Gorlachas B.A., Shigaeva N.V. Furjė serijos naudojimas didmeninės prekybos įmonės pasiūlai prognozuoti ir optimizuoti savo ir nuomojamų transporto priemonių valdymo aspektu.
1Galimybė aproksimuoti Furjė eilutes tiesinio signalo atveju būtina funkcijoms konstruoti nepertraukiamų periodinių elementų atveju. Šio metodo panaudojimo galimybės joms konstruoti ir skaidyti naudojant Furjė eilučių baigtines sumas, naudojamas sprendžiant daugelį įvairių mokslų, tokių kaip fizikos, seismologijos ir kt., uždavinių. Vandenynų potvynių ir atoslūgių procesai, saulės aktyvumas nagrinėjami svyravimo procesų plėtimo būdu, šių transformacijų aprašytos funkcijos. Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, Furjė serijos buvo pradėtos naudoti vis sudėtingesnėms problemoms spręsti, taip pat dėl to atsirado galimybė šias transformacijas panaudoti netiesioginiuose moksluose, tokiuose kaip medicina, chemija. Furjė transformacija aprašyta tiek realia, tiek sudėtinga forma, antrasis paskirstymas leido padaryti proveržį kosmoso tyrinėjimuose. Šio darbo rezultatas – Furjė eilučių taikymas nenutrūkstamosios funkcijos tiesinimui ir serijos koeficientų skaičiaus parinkimas, kad funkcijai būtų galima tiksliau priskirti eilutes. Be to, naudojant Furjė serijos išplėtimą, ši funkcija nustoja būti nenutrūkstama ir jau pakankamai maža, atliekama geras naudojamos funkcijos apytikslis įvertinimas.
Furjė serija
Furjė transformacija
fazių spektras.
1. Alašejeva E.A., Rogova N.V. Skaitmeninis metodas elektrodinamikos uždaviniui spręsti plonosios vielos aproksimacijoje. Mokslas ir taika. Tarptautinis mokslinis žurnalas, Nr. 8(12), 2014. 1 tomas. Volgogradas. p.17-19.
2. Vorobjovas N.N. Eilučių teorija. Red. Nauka, Pagrindinis fizikinės ir matematinės literatūros leidimas, M., 1979, -408 p.
3. Kalinina V.N., Pankin V.F. Matematinė statistika. - M.: Aukštoji mokykla, 2001 m.
4. R. Edwardso Furjė serija šiuolaikiniame pristatyme. Red. Pasaulis. 2 tomuose. 1 tomas. 1985 m. 362 puslapiai
5. Sigorskis V.P. Matematinis inžinieriaus aparatas. Red. 2-as stereotipinis. „Technika“, 1997 m. – 768 p.
Savavališkai paimtos funkcijos su konkrečiu periodu atvaizdavimas kaip serija vadinamas Furjė eilute. Ortogonaliojo pagrindo išplėtimas yra bendras šio sprendimo terminas. Funkcijų išplėtimas Furjė serijoje yra gana galingas įrankis įvairioms problemoms spręsti. Nes Šios transformacijos savybės yra gerai žinomos ir ištirtos integruojant, diferencijuojant, taip pat keičiant išraišką argumento ir konvoliucijos atžvilgiu. Asmuo, kuris nėra susipažinęs su aukštąja matematika, taip pat su prancūzų mokslininko Furjė darbais, greičiausiai nesupras, kas yra šios „serialai“ ir kam jos skirtos. Ši Furjė transformacija tapo labai tankia mūsų gyvenimo dalimi. Jį naudoja ne tik matematikai, bet ir fizikai, chemikai, medikai, astronomai, seismologai, okeanografai ir daugelis kitų.
Furjė serijos naudojamos sprendžiant daugelį taikomųjų problemų. Furjė transformaciją galima atlikti analitiniais, skaitiniais ir kitais metodais. Tokie procesai, kaip vandenyno potvyniai ir šviesos bangos prieš saulės aktyvumo ciklus, reiškia skaitinį bet kokių Furjė serijos virpesių procesų išplėtimo būdą. Naudojant šiuos matematinius metodus, galima analizuoti funkcijas, vaizduojančias bet kokius svyravimo procesus kaip sinusinių komponentų seriją, kuri pereina nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Furjė transformacija yra funkcija, apibūdinanti tam tikrą dažnį atitinkančių sinusoidų fazę ir amplitudę. Ši transformacija naudojama sprendžiant labai sudėtingas lygtis, apibūdinančias dinaminius procesus, vykstančius veikiant šiluminei, šviesai ar elektros energijai. Taip pat Furjė serijos leidžia išskirti pastovius komponentus sudėtinguose svyruojančiuose signaluose, o tai leido teisingai interpretuoti gautus eksperimentinius stebėjimus medicinoje, chemijoje ir astronomijoje.
Augant technologijoms, t.y. Kompiuterio atsiradimas ir plėtra Furjė transformaciją pakėlė į naują lygį. Ši technika yra tvirtai įsitvirtinusi beveik visose mokslo ir technologijų srityse. Pavyzdys yra skaitmeninis garso ir vaizdo signalas. Tai tapo vizualiu mokslinio proceso augimo ir Furjė serijos taikymo suvokimu. Taigi Furjė serija sudėtinga forma leido padaryti proveržį kosminės erdvės tyrime. Be to, tai turėjo įtakos puslaidininkinių medžiagų ir plazmos fizikos, mikrobangų akustikos, okeanografijos, radaro, seismologijos studijoms.
Apsvarstykite, kad periodinio signalo fazių spektras nustatomas pagal šią išraišką:
kur simboliai ir atitinkamai žymi menamą ir tikrąją reikšmės dalis, esančias laužtiniuose skliaustuose.
