példák
Néha lehetséges a kifejezések felcserélése oly módon, hogy minden szomszédos kifejezéspárból egy és ugyanaz a faktor kinyerhető. Ezt a közös tényezőt ki lehet venni a zárójelből, és az eredeti polinomból szorzat lesz.
Példa:
Tényezd ki a polinomot.
Megoldás:
A kifejezéseket a következőképpen csoportosítjuk:
.
Az első csoportban zárójelből kivesszük a közös tényezőt, a másodikban pedig - :
.
Most a közös tényezőt is ki lehet venni a zárójelből:
.
4. A teljes négyzet kiválasztásának módja. Példák.
Ha a polinom két kifejezés négyzeteinek különbségeként ábrázolható, akkor már csak a rövidített szorzási képletet kell alkalmazni (négyzetek különbsége).
Példa:
Tényezd ki a polinomot.
Megoldás:Példa:
\begin(tömb)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\zárójel(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(négyzet\összegek\ ((\balra) (x+3 \jobbra))^(2)))-9-7=((\bal(x+3 \jobb))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(tömb)
Tényezd ki a polinomot.
Megoldás:
\begin(tömb)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\zárójel(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(négyzet\ különbségek((\bal(((x)^(2))-2 \jobbra))^(2)))-4-1=((\bal(((x)^ (2))-2 \jobbra))^ (2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(tömb)
5. Négyzetes trinomiális faktorizálása. Példa.
A négyzetes trinom olyan alakú polinom, ahol ismeretlen, sőt néhány szám is van.
Azokat a változó értékeket, amelyek a négyzetes trinomit nullára fordítják, a trinom gyökének nevezzük. Ezért a trinomiális gyökerei egy másodfokú egyenlet gyökerei.
Tétel.
Példa:
Tényezőzzük a négyzetháromtagot: .
Először is megoldjuk a másodfokú egyenletet: Most felírhatjuk ennek a négyzetes trinomnak a faktorizálását faktorokra:
Most a véleményed...
Részletesen leírtuk, hogyan és miért kell faktorizálni egy polinomot.
Rengeteg példát adtunk a gyakorlati megvalósításra, rámutattunk a buktatókra, megoldásokat adtunk ...
Mit mondasz?
Hogy tetszik ez a cikk? Használod ezeket a trükköket? Érted a lényegüket?
Írd meg kommentben és... készülj a vizsgára!
Eddig ez a legfontosabb az életedben.
Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan bonthatjuk fel a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre. Ehhez fel kell idézni Vieta tételét és annak inverzét. Ez a készség segít gyorsan és kényelmesen felbontani a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre, és leegyszerűsíti a kifejezésekből álló törtek redukcióját is.
Tehát vissza a másodfokú egyenlethez , ahol .
Amit a bal oldalon találunk, azt négyzetháromságnak nevezzük.
A tétel igaz: Ha egy négyzetes trinom gyökerei, akkor az azonosság igaz
Hol van a vezető együttható, ott vannak az egyenlet gyökerei.
Tehát van egy másodfokú egyenletünk - egy négyzetes trinom, ahol a másodfokú egyenlet gyökereit a másodfokú trinom gyökeinek is nevezik. Ezért, ha megvannak a négyzetes trinom gyökei, akkor ezt a hármast lineáris tényezőkre bontjuk.
Bizonyíték:
Ennek a ténynek a bizonyítása a Vieta-tétel segítségével történik, amelyet az előző leckékben megvizsgáltunk.
Emlékezzünk, mit mond Vieta tétele:
Ha egy négyzetes trinom gyökei, amelyekre , akkor .
Ez a tétel magában foglalja a következő állítást, hogy .
Látjuk, hogy a Vieta-tétel szerint, azaz ezeket az értékeket a fenti képletbe behelyettesítve a következő kifejezést kapjuk
Q.E.D.
Emlékezzünk vissza, hogy bebizonyítottuk azt a tételt, miszerint ha egy négyzetháromtag gyökei vannak, akkor a dekompozíció érvényes.
