Galių ir šaknų formulės. Inžinerinis skaičiuotuvas 4 laipsnio šaknų ištraukimas

Inžinerinis skaičiuotuvas internete

Džiaugiamės galėdami visiems padovanoti nemokamą inžinerinį skaičiuotuvą. Su jo pagalba bet kuris studentas gali greitai ir, svarbiausia, lengvai atlikti įvairaus tipo matematinius skaičiavimus internete.

Skaičiuoklė paimta iš svetainės – web 2.0 mokslinė skaičiuoklė

Paprastas ir lengvai naudojamas inžinerinis skaičiuotuvas su nepastebima ir intuityvia sąsaja tikrai bus naudingas daugeliui interneto vartotojų. Dabar, kai jums reikia skaičiuotuvo, eikite į mūsų svetainę ir naudokite nemokamą inžinerinį skaičiuotuvą.

Inžinerinis skaičiuotuvas gali atlikti tiek paprastas aritmetines operacijas, tiek gana sudėtingus matematinius skaičiavimus.

Web20calc yra inžinerinis skaičiuotuvas, turintis daugybę funkcijų, pavyzdžiui, kaip apskaičiuoti visas elementarias funkcijas. Skaičiuoklė taip pat palaiko trigonometrines funkcijas, matricas, logaritmus ir net grafiką.

Neabejotinai Web20calc sudomins ta grupė žmonių, kurie ieškodami paprastų sprendimų paieškos sistemose įveda užklausą: internetinė matematinė skaičiuoklė. Nemokama žiniatinklio programa padės akimirksniu apskaičiuoti kai kurios matematinės išraiškos rezultatą, pavyzdžiui, atimti, sudėti, padalyti, ištraukti šaknį, padidinti iki laipsnio ir pan.

Išraiškoje galite naudoti didinimo, sudėties, atimties, daugybos, dalybos, procentų ir PI konstantos operacijas. Atliekant sudėtingus skaičiavimus, reikia įtraukti skliaustus.

Inžinerinio skaičiuotuvo ypatybės:

1. pagrindinės aritmetinės operacijos;
2. darbas su skaičiais standartine forma;
3. trigonometrinių šaknų, funkcijų, logaritmų, eksponencijos skaičiavimas;
4. statistiniai skaičiavimai: sudėjimas, aritmetinis vidurkis arba standartinis nuokrypis;
5. atminties langelių ir pasirinktinių 2 kintamųjų funkcijų naudojimas;
6. dirbti su kampais radianais ir laipsniais.

Inžinerinis skaičiuotuvas leidžia naudoti įvairias matematines funkcijas:

Šaknų ištraukimas (kvadratinė, kubinė ir n-oji šaknis);
ex (e iki x laipsnio), eksponentinis;
trigonometrinės funkcijos: sinusas – sin, kosinusas – cos, tangentas – tan;
atvirkštinės trigonometrinės funkcijos: arcsinusas - sin-1, arkosinas - cos-1, arctangentas - tan-1;
hiperbolinės funkcijos: sinusas - sinh, kosinusas - cosh, tangentas - tanh;
logaritmai: dvejetainis logaritmas iki dviejų bazių - log2x, dešimtainis logaritmas iki dešimties pagrindo - log, natūralusis logaritmas - ln.

Šioje inžinerinėje skaičiuoklėje taip pat yra kiekio skaičiuoklė su galimybe konvertuoti fizinius dydžius įvairioms matavimo sistemoms – kompiuterinius vienetus, atstumą, svorį, laiką ir kt. Naudodami šią funkciją galite akimirksniu konvertuoti mylias į kilometrus, svarus į kilogramus, sekundes į valandas ir kt.

Norėdami atlikti matematinius skaičiavimus, pirmiausia įveskite matematinių reiškinių seką į atitinkamą lauką, tada spustelėkite lygybės ženklą ir pamatysite rezultatą. Galite įvesti reikšmes tiesiai iš klaviatūros (tam skaičiuotuvo sritis turi būti aktyvi, todėl būtų naudinga įdėti žymeklį į įvesties lauką). Be kita ko, duomenis galima įvesti naudojant pačios skaičiuoklės mygtukus.

Norėdami sudaryti grafikus, į įvesties lauką turėtumėte įrašyti funkciją, kaip nurodyta lauke su pavyzdžiais arba naudoti specialiai tam skirtą įrankių juostą (norėdami patekti į ją, spustelėkite mygtuką su grafiko piktograma). Norėdami konvertuoti reikšmes, spustelėkite Vienetas; norėdami dirbti su matricomis, spustelėkite Matrica.

Paskelbta mūsų svetainėje. Skaičiaus šaknis dažnai naudojama atliekant įvairius skaičiavimus, o mūsų skaičiuotuvas yra puiki priemonė tokiems matematiniams skaičiavimams atlikti.

Internetinis skaičiuotuvas su šaknimis leis greitai ir lengvai atlikti visus skaičiavimus, susijusius su šaknų ištraukimu. Trečiąją šaknį galima apskaičiuoti taip pat lengvai kaip skaičiaus kvadratinę šaknį, neigiamo skaičiaus šaknį, kompleksinio skaičiaus šaknį, pi šaknį ir kt.

Skaičiaus šaknį galima apskaičiuoti rankiniu būdu. Jei įmanoma apskaičiuoti visą skaičiaus šaknį, tada radikalios išraiškos reikšmę tiesiog randame naudodami šaknų lentelę. Kitais atvejais apytikslis šaknų apskaičiavimas susiveda į radikaliosios išraiškos skaidymą į paprastesnių veiksnių sandaugą, kuri yra galios ir gali būti pašalinta šaknies ženklu, kiek įmanoma supaprastinant išraišką po šaknimi.

