Gorlach B.A., Shigaeva N.V. Uporaba Fourierjevih vrst za napovedovanje in optimizacijo ponudbe veletrgovskega podjetja z vidika upravljanja lastnih in najetih vozil

1

Možnost aproksimacije Fourierjevih vrst v primeru linearnega signala je nujna za konstruiranje funkcij v primeru diskontinuiranih periodičnih elementov. Možnosti uporabe te metode za njihovo konstrukcijo in razgradnjo z uporabo končnih vsot Fourierjevih serij, ki se uporabljajo pri reševanju številnih problemov različnih ved, kot so fizika, seizmologija itd. Procesi oceanskih plim in osek, sončna aktivnost se obravnavajo na podlagi širjenja oscilatornih procesov, funkcij, ki jih opisujejo te transformacije. Z razvojem računalniške tehnologije so se Fourierjeve vrste začele uporabljati za vedno bolj zapletene naloge, prav tako pa je zahvaljujoč temu postalo mogoče te transformacije uporabiti v posrednih vedah, kot sta medicina, kemija. Fourierjeva transformacija je opisana tako v realni kot v kompleksni obliki, druga porazdelitev pa je omogočila preboj v raziskovanju vesolja. Rezultat tega dela je uporaba Fourierjevih vrst za linearizacijo diskontinuirane funkcije in izbira števila koeficientov serije za natančnejšo naložitev vrste na funkcijo. Poleg tega pri uporabi razširitve v Fourierjev niz ta funkcija preneha biti diskontinuirana in se že pri dovolj majhnih vrednostih izvede dober približek uporabljene funkcije.

Fourierjeve vrste

Fourierjeva transformacija

fazni spekter.

1. Alasheeva E.A., Rogova N.V. Numerična metoda za reševanje problema elektrodinamike v približku tanke žice. Znanost in mir. Mednarodna znanstvena revija, št. 8(12), 2014. Zvezek 1. Volgograd. str.17-19.

2. Vorobyov N.N. Teorija vrstic. Ed. Nauka, Glavna izdaja fizične in matematične literature, M., 1979, -408 str.

3. Kalinina V.N., Pankin V.F. Statistika matematike. - M.: Višja šola, 2001.

4. R. Edwards Fourierjeva vrsta v sodobni predstavitvi. Ed. svet. V 2 zvezkih. Zvezek 1. 1985. 362 strani

5. Sigorsky V.P. Matematični aparat inženirja. Ed. 2. stereotipno. "Tehnika", 1997. – 768 str.

Predstavitev poljubno vzete funkcije z določeno periodo kot vrsto imenujemo Fourierjeva vrsta. Razširitev v ortogonalni osnovi je splošni izraz za to rešitev. Razširitev funkcij v Fourierjevo vrsto je precej močno orodje za reševanje različnih problemov. Ker lastnosti te transformacije so dobro znane in proučene pri integraciji, diferenciaciji in premiku izraza glede na argument in konvolucijo. Oseba, ki ni seznanjena z višjo matematiko, pa tudi z deli francoskega znanstvenika Fourierja, najverjetneje ne bo razumela, kaj so te "serije" in čemu so namenjene. Ta Fourierjeva transformacija je postala zelo gost del našega življenja. Ne uporabljajo ga le matematiki, ampak tudi fiziki, kemiki, zdravniki, astronomi, seizmologi, oceanografi in mnogi drugi.

Fourierjeve vrste se uporabljajo pri reševanju številnih uporabnih problemov. Fourierjevo transformacijo lahko izvedemo z analitičnimi, numeričnimi in drugimi metodami. Procesi, kot so oceanske plime in svetlobni valovi pred cikli sončne aktivnosti, se nanašajo na numerični način razširitve vseh oscilatornih procesov v Fourierjev niz. Z uporabo teh matematičnih tehnik je mogoče analizirati funkcije, ki predstavljajo vse oscilacijske procese kot niz sinusnih komponent, ki gredo od minimuma do maksimuma in obratno. Fourierjeva transformacija je funkcija, ki opisuje fazo in amplitudo sinusoide, ki ustreza določeni frekvenci. Ta transformacija se uporablja za reševanje zelo zapletenih enačb, ki opisujejo dinamične procese, ki se zgodijo pod delovanjem toplotne, svetlobne ali električne energije. Prav tako Fourierjevi nizi omogočajo izolacijo konstantnih komponent v kompleksnih oscilacijskih signalih, kar je omogočilo pravilno interpretacijo pridobljenih eksperimentalnih opazovanj v medicini, kemiji in astronomiji.

Z rastjo tehnologije, tj. Pojav in razvoj računalnika je Fourierjevo transformacijo dvignil na novo raven. Ta tehnika je trdno zasidrana na skoraj vseh področjih znanosti in tehnologije. Primer je digitalni avdio in video signal. Kar je postalo vizualna realizacija rasti znanstvenega procesa in uporabe Fourierjevih vrst. Tako je Fourierjeva serija v kompleksni obliki omogočila preboj v študiju vesolja. Poleg tega je vplival na študij fizike polprevodniških materialov in plazme, mikrovalovne akustike, oceanografije, radarja, seizmologije.

Upoštevajte, da je fazni spekter periodičnega signala določen z naslednjim izrazom:

pri čemer simbola in označujeta imaginarni in realni del vrednosti v oglatih oklepajih.