Most idézzünk fel egy példát egy másodfokú egyenletre, amelyhez a gyököket Vieta tételével választottuk ki. Ebből a tényből a következő egyenlőséget kaphatjuk a bizonyított tételnek köszönhetően:
Most pedig ellenőrizzük ennek a ténynek a helyességét a zárójelek egyszerű kibontásával:
Látjuk, hogy helyesen faktoráltunk, és bármely trinomiális, ha van gyöke, e tétel szerint lineáris tényezőkké faktorálható a képlet szerint.
Ellenőrizzük azonban, hogy lehetséges-e ilyen faktorizálás bármely egyenlet esetében:
Vegyük például az egyenletet. Először is ellenőrizzük a diszkrimináns jelét
És ne felejtsük el, hogy a tanult tétel teljesítéséhez D-nek nagyobbnak kell lennie 0-nál, ezért ebben az esetben a vizsgált tétel szerinti faktorálás lehetetlen.
Ezért egy új tételt fogalmazunk meg: ha egy négyzetes trinomnak nincs gyöke, akkor nem bontható fel lineáris tényezőkre.
Tehát megvizsgáltuk a Vieta-tételt, egy négyzetes trinom lineáris tényezőkre bontásának lehetőségét, és most több problémát is megoldunk.
1. feladat
Ebben a csoportban a problémát a feltetthöz képest fordítottan fogjuk megoldani. Volt egy egyenletünk, és megtaláltuk a gyökereit, amelyek faktorokra bomlanak. Itt az ellenkezőjét fogjuk tenni. Tegyük fel, hogy megvannak a másodfokú egyenlet gyökerei
Az inverz probléma a következő: írjunk fel egy másodfokú egyenletet úgy, hogy ez legyen a gyöke.
A probléma megoldásának két módja van.
Mivel tehát az egyenlet gyökerei 
egy másodfokú egyenlet, amelynek gyökei adott számok. Most nyissuk meg a zárójeleket, és ellenőrizzük:
Ez volt az első módja annak, hogy adott gyökökkel másodfokú egyenletet hozzunk létre, amelynek nincs más gyöke, mivel minden másodfokú egyenletnek legfeljebb két gyöke van.
Ez a módszer az inverz Vieta-tételt foglalja magában.
Ha az egyenlet gyökei, akkor teljesítik azt a feltételt, hogy .
A redukált másodfokú egyenlethez 
, , azaz jelen esetben , és .
Így létrehoztunk egy másodfokú egyenletet, amelynek a gyökei vannak.
2. feladat
Csökkentenie kell a törtet.
Van egy trinom a számlálóban és egy trinom a nevezőben, és a trinomiálisok lehetnek faktorosak vagy nem. Ha a számlálót és a nevezőt is faktorizáljuk, akkor közöttük lehetnek egyenlő faktorok, amelyek csökkenthetők.
Mindenekelőtt a számlálót tizedelni kell.
Először is ellenőriznie kell, hogy ez az egyenlet faktorálható-e, és meg kell keresnie a diszkriminánst. Mivel , akkor az előjel a szorzattól függ (0-nál kisebbnek kell lennie), ebben a példában , azaz az adott egyenletnek gyökei vannak.
A megoldáshoz a Vieta-tételt használjuk:
Ebben az esetben, mivel gyökerekkel van dolgunk, meglehetősen nehéz lesz egyszerűen felszedni a gyökereket. De látjuk, hogy az együtthatók kiegyenlítettek, vagyis ha feltételezzük, hogy , és ezt az értéket behelyettesítjük az egyenletbe, akkor a következő rendszert kapjuk: azaz 5-5=0. Így ennek a másodfokú egyenletnek az egyik gyökerét választottuk.
A második gyöket úgy fogjuk keresni, hogy a már ismertet behelyettesítjük az egyenletrendszerbe, például, , azaz. .
Így megtaláltuk a másodfokú egyenlet mindkét gyökerét, és ezek értékét behelyettesíthetjük az eredeti egyenletbe, hogy faktorozzuk:
Emlékezzünk vissza az eredeti problémára, csökkentenünk kellett a törtet.
Próbáljuk meg megoldani a problémát a számláló helyett behelyettesítéssel.
Nem szabad elfelejteni, hogy ebben az esetben a nevező nem lehet egyenlő 0-val, azaz.
Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor az eredeti törtet a formára redukáltuk.
