Mi a különbség a piramis és a téglalap alakú paralelepipedon között. A paralelepipedon típusai

Ezen a leckén mindenki tanulhatja a „Téglalap paralelepipedon” témát. A lecke elején megismételjük, hogy mi az önkényes és egyenes paralelepipedon, emlékezzünk a paralelepipedon ellentétes lapjainak és átlóinak tulajdonságaira. Ezután megnézzük, mi az a téglatest, és megvitatjuk az alapvető tulajdonságait.

Téma: Egyenesek és síkok merőlegessége

Tanulság: Cuboid

Két egyenlő ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 paralelogrammából és négy ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 paralelogrammából álló felületet ún. paralelepipedon(1. ábra).

Rizs. 1 Parallelelepped

Azaz: van két egyforma ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 paralelogrammunk (alapok), ezek párhuzamos síkban helyezkednek el úgy, hogy az AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 oldalélek párhuzamosak legyenek. Így egy paralelogrammákból álló felületet ún paralelepipedon.

Így a paralelepipedon felülete a paralelepipedont alkotó összes paralelogramma összege.

1. A paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.

(a formák egyenlőek, azaz átfedéssel kombinálhatók)

Például:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (definíció szerint egyenlő paralelogrammák),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (mivel AA 1 B 1 B és DD 1 C 1 C a paralelepipedon ellentétes oldalai),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (mivel AA 1 D 1 D és BB 1 C 1 C a paralelepipedon ellentétes oldalai).

2. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és ez a pont felezi őket.

Az AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B paralelepipedon átlói egy O pontban metszik egymást, és minden átlót ezzel a ponttal kettéosztunk (2. ábra).

Rizs. 2 A paralelepipedon átlói metszik egymást, és a metszésponttal kettéosztjuk.

3. A paralelepipedon három egyenlő és párhuzamos élének négyszerese: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Meghatározás. A paralelepipedont egyenesnek nevezzük, ha oldalsó élei merőlegesek az alapokra.

Legyen az AA 1 oldalél merőleges az alapra (3. ábra). Ez azt jelenti, hogy az AA 1 egyenes merőleges az AD és AB egyenesekre, amelyek az alap síkjában helyezkednek el. Ez azt jelenti, hogy az oldallapok téglalapokat tartalmaznak. Az alapok pedig tetszőleges paralelogrammákat tartalmaznak. Jelöljük ∠BAD = φ, a φ szög tetszőleges lehet.

Rizs. 3 Jobb oldali paralelepipedon

Tehát a jobb oldali paralelepipedon olyan paralelepipedon, amelyben az oldalélek merőlegesek a paralelepipedon alapjaira.

Meghatározás. A paralelepipedont téglalap alakúnak nevezzük, ha oldalélei merőlegesek az alapra. Az alapok téglalap alakúak.

Az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 paralelepipedon téglalap alakú (4. ábra), ha:

1. AA 1 ⊥ ABCD (alap síkjára merőleges oldalél, azaz egyenes paralelepipedon).

2. ∠BAD = 90°, azaz az alap téglalap.

Rizs. 4 Téglalap alakú paralelepipedon

A téglalap alakú paralelepipedon minden olyan tulajdonsággal rendelkezik, mint egy tetszőleges paralelepipedon. De vannak további tulajdonságok, amelyek a téglatest definíciójából származnak.

Így, kocka alakú paralelepipedon, amelynek oldalélei merőlegesek az alapra. A téglatest alapja egy téglalap.

1. Egy téglalap alakú paralelepipedonban mind a hat lap téglalap.

Az ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 definíció szerint téglalapok.

2. Az oldalsó bordák merőlegesek az alapra. Ez azt jelenti, hogy a téglalap alakú paralelepipedon minden oldallapja téglalap.

3. A téglalap alakú paralelepipedon minden kétszöge derékszögű.

Tekintsük például egy AB élű téglalap alakú paralelepipedon kétszögét, azaz az ABC 1 és ABC síkok közötti kétszöget.

Az AB egy él, az A 1 pont az egyik síkban - az ABB 1 síkban, a D pont a másikban - az A 1 B 1 C 1 D 1 síkban fekszik. Ekkor a vizsgált diéderszög a következőképpen is jelölhető: ∠A 1 ABD.