Jei padauginama iš tikrosios pastovios vertės K, Furjė serijos išplėtimas turi tokią formą:
Iš (1) išraiškos matyti, kad Furjė fazės spektras turi šias savybes:
1) yra funkcija, t.y., skirtingai nuo galios spektro, kuris nepriklauso nuo , , kinta, kai signalas perkeliamas išilgai laiko ašies;
2) nepriklauso nuo K, ty yra nekintamas signalo stiprinimo ar slopinimo atžvilgiu, o galios spektras yra K funkcija.
3) 
y., yra nelyginė n funkcija.
Pastaba. Atsižvelgiant į aukščiau pateiktų samprotavimų geometrinį aiškinimą, jis gali būti išreikštas galios spektru ir fazių spektru taip:
Nes
tada iš (2) ir (3) išplaukia, kad jis gali būti atkurtas vienareikšmiškai, jei žinoma amplitudė (arba galios spektras) ir fazių spektrai.
Apsvarstykite pavyzdį. Mums suteikta funkcija 
tarp
Bendras Furjė serijos vaizdas:
Pakeiskite savo vertybes ir gaukite:
Pakeiskite savo vertybes ir gaukite.
FOURIER SERIJAS TAIKYMAS DIDMENINĖS PREKYBOS ĮMONĖS TIEKIMO PROGNOZAVIMUI IR OPTIMIZAVIMUI SAVO IR NUOMOMAMO TRANSPORTO VALDYMO ASPEKTUI
Gorlachas Borisas Aleksejevičius 1, Šigajeva Natalija Valerievna 2
1 Samaros valstijos aviacijos ir kosmoso universitetas, pavadintas akademiko S.P. Koroleva (NRU), technikos mokslų daktarė, profesorė
2 Samaros valstijos aviacijos ir kosmoso universitetas, pavadintas akademiko S.P. karalienė (NRU)
anotacija
Straipsnyje nagrinėjamas atsitiktinio proceso (statistinių duomenų apie įmonę) modeliavimo mechanizmas naudojant harmoninės analizės aparatą. Siekiant sumažinti produkcijos saugojimo kaštus, buvo išspręsta racionalaus žaliavų tiekimo apimties paskirstymo tarp nuosavų ir nuomojamų transporto priemonių problema.
FOURIER SERIJOS PARAIŠKAS PRISTATYMO IŠLAIDŲ PROGRAMAVIMUI IR OPTIMIZAVIMUI
Gorlachas Borisas Aleksejevičius 1, Shigaeva Nathalie Valerievna 2
1 Samaros valstijos aviacijos ir kosmoso universitetas, technikos mokslų daktaras, profesorius
2 Samaros valstijos aviacijos ir kosmoso universitetas
Abstraktus
Nagrinėjamas atsitiktinio proceso modeliavimo mechanizmas (įmonės duomenims). Harmoninė analizė plačiai taikoma modeliuojant įmonės išlaidas. Išspręsta racionalaus žaliavų pristatymo paskirstymo tarp nuosavo ir nuomojamo transporto problema.
Bibliografinė nuoroda į straipsnį:
Gorlachas B.A., Shigaeva N.V. Furjė serijos naudojimas prognozuojant ir optimizuojant didmeninės prekybos įmonės pasiūlą valdant nuosavą ir nuomojamą transportą // Ekonomika ir inovacinių technologijų vadyba. 2014. Nr.7 [Elektroninis išteklius]..2019.02).
Įvadas. Įmonės sąnaudos prekių sandėliavimo sistemos sukūrimui sukuria poreikį racionaliai paskirstyti atsargas. Tiekimo valdymo problemos sprendimas yra susijęs su įmonės žaliavų poreikių pasikeitimu. Racionaliam paskirstymo modeliui sukurti buvo atliktas įmonės statistinių duomenų apie žaliavų paklausą apdorojimas.
Straipsnį sudaro šios dalys: atsitiktinio proceso modelio sukūrimas, tiekimo optimizavimas supaprastinto modelio ir realių duomenų pavyzdžiu.
Pirma dalis. Atsitiktinio proceso matematinio modelio konstravimas.
Retrospektyviniu laikotarpiu resurso saugojimo sandėlyje statistika yra tokia (1 lentelė). Daroma prielaida, kad statistinių duomenų rinkinys Y i =Y(t i) pateikiamas laiko eilutės pavidalu.
1 lentelė. Išteklių paklausos statistika
Paprastai ekonominių procesų laiko eilučių matematiniai modeliai pateikiami kaip 4 komponentų rinkinys: sezoninis S, ciklinis C, atsitiktinis ξ ir tendencija U. Šie komponentai sudaro adityvų statistinių duomenų modelį.
Dedamoji U – tendencija – parenkama taip, kad ji neprieštarautų pagrindinei tiriamos funkcijos kitimo tendencijai ir neapsunkintų jos analizės. Šiame darbe tendencijos parinkimas atliekamas naudojant Excel funkcijas, taip pat rankiniu būdu naudojant „normaliųjų lygčių“ metodą.
Atlikus tinkamiausios tendencijos parinkimo procedūrą, atliekamas funkcijos normalizavimas, leidžiantis pateikti svyruojančio komponento modeliavimą. Šiame tyrime svyruojantis komponentas parenkamas naudojant modelį, kuris yra trigonometrinė Furjė serija:
.
Furjė eilutės koeficientai apibrėžiami taip :
Paieškojus 6 iteracijų naudojant Excel įrankius, buvo atskleista tokia vibracinio komponento funkcija :
S(t) = -0,215 sinπt/6 – 0,077 cos πt/6 +0,003 sin 5 pt/6 + 0,054 cos 5 pt/6 + 0,056 cos pt
Resurso tiekimo ir saugojimo sandėlyje dinamika bei resurso apimties funkcinė priklausomybė po normalizavimo parodyta 1 pav.
