Bontsa fel a négyzetes trinomit binomiálisra. Négyzetes trinom tényezõzése

A négyzetháromtagok faktorizálása egyike azoknak az iskolai feladatoknak, amelyekkel előbb-utóbb mindenki szembesül. Hogyan kell csinálni? Mi a képlet a négyzetes trinom faktorálására? Nézzük végig lépésről lépésre példákkal.

Általános képlet

A négyzetes trinomiálisok faktorizálása másodfokú egyenlet megoldásával történik. Ez egy egyszerű feladat, amely többféle módszerrel is megoldható - a diszkrimináns megtalálásával, a Vieta-tétel segítségével grafikusan is megoldható. Az első két módszert a középiskolában tanulják.

Az általános képlet így néz ki:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Feladatvégrehajtási algoritmus

A négyzetes trinomálok faktorizálásához ismerni kell a Wit-tételt, kéznél kell lennie egy megoldási programnak, meg kell tudnia találni a megoldást grafikusan, vagy meg kell keresnie egy másodfokú egyenlet gyökereit a diszkriminancia formulán keresztül. Ha adott egy négyzetes trinom, és azt faktorálni kell, akkor a műveletek algoritmusa a következő:

1) Egyenlítse az eredeti kifejezést nullával, hogy megkapja az egyenletet.

2) Adjon meg hasonló kifejezéseket (ha szükséges).

3) Keresse meg a gyökereket bármely ismert módszerrel. A grafikus módszert akkor célszerű használni, ha előre tudjuk, hogy a gyökök egészek és kis számok. Emlékeztetni kell arra, hogy a gyökök száma megegyezik az egyenlet maximális fokával, vagyis a másodfokú egyenletnek két gyöke van.

4) Helyettesítő érték x kifejezésbe (1).

5) Írja fel a négyzetháromtagok faktorizálását!

Példák

A gyakorlat lehetővé teszi, hogy végre megértse, hogyan hajtják végre ezt a feladatot. Példák szemléltetik egy négyzetes trinom tényezőjét:

ki kell bővítenie a kifejezést:

Használjuk az algoritmusunkat:

1) x 2 -17x+32=0

2) a hasonló kifejezések csökkennek

3) a Vieta képlet szerint ennek a példának nehéz megtalálni a gyökereit, ezért jobb a diszkrimináns kifejezést használni:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Cserélje be a bővítési fő képletben talált gyökereket:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Akkor a válasz a következő lesz:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Ellenőrizzük, hogy a diszkrimináns által talált megoldások megfelelnek-e a Vieta-képleteknek:

14,845 . 2,155=32

Ezekre a gyökökre a Vieta-tételt alkalmazzuk, helyesen találtuk meg, ami azt jelenti, hogy az általunk kapott faktorizáció is helyes.

Hasonlóképpen bővítjük a 12x 2 + 7x-6-ot.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Az előző esetben nem egész, hanem valós számok voltak a megoldások, amelyeket egy számológéppel könnyen megtalálhatunk magunk előtt. Most nézzünk meg egy bonyolultabb példát, amelyben a gyökök összetettek: szorozzuk x 2 + 4x + 9-et. A Vieta-képlet szerint a gyökök nem találhatók, a diszkrimináns pedig negatív. A gyökerek az összetett síkon lesznek.

D=-20

Ez alapján megkapjuk a minket érdeklő gyökereket -4 + 2i * 5 1/2 ill. -4-2i * 5 1/2, mert (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

A kívánt kiterjesztést úgy kapjuk meg, hogy a gyököket behelyettesítjük az általános képletbe.

Egy másik példa: a 23x 2 -14x + 7 kifejezést faktorizálni kell.

Megvan az egyenlet 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Tehát a gyökerek 14+21,166i ill 14-21,166i. A válasz a következő lesz:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Mondjunk egy példát, amely a diszkrimináns segítsége nélkül is megoldható.

Legyen szükség az x 2 -32x + 255 másodfokú egyenlet felbontására. Nyilván a diszkriminánssal is meg lehet oldani, de ebben az esetben gyorsabb a gyökerek megtalálása.

x 1 =15

x2=17

Eszközök x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Ez az online számológép egy függvény faktorizálására szolgál.

Például szorozd: x 2 /3-3x+12 . Írjuk fel úgy, hogy x^2/3-3*x+12 . Használhatja ezt a szolgáltatást is, ahol minden számítás Word formátumban kerül mentésre.