Vegyük az A pontot az AB élen. AA 1 merőleges az AB élre az АВВ-1 síkban, AD merőleges az AB élre az ABC síkban. Ez azt jelenti, hogy ∠A 1 AD egy adott diéderszög lineáris szöge. ∠A 1 AD = 90°, ami azt jelenti, hogy az AB élnél a diéderszög 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon bármely kétszöge helyes.

Egy téglalap alakú paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével.

Jegyzet. A téglatest egyik csúcsából kiinduló három él hossza a téglatest méretei. Néha hossznak, szélességnek, magasságnak is nevezik.

Adott: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - téglalap alakú paralelepipedon (5. ábra).

Bizonyít: .

Rizs. 5 Téglalap alakú paralelepipedon

Bizonyíték:

A CC 1 egyenes merőleges az ABC síkra, tehát az AC egyenesre. Ez azt jelenti, hogy a CC 1 A háromszög derékszögű. A Pitagorasz-tétel szerint:

Tekintsük az ABC derékszögű háromszöget. A Pitagorasz-tétel szerint:

De a BC és AD a téglalap ellentétes oldalai. Tehát BC = Kr. u. Akkor:

Mert , A , Azt. Mivel CC 1 = AA 1, ezt kellett bizonyítani.

Egy téglalap alakú paralelepipedon átlói egyenlőek.

Jelöljük a paralelepipedon ABC méreteit a, b, c-vel (lásd 6. ábra), akkor AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Ebben a leckében definiáljuk a paralelepipedont, megvitatjuk felépítését és elemeit (a paralelepipedon átlói, a paralelepipedon oldalai és tulajdonságai). Figyelembe vesszük a paralelogramma lapjainak és átlóinak tulajdonságait is. Ezt követően egy tipikus feladatot fogunk megoldani egy szakasz paralelepipedonban történő felépítésével.

Téma: Egyenesek és síkok párhuzamossága

Tanulság: Párhuzamos. A paralelepipedon lapjainak és átlóinak tulajdonságai

Ebben a leckében definiáljuk a paralelepipedont, megbeszéljük a szerkezetét, tulajdonságait és elemeit (oldalai, átlói).

A paralelepipedon két egyenlő, ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 paralelogramma felhasználásával készül, amelyek párhuzamos síkban vannak. Megnevezés: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 vagy AD 1 (1. ábra).

2. Pedagógiai ötletek fesztiválja "Nyílt lecke" ()

1. Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (alap- és szakirányú szint) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, javítva és bővítve - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Feladatok 10, 11, 12 50. o

2. Szerkesszünk meg egy téglalap alakú paralelepipedon metszetét! ABCDA1B1C1D1 pontokon áthaladó sík:

a) A, C, B1

b) B1, D1és a borda közepe AA1.

3. A kocka éle egyenlő a. Szerkesszük meg a kocka olyan szakaszát, amely egy csúcsból kilép három él felezőpontján átmenő síkkal, és számítsa ki a kerületét és területét!

4. Milyen alakzatokat kaphatunk egy paralelepipedon sík metszéspontja eredményeként?

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra az általunk nyújtott szolgáltatások javítása és a szolgáltatásainkkal kapcsolatos ajánlások biztosítása érdekében.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Vagy (egyenértékű) egy poliéder, amelynek hat lapja van, és mindegyik - paralelogramma.

A paralelepipedon típusai

Többféle paralelepipedon létezik:

• A téglatest olyan paralelepipedon, amelynek lapjai mind téglalap alakúak.
• A jobb oldali paralelepipedon olyan paralelepipedon, amelynek 4 oldalsó oldala téglalap alakú.
• A ferde paralelepipedon olyan paralelepipedon, amelynek oldallapjai nem merőlegesek az alapokra.