3. feladat (paraméteres feladat)
A paraméter mely értékeinél van a másodfokú egyenlet gyökeinek összege
Ha ennek az egyenletnek a gyökerei léteznek, akkor 
, a kérdés az, hogy mikor.
Határozzuk meg a másodfokú egyenlet gyökeinek összegét és szorzatát! Az (59.8) képleteket felhasználva a fenti egyenlet gyökére megkapjuk
(az első egyenlőség nyilvánvaló, a másodikat egy egyszerű számítás után kapjuk meg, amelyet az olvasó önállóan hajt végre; célszerű egy képletet használni két szám összegének a különbségükkel való szorzására).
A következő
Vieta tétele. Az adott másodfokú egyenlet gyökeinek összege egyenlő az ellenkező előjelű második együtthatóval, szorzatuk pedig a szabad taggal.
Redukálatlan másodfokú egyenlet esetén a (60.1) képlet kifejezéseit a (60.1) képletekre kell behelyettesíteni, és a formát felvenni
Példa 1. Állítson össze egy másodfokú egyenletet a gyökeivel:
Megoldás, a) Megtaláljuk, hogy az egyenletnek van alakja
2. példa Határozza meg egy egyenlet gyökeinek négyzetösszegét anélkül, hogy magát az egyenletet megoldaná.
Megoldás. A gyökerek összege és szorzata ismert. A négyzetgyökök összegét ábrázoljuk az alakban
és kap
A Vieta képletekből könnyen beszerezhető a képlet
a négyzetes trinomiális faktorálás szabályát kifejezve.
Valóban, a (60.2) képleteket a formába írjuk
Most megvan
amit meg kell szerezned.
A Vieta-képletek fenti levezetését egy középiskolai algebratanfolyamról ismeri az olvasó. Egy másik levezetés is megadható Bezout tételével és egy polinom faktorizálásával (51., 52. §).
Legyen az egyenlet gyöke, akkor az (52.2) általános szabály szerint az egyenlet bal oldalán lévő trinomit faktorizáljuk:
Az azonos egyenlőség jobb oldalán lévő zárójeleket kibontva megkapjuk
és az együtthatók egyenlő hatványon történő összehasonlításával megkapjuk a Vieta-képleteket (60.1).
Ennek a levezetésnek az az előnye, hogy magasabb fokú egyenletekre is alkalmazható, hogy az egyenlet együtthatóira kifejezéseket kapjunk a gyökei alapján (a gyökök megtalálása nélkül!). Például ha a redukált köbös egyenlet gyökei
a lényeg az, hogy az (52.2) egyenlőség szerint azt találjuk
(esetünkben az egyenlőség jobb oldalán lévő zárójeleket kinyitva és az együtthatókat különböző fokozatokban összegyűjtve kapjuk
Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan bonthatjuk fel a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre. Ehhez fel kell idézni Vieta tételét és annak inverzét. Ez a készség segít gyorsan és kényelmesen felbontani a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre, és leegyszerűsíti a kifejezésekből álló törtek redukcióját is.
Tehát vissza a másodfokú egyenlethez , ahol .
Amit a bal oldalon találunk, azt négyzetháromságnak nevezzük.
A tétel igaz: Ha egy négyzetes trinom gyökerei, akkor az azonosság igaz
Hol van a vezető együttható, ott vannak az egyenlet gyökerei.
Tehát van egy másodfokú egyenletünk - egy négyzetes trinom, ahol a másodfokú egyenlet gyökereit a másodfokú trinom gyökeinek is nevezik. Ezért, ha megvannak a négyzetes trinom gyökei, akkor ezt a hármast lineáris tényezőkre bontjuk.
Bizonyíték:
Ennek a ténynek a bizonyítása a Vieta-tétel segítségével történik, amelyet az előző leckékben megvizsgáltunk.
Emlékezzünk, mit mond Vieta tétele:
Ha egy négyzetes trinom gyökei, amelyekre , akkor .
Ez a tétel magában foglalja a következő állítást, hogy .
Látjuk, hogy a Vieta-tétel szerint, azaz ezeket az értékeket a fenti képletbe behelyettesítve a következő kifejezést kapjuk
Q.E.D.