Például bontja kifejezésekre. Írjuk úgy, hogy (1-x^2)/(x^3+x) . A megoldás előrehaladásának megtekintéséhez kattintson a Lépések megjelenítése elemre. Ha az eredményt Word formátumban szeretné megkapni, használja ezt a szolgáltatást.

jegyzet: a "pi" (π) szám pi -ként van írva; négyzetgyök mint sqrt , például sqrt(3) , a tg tangensét tanként írjuk. A válaszért lásd az Alternatív szakaszt.

1. Ha egy egyszerű kifejezést adunk meg, például 8*d+12*c*d , akkor a kifejezés faktorálása a kifejezés faktorálását jelenti. Ehhez meg kell találni a közös tényezőket. Ezt a kifejezést így írjuk: 4*d*(2+3*c) .
2. Fejezd ki a szorzatot két binomiálisan: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Itt már több közös tényezőt kell találnunk: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Kivesszük (x+7z) és megkapjuk: (x+7z)(x + 3y) .

lásd még Polinomok sarokkal való osztása (az oszloppal való osztás összes lépése látható)

Hasznosak a faktorizáció szabályainak elsajátításában rövidített szorzóképletek, amellyel világos lesz, hogyan lehet négyzettel megnyitni a zárójeleket:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoring módszerek

Miután megtanult néhány trükköt faktorizáció A megoldások az alábbiak szerint csoportosíthatók:

1. Rövidített szorzóképletek használata.
2. Keressen egy közös tényezőt.

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan bonthatjuk fel a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre. Ehhez fel kell idézni Vieta tételét és annak inverzét. Ez a készség segít gyorsan és kényelmesen felbontani a négyzetes trinomiálisokat lineáris tényezőkre, és leegyszerűsíti a kifejezésekből álló törtek redukcióját is.

Tehát vissza a másodfokú egyenlethez , ahol .

Amit a bal oldalon találunk, azt négyzetháromságnak nevezzük.

A tétel igaz: Ha egy négyzetes trinom gyökerei, akkor az azonosság igaz

Hol van a vezető együttható, ott vannak az egyenlet gyökerei.

Tehát van egy másodfokú egyenletünk - egy négyzetes trinom, ahol a másodfokú egyenlet gyökereit a másodfokú trinom gyökeinek is nevezik. Ezért, ha megvannak a négyzetes trinom gyökei, akkor ezt a hármast lineáris tényezőkre bontjuk.

Bizonyíték:

Ennek a ténynek a bizonyítása a Vieta-tétel segítségével történik, amelyet az előző leckékben megvizsgáltunk.

Emlékezzünk, mit mond Vieta tétele:

Ha egy négyzetes trinom gyökei, amelyekre , akkor .

Ez a tétel magában foglalja a következő állítást, hogy .

Látjuk, hogy a Vieta-tétel szerint, azaz ezeket az értékeket a fenti képletbe behelyettesítve a következő kifejezést kapjuk

Q.E.D.

Emlékezzünk vissza, hogy bebizonyítottuk azt a tételt, miszerint ha egy négyzetháromtag gyökei vannak, akkor a dekompozíció érvényes.

Most idézzünk fel egy példát egy másodfokú egyenletre, amelyhez a gyököket Vieta tételével választottuk ki. Ebből a tényből a következő egyenlőséget kaphatjuk a bizonyított tételnek köszönhetően:

Most pedig ellenőrizzük ennek a ténynek a helyességét a zárójelek egyszerű kibontásával:

Látjuk, hogy helyesen faktoráltunk, és bármely trinomiális, ha van gyöke, e tétel szerint lineáris tényezőkké faktorálható a képlet szerint.

Ellenőrizzük azonban, hogy lehetséges-e ilyen faktorizálás bármely egyenlet esetében:

Vegyük például az egyenletet. Először is ellenőrizzük a diszkrimináns jelét

És ne felejtsük el, hogy a tanult tétel teljesítéséhez D-nek nagyobbnak kell lennie 0-nál, ezért ebben az esetben a vizsgált tétel szerinti faktorálás lehetetlen.

Ezért egy új tételt fogalmazunk meg: ha egy négyzetháromságnak nincs gyöke, akkor nem bontható fel lineáris tényezőkre.

Tehát megvizsgáltuk a Vieta-tételt, egy négyzetes trinom lineáris tényezőkre bontásának lehetőségét, és most több problémát is megoldunk.

1. feladat

Ebben a csoportban a problémát a feltetthöz képest fordítottan fogjuk megoldani. Volt egy egyenletünk, és megtaláltuk a gyökereit, amelyek faktorokra bomlanak. Itt az ellenkezőjét fogjuk tenni. Tegyük fel, hogy megvannak a másodfokú egyenlet gyökerei

Az inverz probléma a következő: írjunk fel egy másodfokú egyenletet úgy, hogy ez legyen a gyöke.