Alapvető elemek

A paralelepipedon két olyan lapját, amelyeknek nincs közös éle, átellenesnek, a közös éllel rendelkezőket pedig szomszédosnak nevezzük. A paralelepipedon két olyan csúcsát, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz, ellentétesnek nevezzük. Az ellentétes csúcsokat összekötő szakaszt a paralelepipedon átlójának nevezzük. Egy téglalap alakú paralelepipedon három közös csúcsával rendelkező élének hosszát méreteknek nevezzük.

Tulajdonságok

• A paralelepipedon az átlója közepe körül szimmetrikus.
• Bármely olyan szakaszt, amelynek vége a paralelepipedon felületéhez tartozik, és áthalad az átlójának közepén, ez kettéosztja; konkrétan egy paralelepipedon minden átlója egy pontban metszi egymást, és ez kettévágja.
• A paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.
• Egy téglalap alakú paralelepipedon átlós hosszának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével.

Alapképletek

Jobb oldali paralelepipedon

Oldalsó felület S b =P o *h, ahol P o az alap kerülete, h a magassága

Teljes felület S p =S b +2S o, ahol S o az alapterület

Hangerő V=S o *h

Téglalap alakú paralelepipedon

Oldalsó felület S b =2c(a+b), ahol a, b az alap oldalai, c a téglalap alakú paralelepipedon oldaléle

Teljes felület S p =2(ab+bc+ac)

Hangerő V=abc, ahol a, b, c egy téglalap alakú paralelepipedon méretei.

Kocka

Felszíni terület: $S=6a^2$
Hangerő: $V=a^3$, Ahol $a$- kocka széle.

Bármilyen paralelepipedon

A ferde paralelepipedon térfogatát és arányait gyakran vektoralgebra segítségével határozzák meg. A paralelepipedon térfogata megegyezik három vektor vegyes szorzatának abszolút értékével, amelyet az egy csúcsból kiinduló paralelepipedon három oldala határoz meg. A paralelepipedon oldalainak hossza és a közöttük lévő szögek közötti összefüggés azt az állítást adja, hogy a feltüntetett három vektor Gram-determinánsa egyenlő a vegyes szorzatuk négyzetével: 215.

A matematikai elemzésben

Matematikai elemzésben n-dimenziós téglatest alatt $B$ sok pontot megérteni $x\; =\; (x\_1,\backslash lpontok,x\_n)$ típus $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Írjon véleményt a "Parallelepiped" cikkről