Emlékezzünk vissza, hogy bebizonyítottuk azt a tételt, miszerint ha egy négyzetháromtag gyökei vannak, akkor a dekompozíció érvényes.
Most idézzünk fel egy példát egy másodfokú egyenletre, amelyhez a gyököket Vieta tételével választottuk ki. Ebből a tényből a következő egyenlőséget kaphatjuk a bizonyított tételnek köszönhetően:
Most pedig ellenőrizzük ennek a ténynek a helyességét a zárójelek egyszerű kibontásával:
Látjuk, hogy helyesen faktoráltunk, és bármely trinomiális, ha van gyöke, e tétel szerint lineáris tényezőkké faktorálható a képlet szerint.
Ellenőrizzük azonban, hogy lehetséges-e ilyen faktorizálás bármely egyenlet esetében:
Vegyük például az egyenletet. Először is ellenőrizzük a diszkrimináns jelét
És ne felejtsük el, hogy a tanult tétel teljesítéséhez D-nek nagyobbnak kell lennie 0-nál, ezért ebben az esetben a vizsgált tétel szerinti faktorálás lehetetlen.
Ezért egy új tételt fogalmazunk meg: ha egy négyzetes trinomnak nincs gyöke, akkor nem bontható fel lineáris tényezőkre.
Tehát megvizsgáltuk a Vieta-tételt, egy négyzetes trinom lineáris tényezőkre bontásának lehetőségét, és most több problémát is megoldunk.
1. feladat
Ebben a csoportban a problémát a feltetthöz képest fordítottan fogjuk megoldani. Volt egy egyenletünk, és megtaláltuk a gyökereit, amelyek faktorokra bomlanak. Itt az ellenkezőjét fogjuk tenni. Tegyük fel, hogy megvannak a másodfokú egyenlet gyökerei
Az inverz probléma a következő: írjunk fel egy másodfokú egyenletet úgy, hogy ez legyen a gyöke.
A probléma megoldásának két módja van.
Mivel tehát az egyenlet gyökerei egy másodfokú egyenlet, amelynek gyökei adott számok. Most nyissuk meg a zárójeleket, és ellenőrizzük:
Ez volt az első módja annak, hogy adott gyökökkel másodfokú egyenletet hozzunk létre, amelynek nincs más gyöke, mivel minden másodfokú egyenletnek legfeljebb két gyöke van.
Ez a módszer az inverz Vieta-tételt foglalja magában.
Ha az egyenlet gyökei, akkor teljesítik azt a feltételt, hogy .
A redukált másodfokú egyenlethez , , azaz jelen esetben , és .
Így létrehoztunk egy másodfokú egyenletet, amelynek a gyökei vannak.
2. feladat
Csökkentenie kell a törtet.
Van egy trinom a számlálóban és egy trinom a nevezőben, és a trinomiálisok lehetnek faktorosak vagy nem. Ha a számlálót és a nevezőt is faktorizáljuk, akkor közöttük lehetnek egyenlő faktorok, amelyek csökkenthetők.
Mindenekelőtt a számlálót tizedelni kell.
Először is ellenőriznie kell, hogy ez az egyenlet faktorálható-e, és meg kell keresnie a diszkriminánst. Mivel , akkor az előjel a szorzattól függ (0-nál kisebbnek kell lennie), ebben a példában , azaz az adott egyenletnek gyökei vannak.
A megoldáshoz a Vieta-tételt használjuk:
Ebben az esetben, mivel gyökerekkel van dolgunk, meglehetősen nehéz lesz egyszerűen felszedni a gyökereket. De látjuk, hogy az együtthatók kiegyenlítettek, vagyis ha feltételezzük, hogy , és ezt az értéket behelyettesítjük az egyenletbe, akkor a következő rendszert kapjuk: azaz 5-5=0. Így ennek a másodfokú egyenletnek az egyik gyökerét választottuk.
A második gyöket úgy fogjuk keresni, hogy a már ismertet behelyettesítjük az egyenletrendszerbe, például, , azaz. .
Így megtaláltuk a másodfokú egyenlet mindkét gyökerét, és ezek értékét behelyettesíthetjük az eredeti egyenletbe, hogy faktorozzuk:
Emlékezzünk vissza az eredeti problémára, csökkentenünk kellett a törtet.