1 pav. Tikrų duomenų virpesių komponentas
Apskaičiuokime gautos funkcijos determinacijos koeficientą.
Gautos funkcijos determinacijos koeficientas yra 0,75. Todėl tendencija statistinius duomenis apibūdina 75 procentais, o tikimybė, kad gauta funkcija neatitinka realių statistinių reikšmių, yra 0,25.
Antra dalis. Pristatymo proceso optimizavimas
Sudarant žaliavų tiekimo proporciją, reikia atsižvelgti į keletą veiksnių, turinčių įtakos tiekimo ekonominio efektyvumo rodikliui:
Pristatymo savalaikiškumas ir dažnumas
Tiekimo kaina
Leistinas žaliavų galiojimo laikas
Įmonės aprūpinimas sandėliavimo patalpomis
Kiti veiksniai.
Apsvarstykite tiekimo optimizavimo procesą supaprastintoje diagramoje. Išskirkime vieną harmoniką normalizuotoje tendencijoje (vienas harmonikų serijos narys) ir apsiribokime vienu periodu. Gauname tokią supaprastinto tiekimo funkciją:
Šiame dokumente apžvelgsime tris pristatymo galimybes.
1. Pristatymai teikiami tik nuosavu transportu lygiu y=1, kuris atitinka reikšmę s(t)=0.
I pusmečio išteklių kaupimo, o II pusmečio vartojimo procesą lemia funkcijos integralo nagrinėjamoje srityje formulė.
Sukaupti ištekliai pilnai išnaudojami per ateinantį pusmetį. Problema ta, kad sandėlyje esančios saugyklos kiekis per daug skiriasi laiku ir jį reikia optimizuoti.
2. Nuosavas transportas aprūpina atsargas, atitinkančias minimalų išteklių sąnaudų intensyvumą. Šis variantas tinka įmonei, jei įmonė turi mažiau kapitalo ir dėl kitų priežasčių negali sau leisti transporto daugiau nei minimalus resursų poreikis, atrodo taip. Įmonė gauna mažiau išteklių, lygių integralo plotui tarp s(t) ir tiesės, apibūdinančios minimalų tiekimo lygį.
Tarkime, kad įmonė nusprendžia nuomotis transporto priemonę maksimalių išteklių poreikio lygiu pirmąjį pusmetį, tada sutaupytos lėšos visiškai išleidžiamos antrąjį pusmetį.
3. Nuosavas transportas užtikrina pristatymą lygiu -h. Resursų trūkumą kompensuoja transporto nuoma.
Apskaičiuojame pasiūlos lygį h nuo kaupimo ir vartojimo plotų lygybės sąlygos:
Su gauta verte h resursų trūkumas be nuomos atrodo taip:
Apibendrinant gautus rezultatus, buvo sudarytas bendras kaupimo/išlaidų grafikas, kuriame matyti, kuo optimalus planas skiriasi minimaliu saugyklos išteklių kiekiu (2 pav.).
2 pav. – Sandėlio išteklių sumažinimas
Remiantis grafiku, nuomojamų transporto priemonių įtraukimas optimizuojant saugojimą sandėlyje leidžia sumažinti specifinį sandėliavimo tūrį sandėlyje iki 10 kartų, nes kaupimo funkcijos reikšmių amplitudė sumažėjo nuo 10 vienetų iki 1.
3 dalis. Tiekimo grandinės optimizavimas naudojant tikrus duomenis
Tiekimo optimizavimo įgyvendinimas pradedamas nuo virpesių komponento periodo parinkimo (mūsų pavyzdyje t i ϵ 11..23) ir funkcijos s(t) susikirtimo su Ox ašimi taškų paieškos.
Išteklių gavimo ir vartojimo dinamikos variantas įmonėje, kurioje transporto nuoma nesuteikiama, parodyta 3 paveiksle.
3 pav. Tikrų duomenų kaupimas/išlaidos be nuomos
Virpesių komponento funkcija atrodo taip:
S(t) = -0,215 sin πt/6-0,077cos πt/6 2pt/3+0,003 sin 5pt/6+0,054cos 5pt/6+0,056cos pt
Kaupimo funkcija:
Q = ∫S = (1/π)(0,215 *6* cos (πt/6)-0,077*6*sin (πt/6) +0,085*3*cos πt/3 – 0,013*3*sin πt/3 – 0,0013*2*kos πt/2+(0,023*2*sin πt/2+0,0349*6/4 cos 2πt/3+(0,0552*6/4)sin 2πt/3 – (0,0032*6/5) cos 5πt/6 + (0,0538*6/5)sin 5πt/6 + (0,0559*sin π t)
Nustatykime maksimalius atsargų ir suvartojimo plotus tiekimo funkcijai, jei tiekimo intensyvumas s(t) lygus nuliui.
2 lentelė. Atsargų plotų ir išteklių suvartojimo nustatymas
Taigi Q max =0,9078 yra didžiausias galimas resursų kiekis, saugomas sandėlyje. Pirmąjį pusmetį sukaupti ištekliai visiškai išnaudojami antrąjį, nes trigonometrinės funkcijos turi simetrijos savybę.
Optimizavimas įtraukiant nuomojamas transporto priemones yra veiksmingas būdas sumažinti išteklių saugojimo sandėlyje išlaidas. Įmonės pristatymo savo transportu lygis nustatomas pagal vertę Y(t) = 1 val, arba S(t)=-h nuo pusmečio kaupimo ir vartojimo plotų lygybės sąlygos (4 pav.).