Bet jūs neturėtumėte naudoti šio šaknies sprendimo. Ir todėl. Pirma, tokiems skaičiavimams teks praleisti daug laiko. Skaičiai šaknyje, tiksliau, išraiškos gali būti gana sudėtingos, o laipsnis nebūtinai yra kvadratinis arba kubinis. Antra, tokių skaičiavimų tikslumas ne visada yra patenkinamas. Ir trečia, yra internetinis šaknų skaičiuotuvas, kuris per kelias sekundes atliks bet kokią šaknies ištraukimą.

Išskirti šaknį iš skaičiaus reiškia rasti skaičių, kuris, padidintas iki laipsnio n, bus lygus radikalios išraiškos reikšmei, kur n yra šaknies laipsnis, o pats skaičius yra laipsnio pagrindas. šaknis. 2-ojo laipsnio šaknis vadinama paprasta arba kvadratine, o trečiojo laipsnio šaknis vadinama kubine, abiem atvejais laipsnio nuoroda nenurodyta.

Šaknų sprendimas internetinėje skaičiuoklėje reiškia tiesiog matematinės išraiškos įrašymą įvesties eilutėje. Šaknies ištraukimas skaičiuoklėje yra pažymėtas kaip sqrt ir atliekamas naudojant tris klavišus – kvadratinę šaknį sqrt(x), kubo šaknį sqrt3(x) ir n-ąją šaknį sqrt(x,y). Išsamesnė informacija apie valdymo pultą pateikta puslapyje.

Kvadratinė šaknis

Spustelėjus šį mygtuką į įvesties eilutę įterpiamas kvadratinės šaknies įrašas: sqrt(x), tereikia įvesti radikaliąją išraišką ir uždaryti skliaustą.

Kvadratinių šaknų sprendimo skaičiuoklėje pavyzdys:

Jei šaknis yra neigiamas skaičius, o šaknies laipsnis lyginis, tada atsakymas bus pavaizduotas kaip kompleksinis skaičius su įsivaizduojamu vienetu i.

Kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus:

Trečia šaknis

Naudokite šį klavišą, kai reikia paimti kubo šaknį. Jis įterpia įrašą sqrt3 (x) į įvesties eilutę.

3 laipsnio šaknis:

n laipsnio šaknis

Natūralu, kad internetinė šaknų skaičiuoklė leidžia išgauti ne tik skaičiaus kvadratines ir kubines šaknis, bet ir n laipsnio šaknį. Spustelėjus šį mygtuką bus rodomas toks įrašas kaip sqrt(x x,y).

4 šaknis:

Tiksli n-oji skaičiaus šaknis gali būti išskirta tik tuo atveju, jei pats skaičius yra tiksli n-oji šaknis. Priešingu atveju skaičiavimas pasirodys apytikslis, nors ir labai artimas idealui, nes internetinio skaičiuotuvo skaičiavimų tikslumas siekia 14 skaičių po kablelio.

5 šaknis su apytiksliu rezultatu:

Trupmenos šaknis

Skaičiuoklė gali apskaičiuoti šaknį iš įvairių skaičių ir išraiškų. Norint rasti trupmenos šaknį, reikia atskirai išgauti skaitiklio ir vardiklio šaknį.

Kvadratinė trupmenos šaknis:

Šaknis nuo šaknies

Tais atvejais, kai išraiškos šaknis yra po šaknimi, pagal šaknų savybes jas galima pakeisti viena šaknimi, kurios laipsnis bus lygus abiejų laipsnių sandaugai. Paprasčiau tariant, norint išgauti šaknį iš šaknies, pakanka padauginti šaknų rodiklius. Paveiksle pavaizduotame pavyzdyje išraiška antrojo laipsnio šaknies trečiojo laipsnio šaknis gali būti pakeista viena 6-ojo laipsnio šaknimi. Nurodykite išraišką, kaip norite. Bet kokiu atveju skaičiuotuvas viską apskaičiuos teisingai.

Dar kartą pažvelgiau į ženklą... Ir, eime!

Pradėkime nuo kažko paprasto:

Viena minutę. tai reiškia, kad galime parašyti taip:

Supratau? Štai jums kitas:

Ar gautų skaičių šaknys nėra tiksliai ištrauktos? Jokių problemų – štai keli pavyzdžiai:

O jei yra ne du, o daugiau daugiklių? Tas pats! Šaknų dauginimo formulė veikia su daugybe veiksnių:

Dabar visiškai savarankiškai:

Atsakymai:Šauniai padirbėta! Sutikite, viskas labai paprasta, svarbiausia žinoti daugybos lentelę!

Šaknų padalijimas

Išsiaiškinome šaknų dauginimą, dabar pereikime prie padalijimo savybės.

Leiskite jums priminti, kad bendra formulė atrodo taip:

Tai reiškia kad dalinio šaknis lygi šaknų daliniui.

Na, pažvelkime į keletą pavyzdžių:

Tai ir yra mokslas. Štai pavyzdys:

Viskas nėra taip sklandu, kaip pirmame pavyzdyje, bet, kaip matote, nėra nieko sudėtingo.

Ką daryti, jei susidursite su šia išraiška:

Jums tereikia taikyti formulę priešinga kryptimi:

Ir štai pavyzdys:

Taip pat galite susidurti su šia išraiška:

Viskas tas pats, tik čia reikia prisiminti, kaip išversti trupmenas (jei neprisimenate, pažiūrėkite į temą ir grįžkite!). Ar prisimeni? Dabar nuspręskime!

Esu tikras, kad su viskuo susidorojote, dabar pabandykime pakelti šaknis iki laipsnių.

Eksponentiškumas

Kas atsitiks, jei kvadratinė šaknis yra kvadratas? Tai paprasta, prisiminkite skaičiaus kvadratinės šaknies reikšmę – tai yra skaičius, kurio kvadratinė šaknis yra lygi.

Taigi, jei kvadratu išmetame skaičių, kurio kvadratinė šaknis yra lygi, ką gausime?

Na žinoma, !

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

Tai paprasta, tiesa? Ką daryti, jei šaknis yra kitokio laipsnio? Viskas gerai!