Megjegyzések

Linkek

Helyes Helyes nem domború Konvex Képletek, tételek, elméletek Egyéb

A Parallelelelepipedot jellemző részlet

- On dit que les rivaux se sont conconcilies grace a l "angine... [Azt mondják, hogy a riválisok ennek a betegségnek köszönhetően kibékültek.]
Az angine szót ismételték nagy örömmel.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait vaaraeux. [Az öreg gróf nagyon megható, azt mondják. Sírt, mint egy gyerek, amikor az orvos mondta, hogy veszélyes eset.]
- Ó, ce serait une perte szörnyű. C"est une femme ravissante. [Ó, ez nagy veszteség lenne. Olyan kedves nő.]
– Vous parlez de la pauvre comtesse – mondta Anna Pavlovna, és közeledett. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Ó, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde" - mondta Anna Pavlovna mosolyogva a lelkesedése miatt. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Szegény grófnőről beszélsz... Azért küldtem, hogy tájékozódjak az egészségi állapotáról. Azt mondták, egy kicsit jobban érzi magát. Ó, kétségtelenül ez a legkedvesebb nő a világon. Különböző táborokhoz tartozunk, de ez nem akadályoz meg abban, hogy érdemei alapján tiszteljem őt. Annyira boldogtalan.] – tette hozzá Anna Pavlovna.
Abban a hitben, hogy Anna Pavlovna ezekkel a szavakkal kissé fellebbenti a titok leplet a grófnő betegsége felett, egy óvatlan fiatalember meglepte, hogy nem hívtak be híres orvosokat, hanem a grófnőt egy sarlatán kezeli, aki veszélyes dolgokat tud adni. jogorvoslatok.
– Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes – támadt Anna Pavlovna hirtelen mérgesen a tapasztalatlan fiatalemberre. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Lehet, hogy a te híred pontosabb, mint az enyém... de jó forrásokból tudom, hogy ez az orvos nagyon tanult és ügyes ember. Ez a spanyol királynő életorvosa.] - És ezzel megsemmisítve a fiatalembert, Anna Pavlovna Bilibinhez fordult, aki egy másik körben felkapta a bőrt, és láthatóan meg akarta lazítani, hogy un mot szóljon. az osztrákokról.
"Je trouve que c"est charmant! [Bájosnak találom!]" - mondta a diplomáciai lapról, amellyel a Wittgenstein által elvett osztrák transzparenseket Bécsbe küldték, a le heros de Petropol [a Petropol hőse] (ahogyan ő) Péterváron hívták).
- Hogy van ez? - fordult felé Anna Pavlovna, csendet ébresztve, hogy meghallja a mot, amit már ismert.
És Bilibin megismételte az általa összeállított diplomáciai küldemény következő eredeti szavait:
"L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens" - mondta Bilibin - "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [A császár elküldi az osztrák transzparenseket, barátságos és elveszett transzparenseket, amelyeket az igazi úton kívül talált.] – fejezte be Bilibin, meglazítva a bőrt.
„Bájos, bájos, [kedves, elbűvölő” – mondta Vaszilij herceg.
"C"est la route de Varsovie peut être, [Ez talán a varsói út.] - mondta Hippolyte herceg hangosan és váratlanul. Mindenki visszanézett rá, nem értette, mit akar ezzel mondani. Hippolyte herceg is hátranézett vidám meglepetéssel körülötte Ő sem értette, mit jelentenek a kimondott szavak Diplomáciai pályafutása során nem egyszer észrevette, hogy az így kimondott szavak hirtelen nagyon szellemesek lettek, és ezeket mondta. csak arra az esetre, ha eszébe jutna: „Talán nagyon jól fog menni” – gondolta –, és ha nem, akkor valóban meg tudják oldani kínos csend uralkodott, belépett Anna Pavlovna, aki mosolyogva, ujját rázva Ippolithoz hívta az asztalhoz, és két gyertyát és egy kéziratot nyújtott neki, és minden elhallgatott .

Tétel. Bármely paralelepipedonban a szemközti lapok egyenlőek és párhuzamosak.

Így a BB 1 C 1 C és AA 1 D 1 D lapok (ábra) párhuzamosak, mert az egyik lap két metsző egyenese BB 1 és B 1 C 1 párhuzamos a két AA 1 és A 1 D 1 metsző egyenessel. a másik. Ezek a lapok egyenlőek, mivel B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (mint a paralelogrammák szemközti oldalai) és ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Tétel. Bármely paralelepipedonban mind a négy átló egy pontban metszi egymást, és ott feleződik.

Vegyünk (ábra) a paralelepipedon néhány két átlóját, például AC 1 és DB 1, és húzzunk AB 1 és DC 1 egyeneseket.

Mivel az AD és B 1 C 1 élek rendre egyenlőek és párhuzamosak a BC éllel, akkor egyenlők és párhuzamosak egymással.

Ennek eredményeként az ADC 1 B 1 ábra egy paralelogramma, amelyben C 1 A és DB 1 átló, és egy paralelogrammában az átlók félbe metszik egymást.

Ez a bizonyítás minden két átlónál megismételhető.

Ezért az AC 1 átló félbe metszi a BD 1-et, a BD 1 átló pedig az A 1 C-t.

Így minden átló félbe metszi egymást, tehát egy pontban.

Tétel. Egy téglalap alakú paralelepipedonban bármely átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével.

Legyen (ábra) AC 1 egy téglalap alakú paralelepipedon valamilyen átlója.

Az AC megrajzolásával két háromszöget kapunk: AC 1 C és ACB. Mindkettő téglalap alakú:

az első, mert a paralelepipedon egyenes, és ezért a CC 1 él merőleges az alapra,

a második azért, mert a paralelepipedon téglalap alakú, ami azt jelenti, hogy egy téglalap van az alján.

Ezekből a háromszögekből a következőket találjuk:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 és AC 2 = AB 2 + BC 2

Ezért AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Következmény. A téglalap alakú paralelepipedon minden átlója egyenlő.