4 pav. Pristatymo lygio nustatymas nuomotu transportu
Tokiu atveju reikės išteklių, kuriuos nustato stačiakampio su aukščiu plotas h o pagrindas, sudarantis visą svarstymo intervalą, lygus (nuo simetrijos savybių) ciklinio komponento integralo plotui virš pristatymų savo transportu lygio tiesės. Įmonė nuomoja transportą aptariamo intervalo daliai. Pristatymo nuomojamais automobiliais lygis bus nustatomas pagal išteklių trūkumo (2) ir nuomos (1) zonų lygybę, parodytą 4 pav.
Ieškokite lygių h atliekami iteratyviai. Pasirinkus nuomojamų transporto priemonių pritraukimą, maksimalus atsargų saugojimo lygis sandėlyje yra lygus:
Auksciausias lygis h* randame iš nepatenkintos išteklių paklausos (1) plotų ir tiekimo apimties (2) lygybės sąlygos, nurodytos 4 paveiksle. Nuomos lygis nustatomas pagal reikšmę h*=0,144.
Po optimizavimo buvo rastas srauto ir rezervo plotas:
Bendras rezervatų plotas sumažėjo nuo 0,9 iki 0,5:
Qmax2 = 0,2016+ 0,3137=0,515
Taigi, optimizavus tiekimo grandinę nuomojamų transporto priemonių pagalba, sandėlio sąnaudos sumažėjo 44%, kas rodo sėkmingą optimizavimo užduoties atlikimą.
Rezultatai ir išvados. Siūlomas atsargų racionalaus paskirstymo tarp įmonės transporto ir Furjė serijų, išsinuomotų kaštų funkcijos modeliavimo metu algoritmas, pagrįstas normalizuoto tendencijų grafiko charakteristikomis, atsižvelgiama į saugojimo vietos apribojimus, galiojimo laiką. žaliavų, ir iki 50% sumažina saugojimo kaštus (resursų saugojimo sandėlyje lygį) svarstomiems tiekimo funkcijos duomenims. Taigi, nuomojamų transporto priemonių įtraukimas yra efektyvus būdas sumažinti sandėliavimo ir sandėliavimo kaštus brangiai kainuojant sandėlio patalpų nuomai ir išlaikymui.
Bibliografinis sąrašas
- Saveliev G.L. Užduotis optimizuoti įmonės išteklius cikliškų paklausos pokyčių sąlygomis. - Samara: SSAU, 2010. - 30 psl.
- Chuikova Yu.S. Medžiagų srautų optimizavimas įmonės atsargų valdymo problemoje / Mokslinių straipsnių rinkinys „Organizacinių ir ekonominių sistemų valdymas“. - Samara: SSAU, 2009. - p. 25-30.
- Rardin R.L. Optimizavimas operacijų tyrime. Prentice Hall, 1998 m.
Furjė serija parašyta taip:
, kur k yra harmoninis skaičius.
Šios serijos Furjė koeficientai randami pagal formules:
Periodiniai signalai pateikiami Furjė serija tokia forma:
, kur yra pagrindinis dažnis;
Čia koeficientai apskaičiuojami pagal formules:
Dažnai naudojama kita Furjė serijos forma:
, Kur:
- amplitudė k th harmonika; - pradinė fazė
Skaičiavimų patogumui Furjė eilutė parašyta sudėtinga forma:
Grafinis laiko ir dažnio rodymas
Periodinio signalo spektras
laikinas vaizdas
|
ASF dažnio vaizdas
Panašus į FChS, tik atsižvelgiant į tai, kad fazės gali būti neigiamos.
Toks spektras vadinamas diskrečiu arba linijiniu, jis būdingas periodiniam signalui.
Stačiakampių impulsų sekos spektras
Apsvarstykite simetrišką impulsų išdėstymą
, kur yra darbo ciklas.
Raskite nulinius sinuso taškus:
Pirmasis nulinis taškas yra svarbiausias kvadratinių bangų traukinio spektras.
Stačiakampių impulsų sekos ASF:
ω 1 ω 2 2π/t u 4π/t u
Didžiąją dalį energijos neša harmonikos, esančios nuo 0 iki pirmojo nulinio taško (apie 90% energijos). Šis dažnių diapazonas, kuriame sutelkta 90% signalo energijos, vadinamas signalo spektro (dažnio) pločiu.
Stačiakampio impulso spektro plotis yra .
Bet kokiam skaitmeniniam signalo perdavimui reikia daugiau spektro nei paprastam analoginiam perdavimui.
Stačiakampių impulsų sekos FFS:
jei saulė(x)>0 tada Ψ k =0
jei nuodėmė (x)<0, то Ψ k = π
Impulso trukmės ir periodo įtaka spektro formai
Jei trukmė mažėja, pagrindinis dažnis nepasikeis, nuliniai taškai pasislinks į dešinę. Daugiau komponentų patenka į pirmąjį nulinį tašką, kuriame sutelkta pagrindinė energija. Techniškai atkreipkite dėmesį, kad spektras plečiasi.
Jei impulso trukmė didėja, spektras susiaurėja.
Jei pasikartojimo periodas didėja, tada pagrindinis dažnis mažėja. Jei kartojimosi periodas mažėja, tada pagrindinis dažnis didėja.
Impulso padėties ar kilmės keitimas
Tai neturi įtakos AKM, keičiasi tik fazių spektras. Tai galima atspindėti remiantis vėlavimo teorema:
| |
Pasislinkusio signalo fazių spektras ties N=4:
Grandinių su periodiniais signalais skaičiavimo samprata
Skaičiavimo metodas:
1. Nustatomas periodinio signalo kompleksinis spektras;
2. Įvertinamas spektras, paliekamos reikšmingiausios harmonikos (pirmas kriterijus: atkerpamos visos, mažesnės nei 0,1 didžiausios harmonikos amplitudės);
Kiekvieno komponento srovės ir įtampos apskaičiuojamos atskirai. Galite naudoti sudėtingą skaičiavimo metodą.