Vadovaukitės ta pačia logika ir prisiminkite savybes bei galimus veiksmus su laipsniais.

Perskaitykite teoriją tema „“ ir viskas jums taps labai aišku.

Pavyzdžiui, čia yra išraiška:

Šiame pavyzdyje laipsnis yra lyginis, bet kas, jei jis yra nelyginis? Vėlgi, taikykite eksponentų savybes ir įvertinkite viską:

Atrodo, kad viskas aišku, bet kaip ištraukti skaičiaus šaknį į laipsnį? Štai, pavyzdžiui, tai:

Gana paprasta, tiesa? O jei laipsnis didesnis nei du? Mes vadovaujamės ta pačia logika, naudodami laipsnių savybes:

Na, ar viskas aišku? Tada išspręskite pavyzdžius patys:

Ir štai atsakymai:

Įeinant po šaknies ženklu

Ko tik neišmokome daryti su šaknimis! Belieka pasipraktikuoti įvedant skaičių po šaknies ženklu!

Tai tikrai lengva!

Tarkime, kad turime užrašytą skaičių

Ką mes galime su juo padaryti? Na, žinoma, paslėpkite tris po šaknimi, prisimindami, kad trys yra kvadratinė šaknis!

Kodėl mums to reikia? Taip, tik norėdami išplėsti savo galimybes sprendžiant pavyzdžius:

Kaip jums patinka ši šaknų savybė? Ar tai labai palengvina gyvenimą? Man tai visiškai teisinga! Tik Turime atsiminti, kad po kvadratinės šaknies ženklu galime įvesti tik teigiamus skaičius.

Išspręskite šį pavyzdį patys -
Ar susitvarkei? Pažiūrėkime, ką turėtumėte gauti:

Šauniai padirbėta! Jums pavyko įvesti numerį po šaknies ženklu! Pereikime prie ne mažiau svarbaus dalyko – pažiūrėkime, kaip palyginti skaičius, kuriuose yra kvadratinė šaknis!

Šaknų palyginimas

Kodėl turime išmokti palyginti skaičius, kuriuose yra kvadratinė šaknis?

Labai paprasta. Dažnai egzamine sutinkamais dideliais ir ilgais posakiais gauname neracionalų atsakymą (pamenate, kas tai yra? Šiandien apie tai jau kalbėjome!)

Gautus atsakymus turime patalpinti koordinačių tiesėje, pavyzdžiui, nustatyti, kuris intervalas tinkamas lygčiai spręsti. Ir čia iškyla problema: egzamine nėra skaičiuoklės, o be jos kaip įsivaizduoji, kuris skaičius didesnis, o kuris mažesnis? Viskas!

Pavyzdžiui, nustatykite, kuris yra didesnis: ar?

Negalite pasakyti iš karto. Na, naudokimės išardyta savybe įvesti skaičių po šaknies ženklu?

Tada pirmyn:

Na, aišku, kuo didesnis skaičius po šaknies ženklu, tuo didesnė pati šaknis!

Tie. jei tada, .

Iš to darome tvirtą išvadą. Ir niekas mūsų neįtikins kitaip!

Šaknų ištraukimas iš didelio skaičiaus

Prieš tai įvedėme daugiklį po šaknies ženklu, bet kaip jį pašalinti? Jums tereikia įtraukti tai į veiksnius ir išskirti tai, ką ištraukiate!

Buvo galima pasukti kitu keliu ir išplėsti kitus veiksnius:

Neblogai, tiesa? Bet kuris iš šių būdų yra teisingas, nuspręskite, kaip norite.

Faktoringas yra labai naudingas sprendžiant tokias nestandartines problemas kaip:

Nebijokime, o veikime! Išskaidykime kiekvieną veiksnį pagal šaknį į atskirus veiksnius:

Dabar išbandykite patys (be skaičiuoklės! Jo nebus per egzaminą):

Ar tai pabaiga? Nesustokime pusiaukelėje!

Tai viskas, tai nėra taip baisu, tiesa?

Įvyko? Gerai padaryta, tai tiesa!

Dabar išbandykite šį pavyzdį:

Tačiau pavyzdys yra kietas riešutėlis, todėl negalite iš karto suprasti, kaip tai padaryti. Bet, žinoma, galime susitvarkyti.

Na, pradėkime faktoringą? Iš karto atkreipkime dėmesį, kad skaičių galite padalyti iš (atminkite dalijimosi ženklus):

Dabar išbandykite patys (vėl, be skaičiuotuvo!):

Na, ar pavyko? Gerai padaryta, tai tiesa!

Apibendrinkime

1. Neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis (aritmetinė kvadratinė šaknis) yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra lygus.
   .
2. Jei iš ko nors paimame tiesiog kvadratinę šaknį, visada gauname vieną neneigiamą rezultatą.
3. Aritmetinės šaknies savybės:
4. Lyginant kvadratines šaknis, reikia atsiminti, kad kuo didesnis skaičius po šaknies ženklu, tuo didesnė pati šaknis.

Kaip kvadratinė šaknis? Viskas aišku?

Mes stengėmės jums be jokių rūpesčių paaiškinti viską, ką reikia žinoti egzamine apie kvadratinę šaknį.

Tavo eilė. Parašykite mums, ar ši tema jums sunki, ar ne.

Sužinojote ką nors naujo ar jau viskas buvo aišku?

Rašykite komentaruose ir sėkmės egzaminuose!

Pavyzdžiai:

\(\sqrt(16)=2\), nes \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , kadangi \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Kaip apskaičiuoti n-ąją šaknį?

Norėdami apskaičiuoti \(n\)-osios laipsnio šaknį, turite užduoti sau klausimą: koks skaičius iki \(n\)-osios laipsnio bus pateiktas po šaknimi?