Próbáljuk meg megoldani a problémát a számláló helyett behelyettesítéssel.
Nem szabad elfelejteni, hogy ebben az esetben a nevező nem lehet egyenlő 0-val, azaz.
Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor az eredeti törtet a formára redukáltuk.
3. feladat (paraméteres feladat)
A paraméter mely értékeinél van a másodfokú egyenlet gyökeinek összege
Ha ennek az egyenletnek a gyökerei léteznek, akkor , a kérdés az, hogy mikor.
A faktorizáláshoz szükséges a kifejezések egyszerűsítése. Erre azért van szükség, hogy tovább csökkenthessük. Egy polinom felbontásának akkor van értelme, ha foka nem alacsonyabb a másodpercnél. Az elsőfokú polinomot lineárisnak nevezzük.
A cikk feltárja a dekompozíció összes fogalmát, elméleti alapjait és a polinom faktorálásának módszereit.
Elmélet
1. tételHa bármely n fokú polinom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + alakú. . . + a 1 x + a 0, a legnagyobb fokú a n állandó tényezővel és n lineáris tényezővel (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , akkor P n (x) = a n szorzatként ábrázoljuk. (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , ahol x i , i = 1 , 2 , … , n - ezek a polinom gyökei.
A tétel az x i , i = 1 , 2 , … , n komplex típusú gyökökre és a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n komplex együtthatókra vonatkozik. Ez minden bomlás alapja.
Ha az a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n alakú együtthatók valós számok, akkor komplex gyökök fordulnak elő konjugált párokban. Például az x 1 és x 2 gyökök egy P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + alakú polinomhoz kapcsolódnak. . . + a 1 x + a 0 komplex konjugáltnak tekinthető, akkor a többi gyök valós, így azt kapjuk, hogy a polinom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, ahol x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Megjegyzés
A polinom gyökerei megismételhetők. Tekintsük az algebra tételének bizonyítását, Bezout tételének következményeit.
Az algebra alaptétele
2. tételMinden n fokú polinomnak van legalább egy gyöke.
Bezout tétele
A P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + alakú polinom felosztása után. . . + a 1 x + a 0 on (x - s) , akkor megkapjuk a maradékot, ami egyenlő az s pontban lévő polinomdal, akkor kapjuk
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , ahol Q n - 1 (x) egy n - 1 fokú polinom.
Következmény Bezout tételéből
Ha a P n (x) polinom gyökét s-nek tekintjük, akkor P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Ez a következtetés elegendő a megoldás leírására.
Négyzetes trinom tényezõzése
Az a x 2 + b x + c alakú négyzetes trinomit beszámíthatjuk lineáris tényezőkké. akkor azt kapjuk, hogy a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , ahol x 1 és x 2 gyök (komplex vagy valós).
Ez azt mutatja, hogy maga a dekompozíció a másodfokú egyenlet későbbi megoldására redukálódik.
1. példa
Tényezősítsünk egy négyzetháromtagot.
Megoldás
Meg kell találni a 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 egyenlet gyökereit. Ehhez meg kell találnia a diszkrimináns értékét a képlet szerint, majd D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9-et kapunk. Ezért nekünk ez van
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Innen azt kapjuk, hogy 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Az ellenőrzés végrehajtásához ki kell nyitnia a zárójeleket. Ezután megkapjuk a forma kifejezését:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Ellenőrzés után az eredeti kifejezéshez jutunk. Azaz megállapíthatjuk, hogy a bővítés helyes.
2. példa
Tényezőzzünk egy 3 x 2 - 7 x - 11 alakú négyzet trinomit.
Megoldás
Azt kapjuk, hogy ki kell számítani az így kapott 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 alakú másodfokú egyenletet.
A gyökerek megtalálásához meg kell határoznia a diszkrimináns értékét. Ezt értjük
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816
Innen azt kapjuk, hogy 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
3. példa
Tényezőzzük a polinomot 2 x 2 + 1 értékkel.
Megoldás
Most meg kell oldania a 2 x 2 + 1 = 0 másodfokú egyenletet, és meg kell találnia a gyökereit. Ezt értjük
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Ezeket a gyököket komplex konjugátumnak nevezzük, ami azt jelenti, hogy magát a dekompozíciót 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i alakban ábrázolhatjuk.