A probléma megoldásának két módja van.

Mivel tehát az egyenlet gyökerei egy másodfokú egyenlet, amelynek gyökei adott számok. Most nyissuk meg a zárójeleket, és ellenőrizzük:

Ez volt az első módja annak, hogy adott gyökökkel másodfokú egyenletet hozzunk létre, amelynek nincs más gyöke, mivel minden másodfokú egyenletnek legfeljebb két gyöke van.

Ez a módszer az inverz Vieta-tételt foglalja magában.

Ha az egyenlet gyökei, akkor teljesítik azt a feltételt, hogy .

A redukált másodfokú egyenlethez , , azaz jelen esetben , és .

Így létrehoztunk egy másodfokú egyenletet, amelynek a gyökei vannak.

2. feladat

Csökkentenie kell a törtet.

Van egy trinom a számlálóban és egy trinom a nevezőben, és a trinomiálisok lehetnek faktorosak vagy nem. Ha a számlálót és a nevezőt is faktorizáljuk, akkor közöttük lehetnek egyenlő faktorok, amelyek csökkenthetők.

Mindenekelőtt a számlálót tizedelni kell.

Először is ellenőriznie kell, hogy ez az egyenlet faktorálható-e, és meg kell keresnie a diszkriminánst. Mivel , akkor az előjel a szorzattól függ (0-nál kisebbnek kell lennie), ebben a példában , azaz az adott egyenletnek gyökei vannak.

A megoldáshoz a Vieta-tételt használjuk:

Ebben az esetben, mivel gyökerekkel van dolgunk, meglehetősen nehéz lesz egyszerűen felszedni a gyökereket. De látjuk, hogy az együtthatók kiegyenlítettek, vagyis ha feltételezzük, hogy , és ezt az értéket behelyettesítjük az egyenletbe, akkor a következő rendszert kapjuk: azaz 5-5=0. Így ennek a másodfokú egyenletnek az egyik gyökerét választottuk.

A második gyöket úgy fogjuk keresni, hogy a már ismertet behelyettesítjük az egyenletrendszerbe, például, , azaz. .

Így megtaláltuk a másodfokú egyenlet mindkét gyökerét, és ezek értékét behelyettesíthetjük az eredeti egyenletbe, hogy faktorozzuk:

Emlékezzünk vissza az eredeti problémára, csökkentenünk kellett a törtet.

Próbáljuk meg megoldani a problémát a számláló helyett behelyettesítéssel.

Nem szabad elfelejteni, hogy ebben az esetben a nevező nem lehet egyenlő 0-val, azaz.

Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor az eredeti törtet a formára redukáltuk.

3. feladat (paraméteres feladat)

A paraméter mely értékeinél van a másodfokú egyenlet gyökeinek összege

Ha ennek az egyenletnek a gyökerei léteznek, akkor , a kérdés az, hogy mikor.

A négyzetes trinom az ax^2+bx+c alakú polinom, ahol x változó, a, b és c néhány szám, és a nem egyenlő nullával.
Valójában az első dolog, amit tudnunk kell a balszerencsés trinomiális faktorizálásához, az a tétel. Így néz ki: „Ha x1 és x2 az ax^2+bx+c négyzetháromság gyöke, akkor ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Természetesen ennek a tételnek is van bizonyítása, de ehhez némi elméleti tudás kell (ha kivesszük az a tényezőt az ax^2+bx+c polinomból, akkor ax^2+bx+c=a(x^) 2+(b/a) x + c/a) Viette tétele szerint x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, tehát b/a=-(x1+x2), c/a =x1*x2., x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2), tehát ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Néha a tanárok rákényszerítik a bizonyításra, de ha igen nem kötelező, azt tanácsolom, hogy emlékezzen a végső képletre.

2 lépés

Vegyük példának a 3x^2-24x+21 trinomit. Az első dolog, amit tennünk kell, hogy egyenlővé kell tenni a trinomit nullával: 3x^2-24x+21=0. A kapott másodfokú egyenlet gyökei rendre a trinom gyökei lesznek.

3 lépés

Oldja meg a 3x^2-24x+21=0 egyenletet. a=3, b=-24, c=21. Szóval, döntsük el. Aki nem tudja, hogyan kell megoldani a másodfokú egyenleteket, nézze meg az utasításaimat, ahol 2 megoldási módot mutat be, ugyanazon egyenlet példáján. Az x1=7, x2=1 gyököket kaptuk.