Pavyzdžiui. Apskaičiuokite \(n\)-ąją šaknį: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) Koks skaičius iki \(4\)-osios laipsnio duos \(16\)? Akivaizdu, \(2\). Štai kodėl:

b) Koks skaičius iki \(3\)-osios laipsnio duos \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) Koks skaičius iki \(5\)-osios laipsnio duos \(0,00001\)?

\(\sqrt(0.00001)=0.1\)

d) Kokį skaičių iki \(3\) laipsnio duos \(8000\)?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) Koks skaičius iki \(4\)-osios laipsnio duos \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Pažiūrėjome į paprasčiausius pavyzdžius su \(n\)-ąja šaknimi. Norint išspręsti sudėtingesnes problemas su \(n\)-ojo laipsnio šaknimis, labai svarbu jas žinoti.

Pavyzdys. Apskaičiuoti:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		Šiuo metu negalima apskaičiuoti nė vienos šaknies. Todėl taikome \(n\)-ojo laipsnio šaknies savybes ir transformuojame išraišką. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\), nes \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		Perskirstykime veiksnius pirmajame naryje taip, kad kvadratinė šaknis ir \(n\)-osios laipsnio šaknis būtų viena šalia kitos. Taip bus lengviau pritaikyti savybes, nes Dauguma \(n\)-osios šaknų savybių veikia tik su to paties laipsnio šaknimis. Ir apskaičiuokime 5 šaknį.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		Taikykite ypatybę \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) ir išplėskite skliaustą
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		Apskaičiuokite \(\sqrt(81)\) ir \(\sqrt(-27)\)
\(=9\cdot(-3)+5 =-27+5=-22\)

Ar n-oji šaknis ir kvadratinė šaknis yra susijusios?

Bet kokiu atveju bet kokia bet kokio laipsnio šaknis yra tik skaičius, nors ir parašytas jums nepažįstama forma.

n-osios šaknies singuliarumas

\(n\)-ojo laipsnio šaknis su nelyginiu \(n\) gali būti išskirta iš bet kokio skaičiaus, net ir neigiamo (žr. pavyzdžius pradžioje). Bet jei \(n\) yra lyginis (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), tada tokia šaknis išgaunama tik tuo atveju, jei \( a ≥ 0\) (beje, tas pats pasakytina ir apie kvadratinę šaknį). Taip yra dėl to, kad šaknies ištraukimas yra priešingas pakėlimui į galią.

O padidinus iki lyginės galios, net neigiamas skaičius tampa teigiamas. Iš tiesų, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Todėl negalime gauti lyginės neigiamo skaičiaus laipsnio pagal šaknį. Tai reiškia, kad negalime išgauti tokios šaknies iš neigiamo skaičiaus.

Nelyginis laipsnis neturi tokių apribojimų – neigiamas skaičius, padidintas iki nelyginio laipsnio, liks neigiamas: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (- 2) \ cdot (-2) = -32\). Todėl pagal nelyginės galios šaknį galite gauti neigiamą skaičių. Tai reiškia, kad jį galima išskirti ir iš neigiamo skaičiaus.

Sveikiname: šiandien pažvelgsime į šaknis – vieną labiausiai jaudinančių temų 8 klasėje. :)

Daugelis žmonių susipainioja dėl šaknų ne dėl to, kad jos sudėtingos (kas čia tokio sudėtingo – pora apibrėžimų ir dar pora savybių), o todėl, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių šaknys apibrėžiamos per tokias džiungles, kad tik vadovėlių autoriai. patys gali suprasti šį raštą. Ir net tada tik su buteliu gero viskio. :)

Todėl dabar pateiksiu teisingiausią ir kompetentingiausią šaknies apibrėžimą - vienintelį, kurį tikrai turėtumėte atsiminti. Ir tada paaiškinsiu: kam viso to reikia ir kaip tai pritaikyti praktikoje.

Tačiau pirmiausia atsiminkite vieną svarbų dalyką, kurį daugelis vadovėlių rengėjų dėl tam tikrų priežasčių „pamiršta“:

Šaknys gali būti lyginio laipsnio (mūsų mėgstamiausias $\sqrt(a)$, taip pat visų rūšių $\sqrt(a)$ ir net $\sqrt(a)$) ir nelyginio laipsnio (visų rūšių $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ ir kt.). Ir nelyginio laipsnio šaknies apibrėžimas šiek tiek skiriasi nuo lyginio.

Turbūt 95% visų klaidų ir nesusipratimų, susijusių su šaknimis, slypi šiame sušiktame „kiek kitaip“. Taigi kartą ir visiems laikams išsiaiškinkime terminiją:

Apibrėžimas. Net šaknis n nuo skaičiaus $a$ yra bet koks neneigiamas skaičius $b$ yra toks, kad $((b)^(n))=a$. O to paties skaičiaus $a$ nelyginė šaknis paprastai yra bet koks skaičius $b$, kuriam galioja ta pati lygybė: $((b)^(n))=a$.

Bet kokiu atveju šaknis žymima taip:

\(a)\]

Skaičius $n$ tokiame žymėjime vadinamas šaknies eksponentu, o skaičius $a$ – radikaliąja išraiška. Konkrečiai, kai $n=2$ gauname „mėgstamiausią“ kvadratinę šaknį (beje, tai lyginio laipsnio šaknis), o už $n=3$ gauname kubinę šaknį (nelyginį laipsnį), kuri yra taip pat dažnai randama uždaviniuose ir lygtyse.

Pavyzdžiai. Klasikiniai kvadratinių šaknų pavyzdžiai:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(lygiuoti)\]

Beje, $\sqrt(0)=0$ ir $\sqrt(1)=1$. Tai gana logiška, nes $((0)^(2))=0$ ir $((1)^(2))=1$.

Kubo šaknys taip pat dažnos – jų nereikia bijoti:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(lygiuoti)\]

Na, pora „egzotiškų pavyzdžių“:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(lygiuoti)\]

Jei nesuprantate, kuo skiriasi lyginis ir nelyginis laipsnis, dar kartą perskaitykite apibrėžimą. Tai labai svarbu!