I 0 = 0
Neharmoninę funkciją galima įvertinti efektyviąja verte, t.y. laikotarpio vidutinės vertės:
Neperiodinio signalo spektro samprata
Neperiodiniai signalai yra patys svarbiausi, nes jie neša informaciją. Periodiniai signalai yra informacijos perdavimo paslauga, o nauja informacija nenešama. Todėl iškyla neperiodinių signalų spektrų klausimas. Galite pabandyti juos gauti ribiniu perėjimu nuo periodinių signalų, nukreipdami laikotarpį į begalybę (). Liko tik vienas signalas. Raskime kompleksinę vieno signalo spektro amplitudę: ties .
, 
Neperiodinis signalas gali būti suskaidytas į begalinę harmoninių komponentų sumą, kurios amplitudės yra be galo mažos ir kurių dažnis skiriasi be galo mažomis reikšmėmis - tai vadinamas nuolatiniu neperiodinio signalo spektru, o ne diskrečiu. Skaičiavimams naudojama nesudėtingų amplitudžių sąvoka, o kompleksinis amplitudžių spektrinis tankis yra dažnio vieneto amplitudės dydis.
Tai tiesioginė Furjė transformacija (dvipusė).
10 skyriuje aprašytas Furjė serijos taikymas stygos tampriųjų virpesių tyrimui. Šiame skyriuje aptarsime kai kuriuos sijų tampriojo lenkimo klausimus.
Furjė serijos naudojimas sprendžiant elastingų kūnų statikos uždavinius atliekamas pagal šią schemą.
Visų pirma, iš fizikinių samprotavimų išvedamas ryšys, kuris jungia funkciją, apibūdinančią deformuoto kūno geometrinę būseną, su kūnui taikomomis apkrovomis. Paprastai kalbant, šis santykis, be pačios būsenos funkcijos, apima ir jos išvestinius, taip pat kai kurias integralines charakteristikas.
Tada, remiantis kūno geometriniais kontūrais ir jo judėjimą ribojančiomis kinematinėse sąlygomis, parenkama stačiakampė funkcijų sistema, pagal kurią nurodyta būsenos funkcija išplečiama į Furjė eilutę.
Šios Furjė eilutės pakeitimas išvestiniu ryšiu lemia identišką dviejų Furjė eilučių lygybę, iš kurios, naudojant 9 skyriaus 14 skirsnio 2 teoremą, galima pereiti prie identiškų funkcijų koeficientų lygybės. Iš šių paskutinių lygčių galima apskaičiuoti Furjė koeficientų reikšmes ir taip apibūdinti deformuoto kūno būklę.
Šis Furjė eilučių pakeitimo į lenkimą charakterizuojančią santykį procesas turi būti atliekamas pakankamai atsargiai, nes jo metu reikia kelis kartus po terminą diferencijuoti Furjė eilutes, kurių koeficientai skaičiuojami tik vėliau. Įsitikinkite šios diferenciacijos teisėtumu, t. y. (žr. 5 skyriaus 10 paragrafą) vienodos sudarytų eilučių konvergencijos.
iš diferencijuojamos serijos išvestinių terminų, a priori yra gana sunku. Todėl spręsdami kiekvieną konkrečią problemą samprotuosime maždaug taip.
Pirma, darysime prielaidą, kad Furjė eilutės, parašytos iki šiol nežinomais koeficientais, gali būti (5 skyriaus § 10 teoremos prasme) diferencijuojamos pagal terminą reikiamą skaičių kartų. Išrašę išvestines ir išsprendę gautas lygtis, rasime mus dominančius Furjė koeficientus. Tai reikš, kad jei Furjė seriją galima diferencijuoti pagal terminą (ir, be to, tiek kartų, kiek reikia), tada ji yra gana apibrėžta, kurią radome netoliese. Jei dabar, įvertinus gautus koeficientus, bus matyti, kad ši sukonstruota, tiksliai apibrėžta eilutė iš tikrųjų yra diferencijuojama po termino, tai visos šios serijos faktiškai atliktos operacijos buvo teisėtos, o rasti Furjė koeficientai yra norimus. Jei paaiškėja, kad gaunama nediferencijuojama serija, tai reiškia, kad anksčiau su ja atlikti veiksmai buvo matematiškai neteisingi, o jų pagrindu gautas rezultatas yra nepagrįstas, nors galbūt ir teisingas. Toliau apžvelgsime abiejų tipų rezultatų pavyzdžius.
Daugeliu atvejų signalo spektro gavimo (apskaičiavimo) užduotis yra tokia. Yra ADC, kuris su diskretizavimo dažniu Fd paverčia nuolatinį signalą, patenkantį į jo įvestį per laiką T, į skaitmeninius rodmenis - N vienetų. Tada rodmenų masyvas įvedamas į tam tikrą programą, kuri išduoda N/2 kai kurių skaitinių reikšmių (programuotojas, kuris paimtas iš interneto parašė programą, teigia, kad ji atlieka Furjė transformaciją).Norėdami patikrinti, ar programa veikia tinkamai, mes sudarysime rodmenų masyvą kaip dviejų sinusoidų sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) sumą ir įstumsime ją į programa. Programa nubrėžė taip:
1 pav. Signalo laiko funkcijos grafikas
2 pav. Signalo spektro grafikas
Spektro grafike yra dvi lazdos (harmonikos) 5 Hz, kurių amplitudė yra 0,5 V, ir 10 Hz - su 1 V amplitudė, visa tai kaip pradinio signalo formulėje. Viskas puiku, puikus programuotojas! Programa veikia tinkamai.
Tai reiškia, kad jei į ADC įvestį pritaikysime realų signalą iš dviejų sinusoidų mišinio, gausime panašų spektrą, susidedantį iš dviejų harmonikų.