Če jo pomnožimo z realno konstantno vrednostjo K, ima razširitev v Fourierjev niz naslednjo obliko:

Iz izraza (1) sledi, da ima fazni Fourierjev spekter naslednje lastnosti:

1) je funkcija, tj. za razliko od spektra moči, ki ni odvisna od , , se spremeni, ko se signal premakne vzdolž časovne osi;

2) ni odvisen od K, tj. je nespremenljiv za ojačanje ali slabljenje signala, medtem ko je spekter moči funkcija K.

3) tj. je liha funkcija od n.

Opomba. Glede na geometrijsko razlago zgornjega razmišljanja se lahko izrazi v smislu spektra moči in faznega spektra, kot sledi:

Zaradi

potem iz (2) in (3) sledi, da ga je mogoče obnoviti enolično, če so znani amplituda (ali spekter moči) in fazni spekter.

Razmislite o primeru. Dana nam je funkcija vmes

Splošni pogled na Fourierjev niz:

Nadomestite naše vrednosti in dobite:

Zamenjajte svoje vrednosti in dobite.

UPORABA FOURIEREVEGA VRSTA ZA NAPOVEDOVANJE IN OPTIMIZACIJO OSKRBE TRGOVSKEGA PODJETJA NA DEBELO Z VIDIKA UPRAVLJANJA LASTNEGA IN NAJETEGA TRANSPORTA

Gorlach Boris Alekseevich 1 , Shigaeva Natalia Valerievna 2
1 Samara State Aerospace University poimenovana po akademiku S.P. Koroleva (NRU), doktor tehničnih znanosti, profesor
2 Samara State Aerospace University poimenovana po akademiku S.P. Kraljica (NRU)

opomba
Prispevek obravnava mehanizem za modeliranje naključnega procesa (za statistične podatke o podjetju) z uporabo aparata harmonične analize. Rešen je bil problem racionalne porazdelitve količine zalog surovin med lastnimi in najetimi vozili z namenom znižanja stroškov skladiščenja izdelkov.

APLIKACIJA FOURIEREVE SERIJE ZA NAPOVEDOVANJE IN OPTIMIZACIJO STROŠKOV DOSTAVE

Gorlach Boris Alekseevich 1, Shigaeva Nathalie Valerievna 2
1 Samara State Aerospace University, doktor tehničnih znanosti, profesor
2 Samarska državna vesoljska univerza

Povzetek
Obravnavan je mehanizem simulacije naključnega procesa (za podatke podjetja). Harmonična analiza je široko uporabljena pri modeliranju stroškov podjetja. Rešen je problem racionalne porazdelitve dobav surovin med lastnim in najetim transportom.

Bibliografska povezava do članka:
Gorlach B.A., Shigaeva N.V. Uporaba Fourierjevih nizov za napovedovanje in optimizacijo ponudbe veleprodajnega podjetja v smislu upravljanja lastnega in najetega transporta // Ekonomika in upravljanje inovativnih tehnologij. 2014. št. 7 [Elektronski vir]..02.2019).

Uvod. Stroški podjetja za ustvarjanje skladiščnega sistema za blago ustvarjajo potrebo po racionalni distribuciji zalog. Rešitev problema upravljanja dobave je povezana s spremembo potreb podjetja po surovinah. Za razvoj racionalnega modela distribucije je bila izvedena obdelava statističnih podatkov podjetja o povpraševanju po surovinah.

Članek je sestavljen iz naslednjih delov: izgradnja modela naključnega procesa, optimizacija ponudbe na primeru poenostavljenega modela in na primeru realnih podatkov.

Prvi del. Konstrukcija matematičnega modela naključnega procesa.

V retrospektivnem obdobju je statistika skladiščenja vira v skladišču naslednja (Tabela 1). Predpostavlja se, da je niz statističnih podatkov Y i =Y(t i) podan v obliki časovne vrste.

Tabela 1 - Statistika povpraševanja po virih

Matematični modeli časovnih vrst ekonomskih procesov so praviloma predstavljeni kot niz 4 komponent: sezonski S, ciklični C, naključni ξ in trend U. Te komponente tvorijo aditivni model statističnih podatkov.

Komponenta U - trend - je izbrana tako, da ni v nasprotju z glavnim trendom spremembe proučevane funkcije in ne otežuje njene analize. V tem prispevku se izbira trenda izvaja s pomočjo Excelovih funkcij, pa tudi ročno z uporabo metode "normalnih enačb".

Po opravljenem postopku izbire najustreznejšega trenda se izvede normalizacija funkcije, ki omogoča simulacijo oscilacijske komponente. V tej študiji je oscilatorna komponenta izbrana z uporabo modela, ki je trigonometrična Fourierjeva vrsta:

.

Koeficienti Fourierove vrste so definirani na naslednji način :

Po iskanju 6 iteracij z orodji Excel je bila razkrita naslednja funkcija vibracijske komponente :

S(t) = -0,215sinπt/6 – 0,077cos πt/6 +0,003 sin 5pt/6+0,054cos 5pt/6+0,056cos pt

Dinamika dobave in skladiščenja vira v skladišču ter funkcionalna odvisnost količine vira po normalizaciji je prikazana na sliki 1.