Tuo tarpu apsvarstysime vieną nemalonią šaknų savybę, dėl kurios reikėjo įvesti atskirą lyginių ir nelyginių rodiklių apibrėžimą.

Kam iš viso reikalingos šaknys?

Perskaitę apibrėžimą, daugelis mokinių paklaus: „Ką rūkė matematikai, kai tai sugalvojo? Ir iš tikrųjų: kam iš viso reikalingos visos šios šaknys?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, trumpam grįžkime į pradinę mokyklą. Prisiminkite: tais tolimais laikais, kai medžiai buvo žalesni, o koldūnai skanesni, mūsų pagrindinis rūpestis buvo teisingai padauginti skaičius. Na, kažkas panašaus į „penki penki – dvidešimt penki“, tai ir viskas. Bet jūs galite dauginti skaičius ne poromis, o trynukais, keturkampiais ir paprastai ištisomis rinkiniais:

\[\begin(lygiuoti) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end (lygiuoti)\]

Tačiau tai ne esmė. Triukas kitoks: matematikai yra tinginiai, todėl jiems sunkiai sekėsi užrašyti dešimties penketukų dauginimą taip:

Štai kodėl jie sugalvojo laipsnius. Kodėl faktorių skaičiaus neįrašius kaip viršutinį indeksą, o ne kaip ilgą eilutę? Kažkas panašaus į tai:

Tai labai patogu! Visi skaičiavimai žymiai sutrumpėja, ir jums nereikia švaistyti krūvos pergamento lapų ir sąsiuvinių, kad užsirašytumėte 5183. Šis rekordas buvo vadinamas skaičiaus galia, jame buvo rasta krūva savybių, tačiau laimė pasirodė trumpalaikė.

Po grandiozinio išgertuvės, surengtos vien dėl laipsnių „atradimo“, kažkoks ypač užsispyręs matematikas staiga paklausė: „O jeigu žinome skaičiaus laipsnį, o pats skaičius nežinomas? Iš tiesų, jei žinome, kad tam tikras skaičius $b$, tarkime, iki 5 laipsnio duoda 243, tai kaip galime atspėti, kam yra lygus pats skaičius $b$?

Ši problema pasirodė daug globalesnė, nei gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Nes paaiškėjo, kad daugumai „paruoštų“ galių tokių „pradinių“ skaičių nėra. Spręskite patys:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\RightArrow b=4\cdot 4\cdot 4\RightArrow b=4. \\ \end(lygiuoti)\]

O kas, jei $((b)^(3)) = 50 $? Pasirodo, reikia rasti tam tikrą skaičių, kurį padauginus iš savęs tris kartus, gautume 50. Bet kas tai yra skaičius? Jis aiškiai didesnis nei 3, nes 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Tai yra šis skaičius yra kažkur tarp trijų ir keturių, bet jūs nesuprasite, kam jis lygus.

Būtent todėl matematikai sugalvojo $n$-ąją šaknį. Būtent todėl buvo įvestas radikalus simbolis $\sqrt(*)$. Pažymėti patį skaičių $b$, kuris nurodytu laipsniu suteiks mums anksčiau žinomą reikšmę

\[\sqrt[n](a)=b\Rodyklė dešinėn ((b)^(n))=a\]

Aš nesiginčiju: dažnai šios šaknys yra lengvai apskaičiuojamos - aukščiau matėme keletą tokių pavyzdžių. Tačiau daugeliu atvejų, jei sugalvosite savavališką skaičių ir bandysite iš jo išgauti savavališko laipsnio šaknį, jūsų laukia siaubingas bėdas.

Kas ten! Netgi paprasčiausias ir žinomiausias $\sqrt(2)$ negali būti pavaizduotas mums įprasta forma – kaip sveikasis skaičius arba trupmena. Ir jei įvesite šį skaičių į skaičiuotuvą, pamatysite tai:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kaip matote, po kablelio yra begalinė skaičių seka, kuri nepaklūsta jokiai logikai. Žinoma, galite suapvalinti šį skaičių, kad greitai palygintumėte su kitais skaičiais. Pavyzdžiui:

\[\sqrt(2)=1,4142...\apytiksliai 1,4 \lt 1,5\]

Arba štai kitas pavyzdys:

\[\sqrt(3)=1,73205...\apytiksliai 1,7 \gt 1,5\]

Tačiau visi šie apvalinimai, pirma, yra gana grubūs; ir, antra, jūs taip pat turite mokėti dirbti su apytiksliais dydžiais, antraip galite pagauti krūvą neakivaizdžių klaidų (beje, lyginimo ir apvalinimo įgūdžius reikia patikrinti profilyje „Vieningas valstybinis egzaminas“).

Todėl rimtoje matematikoje neapsieisite be šaknų - jie yra tokie patys lygūs visų realiųjų skaičių aibės $\mathbb(R)$ atstovai, kaip ir mums seniai žinomos trupmenos ir sveikieji skaičiai.

Nesugebėjimas pavaizduoti šaknies kaip formos $\frac(p)(q)$ trupmenos reiškia, kad ši šaknis nėra racionalus skaičius. Tokie skaičiai vadinami neracionaliais ir negali būti tiksliai pavaizduoti nebent naudojant radikalą ar kitas specialiai tam skirtas konstrukcijas (logaritmus, laipsnius, ribas ir kt.). Bet apie tai plačiau kitą kartą.

Panagrinėkime kelis pavyzdžius, kai po visų skaičiavimų atsakyme vis tiek liks neracionalūs skaičiai.

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\apytiksliai 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\apytiksliai -1,2599... \\ \end(lygiuoti)\]

Natūralu, kad iš šaknies atsiradimo beveik neįmanoma atspėti, kokie skaičiai bus po kablelio. Tačiau galite pasikliauti skaičiuotuvu, tačiau net ir pažangiausia datos skaičiuoklė mums pateikia tik kelis pirmuosius neracionalaus skaičiaus skaitmenis. Todėl daug teisingiau atsakymus rašyti formomis $\sqrt(5)$ ir $\sqrt(-2)$.