4. példa
Bontsa ki az x 2 + 1 3 x + 1 négyzetháromtagot.
Megoldás
Először meg kell oldania egy x 2 + 1 3 x + 1 = 0 alakú másodfokú egyenletet, és meg kell találnia a gyökereit.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Miután megszereztük a gyökereket, írunk
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Megjegyzés
Ha a diszkrimináns értéke negatív, akkor a polinomok másodrendű polinomok maradnak. Ebből következik, hogy ezeket nem bontjuk lineáris tényezőkre.
A másodiknál magasabb fokszámú polinom faktorálási módszerei
A dekompozíció univerzális módszert feltételez. Az esetek többsége Bezout tételének egy következményén alapul. Ehhez ki kell választani az x 1 gyök értékét, és csökkenteni kell a fokát úgy, hogy egy polinomot osztunk 1-gyel, és osztunk az (x - x 1) -vel. Az eredményül kapott polinomnak meg kell találnia az x 2 gyököt, és a keresési folyamat ciklikus, amíg teljes kiterjesztést nem kapunk.
Ha a gyökér nem található, akkor más faktorizációs módszereket használnak: csoportosítás, további kifejezések. Ez a témakör nagyobb hatványú és egész együtthatójú egyenletek megoldását feltételezi.
A közös tényezőt zárójelből kivéve
Tekintsük azt az esetet, amikor a szabad tag nullával egyenlő, akkor a polinom alakja P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + lesz. . . + egy 1x.
Látható, hogy egy ilyen polinom gyöke egyenlő lesz x 1 \u003d 0-val, akkor a polinomot P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + kifejezés formájában ábrázolhatja. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Ezt a módszert úgy tekintjük, mint a közös tényezőt a zárójelekből.
5. példa
Tényezőzzük a harmadfokú polinomot 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Megoldás
Látjuk, hogy x 1 \u003d 0 az adott polinom gyöke, akkor a teljes kifejezésből zárójelbe tehetjük x-et. Kapunk:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Térjünk tovább a 4 x 2 + 8 x - 1 négyzetháromság gyökeinek megkeresésére. Keressük a diszkriminánst és a gyökereket:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Aztán ebből az következik
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Először vegyünk egy felbontási módszert, amely P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + alakú egész együtthatókat tartalmaz. . . + a 1 x + a 0 , ahol a legnagyobb hatvány együtthatója 1 .
Ha a polinomnak egész gyökei vannak, akkor ezeket a szabad tag osztóinak tekintjük.
6. példa
Bontsa ki az f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 kifejezést.
Megoldás
Fontolja meg, hogy vannak-e egész gyökök. Ki kell írni a szám osztóit - 18. Azt kapjuk, hogy ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. Ebből következik, hogy ennek a polinomnak egész gyökei vannak. A Horner-séma szerint ellenőrizheti. Nagyon kényelmes, és lehetővé teszi a polinom tágulási együtthatóinak gyors megszerzését:
Ebből következik, hogy x \u003d 2 és x \u003d - 3 az eredeti polinom gyökerei, amely a következő alak szorzataként ábrázolható:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Rátérünk egy x 2 + 2 x + 3 alakú négyzetháromtag felbontására.
Mivel a diszkrimináns negatív, ez azt jelenti, hogy nincsenek valódi gyökerek.
Válasz: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Megjegyzés
A Horner-séma helyett megengedett a gyökérkiválasztás és a polinom polinomokkal való osztása. Nézzük tovább a P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + alakú egész együtthatókat tartalmazó polinom kiterjesztését. . . + a 1 x + a 0, amelyek közül a legmagasabb nem egyenlő eggyel.
Ez az eset tört racionális törtek esetén történik.
7. példa
Tényezőzés f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Megoldás
Meg kell változtatni az y = 2 x változót, át kell lépni egy polinomra, amelynek együtthatója a legmagasabb fokon 1. Először meg kell szorozni a kifejezést 4-gyel. Ezt értjük
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Ha a kapott g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formájú függvénynek egész gyöke van, akkor a lelet a szabad tag osztói közé tartozik. A bejegyzés így fog kinézni:
±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60
Folytassuk a g (y) függvény számítását ezeken a pontokon, hogy eredményül nullát kapjunk. Ezt értjük
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (-5) = (-5) 3 + 19 (-5) 2 + 82 (-5) + 60
Azt kapjuk, hogy y \u003d - 5 az y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 alakú egyenlet gyöke, ami azt jelenti, hogy x \u003d y 2 \u003d - 5 2 az eredeti függvény gyöke.