Slika 1 - Oscilatorna komponenta za realne podatke

Izračunajmo koeficient determinacije za dobljeno funkcijo.

Koeficient determinacije za nastalo funkcijo je 0,75. Zato trend opisuje statistične podatke za 75 odstotkov, verjetnost, da nastala funkcija ne ustreza dejanskim statističnim vrednostim, pa je 0,25.

Drugi del. Optimizacija procesa dostave

Pri sestavljanju deleža v dobavi surovin je treba upoštevati več dejavnikov, ki vplivajo na kazalnik ekonomske učinkovitosti dobave:

Pravočasnost in pogostost dobav


Stroški dobave


Dovoljeni rok uporabnosti surovin


Zagotovitev podjetja s skladiščnimi prostori


Drugi dejavniki.

Oglejte si postopek optimizacije ponudbe na poenostavljenem grafikonu. Izločimo en harmonik v normiranem trendu (en člen harmonskega niza) in se omejimo na obravnavo ene periode. Dobimo naslednjo poenostavljeno funkcijo dobave:

V tem članku bomo obravnavali tri možnosti dostave.

1. Dobave se izvajajo samo z lastnim prevozom na ravni y=1, kar ustreza vrednosti s(t)=0.

Proces kopičenja virov v prvi polovici leta in porabe v drugi polovici leta je določen s formulo integrala funkcije na obravnavanem območju.

Akumulirana sredstva se v celoti porabijo v naslednjem polletju. Težava je v tem, da se količina skladišča v skladišču časovno preveč spreminja in jo je treba optimizirati.

2. Lastni prevoz zagotavlja zaloge, ki ustrezajo minimalni intenzivnosti porabe sredstev. Ta možnost je primerna za podjetje, če ima podjetje manj kapitala in si iz drugih razlogov ne more privoščiti transporta več kot minimalna raven potreb po virih, izgleda takole. Podjetje prejme manj virov v znesku, ki je enak območju integrala med s(t) in ravno črto, ki označuje minimalno raven zalog.

Predpostavimo, da se podjetje v prvi polovici leta odloči za najem vozila na ravni maksimalnih potreb po sredstvih, potem so prihranki v celoti porabljeni v drugi polovici leta.

3. Lasten transport zagotavlja dostavo na nivoju -h. Pomanjkanje sredstev nadomestimo z najemom prevoza.

Izračunamo raven ponudbe h iz pogoja enakosti akumulacijskih in odjemnih površin:

S prejeto vrednostjo h pomanjkanje virov brez najema izgleda takole:

Če povzamemo dobljene rezultate, je bil sestavljen splošni graf akumulacije/porabe, ki prikazuje, kako se optimalni načrt razlikuje v minimalni količini skladiščnih virov (slika 2).

Slika 2 - Minimizacija skladiščnih virov

Glede na graf vključitev najetih vozil pri optimizaciji skladiščenja v skladišču omogoča zmanjšanje specifične prostornine skladiščenja v skladišču do 10-krat, saj se je amplituda vrednosti akumulacijske funkcije zmanjšala z 10 enot na 1.

Del 3. Optimizacija dobavne verige z uporabo resničnih podatkov

Izvedba optimizacije dobave se začne z izbiro periode oscilacijske komponente (v našem primeru t i ϵ 11..23) in iskanjem presečišč funkcije s(t) z osjo Ox.

Ilustracija različice dinamike prejema in porabe vira v podjetju, v katerem najem prevoza ni zagotovljen, je prikazana na sliki 3.

Slika 3 - Kopičenje/poraba za prave podatke brez zakupa

Funkcija oscilacijske komponente izgleda takole:

S(t) = -0,215 sin πt/6-0,077cos πt/6 2pt/3+0,003 sin 5pt/6+0,054cos 5pt/6+0,056cos pt

Funkcija kopičenja:

Q = ∫S = (1/π)(0,215 *6* cos (πt/6)-0,077*6*sin (πt/6) +0,085*3*cos πt/3 – 0,013*3*sin πt/3 – 0,0013*2*cos πt/2+(0,023*2*sin πt/2+0,0349*6/4 cos 2πt/3+(0,0552*6/4)sin 2πt/3 – (0,0032*6/5) cos 5πt/6 + (0,0538*6/5)sin 5πt/6 + (0,0559*sin π t)

Določimo največje površine zaloge in porabe za funkcijo ponudbe, če je intenzivnost ponudbe s(t) enaka nič.

Tabela 2 - Določitev površin zalog in porabe virov

Tako je Q max =0,9078 največja možna količina virov, shranjenih v skladišču. Sredstva, nabrana v prvi polovici leta, se v celoti porabijo v drugi, saj trigonometrične funkcije imajo lastnost simetrije.

Optimizacija z vključevanjem najetih vozil je učinkovit način za znižanje stroškov skladiščenja vira v skladišču. Stopnja dobav podjetja z lastnim prevozom je podana z vrednostjo Y(t)=1-h, oz S(t)=-h iz pogoja enakosti površin akumulacije in porabe za pol leta (slika 4).

Slika 4 - Določitev višine dostav po najetih vozilih

V tem primeru bo potreben vir v količini, ki jo določa površina pravokotnika z višino h in osnova, ki sestavlja celoten interval upoštevanja, enaka (iz lastnosti simetrije) območju integrala ciklične komponente preko premice nivoja dobav z lastnim transportom. Podjetje najame prevoz za del obravnavanega intervala. Višina dobav z najetimi vozili bo določena iz enakosti območij pomanjkanja virov (2) in obsega najema (1), prikazanega na sliki 4.

Iskanje ravni h izvajati iterativno. Pri možnosti privabljanja najetih vozil je maksimalna raven skladiščenja zalog v skladišču enaka:

Najvišji nivo h* ugotovimo iz pogoja enakosti območij neizpolnjenega povpraševanja (1) po virih in obsega zalog (2), prikazanega na sliki 4. Višina najemnine je določena z vrednostjo h*=0,144.

Po optimizaciji je bilo ugotovljeno območje pretoka in rezerve:

Skupna površina rezerv se je zmanjšala z 0,9 na 0,5:

Qmax2 = 0,2016+ 0,3137=0,515

Tako je optimizacija procesa dostave z najetimi vozili povzročila 44-odstotno znižanje stroškov skladiščenja, kar kaže na uspešno opravljeno nalogo optimizacije.

Rezultati in zaključki. Predlagani algoritem za racionalno porazdelitev zalog med lastnim transportom podjetja in najetim Fourierjevim nizom med modeliranjem stroškovne funkcije temelji na značilnih lastnostih normaliziranega grafa trenda, upošteva omejitve skladiščnega prostora, rok uporabnosti surovin, ter zmanjša stroške skladiščenja (nivo skladiščenosti virov v skladišču) do 50%-krat za obravnavane podatke funkcije dobave. Tako je uporaba najetih vozil učinkovit način za znižanje skladiščnih stroškov ob visokih stroških najema in vzdrževanja skladiščnega prostora.

Bibliografski seznam

1. Saveliev G.L. Naloga optimizacije virov podjetja v pogojih cikličnih sprememb povpraševanja. - Samara: SSAU, 2010. - 30 strani.
2. Chuikova Yu.S. Optimizacija materialnega toka v problemu upravljanja zalog podjetja / Zbornik znanstvenih člankov "Upravljanje organizacijskih in ekonomskih sistemov". - Samara: SSAU, 2009. - str. 25-30.
3. Rardin R.L. Optimizacija v operacijskih raziskavah. Prentice Hall, 1998.

Ogledi objave: Prosim počakaj

Fourierjev niz je zapisan kot:

, kjer je k harmonično število.

Fourierjevi koeficienti za to vrsto so določeni s formulami:

Periodični signali so predstavljeni s Fourierjevim nizom v obliki:

, kjer je osnovna frekvenca;

Tu se koeficienti izračunajo po formulah:

Pogosto se uporablja druga oblika Fourierove vrste:

, Kje:

– amplituda k th harmonik; - začetna faza

Za udobje izračunov je Fourierjeva serija zapisana v kompleksni obliki:

Grafični prikaz časa in frekvence

Spekter periodičnega signala

začasna slika

(f)

Slika frekvence ASF

Podobno kot pri FChS, le da so lahko faze negativne.

Tak spekter imenujemo diskretni ali linijski, značilen je za periodični signal.

Spekter niza pravokotnih impulzov

Upoštevajte simetrično razporeditev impulzov

, kjer je delovni cikel.

Poiščite ničelne točke sinusa:

Prva ničelna točka je najpomembnejši spekter kvadratnega niza valov.

ASF zaporedja pravokotnih impulzov:

ω 1 ω 2 2π/t u 4π/t u

Glavnino energije nosijo harmoniki, ki se nahajajo od 0 do prve ničelne točke (približno 90% energije). To frekvenčno območje, kjer je skoncentrirano 90 % energije signala, imenujemo širina spektra (frekvenca) signala.

Za pravokotni impulz je širina spektra .

Vsak digitalni prenos signala zahteva več spektra kot preprost analogni prenos.

FFS zaporedja pravokotnih impulzov:

če sonce(x)>0 potem Ψ k =0

če sin(x)<0, то Ψ k = π

Vpliv trajanja in periode impulza na obliko spektra

Če se trajanje zmanjša, se osnovna frekvenca ne spremeni, ničelne točke se premaknejo v desno. Več komponent pade na prvo ničelno točko, kjer je koncentrirana glavna energija. Tehnično upoštevajte, da se spekter širi.

Če se trajanje impulza poveča, se spekter zoži.

Če se obdobje ponavljanja poveča, se osnovna frekvenca zmanjša. Če se obdobje ponavljanja zmanjša, se osnovna frekvenca poveča.

Spreminjanje položaja impulza ali izvora

To ne vpliva na ASF, spremeni se le fazni spekter. To se lahko odraža na podlagi izreka o zamudi:

Fazni spekter premaknjenega signala pri N=4:

Koncept izračuna vezij s periodičnimi signali

Metoda izračuna:

1. Določen je kompleksni spekter periodičnega signala;

2. Spekter se ovrednoti, pustijo se najpomembnejši harmoniki (prvi kriterij: izločijo se vsi, ki so manjši od 0,1 maksimalne harmonske amplitude);

Tokovi in ​​napetosti iz vsake komponente se izračunajo ločeno. Uporabite lahko zapleteno metodo izračuna.

Jaz 0 =0

Neharmonično funkcijo je mogoče oceniti z efektivno vrednostjo, tj. rms za obdobje:

Koncept spektra neperiodičnega signala

Neperiodični signali so najpomembnejši, saj prenašajo informacije. Periodični signali služijo za prenos informacij, nove informacije pa se ne prenašajo. Zato se postavlja vprašanje spektrov neperiodičnih signalov. Lahko jih poskusite dobiti z mejnim prehodom iz periodičnih signalov, usmerjanjem obdobja v neskončnost (). Samo še en signal je ostal. Poiščimo kompleksno amplitudo spektra posameznega signala: pri .

,

Neperiodični signal je mogoče razčleniti na neskončno vsoto harmoničnih komponent z neskončno majhnimi amplitudami, ki se razlikujejo po frekvenci za neskončno majhne vrednosti - To se imenuje zvezni spekter neperiodičnega signala, ne diskretnega. Za izračune se uporablja koncept nekompleksnih amplitud, kompleksna spektralna gostota amplitud pa je velikost amplitude na enoto frekvence.

To je direktna Fourierjeva transformacija (dvostranska).

V 10. poglavju je opisana uporaba Fourierjevih vrst pri preučevanju elastičnih nihanja strune. V tem poglavju bomo obravnavali nekatera vprašanja elastičnega upogibanja nosilcev.

Uporaba Fourierjevih serij za reševanje problemov statike elastičnih teles poteka po naslednji shemi.

Najprej je iz fizikalnih premislekov izpeljan odnos, ki povezuje funkcijo, ki opisuje geometrijsko stanje deformiranega telesa z obremenitvami, ki delujejo na telo. To razmerje na splošno vsebuje poleg same državne funkcije tudi njene izpeljanke ter nekatere integralne značilnosti.

Nato se na podlagi geometrijskih obrisov telesa in kinematičnih pogojev, ki omejujejo njegovo gibanje, izbere ortogonalni sistem funkcij, po katerem se navedena funkcija stanja razširi v Fourierjev niz.

Zamenjava te Fourierjeve vrste v izpeljano relacijo vodi do identične enakosti obeh Fourierjevih vrst, od koder lahko z uporabo 2. izreka 14. razdelka 9. poglavja preidemo na enakost koeficientov za identične funkcije. Iz teh zadnjih enakosti je mogoče izračunati vrednosti Fourierjevih koeficientov in tako opisati stanje deformiranega telesa.

Ta postopek zamenjave Fourierjeve vrste v razmerje, ki označuje upogib, je treba izvesti dovolj previdno, saj je pri tem potrebno večkrat diferencirati Fourierjevo vrsto po členih, katerih koeficienti se izračunajo šele naknadno. Prepričajte se o zakonitosti te diferenciacije, tj. (glej § 10 5. poglavja) enakomerne konvergence serije, sestavljene

iz izpeljanih členov diferenciabilne serije, je a priori precej težko. Zato bomo pri reševanju vsakega posameznega problema razmišljali približno takole.

Najprej bomo predpostavili, da je mogoče Fourierjevo vrsto, zapisano z doslej neznanimi koeficienti, (v smislu izreka § 10 5. poglavja) člen za členom diferencirati zahtevano število krat. Z zapisovanjem odvodov in reševanjem nastalih enačb bomo našli Fourierjeve koeficiente, ki nas zanimajo. To bo pomenilo, da če je Fourierjev niz primeren za diferenciacijo po členih (in poleg tega tolikokrat, kot je potrebno), potem je povsem določen, kar smo našli v bližini. Če bo zdaj, iz upoštevanja dobljenih koeficientov, razvidno, da je ta konstruirana, dobro definirana serija res diferencibilna po členih, potem so bile vse operacije, ki so bile dejansko izvedene na tej vrsti, zakonite in najdeni Fourierjevi koeficienti so tiste želene. Če se izkaže, da dobimo nediferenciabilno vrsto, potem to pomeni, da so bila prej izvedena dejanja z njo matematično napačna in je rezultat, dobljen na njihovi podlagi, nerazumen, čeprav morda pravilen. Nato si bomo ogledali primere rezultatov obeh vrst.

V mnogih primerih je naloga pridobivanja (izračunavanja) spektra signala naslednja. Obstaja ADC, ki s frekvenco vzorčenja Fd pretvarja zvezni signal, ki prihaja na njegov vhod v času T, v digitalne odčitke - N kosov. Nato se niz odčitkov vnese v določen program, ki izda N / 2 nekaterih številskih vrednosti (programer, ki potegnjen iz interneta napisal program, trdi, da izvaja Fourierjevo transformacijo).

Da bi preverili, ali program deluje pravilno, bomo oblikovali niz odčitkov kot vsoto dveh sinusoid sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) in ga potisnili v program. Program je potegnil naslednje:

sl.1 Graf časovne funkcije signala

sl.2 Graf spektra signala

Na spektralnem grafu sta dve palici (harmoniki) 5 Hz z amplitudo 0,5 V in 10 Hz - z amplitudo 1 V, vse kot v formuli originalnega signala. Vse je v redu, bravo programer! Program deluje pravilno.

To pomeni, da če uporabimo pravi signal iz mešanice dveh sinusoidov na vhod ADC, potem bomo dobili podoben spekter, sestavljen iz dveh harmonikov.

Skupaj, naš resnično izmerjeni signal, trajanje 5 sek, ki jih je ADC digitaliziral, tj diskretnašteje, ima diskretno neperiodično obseg.

Z matematičnega vidika - koliko napak je v tej frazi? Zdaj so se oblasti odločile, da smo se odločili, da je 5 sekund predolgo, izmerimo signal v 0,5 sekunde.
sl.3 Graf funkcije sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) za obdobje merjenja 0,5 s

sl.4 Funkcijski spekter

Nekaj ​​ni v redu! Harmonik 10 Hz je narisan normalno, vendar se je namesto palice 5 Hz pojavilo več nerazumljivih harmonikov. Gledamo na internetu, kaj in kako ...

Pravijo, da je treba na konec vzorca dodati ničle in spekter bo narisan normalno.

sl.5 Končane ničle do 5 sekund

sl.6 Dobili smo spekter

Še vedno ni to, kar je bilo pri 5 sekundah. Ukvarjati se moraš s teorijo. Pojdimo na Wikipedia- vir znanja.

2. Zvezna funkcija in njena predstavitev s Fourierjevim nizom

Matematično je naš signal s trajanjem T sekund določena funkcija f(x), podana na intervalu (0, T) (X je v tem primeru čas). Takšno funkcijo lahko vedno predstavimo kot vsoto harmoničnih funkcij (sinus ali kosinus) v obliki:

(1), kjer:

k - številka trigonometrične funkcije (število harmonske komponente, harmonično število) T - segment, kjer je funkcija definirana (trajanje signala) Ak - amplituda k-te harmonske komponente, θk - začetna faza k-te harmonske komponente

Kaj pomeni "predstaviti funkcijo kot vsoto vrste"? To pomeni, da bomo z dodajanjem vrednosti harmoničnih komponent Fourierjevega niza na vsaki točki dobili vrednost naše funkcije na tej točki.

(Natančneje, standardna deviacija vrste od funkcije f(x) se bo nagibala k ničli, vendar kljub standardni konvergenci Fourierjevi vrsti funkcije na splošno ni treba točkovno konvergirati k njej. Glej https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

To serijo lahko zapišemo tudi kot:

(2), kjer , k-ta kompleksna amplituda.

Razmerje med koeficientoma (1) in (3) je izraženo z naslednjima formulama:

Upoštevajte, da so vse te tri predstavitve Fourierove vrste popolnoma enakovredne. Včasih je pri delu s Fourierjevimi serijami bolj priročno uporabiti eksponente imaginarnega argumenta namesto sinusov in kosinusov, to je uporabiti Fourierjevo transformacijo v kompleksni obliki. Toda za nas je priročno uporabiti formulo (1), kjer je Fourierjeva serija predstavljena kot vsota kosinusnih valov z ustreznimi amplitudami in fazami. V vsakem primeru je napačno reči, da bodo rezultat Fourierjeve transformacije realnega signala kompleksne amplitude harmonikov. Kot pravilno pravi wiki, je "Fourierjeva transformacija (ℱ) operacija, ki preslika eno funkcijo realne spremenljivke v drugo funkcijo, prav tako realne spremenljivke."

Skupaj: Matematična osnova spektralne analize signalov je Fourierjeva transformacija.

Fourierjeva transformacija nam omogoča, da zvezno funkcijo f(x) (signal), definirano na segmentu (0, T), predstavimo kot vsoto neskončnega števila (neskončnega niza) trigonometričnih funkcij (sinus in/ali kosinus) z določenimi amplitudami. in faze, upoštevane tudi na segmentu (0, T). Takšno vrsto imenujemo Fourierjeva vrsta.

Opažamo še nekaj točk, katerih razumevanje je potrebno za pravilno uporabo Fourierjeve transformacije pri analizi signalov. Če upoštevamo Fourierjevo vrsto (vsoto sinusoidov) na celotni osi X, potem lahko vidimo, da bo zunaj segmenta (0, T) funkcija, ki jo predstavlja Fourierjeva vrsta, periodično ponavljala našo funkcijo.

Na primer, v grafu na sliki 7 je prvotna funkcija definirana na segmentu (-T \ 2, + T \ 2), Fourierjeva vrsta pa predstavlja periodično funkcijo, definirano na celotni osi x.

To je zato, ker so same sinusoide periodične funkcije, njihova vsota pa bo periodična funkcija.

sl.7 Predstavitev neperiodične izvirne funkcije s Fourierjevim nizom

Torej:

Naša začetna funkcija je zvezna, neperiodična, definirana na določenem odseku dolžine T. Spekter te funkcije je diskreten, to pomeni, da je predstavljen kot neskončen niz harmoničnih komponent - Fourierjev niz. Pravzaprav je določena periodična funkcija določena s Fourierjevim nizom, ki sovpada z našim na segmentu (0, T), vendar ta periodičnost za nas ni bistvena.

Periode harmoničnih komponent so večkratniki segmenta (0, T), na katerem je definirana izvirna funkcija f(x). Z drugimi besedami, harmonične periode so večkratniki trajanja merjenja signala. Na primer, perioda prvega harmonika Fourierovega niza je enaka intervalu T, na katerem je definirana funkcija f(x). Perioda drugega harmonika Fourierovega niza je enaka intervalu T/2. In tako naprej (glej sliko 8).

sl.8 Periode (frekvence) harmoničnih komponent Fourierove vrste (tu T=2π)

V skladu s tem so frekvence harmoničnih komponent večkratniki 1/T. To pomeni, da so frekvence harmoničnih komponent Fk enake Fk= k\T, kjer se k giblje od 0 do ∞, na primer k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (pri ničelni frekvenci - konstantna komponenta).

Naj bo naša prvotna funkcija signal, posnet T=1 s. Takrat bo perioda prvega harmonika enaka trajanju našega signala T1=T=1 sek in frekvenca harmonika 1 Hz. Perioda drugega harmonika bo enaka trajanju signala, deljenemu z 2 (T2=T/2=0,5 s), frekvenca pa 2 Hz. Za tretji harmonik je T3=T/3 s in frekvenca 3 Hz. In tako naprej.

Korak med harmoniki je v tem primeru 1 Hz.

Tako lahko signal s trajanjem 1 sekunde razgradimo na harmonične komponente (da dobimo spekter) s frekvenčno ločljivostjo 1 Hz. Za povečanje ločljivosti za 2-krat na 0,5 Hz je potrebno podaljšati trajanje meritve za 2-krat - do 2 sekundi. Signal s trajanjem 10 sekund je mogoče razstaviti na harmonične komponente (da dobimo spekter) s frekvenčno ločljivostjo 0,1 Hz. Ni drugih načinov za povečanje frekvenčne ločljivosti.

Obstaja način za umetno povečanje trajanja signala z dodajanjem ničel nizu vzorcev. Vendar ne poveča dejanske frekvenčne ločljivosti.

3. Diskretni signali in diskretna Fourierjeva transformacija

Z razvojem digitalne tehnologije so se spremenili tudi načini shranjevanja merilnih podatkov (signalov). Če je bilo prej mogoče signal posneti na magnetofon in ga shraniti na trak v analogni obliki, so sedaj signali digitalizirani in shranjeni v datotekah v pomnilniku računalnika kot niz številk (counts).

Običajna shema za merjenje in digitalizacijo signala je naslednja.

sl.9 Shema merilnega kanala

Signal iz merilnega pretvornika prispe na ADC v času T. Vzorci signala (vzorec), dobljeni v času T, se prenesejo v računalnik in shranijo v pomnilnik.

sl.10 Digitaliziran signal - N odčitkov, prejetih v času T

Kakšne so zahteve za parametre digitalizacije signala? Naprava, ki pretvori vhodni analogni signal v diskretno kodo (digitalni signal), se imenuje analogno-digitalni pretvornik (ADC, angleško Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Eden od glavnih parametrov ADC je največja stopnja vzorčenja (ali hitrost vzorčenja, angleška stopnja vzorčenja) - pogostost jemanja vzorcev signala, neprekinjenega v času med njegovim vzorčenjem. Merjeno v hertzih. ((Wiki))

V skladu s Kotelnikovim izrekom, če ima zvezni signal spekter, omejen s frekvenco Fmax, ga je mogoče popolnoma in edinstveno obnoviti iz njegovih diskretnih vzorcev, vzetih v časovnih intervalih , tj. s frekvenco Fd ≥ 2*Fmax, kjer je Fd frekvenca vzorčenja; Fmax - največja frekvenca spektra signala. Z drugimi besedami, stopnja vzorčenja signala (ADC sampling rate) mora biti vsaj dvakrat večja od največje frekvence signala, ki ga želimo izmeriti.

In kaj se bo zgodilo, če bomo odčitavali z nižjo frekvenco, kot zahteva Kotelnikov izrek?

V tem primeru pride do učinka »aliasinga« (aka stroboskopski učinek, moiré efekt), pri katerem se visokofrekvenčni signal po digitalizaciji spremeni v nizkofrekvenčni signal, ki dejansko ne obstaja. Na sl. 11 visokofrekvenčni rdeči sinusni val je pravi signal. Nižjefrekvenčni modri sinusni val je navidezni signal, ki izhaja iz dejstva, da lahko med časom vzorčenja preteče več kot polovica obdobja visokofrekvenčnega signala.

riž. 11. Pojav lažnega nizkofrekvenčnega signala, ko stopnja vzorčenja ni dovolj visoka

Da bi se izognili učinku aliasinga, je pred ADC nameščen poseben anti-aliasing filter - LPF (low-pass filter), ki prepušča frekvence pod polovico frekvence vzorčenja ADC, višje frekvence pa odreže.

Za izračun spektra signala iz njegovih diskretnih vzorcev se uporablja diskretna Fourierjeva transformacija (DFT). Ponovno ugotavljamo, da je spekter diskretnega signala "po definiciji" omejen s frekvenco Fmax, ki je manjša od polovice frekvence vzorčenja Fd. Zato lahko spekter diskretnega signala predstavimo z vsoto končnega števila harmonikov, v nasprotju z neskončno vsoto za Fourierjev niz zveznega signala, katerega spekter je lahko neomejen. Po izreku Kotelnikova mora biti največja harmonska frekvenca takšna, da zajema vsaj dva vzorca, tako da je število harmonikov enako polovici števila vzorcev diskretnega signala. To pomeni, da če je v vzorcu N vzorcev, bo število harmonikov v spektru enako N/2.

Razmislite zdaj o diskretni Fourierjevi transformaciji (DFT).

Primerjava s Fourierjevim nizom

vidimo, da sovpadata, le da je čas v DFT diskreten in je število harmonikov omejeno na N/2 - polovico števila vzorcev.

Formule DFT so zapisane v brezdimenzionalnih celoštevilskih spremenljivkah k, s, kjer so k števila vzorcev signala, s pa števila spektralnih komponent. Vrednost s prikazuje število polnih nihanj harmonika v periodi T (trajanje merjenja signala). Diskretna Fourierjeva transformacija se uporablja za numerično iskanje amplitud in faz harmonikov, tj. "na računalniku"

Če se vrnem k rezultatom, pridobljenim na začetku. Kot je navedeno zgoraj, pri razširitvi neperiodične funkcije (našega signala) v Fourierjevo vrsto nastala Fourierjeva vrsta dejansko ustreza periodični funkciji z obdobjem T. (slika 12).

sl.12 Periodična funkcija f(x) s periodo Т0, z merilno periodo Т>T0

Kot je razvidno iz slike 12, je funkcija f(x) periodična s periodo Т0. Vendar pa zaradi dejstva, da trajanje merilnega vzorca T ne sovpada s periodo funkcije T0, ima funkcija, dobljena kot Fourierjeva vrsta, diskontinuiteto v točki T. Posledično bo spekter te funkcije vsebujejo veliko število visokofrekvenčnih harmonikov. Če bi trajanje merilnega vzorca T sovpadalo s periodo funkcije T0, bi bil v spektru, dobljenem po Fourierjevi transformaciji, prisoten samo prvi harmonik (sinusoida s periodo, ki je enaka trajanju vzorca), saj je funkcija f (x) je sinusoida.

Z drugimi besedami, program DFT "ne ve", da je naš signal "kos sinusnega vala", ampak poskuša predstaviti periodično funkcijo kot serijo, ki ima vrzel zaradi nekonsistentnosti posameznih delov sinusni val.

Posledično se v spektru pojavijo harmoniki, ki naj bi skupaj predstavljali obliko funkcije, vključno s to diskontinuiteto.

Da torej dobimo "pravilen" spekter signala, ki je vsota več sinusoidov z različnimi periodami, je potrebno, da se na periodo merjenja signala prilega celo število period vsake sinusoide. V praksi je ta pogoj lahko izpolnjen pri dovolj dolgem trajanju merjenja signala.

Sl.13 Primer funkcije in spektra signala kinematične napake menjalnika

S krajšim trajanjem bo slika videti "slabša":

Slika 14 Primer delovanja in spektra vibracijskega signala rotorja

V praksi je lahko težko razumeti, kje so »prave komponente« in kje so »artefakti«, ki nastanejo zaradi nemnožnosti obdobij komponent in trajanja vzorca signala ali »skokov in prelomov« valovna oblika. Besedi "prave komponente" in "artefakti" seveda nista zaman naveden. Prisotnost številnih harmonikov na spektralnem grafu ne pomeni, da je naš signal dejansko "sestavljen" iz njih. To je tako, kot bi mislili, da je število 7 "sestavljeno" iz števil 3 in 4. Število 7 lahko predstavimo kot vsoto števil 3 in 4 - to je pravilno.

Tako tudi naš signal ... ali bolje rečeno, niti ne "naš signal", ampak periodično funkcijo, ki jo sestavimo s ponavljanjem našega signala (vzorčenje), lahko predstavimo kot vsoto harmonikov (sinusoidov) z določenimi amplitudami in fazami. Toda v mnogih primerih, ki so pomembni za prakso (glej zgornje slike), je res mogoče harmonike, dobljene v spektru, povezati z resničnimi procesi, ki so po naravi ciklični in pomembno prispevajo k obliki signala.

Nekaj ​​rezultatov

1. Realni izmerjeni signal, trajanje T s, digitaliziran z ADC, to je predstavljen z nizom diskretnih vzorcev (N kosov), ima diskretni neperiodični spekter, predstavljen z nizom harmonikov (N/2 kosa). ).

2. Signal je predstavljen z nizom realnih vrednosti in njegov spekter je predstavljen z nizom realnih vrednosti. Harmonične frekvence so pozitivne. Dejstvo, da je za matematike bolj priročno predstaviti spekter v kompleksni obliki z uporabo negativnih frekvenc, ne pomeni, da je "to prav" in "je treba vedno delati tako".

3. Signal, izmerjen na časovnem intervalu T, je določen samo na časovnem intervalu T. Kaj se je zgodilo, preden smo začeli meriti signal, in kaj se bo zgodilo po tem - tega znanost ne ve. In v našem primeru - ni zanimivo. DFT časovno omejenega signala daje njegov "pravi" spekter, v smislu, da pod določenimi pogoji omogoča izračun amplitude in frekvence njegovih komponent.

Rabljeni materiali in drugi uporabni materiali.

FourierScope je program za konstruiranje radijskih signalov in njihovo spektralno analizo. Graph je odprtokodni program za ustvarjanje matematičnih grafov. DISKRETNA FOURIEREVA TRANSFORMACIJA - KAKO SE IZVAJA Diskretna Fourierjeva transformacija (DFT)