4 lépés

Most, hogy megvannak a trinomiális gyökök, nyugodtan behelyettesíthetjük őket az =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) képletbe.
kapjuk: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Megszabadulhat az a kifejezéstől, ha zárójelbe teszi: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
eredményül kapjuk: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Megjegyzés: a kapott tényezők mindegyike ((x-7), (3x-3) elsőfokú polinom. Ez az egész bővítés =) Ha kétségei vannak a kapott válaszban, mindig ellenőrizheti a zárójelek szorzásával.

5 lépés

A megoldás ellenőrzése. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Most már biztosan tudjuk, hogy a megoldásunk helyes! Remélem, az utasításaim segítenek valakinek =) Sok sikert a tanuláshoz!

• Esetünkben a D > 0 egyenletben 2-2 gyöket kaptunk. Ha D lenne<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Ha egy négyzetes trinomnak nincs gyöke, akkor nem vehető bele olyan tényezőkbe, amelyek elsőfokú polinomok.

A négyzetes trinom az ax^2 + bx + c alakú polinom, ahol x változó, a, b és c néhány szám, sőt a ≠ 0.

Egy trinomiális faktorizálásához ismernie kell ennek a trinomiálisnak a gyökereit. (a továbbiakban egy példa az 5x^2 + 3x-2 trinomiálisra)

Megjegyzés: az 5x^2 + 3x - 2 négyzetháromtag értéke x értékétől függ. Például: Ha x = 0, akkor 5x^2 + 3x - 2 = -2

Ha x = 2, akkor 5x^2 + 3x - 2 = 24

Ha x = -1, akkor 5x^2 + 3x - 2 = 0

Ha x \u003d -1, az 5x ^ 2 + 3x - 2 négyzetháromtag eltűnik, ebben az esetben a -1 számot hívják. négyzetes trinom gyöke.

Hogyan kapjuk meg az egyenlet gyökerét

Elmagyarázzuk, hogyan kaptuk meg ennek az egyenletnek a gyökerét. Először tisztán kell ismernie a tételt és a képletet, amellyel dolgozni fogunk:

"Ha x1 és x2 az ax^2 + bx + c négyzetháromtag gyöke, akkor ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Ez a polinom gyökereinek megtalálására szolgáló képlet a legprimitívebb képlet, amelynek megoldása soha nem fog összezavarodni.

Kifejezés 5x^2 + 3x - 2.

1. Egyenlítsen nullával: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Megtaláljuk a másodfokú egyenlet gyökereit, ehhez behelyettesítjük a képletben szereplő értékeket (a az X ^ 2 együtthatója, b az X együtthatója, szabad tag, azaz a ábra X nélkül):

A négyzetgyök előtt pluszjellel ellátott első gyöket találjuk:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9-(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

A második gyök mínuszjellel a négyzetgyök előtt:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Megtaláltuk tehát a négyzetháromság gyökereit. Annak érdekében, hogy megbizonyosodjon arról, hogy helyesek, ellenőrizze: először behelyettesítjük az első gyöket az egyenletben, majd a másodikat:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Ha az összes gyök behelyettesítése után az egyenlet eltűnik, akkor az egyenlet helyesen megoldott.

3. Most használjuk a tétel képletét: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), ne feledjük, hogy X1 és X2 a másodfokú egyenlet gyöke. Tehát: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x–2 = 5 (x - 0,4) (x + 1)

4. Annak érdekében, hogy a felosztás helyes legyen, egyszerűen megszorozhatja a zárójeleket:

5 (x - 0,4) (x + 1) = 5 (x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5 (x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Ez megerősíti a helyességet a döntésről.

A második lehetőség a négyzetes trinom gyökereinek megtalálására

Egy másik lehetőség a négyzetháromság gyökeinek megtalálására a Viette-tétel inverz tétele. Itt a másodfokú egyenlet gyökereit a következő képletekkel találjuk meg: x1 + x2 = (b), x1 * x2 = c. De fontos megérteni, hogy ez a tétel csak akkor használható, ha az együttható a \u003d 1, vagyis az x ^ 2 \u003d 1 előtti szám.

Például: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Megoldás: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Most fontos átgondolnunk, hogy a termékben szereplő számok milyen egységet adnak? Természetesen ezt 1 * 1 és -1 * (-1) . Ezekből a számokból kiválasztjuk azokat, amelyek természetesen megfelelnek az x1 + x2 = 2 kifejezésnek - ez 1 + 1. Így megtaláltuk az egyenlet gyökereit: x1 = 1, x2 = 1. Ezt könnyű ellenőrizni, ha x ^ 2-t behelyettesítjük a - 2x + 1 = 0 kifejezésbe.