Iš viso, mūsų tikras išmatuotas signalas, trukmė 5 sek, suskaitmenintas ADC, t.y. atstovaujamas diskretus skaičiuoja, turi diskretiškas neperiodinis diapazonas.
Žvelgiant iš matematinės pusės – kiek šioje frazėje klaidų?Dabar valdžia nusprendė, kad nusprendėme, kad 5 sekundės yra per ilgas, išmatuokime signalą per 0,5 sek. 
3 pav. Funkcijos sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) grafikas 0,5 sek. matavimo laikotarpiui
pav.4 Funkcijų spektras
Kažkas ne taip! 10 Hz harmonika nupiešta normaliai, tačiau vietoj 5 Hz lazdos atsirado keletas nesuprantamų harmonikų. Ieškome internete, kas ir kaip...
Jie sako, kad mėginio pabaigoje reikia pridėti nulius ir spektras bus nubrėžtas normaliai.
pav.5 Užbaigti nuliai iki 5 sekundžių
pav.6 Gavome spektrą
Vis dar ne tai, kas buvo po 5 sekundžių. Turite susitvarkyti su teorija. Eime Vikipedija- žinių šaltinis.
2. Nepertraukiama funkcija ir jos atvaizdavimas Furjė eilute
Matematiškai mūsų signalas, kurio trukmė yra T sekundės, yra tam tikra funkcija f(x), pateikta intervale (0, T) (X šiuo atveju yra laikas). Tokia funkcija visada gali būti pavaizduota kaip formos harmoninių funkcijų (sinuso arba kosinuso) suma:
(1), kur:
k - trigonometrinės funkcijos skaičius (harmonikos komponento skaičius, harmonikos skaičius) T - segmentas, kuriame funkcija apibrėžta (signalo trukmė) Ak - k-osios harmoninės komponentės amplitudė, θk - k-osios harmonikos komponento pradinė fazė
Ką reiškia „pavaizduoti funkciją kaip serijos sumą“? Tai reiškia, kad kiekviename taške pridėję Furjė serijos harmoninių komponentų reikšmes, gausime savo funkcijos vertę šiame taške.
(Griežčiau tariant, standartinis serijos nuokrypis nuo funkcijos f(x) bus linkęs į nulį, tačiau nepaisant standartinės konvergencijos, funkcijos Furjė eilutės, paprastai kalbant, neprivalo taškiniu būdu konverguoti į ją. Žr. https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)
Šią seriją taip pat galima parašyti taip:
(2), kur , k-oji kompleksinė amplitudė.
Santykis tarp koeficientų (1) ir (3) išreiškiamas tokiomis formulėmis:
Atkreipkite dėmesį, kad visi šie trys Furjė serijos atvaizdai yra visiškai lygiaverčiai. Kartais dirbant su Furjė eilėmis patogiau vietoj sinusų ir kosinusų naudoti įsivaizduojamo argumento eksponentus, ty Furjė transformaciją naudoti sudėtinga forma. Bet mums patogu naudoti formulę (1), kur Furjė serija vaizduojama kaip kosinuso bangų suma su atitinkamomis amplitudėmis ir fazėmis. Bet kuriuo atveju neteisinga teigti, kad tikrojo signalo Furjė transformacijos rezultatas bus sudėtingos harmonikų amplitudės. Kaip teisingai sakoma wiki, „Furjė transformacija (ℱ) yra operacija, kuri vieną tikrojo kintamojo funkciją susieja su kita funkcija, taip pat tikrojo kintamojo“.
Iš viso: Signalų spektrinės analizės matematinis pagrindas yra Furjė transformacija.
Furjė transformacija leidžia pavaizduoti ištisinę funkciją f(x) (signalas), apibrėžtą atkarpoje (0, T) kaip begalinio skaičiaus (begalinės serijos) trigonometrinių funkcijų (sinuso ir (arba) kosinuso) su tam tikromis amplitudėmis sumą. ir fazės, taip pat atsižvelgiama į atkarpą (0, T). Tokia serija vadinama Furjė serija.
Atkreipiame dėmesį į dar keletą punktų, kuriuos reikia suprasti norint teisingai pritaikyti Furjė transformaciją signalų analizei. Jei atsižvelgsime į Furjė eilutes (sinusoidių sumą) visoje X ašyje, pamatysime, kad už segmento (0, T) funkcija Furjė serija periodiškai kartos mūsų funkciją.
Pavyzdžiui, 7 pav. diagramoje pradinė funkcija yra apibrėžta atkarpoje (-T\2, +T\2), o Furjė serija reiškia periodinę funkciją, apibrėžtą visoje x ašyje.
Taip yra todėl, kad patys sinusoidai yra atitinkamai periodinės funkcijos, o jų suma bus periodinė.
7 pav. Neperiodinės pradinės funkcijos vaizdavimas Furjė serija
Taigi:
Mūsų pradinė funkcija yra ištisinė, neperiodinė, apibrėžta tam tikrame ilgio T segmente. Šios funkcijos spektras yra diskretus, tai yra, ji pateikiama kaip begalinė harmoninių komponentų serija – Furjė eilutė. Tiesą sakant, tam tikrą periodinę funkciją apibrėžia Furjė eilutė, kuri atkarpoje (0, T) sutampa su mūsų funkcija, tačiau šis periodiškumas mums nėra esminis.
Harmoninių komponentų periodai yra atkarpos (0, T), kurioje apibrėžta pradinė funkcija f(x), kartotiniai. Kitaip tariant, harmoniniai periodai yra signalo matavimo trukmės kartotiniai. Pavyzdžiui, Furjė serijos pirmosios harmonikos periodas yra lygus intervalui T, kuriame apibrėžiama funkcija f(x). Furjė serijos antrosios harmonikos periodas lygus intervalui T/2. Ir taip toliau (žr. 8 pav.).
8 pav. Furjė serijos harmoninių komponentų periodai (dažniai) (čia T=2π)
Atitinkamai harmoninių komponentų dažniai yra 1/T kartotiniai. Tai yra, harmoninių komponentų Fk dažniai lygūs Fk= k\T, kur k svyruoja nuo 0 iki ∞, pavyzdžiui, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (esant nuliniam dažniui – pastovi dedamoji).
Tegul mūsų pradinė funkcija yra signalas, įrašytas T=1 sek. Tada pirmosios harmonikos periodas bus lygus mūsų signalo trukmei T1=T=1 sek, o harmonikos dažnis yra 1 Hz. Antrosios harmonikos periodas bus lygus signalo trukmei, padalytai iš 2 (T2=T/2=0,5 sek), o dažnis – 2 Hz. Trečiajai harmonikai T3=T/3 sek, o dažnis 3 Hz. Ir taip toliau.
Žingsnis tarp harmonikų šiuo atveju yra 1 Hz.
Taigi signalas, kurio trukmė yra 1 s, gali būti išskaidomas į harmoninius komponentus (kad būtų gautas spektras), kurių dažnio skiriamoji geba yra 1 Hz. Norint padidinti skiriamąją gebą 2 kartus iki 0,5 Hz, matavimo trukmę reikia padidinti 2 kartus – iki 2 sekundžių. Signalas, kurio trukmė yra 10 sekundžių, gali būti išskaidomas į harmonines sudedamąsias dalis (kad būtų gautas spektras), kurių dažnio skiriamoji geba yra 0,1 Hz. Kitų būdų padidinti dažnio skiriamąją gebą nėra.
Yra būdas dirbtinai padidinti signalo trukmę, pridedant nulius į mėginių masyvą. Tačiau tai nepadidina tikrosios dažnio skiriamosios gebos.
3. Diskretieji signalai ir diskretinė Furjė transformacija
Tobulėjant skaitmeninėms technologijoms, pasikeitė ir matavimo duomenų (signalų) saugojimo būdai. Jei anksčiau signalą buvo galima įrašyti į magnetofoną ir įrašyti juostoje analogine forma, tai dabar signalai yra suskaitmeninami ir saugomi failuose kompiuterio atmintyje kaip skaičių (skaitų) rinkinys.Įprasta signalo matavimo ir skaitmeninimo schema yra tokia.
9 pav. Matavimo kanalo schema
Signalas iš matavimo keitiklio į ADC patenka per laikotarpį T. Signalo pavyzdžiai (sample), gauti per laiką T, perkeliami į kompiuterį ir išsaugomi atmintyje.
pav.10 Skaitmeninis signalas – N rodmenys gauti per laiką T
Kokie reikalavimai keliami signalo skaitmeninimo parametrams? Įrenginys, paverčiantis įvesties analoginį signalą į atskirą kodą (skaitmeninį signalą), vadinamas analoginiu-skaitmeniniu keitikliu (ADC, angl. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).
Vienas iš pagrindinių ADC parametrų yra maksimalus diskretizavimo dažnis (arba diskretizavimo dažnis, angl. sample rate) – signalo mėginių ėmimo dažnis, nuolatinis laike jo atrankos metu. Matuojama hercais. ((Wiki))
Pagal Kotelnikovo teoremą, jei nuolatinis signalas turi spektrą, kurį riboja dažnis Fmax, tada jis gali būti visiškai ir unikaliai atkurtas iš atskirų mėginių, paimtų tam tikrais laiko intervalais. 
, t.y. su dažniu Fd ≥ 2*Fmax, kur Fd - diskretizavimo dažnis; Fmax – didžiausias signalo spektro dažnis. Kitaip tariant, signalo atrankos dažnis (ADC diskretizavimo dažnis) turi būti bent 2 kartus didesnis už maksimalų signalo, kurį norime išmatuoti, dažnį.
O kas atsitiks, jei rodmenis imsime mažesniu dažniu, nei reikalauja Kotelnikovo teorema?
Tokiu atveju atsiranda „aliasing“ (dar žinomas kaip stroboskopinis efektas, muaro efektas) efektas, kurio metu aukšto dažnio signalas po skaitmeninimo virsta žemo dažnio signalu, kurio iš tikrųjų nėra. Ant pav. 11 aukšto dažnio raudona sinusinė banga yra tikrasis signalas. Žemesnio dažnio mėlyna sinusinė banga yra netikras signalas, atsirandantis dėl to, kad per atrankos laiką turi praeiti daugiau nei pusė aukšto dažnio signalo periodo.
Ryžiai. 11. Klaidingo žemo dažnio signalo atsiradimas, kai diskretizavimo dažnis nėra pakankamai didelis
Kad būtų išvengta slapyvardžio efekto, prieš ADC - LPF (low-pass filter) yra dedamas specialus anti-aliasing filtras, kuris praleidžia dažnius, mažesnius nei pusė ADC diskretizavimo dažnio, ir atjungia aukštesnius dažnius.
Norint apskaičiuoti signalo spektrą iš jo diskrečiųjų imčių, naudojama diskretinė Furjė transformacija (DFT). Dar kartą pažymime, kad diskretiško signalo spektrą "pagal apibrėžimą" riboja dažnis Fmax, kuris yra mažesnis nei pusė diskretizavimo dažnio Fd. Todėl diskretinio signalo spektras gali būti pavaizduotas baigtinio harmonikų skaičiaus suma, priešingai nei begalinė suma Furjė ištisinio signalo serijai, kurios spektras gali būti neribotas. Remiantis Kotelnikovo teorema, didžiausias harmonikų dažnis turi būti toks, kad jis atitiktų bent du pavyzdžius, todėl harmonikų skaičius yra lygus pusei diskrečiojo signalo pavyzdžių. Tai yra, jei imtyje yra N imčių, tai harmonikų skaičius spektre bus lygus N/2.
Dabar apsvarstykite diskrečiąją Furjė transformaciją (DFT).
Lyginant su Furjė serija
matome, kad jie sutampa, išskyrus tai, kad laikas DFT yra diskretus, o harmonikų skaičius ribojamas iki N/2 – pusė mėginių skaičiaus.
DFT formulės parašytos bedimensiais sveikaisiais kintamaisiais k, s, kur k – signalų imčių skaičiai, s – spektrinių komponentų skaičiai. S reikšmė parodo harmonikos pilnų virpesių skaičių periode T (signalo matavimo trukmė). Diskrečioji Furjė transformacija naudojama harmonikų amplitudėms ir fazėms rasti skaitiniu būdu, t.y. "kompiuteryje"
Grįžtant prie pradžioje gautų rezultatų. Kaip minėta aukščiau, išplečiant neperiodinę funkciją (mūsų signalą) į Furjė eilutę, gauta Furjė eilutė iš tikrųjų atitinka periodinę funkciją su periodu T. (12 pav.).
12 pav. Periodinė funkcija f(x) su periodu Т0, su matavimo periodu Т>T0
Kaip matyti 12 pav., funkcija f(x) yra periodinė su periodu Т0. Tačiau dėl to, kad matavimo imties T trukmė nesutampa su funkcijos T0 periodu, funkcija, gauta kaip Furjė serija, taške T turi pertrūkį. Dėl to šios funkcijos spektras turi daug aukšto dažnio harmonikų. Jeigu matavimo imties T trukmė sutaptų su funkcijos T0 periodu, tai spektre, gautame po Furjė transformacijos, būtų tik pirmoji harmonika (sinusoidė, kurios periodas lygus imties trukmei), nes funkcija f (x) yra sinusoidas.
Kitaip tariant, DFT programa „nežino“, kad mūsų signalas yra „sinuso bangos gabalas“, bet bando periodinę funkciją pavaizduoti kaip seriją, kuri turi tarpą dėl atskirų signalo dalių nenuoseklumo. sinusinės bangos.
Dėl to spektre atsiranda harmonikų, kurios iš viso turėtų atspindėti funkcijos formą, įskaitant šį nepertraukiamumą.
Taigi, norint gauti "teisingą" signalo spektrą, kuris yra kelių sinusoidų su skirtingais periodais suma, būtina, kad kiekvienos sinusoidės periodų skaičius tilptų į signalo matavimo periodą. Praktiškai ši sąlyga gali būti įvykdyta pakankamai ilgą signalo matavimo laiką.
13 pav. Pavarų dėžės kinematinės paklaidos signalo funkcijos ir spektro pavyzdys
Trumpesniam laikui vaizdas atrodys „blogiau“:
14 pav. Rotoriaus vibracijos signalo funkcijos ir spektro pavyzdys
Praktikoje gali būti sunku suprasti, kur yra „tikrieji komponentai“, o kur yra „artefaktai“, kuriuos sukelia komponentų periodų ir signalo imties trukmės arba signalo „šuolių ir pertraukų“ nesikartojimas. bangos forma. Žinoma, žodžiai „tikrieji komponentai“ ir „artefaktai“ cituojami ne veltui. Daugelio harmonikų buvimas spektro grafike nereiškia, kad mūsų signalas iš tikrųjų „sudaro“ iš jų. Tai tarsi mąstymas, kad skaičius 7 „susideda“ iš skaičių 3 ir 4. Skaičius 7 gali būti pavaizduotas kaip skaičių 3 ir 4 suma – tai teisinga.
Taip pat ir mūsų signalas... arba, tiksliau, net ne „mūsų signalas“, o periodinė funkcija, sudaryta kartojant mūsų signalą (atranka), gali būti pavaizduota kaip harmonikų (sinusoidų) suma su tam tikromis amplitudėmis ir fazėmis. Tačiau daugeliu atvejų, svarbių praktikai (žr. paveikslėlius aukščiau), spektre gautas harmonikas iš tiesų galima susieti su realiais procesais, kurie yra cikliški ir reikšmingai prisideda prie signalo formos.
Kai kurie rezultatai
1. Tikrasis išmatuotas signalas, trukmė T sek, suskaitmenintas ADC, tai yra, pavaizduotas diskrečiųjų imčių rinkiniu (N vienetų), turi diskrečiąjį neperiodinį spektrą, vaizduojamą harmonikų rinkiniu (N/2 vienetų). ).2. Signalas pavaizduotas realių verčių rinkiniu, o jo spektras – realių reikšmių rinkiniu. Harmonikos dažniai yra teigiami. Tai, kad matematikams patogiau vaizduoti spektrą sudėtinga forma naudojant neigiamus dažnius, nereiškia, kad „tai yra teisinga“ ir „tai visada reikia daryti“.
3. Signalas, išmatuotas laiko intervalu T, nustatomas tik laiko intervale T. Kas vyko prieš pradedant matuoti signalą, o kas bus po to – tai mokslui nežinoma. O mūsų atveju – neįdomu. Riboto laiko signalo DFT suteikia „tikrąjį“ spektrą ta prasme, kad tam tikromis sąlygomis jis leidžia apskaičiuoti jo komponentų amplitudę ir dažnį.
Naudotos medžiagos ir kitos naudingos medžiagos.
FourierScope yra radijo signalų konstravimo ir jų spektrinės analizės programa. Graph yra atvirojo kodo programa, skirta matematiniams grafikams kurti. DISKRETUSIS FURJĖ TRANSFORMAS – KAIP TAI ATLIKTA Diskrečiasis Furjė transformavimas (DFT)