Būtent dėl ​​to jie buvo išrasti. Norėdami patogiai įrašyti atsakymus.

Kodėl reikalingi du apibrėžimai?

Dėmesingas skaitytojas tikriausiai jau pastebėjo, kad visos pavyzdžiuose pateiktos kvadratinės šaknys paimtos iš teigiamų skaičių. Na, bent jau nuo nulio. Tačiau kubo šaknis galima ramiai išgauti iš absoliučiai bet kokio skaičiaus – ar tai būtų teigiama, ar neigiama.

Kodėl tai vyksta? Pažvelkite į funkcijos $y=((x)^(2))$ grafiką:

Kvadratinės funkcijos grafikas pateikia dvi šaknis: teigiamą ir neigiamą

Pabandykime apskaičiuoti $\sqrt(4)$ naudodami šį grafiką. Tam grafike nubrėžiama horizontali linija $y=4$ (pažymėta raudona spalva), kuri susikerta su parabole dviejuose taškuose: $((x)_(1))=2$ ir $((x) )_(2)) = -2 $. Tai gana logiška, nes

Su pirmuoju skaičiumi viskas aišku - jis yra teigiamas, taigi tai yra šaknis:

Bet ką tada daryti su antruoju punktu? Kaip keturi turi dvi šaknis vienu metu? Juk jei skaičių −2 padalinsime kvadratu, gausime ir 4. Kodėl tada neparašius $\sqrt(4)=-2$? O kodėl mokytojai į tokius įrašus žiūri taip, lyg norėtų tave suvalgyti? :)

Bėda ta, kad jei nekelsite jokių papildomų sąlygų, keturkampis turės dvi kvadratines šaknis - teigiamą ir neigiamą. Ir bet kuris teigiamas skaičius taip pat turės du iš jų. Bet neigiami skaičiai iš viso neturės šaknų – tai matyti iš to paties grafiko, nes parabolė niekada nenukrenta žemiau ašies y, t.y. nepriima neigiamų verčių.

Panaši problema iškyla visoms šaknims su lygiu eksponentu:

1. Griežtai kalbant, kiekvienas teigiamas skaičius turės dvi šaknis su lyginiu eksponentu $n$;
2. Iš neigiamų skaičių šaknis su net $n$ iš viso neišgaunama.

Štai kodėl lyginio laipsnio $n$ šaknies apibrėžime konkrečiai nurodyta, kad atsakymas turi būti neneigiamas skaičius. Taip atsikratome dviprasmybių.

Tačiau nelyginiams $n$ tokios problemos nėra. Norėdami tai pamatyti, pažvelkime į funkcijos $y=((x)^(3))$ grafiką:

Kubo parabolė gali turėti bet kokią reikšmę, todėl kubo šaknį galima paimti iš bet kurio skaičiaus

Iš šio grafiko galima padaryti dvi išvadas:

1. Kubinės parabolės šakos, skirtingai nei įprastos, eina į begalybę abiem kryptimis – ir aukštyn, ir žemyn. Todėl nesvarbu, kokio aukščio nubrėžtume horizontalią liniją, ši linija tikrai susikirs su mūsų grafiku. Vadinasi, kubo šaknį visada galima išgauti iš absoliučiai bet kokio skaičiaus;
2. Be to, tokia sankryža visada bus unikali, todėl jums nereikės galvoti, kuris skaičius laikomas „teisinga“ šaknimi, o kurį ignoruoti. Štai kodėl nelyginio laipsnio šaknis nustatyti yra paprasčiau nei lyginiam (neneigiamumo reikalavimo nėra).

Gaila, kad daugumoje vadovėlių šie paprasti dalykai nepaaiškinami. Vietoj to, mūsų smegenys pradeda sklandyti su visomis aritmetinėmis šaknimis ir jų savybėmis.

Taip, aš nesiginčiju: jūs taip pat turite žinoti, kas yra aritmetinė šaknis. Ir apie tai išsamiai pakalbėsiu atskiroje pamokoje. Šiandien apie tai taip pat pakalbėsime, nes be jos visos mintys apie $n$-osios daugumos šaknis būtų neišsamios.

Bet pirmiausia turite aiškiai suprasti apibrėžimą, kurį pateikiau aukščiau. Priešingu atveju dėl terminų gausos galvoje prasidės tokia netvarka, kad galiausiai išvis nieko nesuprasi.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai suprasti skirtumą tarp lyginių ir nelyginių rodiklių. Todėl dar kartą surinkime viską, ką tikrai reikia žinoti apie šaknis:

1. Lyginio laipsnio šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus ir pati visada yra neneigiamas skaičius. Neigiamų skaičių šaknis neapibrėžta.
2. Tačiau nelyginio laipsnio šaknis egzistuoja iš bet kurio skaičiaus ir pati gali būti bet koks skaičius: teigiamiems skaičiams jis yra teigiamas, o neigiamiems skaičiams, kaip rodo viršutinė riba, neigiama.

Ar tai sunku? Ne, tai nėra sunku. Tai aišku? Taip, tai visiškai akivaizdu! Taigi dabar šiek tiek pasipraktikuosime su skaičiavimais.

Pagrindinės savybės ir apribojimai

Šaknys turi daug keistų savybių ir apribojimų – apie tai bus kalbama atskiroje pamokoje. Todėl dabar mes apsvarstysime tik svarbiausią „gudrybę“, kuri taikoma tik šaknims su lygiu indeksu. Parašykime šią savybę kaip formulę:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

Kitaip tariant, jei skaičių padidinsime iki lyginės laipsnio ir tada ištrauksime tos pačios laipsnio šaknį, gausime ne pradinį skaičių, o jo modulį. Tai paprasta teorema, kurią galima nesunkiai įrodyti (pakanka atskirai nagrinėti neneigiamus $x$, o po to atskirai neigiamus). Mokytojai apie tai nuolat kalba, tai pateikiama kiekviename mokykliniame vadovėlyje. Tačiau kai tik reikia išspręsti neracionalias lygtis (t. y. lygtis, kuriose yra radikalus ženklas), mokiniai vieningai pamiršta šią formulę.