8. példa
El kell osztani egy oszloppal 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2-vel.
Megoldás
Írunk és megkapjuk:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Az osztók ellenőrzése sok időt vesz igénybe, ezért jövedelmezőbb az eredményül kapott x 2 + 7 x + 3 alakú négyzethármas faktorizálása. A nullával való egyenlítéssel megtaláljuk a diszkriminánst.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Ebből következik tehát
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Mesterséges trükkök polinom faktorálásakor
A racionális gyökök nem minden polinomban rejlenek. Ehhez speciális módszereket kell alkalmaznia a tényezők megtalálásához. De nem minden polinom bontható fel vagy ábrázolható szorzatként.
Csoportosítási módszer
Vannak esetek, amikor egy polinom tagjait csoportosíthatja, hogy megtaláljon egy közös tényezőt, és kivegye a zárójelekből.
9. példa
Tényezőzzük az x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 polinomot.
Megoldás
Mivel az együtthatók egész számok, ezért a gyökök feltehetően egészek is lehetnek. Az ellenőrzéshez vesszük az 1 , - 1 , 2 és - 2 értékeket, hogy kiszámítsuk a polinom értékét ezeken a pontokon. Ezt értjük
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Ez azt mutatja, hogy nincsenek gyökerek, másfajta bontási és megoldási módszert kell alkalmazni.
Csoportosítás szükséges:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Az eredeti polinom csoportosítása után két négyzetes trinom szorzataként kell ábrázolni. Ehhez faktorizálnunk kell. azt kapjuk
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Megjegyzés
A csoportosítás egyszerűsége nem jelenti azt, hogy elég könnyű a kifejezések kiválasztása. Ennek megoldására nincs határozott mód, ezért speciális tételek és szabályok alkalmazása szükséges.
10. példa
Tényezőzzük az x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 polinomot.
Megoldás
Az adott polinomnak nincs egész gyöke. A kifejezéseket csoportosítani kell. Ezt értjük
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
A faktoring után ezt kapjuk
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2
A rövidített szorzás és a Newton-binomiális képletek használata a polinom faktorizálására
A megjelenés gyakran nem mindig egyértelművé teszi, hogy a bomlás során melyik utat kell használni. A transzformációk elvégzése után Pascal-háromszögből álló egyenest építhetünk, különben Newton-binomiálisnak nevezzük.
11. példa
Tényezőzzük az x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 polinomot.
Megoldás
A kifejezést formára kell konvertálni
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
A zárójelben lévő összeg együtthatóinak sorrendjét az x + 1 4 kifejezés jelzi.
Tehát van x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
A négyzetek különbségének alkalmazása után azt kapjuk
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Tekintsük a második zárójelben lévő kifejezést. Egyértelmű, hogy ott nincsenek lovak, ezért újra kell alkalmazni a négyzetek különbségének képletét. Olyan kifejezést kapunk, mint
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
12. példa
Tényező x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Megoldás
Változtassuk meg a kifejezést. Ezt értjük
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Alkalmazni kell a kockák különbségének rövidített szorzásának képletét. Kapunk:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Változó cseréjének módszere polinom faktorálásakor
Változó megváltoztatásakor a fokozat csökken, a polinom pedig faktorizálódik.
13. példa
Tényezőzzünk egy x 6 + 5 x 3 + 6 alakú polinomot.
Megoldás
A feltétel alapján egyértelmű, hogy y = x 3 pótlásra van szükség. Kapunk:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
A kapott másodfokú egyenlet gyöke y = - 2 és y = - 3, akkor
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Alkalmazni kell a kockaösszeg rövidített szorzásának képletét. A következő forma kifejezéseit kapjuk:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Azaz elértük a kívánt bővítést.
A fent tárgyalt esetek segítenek egy polinom figyelembevételében és faktorálásában különféle módokon.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt