Područje segmentnog luka. geometrija kruga

Matematička vrijednost ovog područja poznata je još od antičke Grčke. Još u tim dalekim vremenima Grci su otkrili da je to područje neprekinuti dio površine, koji je sa svih strana omeđen zatvorenom konturom. Ovo je brojčana vrijednost koja se mjeri u kvadratnim jedinicama. Područje je numerička karakteristika kako ravnih geometrijskih figura (planimetrijski), tako i površina tijela u prostoru (volumetrijske).

Trenutno se nalazi ne samo u okviru školskog programa u nastavi geometrije i matematike, već i u astronomiji, svakodnevnom životu, u građevinarstvu, u razvoju dizajna, u proizvodnji i kod mnogih drugih ljudi. Vrlo često pribjegavamo izračunavanju površina segmenata na osobnoj parceli kada dizajniramo krajobraznu zonu ili kada popravljamo ultramoderni dizajn sobe. Stoga će poznavanje metoda za izračunavanje površine različitog biti korisno uvijek i svugdje.

Da biste izračunali površinu kružnog segmenta i segmenta sfere, potrebno je razumjeti geometrijske pojmove koji će biti potrebni u procesu proračuna.

Prije svega, segment kruga je fragment ravne figure kruga, koji se nalazi između luka kruga i tetive koja ga odsijeca. Ovaj koncept ne treba brkati sa slikom sektora. To su potpuno različite stvari.

Tetiva je segment koji spaja dvije tačke na kružnici.

Centralni ugao se formira između dva segmenta - poluprečnika. Mjeri se u stepenima lukom na koji se oslanja.

Segment sfere nastaje kada je dio odsječen nekom ravninom.U ovom slučaju, osnova sfernog segmenta je kružnica, a visina je okomita koja izlazi iz središta kružnice do sjecišta s površinom sfere. Ova tačka preseka naziva se vrh segmenta lopte.

Da biste odredili površinu segmenta sfere, morate znati odsječeni krug i visinu sfernog segmenta. Proizvod ove dvije komponente bit će površina segmenta sfere: S=2πRh, gdje je h visina segmenta, 2πR je obim, a R je polumjer velikog kruga.

Da biste izračunali površinu segmenta kruga, možete pribjeći sljedećim formulama:

1. Da biste na najjednostavniji način pronašli površinu segmenta, potrebno je izračunati razliku između površine sektora u koji je segment upisan i čija je osnova tetiva segmenta: S1=S2 -S3, gdje je S1 površina segmenta, S2 je površina sektora, a S3 je površina trokuta.

Možete koristiti približnu formulu za izračunavanje površine kružnog segmenta: S=2/3*(a*h), gdje je a osnova trokuta ili h visina segmenta, što je rezultat razlike između polumjera kružnice i

2. Površina segmenta koji nije polukrug izračunava se na sljedeći način: S = (π R2:360)*α ± S3, gdje je π R2 površina kruga, α je mjera stepena centralnog ugla koji sadrži luk segmenta kružnice, S3 je površina trokuta koji se formira između dva polumjera kruga i tetivu koja posjeduje ugao u centralnoj tački kružnice i dva vrha u tačkama dodira poluprečnika sa kružnicom.

Ako je ugao α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 stepeni, znak plus je primenjen.

3. Možete izračunati površinu segmenta koristeći druge metode koristeći trigonometriju. U pravilu se kao osnova uzima trokut. Ako se središnji ugao mjeri u stepenima, tada je prihvatljiva sljedeća formula: S \u003d R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, gdje je R2 kvadrat polumjera kruga, α je stepen mera centralnog ugla.

4. Da biste izračunali površinu segmenta pomoću trigonometrijskih funkcija, možete koristiti drugu formulu, pod uslovom da se središnji ugao mjeri u radijanima: S = R2 * (α - sin α) / 2, gdje je R2 kvadrat poluprečnika kružnice, α je centralni ugao stepena mere.

U početku to izgleda ovako:

Slika 463.1. a) postojeći luk, b) određivanje dužine i visine tetive segmenta.

Dakle, kada postoji luk, možemo spojiti njegove krajeve i dobiti tetivu dužine L. U sredini tetive možemo povući pravu okomitu na tetivu i tako dobiti visinu segmenta H. Sada, znajući dužine tetive i visine segmenta, prvo možemo odrediti centralni ugao α, tj. ugao između radijusa povučenih od početka i kraja segmenta (nije prikazan na slici 463.1), a zatim poluprečnika kružnice.

Rješenje takvog problema je dovoljno detaljno razmotreno u članku "Proračun lučnog nadvratnika", stoga ću ovdje dati samo osnovne formule:

tg( a/4) = 2H/L (278.1.2)

A/4 = arktan( 2H/L)

R = H/(1 - cos( a/2)) (278.1.3)

Kao što vidite, sa stanovišta matematike, nema problema s određivanjem polumjera kružnice. Ova metoda vam omogućava da odredite vrijednost polumjera luka s bilo kojom mogućom preciznošću. Ovo je glavna prednost ove metode.

Hajde sada da pričamo o nedostacima.

Problem ove metode nije čak ni u tome što je potrebno zapamtiti formule iz školskog kursa geometrije, uspješno zaboravljene prije mnogo godina - da bi se formule prisjetile - postoji Internet. A evo i kalkulatora sa funkcijom arctg, arcsin i tako dalje. Nema ga svaki korisnik. I iako Internet također uspješno rješava ovaj problem, ne treba zaboraviti da rješavamo prilično primijenjen problem. One. daleko od toga da je uvijek potrebno odrediti radijus kruga s točnošću od 0,0001 mm, tačnost od 1 mm može biti sasvim prihvatljiva.

Osim toga, da biste pronašli centar kruga, morate produžiti visinu segmenta i odvojiti udaljenost jednaku polumjeru na ovoj pravoj liniji. Kako se u praksi radi o neidealnim mjernim instrumentima, tome treba dodati i moguću grešku u označavanju, ispada da što je visina segmenta manja u odnosu na dužinu tetive, to je veća greška u određivanju centar luka.

Opet, ne treba zaboraviti da ne razmatramo idealan slučaj, tj. Ovako smo krivu odmah nazvali lukom. Zapravo, to može biti kriva opisana prilično složenim matematičkim odnosom. Stoga se polumjer i središte kruga pronađeni na ovaj način možda neće poklapati sa stvarnim centrom.

S tim u vezi, želim ponuditi još jednu metodu za određivanje polumjera kružnice, koju i sam često koristim, jer je ova metoda mnogo brža i lakša za određivanje polumjera kružnice, iako je tačnost mnogo manja.

Druga metoda za određivanje polumjera luka (metoda uzastopnih aproksimacija)

Dakle, nastavimo sa trenutnom situacijom.

Budući da još uvijek trebamo pronaći centar kruga, za početak iz tačaka koje odgovaraju početku i kraju luka nacrtamo najmanje dva luka proizvoljnog polumjera. Prava linija će proći kroz sjecište ovih lukova, na kojima se nalazi središte željene kružnice.

Sada morate spojiti sjecište lukova sa sredinom tetive. Međutim, ako iz navedenih točaka povučemo ne duž jednog luka, već dva, tada će ova ravna linija proći kroz sjecište ovih lukova, a onda uopće nije potrebno tražiti sredinu tetive.

Ako je udaljenost od presjeka lukova do početka ili kraja razmatranog luka veća od udaljenosti od presjeka lukova do točke koja odgovara visini segmenta, tada je središte razmatranog luka niže na prava linija povučena kroz presek lukova i sredine tetive. Ako je manje, tada je željeni centar luka viši na pravoj liniji.

Na osnovu toga, sljedeća tačka se uzima na pravoj liniji, koja vjerojatno odgovara središtu luka, i od nje se vrše ista mjerenja. Zatim se uzima sljedeća tačka i mjerenja se ponavljaju. Sa svakom novom tačkom razlika u mjerenjima će biti sve manja.

To je zapravo sve. Unatoč tako dugom i zamršenom opisu, potrebno je 1-2 minute za određivanje polumjera luka na ovaj način s točnošću od 1 mm.

Teoretski, to izgleda otprilike ovako:

Slika 463.2. Određivanje centra luka metodom uzastopnih aproksimacija.

Ali u praksi nešto ovako:

Slika 463.1. Označavanje radnog komada složenog oblika s različitim polumjerima.

Ovdje ću samo dodati da ponekad morate pronaći i nacrtati nekoliko radijusa, jer je toliko toga pomiješano na fotografiji.

Krug, njegovi dijelovi, njihove veličine i omjeri su stvari s kojima se zlatar stalno susreće. Prstenje, narukvice, kaste, tube, kuglice, spirale - mnogo okruglih stvari mora da se uradi. Kako možete sve ovo izračunati, pogotovo ako ste imali sreće da preskočite časove geometrije u školi? ..

Pogledajmo prvo koje dijelove krug ima i kako se oni zovu.

• Krug je linija koja zatvara krug.
• Luk je dio kružnice.
• Radijus je linijski segment koji povezuje centar kružnice sa tačkom na kružnici.
• Tetiva je segment koji spaja dvije tačke na kružnici.
• Segment je dio kružnice omeđen tetivom i lukom.
• Sektor je dio kružnice omeđen sa dva polumjera i lukom.

Količine koje nas zanimaju i njihove oznake:

Sada da vidimo koje zadatke vezane za dijelove kruga treba riješiti.

• Pronađite dužinu razvoja bilo kojeg dijela prstena (narukvice). S obzirom na prečnik i tetivu (opcija: prečnik i centralni ugao), pronađite dužinu luka.
• Na ravnini je crtež, morate saznati njegovu veličinu u projekciji nakon savijanja u luk. S obzirom na dužinu luka i prečnik, pronađite dužinu tetive.
• Saznajte visinu dijela dobivenog savijanjem ravnog obratka u luk. Opcije početnih podataka: dužina i prečnik luka, dužina luka i tetiva; pronađite visinu segmenta.

Život će navesti druge primjere, a ove sam naveo samo da pokažem potrebu za postavljanjem bilo koja dva parametra da bi se pronašli svi ostali. To je ono što ćemo uraditi. Naime, uzimamo pet parametara segmenta: D, L, X, φ i H. Zatim ćemo ih, birajući sve moguće parove od njih, smatrati početnim podacima, a sve ostale pronalaziti mozganjem.

Da ne bih uzalud opterećivao čitaoca, neću davati detaljna rješenja, već ću samo dati rezultate u formi formula (na putu ću raspravljati o onim slučajevima gdje nema formalnog rješenja).

I još jedna napomena: o mjernim jedinicama. Sve veličine, osim centralnog ugla, mjere se u istim apstraktnim jedinicama. To znači da ako, na primjer, navedete jednu vrijednost u milimetrima, onda drugu ne treba navesti u centimetrima, a rezultirajuće vrijednosti će se mjeriti u istim milimetrima (i površine u kvadratnim milimetrima) . Isto se može reći i za inče, stope i nautičke milje.

I samo se centralni ugao u svim slučajevima meri u stepenima i ništa drugo. Jer, kao što pokazuje praksa, ljudi koji dizajniraju nešto okruglo nisu skloni mjerenju uglova u radijanima. Izraz "ugao pi sa četiri" mnoge zbunjuje, dok je "ugao od četrdeset pet stepeni" svima razumljiv, jer je samo pet stepeni iznad norme. Međutim, u svim formulama će postojati još jedan ugao - α - kao srednja vrijednost. U smislu značenja, ovo je polovina središnjeg ugla, mjereno u radijanima, ali sigurno ne možete ulaziti u ovo značenje.

1. Dati su prečnik D i dužina luka L

; dužina akorda ;
visina segmenta ; centralni ugao .

2. Dati su prečnik D i dužina tetive X

; dužina luka;
visina segmenta ; centralni ugao .

Budući da tetiva dijeli krug na dva segmenta, ovaj problem nema jedno, već dva rješenja. Da biste dobili drugi, trebate zamijeniti ugao α sa uglom u gornjim formulama.

3. Dati su prečnik D i središnji ugao φ

; dužina luka;
dužina akorda ; visina segmenta .

4. S obzirom na prečnik D i visinu segmenta H

; dužina luka;
dužina akorda ; centralni ugao .

6. Dati dužinu luka L i središnji ugao φ

; promjer ;
dužina akorda ; visina segmenta .

8. Dati dužinu tetive X i središnji ugao φ

; dužina luka ;
promjer ; visina segmenta .

9. S obzirom na dužinu tetive X i visinu segmenta H

; dužina luka ;
promjer ; centralni ugao .

10. S obzirom na centralni ugao φ i visinu segmenta H

; prečnika ;
dužina luka; dužina akorda .

Pažljivi čitatelj nije mogao a da ne primijeti da sam propustio dvije opcije:

5. S obzirom na dužinu luka L i dužinu tetive X

7. S obzirom na dužinu luka L i visinu segmenta H

To su samo ona dva neugodna slučaja kada problem nema rješenje koje bi se moglo napisati u formi formule. A zadatak nije tako rijedak. Na primjer, imate ravan komad dužine L i želite ga saviti tako da njegova dužina postane X (ili njegova visina postane H). Koji promjer uzeti trn (prečka)?

Ovaj zadatak se svodi na rješavanje jednadžbi:
; - u opciji 5
; - u opciji 7
i iako se ne rješavaju analitički, lako se rješavaju programski. I čak znam gdje da nabavim takav program: na ovoj stranici, pod imenom . Sve što ja ovde naširoko pričam, ona radi u mikrosekundama.

Da bismo upotpunili sliku, dodajmo rezultatima naših proračuna obim i tri vrijednosti područja - krug, sektor i segment. (Površine će nam puno pomoći pri izračunavanju mase bilo kojeg okruglog i polukružnog dijela, ali više o tome u posebnom članku.) Sve ove količine se izračunavaju pomoću istih formula:

obim ;
površina kruga ;
sektorsko područje ;
područje segmenta ;

I u zaključku, dozvolite mi da vas još jednom podsjetim na postojanje apsolutno besplatnog programa koji izvodi sve gore navedene proračune, oslobađajući vas potrebe da zapamtite što je tangenta luka i gdje je tražiti.

• 01.10.2018

  Na osnovu wi-fi modula NodeMcu v3 sa ESP8266 (ESP-12e) čipom, možete napraviti (na primjer) termometar na digitalnom senzoru 18B20, informacije o temperaturi pomoću GET zahtjeva će se poslati u MySQL bazu podataka. Sljedeća skica vam omogućava da pošaljete GET zahtjeve na navedenu stranicu, u mom slučaju to je test.php. #include #include …

• 22.09.2014

  Automatski stacionarni dimer kontrolisan fotootpornikom R7 je dizajniran za rad u teškim uslovima hladne i umereno hladne klime pri temperaturi okoline od -25 do +45 °C, relativnoj vlažnosti vazduha do 85% na +20 °C i atmosferskom pritisku unutar 200… 900 mmHg Dimer se koristi za regulaciju osvjetljenja pojedinca...

• 25.09.2014

  Da biste izbjegli oštećenje ožičenja tijekom popravki, potrebno je koristiti uređaj za otkrivanje skrivenih ožičenja. Uređaj otkriva ne samo mjesto skrivenog ožičenja, već i mjesto oštećenja skrivenog ožičenja. Uređaj je pojačalo audio frekvencije; u prvoj fazi koristi se tranzistor sa efektom polja za povećanje ulaznog otpora. U drugoj fazi OS. Senzor je...

• 03.10.2014

  Predloženi uređaj stabilizuje napon do 24V i struju do 2A sa zaštitom od kratkog spoja. U slučaju nestabilnog pokretanja stabilizatora, treba koristiti sinhronizaciju iz autonomnog generatora impulsa (Sl. 2. Kolo stabilizatora je prikazano na slici 1. Schmittov okidač je montiran na VT1 VT2, koji kontrolira moćni regulacijski tranzistor VT3. Detalji: VT3 je opremljen hladnjakom ...

Definicija kružnog segmenta

Segment- Ovo je geometrijska figura, koja se dobija odsecanjem dela kruga tetivom.

Online kalkulator

Ova figura se nalazi između tetive i luka kružnice.

Ovo je segment koji leži unutar kruga i povezuje dvije proizvoljno odabrane tačke na njemu.

Prilikom odsijecanja dijela kruga tetivom, mogu se uzeti u obzir dvije figure: ovo je naš segment i jednakokraki trokut, čije su stranice polumjeri kruga.

Površina segmenta se može naći kao razlika između površina sektora kružnice i ovog jednakokračnog trokuta.

Površina segmenta se može pronaći na nekoliko načina. Zaustavimo se na njima detaljnije.

Formula za površinu segmenta kruga u smislu polumjera i dužine luka kružnice, visine i osnove trokuta

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h ⋅a

R R R- radijus kruga;
s s s- dužina luka;
h h h- visina jednakokračnog trougla;
aa a je dužina osnove ovog trougla.

Dat je krug, njegov polumjer, brojčano jednak 5 (vidi), visina koja je povučena do osnove trougla, jednaka 2 (vidi), dužina luka je 10 (vidi). Pronađite površinu kružnog segmenta.

Rješenje

R=5 R=5 R=5
h=2 h=2 h =2
s=10 s=10 s=1 0

Da bismo izračunali površinu, nedostaje nam samo osnova trokuta. Nađimo ga po formuli:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R−h)​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Sada možete izračunati površinu segmenta:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h ⋅a =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (vidi sq.)

odgovor: 17 cm kvadrat

Formula za površinu kružnog segmenta s obzirom na polumjer kružnice i središnji ugao

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R 2 ​ ⋅ (α − grijeh (α))

R R R- radijus kruga;
α\alpha α je centralni ugao između dva poluprečnika koji savijaju tetivu, mjereno u radijanima.

Nađite površinu segmenta kruga ako je poluprečnik kruga 7 (cm), a središnji ugao 30 stepeni.

Rješenje

R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Hajde da prvo pretvorimo ugao u stepenima u radijane. Zbog π\pi π radijan je jednak 180 stepeni, tada:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ radian. Zatim površina segmenta:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\cca 0,57S=2 R 2 ​ ⋅ (α − sin (α ) ) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − grijeh ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (vidi sq.)

odgovor: 0,57 cm kvadrat