Norėdami išsamiai suprasti problemą, minutei pamirškime visas formules ir pabandykite iš karto apskaičiuoti du skaičius:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Tai labai paprasti pavyzdžiai. Daugelis žmonių išspręs pirmąjį pavyzdį, tačiau daugelis žmonių įstringa ties antrajam. Kad be problemų išspręstumėte tokius nešvarumus, visada apsvarstykite procedūrą:

1. Pirma, skaičius padidinamas iki ketvirtosios laipsnio. Na, tai kažkaip lengva. Gausite naują skaičių, kurį galite rasti net daugybos lentelėje;
2. Ir dabar iš šio naujo skaičiaus reikia išgauti ketvirtą šaknį. Tie. nevyksta šaknų ir galių „sumažinimas“ - tai nuoseklūs veiksmai.

Pažiūrėkime į pirmąją išraišką: $\sqrt(((3)^(4)))$. Akivaizdu, kad pirmiausia turite apskaičiuoti išraišką po šaknimi:

\[((3)^(4))=3\ctaškas 3\ctaškas 3\ctaškas 3=81\]

Tada ištraukiame ketvirtąją skaičiaus 81 šaknį:

Dabar padarykime tą patį su antrąja išraiška. Pirmiausia skaičių −3 pakeliame iki ketvirtosios laipsnio, kurį reikia padauginti iš savęs 4 kartus:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ kairysis(-3 \dešinė)=81\]

Gavome teigiamą skaičių, nes bendras gaminio minusų skaičius yra 4 ir jie visi vienas kitą panaikins (juk minusas už minusą duoda pliusą). Tada vėl ištraukiame šaknį:

Iš principo šios eilutės negalėjo būti parašytos, nes negalvojama, kad atsakymas bus toks pat. Tie. tos pačios lygiosios galios lygi šaknis „sudegina“ minusus, ir šia prasme rezultatas nesiskiria nuo įprasto modulio:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \dešinė|=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Šie skaičiavimai gerai sutampa su lyginio laipsnio šaknies apibrėžimu: rezultatas visada yra neneigiamas, o radikaliame ženkle taip pat visada yra neneigiamas skaičius. Priešingu atveju šaknis neapibrėžta.

Pastaba apie procedūrą

1. Žymėjimas $\sqrt(((a)^(2)))$ reiškia, kad iš pradžių skaičių $a$ paimame kvadratu, o tada gaunamos reikšmės kvadratinę šaknį. Todėl galime būti tikri, kad po šaknies ženklu visada yra neneigiamas skaičius, nes $((a)^(2))\ge 0$ bet kuriuo atveju;
2. Tačiau žymėjimas $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, priešingai, reiškia, kad pirmiausia paimame tam tikro skaičiaus $a$ šaknį ir tik po to rezultatą kvadratu. Todėl skaičius $a$ jokiu būdu negali būti neigiamas – tai yra privalomas reikalavimas, įtrauktas į apibrėžimą.

Taigi jokiu būdu nereikėtų neapgalvotai mažinti šaknų ir laipsnių, taip tariamai „supaprastinant“ pirminę išraišką. Nes jei šaknis turi neigiamą skaičių, o jos rodiklis lyginis, gauname krūvą problemų.

Tačiau visos šios problemos aktualios tik lygiems rodikliams.

Minuso ženklo pašalinimas iš po šaknies ženklo

Natūralu, kad šaknys su nelyginiais rodikliais taip pat turi savo bruožą, kurio iš esmės nėra su lyginiais. Būtent:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Trumpai tariant, jūs galite pašalinti minusą iš po nelyginių laipsnių šaknų ženklo. Tai labai naudinga savybė, leidžianti „išmesti“ visus trūkumus:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(lygiuoti)\]

Ši paprasta savybė labai supaprastina daugelį skaičiavimų. Dabar jums nereikia jaudintis: o kas, jei neigiama išraiška būtų paslėpta po šaknimi, o laipsnis prie šaknies pasirodė lygus? Užtenka tik „išmesti“ visus minusus už šaknų ribų, po to juos galima dauginti vienas iš kito, dalytis ir apskritai padaryti daug įtartinų dalykų, kurie „klasikinių“ šaknų atveju mus garantuotai prives prie klaida.

Ir čia pasirodo kitas apibrėžimas – tas pats, su kuriuo daugumoje mokyklų jie pradeda tyrinėti neracionalius posakius. Ir be kurio mūsų samprotavimai būtų neišsamūs. Susitikti!

Aritmetinė šaknis

Trumpam manykime, kad po šaknies ženklu gali būti tik teigiami skaičiai arba, kraštutiniais atvejais, nulis. Pamirškime lyginius/nelyginius rodiklius, pamirškime visus aukščiau pateiktus apibrėžimus – dirbsime tik su neneigiamais skaičiais. Kas tada?

Ir tada gausime aritmetinę šaknį - ji iš dalies sutampa su mūsų „standartiniais“ apibrėžimais, bet vis tiek skiriasi nuo jų.

Apibrėžimas. Neneigiamo skaičiaus $a$ $n$-ojo laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius $b$, kad $((b)^(n))=a$.

Kaip matome, mūsų nebedomina paritetas. Vietoj to atsirado naujas apribojimas: radikali išraiška dabar visada yra neneigiama, o pati šaknis taip pat yra neneigiama.

Norėdami geriau suprasti, kuo aritmetinė šaknis skiriasi nuo įprastos, pažvelkite į mums jau pažįstamus kvadratinės ir kubinės parabolės grafikus:

Aritmetinės šaknies paieškos sritis – neneigiami skaičiai

Kaip matote, nuo šiol mus domina tik tie grafikų fragmentai, kurie yra pirmajame koordinačių ketvirtyje – kur koordinatės $x$ ir $y$ yra teigiamos (arba bent jau nulis). Jums nebereikia žiūrėti į indikatorių, kad suprastumėte, ar mes turime teisę dėti neigiamą skaičių po šaknimi, ar ne. Nes neigiami skaičiai iš esmės nebelaikomi.

Galite paklausti: „Na, kam mums reikia tokio sterilizuoto apibrėžimo? Arba: „Kodėl negalime susitvarkyti su aukščiau pateiktu standartiniu apibrėžimu?

Na, aš pateiksiu tik vieną savybę, dėl kurios naujas apibrėžimas tampa tinkamas. Pavyzdžiui, eksponencijos taisyklė:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Atkreipkite dėmesį: radikaliąją išraišką galime pakelti iki bet kokios laipsnio ir tuo pačiu padauginti šaknies eksponentą iš tos pačios laipsnio – ir rezultatas bus toks pat! Štai pavyzdžiai:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(lygiuoti)\]

Taigi, kas per didelis? Kodėl negalėjome to padaryti anksčiau? Štai kodėl. Panagrinėkime paprastą išraišką: $\sqrt(-2)$ - šis skaičius yra gana normalus mūsų klasikiniu supratimu, bet visiškai nepriimtinas aritmetinės šaknies požiūriu. Pabandykime konvertuoti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(lygiuoti)$

Kaip matote, pirmuoju atveju pašalinome minusą iš po radikalo (turime visas teises, nes rodiklis yra nelyginis), o antruoju atveju naudojome aukščiau pateiktą formulę. Tie. Matematikos požiūriu viskas daroma pagal taisykles.

WTF?! Kaip tas pats skaičius gali būti teigiamas ir neigiamas? Negali būti. Tiesiog eksponencijos formulė, kuri puikiai tinka teigiamiems skaičiams ir nuliui, neigiamų skaičių atveju pradeda kelti visišką ereziją.

Siekiant atsikratyti tokio neaiškumo, buvo išrastos aritmetinės šaknys. Jiems skirta atskira didelė pamoka, kurioje išsamiai aptariame visas jų savybes. Taigi dabar apie juos nesigilinsime - pamoka jau pasirodė per ilga.

Algebrinė šaknis: norintiems sužinoti daugiau

Ilgai galvojau, ar dėti šią temą į atskirą pastraipą, ar ne. Galų gale nusprendžiau tai palikti čia. Ši medžiaga skirta tiems, kurie nori dar geriau suprasti šaknis – jau ne vidutinio „mokyklinio“, o artimo olimpiados lygiui.

Taigi: be „klasikinio“ skaičiaus $n$-osios šaknies apibrėžimo ir su juo susijusio padalijimo į lyginius ir nelyginius rodiklius, yra ir labiau „suaugusiųjų“ apibrėžimas, kuris visiškai nepriklauso nuo pariteto ir kitų subtilybių. Tai vadinama algebrine šaknimi.

Apibrėžimas. Bet kurio $a$ algebrinė $n$-oji šaknis yra visų skaičių $b$ aibė, kad $((b)^(n))=a$. Tokioms šaknims nėra nustatyto pavadinimo, todėl viršuje uždėsime brūkšnį:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Esminis skirtumas nuo standartinio apibrėžimo, pateikto pamokos pradžioje, yra tas, kad algebrinė šaknis yra ne konkretus skaičius, o aibė. Kadangi dirbame su tikraisiais skaičiais, šis rinkinys yra tik trijų tipų:

1. Tuščias komplektas. Atsiranda, kai reikia rasti lyginio laipsnio algebrinę šaknį iš neigiamo skaičiaus;
2. Rinkinys, susidedantis iš vieno elemento. Į šią kategoriją patenka visos nelyginių galių šaknys, taip pat lyginių nulio laipsnių šaknys;
3. Galiausiai rinkinyje gali būti du skaičiai – tie patys $((x)_(1))$ ir $((x)_(2))=-((x)_(1))$, kuriuos matėme grafiko kvadratinė funkcija. Atitinkamai, toks išdėstymas galimas tik iš teigiamo skaičiaus išimant lyginio laipsnio šaknį.

Paskutinis atvejis nusipelno išsamesnio svarstymo. Suskaičiuokime keletą pavyzdžių, kad suprastume skirtumą.

Pavyzdys. Įvertinkite posakius:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Sprendimas. Pirmoji išraiška paprasta:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Tai du skaičiai, kurie yra rinkinio dalis. Nes kiekvienas iš jų kvadratu duoda ketvertą.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Čia matome rinkinį, kurį sudaro tik vienas skaičius. Tai gana logiška, nes šaknies rodiklis yra nelyginis.

Galiausiai paskutinė išraiška:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Gavome tuščią komplektą. Nes nėra nė vieno realaus skaičiaus, kurį pakėlus iki ketvirtosios (t.y. lyginės!) laipsnio, gautume neigiamą skaičių −16.

Baigiamoji pastaba. Atkreipkite dėmesį: neatsitiktinai visur pažymėjau, kad dirbame su tikraisiais skaičiais. Nes yra ir kompleksinių skaičių - ten visai įmanoma suskaičiuoti $\sqrt(-16)$, ir daug kitų keistų dalykų.

Tačiau šiuolaikiniuose mokykliniuose matematikos kursuose sudėtingi skaičiai beveik niekada nepasirodo. Jie buvo pašalinti iš daugumos vadovėlių, nes mūsų pareigūnai mano, kad tema „per sunku suprasti“.

Tai viskas. Kitoje pamokoje apžvelgsime visas pagrindines šaknų savybes ir pagaliau išmoksime supaprastinti neracionalias išraiškas. :)