Teorija iger v ekonomiji in na drugih področjih človekove dejavnosti. Osnovni koncepti teorije iger in modeli iger

Kot rezultat preučevanja tega poglavja bi moral študent:

vedeti

Pojmi iger po principu prevlade, Nashevo ravnovesje, kaj je povratna indukcija itd.; konceptualni pristopi k reševanju igre, pomen koncepta racionalnosti in ravnovesja v okviru interakcijske strategije;

biti sposoben

Razlikovati igre v strateških in razširjenih oblikah, zgraditi »drevo iger«; oblikujejo igralne modele konkurence za različne vrste trgov;

lasten

Metode za določanje izida igre.

Igre: osnovni pojmi in principi

Prvi poskus ustvarjanja matematične teorije iger je leta 1921 naredil E. Borel. Teorija iger je bila kot samostojno znanstveno področje prvič sistematično predstavljena v monografiji "Teorija iger in ekonomsko vedenje" avtorjev J. von Neumanna in O. Morgensterna leta 1944. Od takrat so številni deli ekonomske teorije (npr. nepopolna konkurenca, teorija ekonomskih spodbud itd.) se je razvila v tesnem stiku s teorijo iger. Teorija iger se uspešno uporablja tudi v družboslovju (na primer analiza volilnih postopkov, iskanje ravnotežnih konceptov, ki določajo kooperativno in nekooperativno vedenje posameznikov). Volivci praviloma zavračajo kandidate, ki zastopajo ekstremna stališča, pri izbiri enega od dveh kandidatov, ki ponujata različne kompromisne rešitve, pa nastane boj. Tudi Rousseaujeva ideja evolucije od "naravne svobode" do "civilne svobode" formalno ustreza vidiku sodelovanja z vidika teorije iger.

Igra- gre za idealiziran matematični model kolektivnega obnašanja več oseb (igralcev), katerih interesi so različni, kar povzroča konflikt. Konflikt ne pomeni nujno prisotnosti antagonističnih protislovij strani, ampak je vedno povezan z določeno vrsto nesoglasja. Konfliktna situacija bo antagonistična, če povečanje izplačila ene od strani za določen znesek povzroči zmanjšanje izplačila druge strani za enak znesek in obratno. Nasprotje interesov generira konflikt, sovpadanje interesov pa zreducira igro na usklajevanje dejanj (sodelovanje).

Primeri konfliktne situacije so situacije, ki se razvijejo v odnosu med kupcem in prodajalcem; v pogojih konkurence različnih podjetij; med sovražnostmi itd. Primeri iger so tudi običajne igre: šah, dama, igre s kartami, salonske igre itd. (od tod ime "teorija iger" in njena terminologija).

V večini iger, ki izhajajo iz analize finančnih, ekonomskih in upravljavskih situacij, interesi igralcev (stran) niso niti strogo antagonistični niti absolutno sovpadajoči. Kupec in prodajalec se strinjata, da je v njunem skupnem interesu, da se dogovorita o prodaji, vendar se živahno pogajata za izbiro določene cene v mejah obojestranske koristi.

Teorija iger je matematična teorija konfliktnih situacij.

Igra se od pravega konflikta razlikuje po tem, da poteka po določenih pravilih. Ta pravila določajo zaporedje potez, količino informacij, ki jih ima vsaka stran o vedenju druge strani, in izid igre glede na situacijo. Pravila določajo tudi konec igre, ko je določeno zaporedje potez že izvedeno in nobena več potez ni dovoljena.

Teorija iger ima, tako kot vsak matematični model, svoje omejitve. Eden od njih je predpostavka o popolni (idealni) razumnosti nasprotnikov. V resničnem konfliktu je pogosto najboljša strategija uganiti, kaj je sovražnik neumen, in to neumnost uporabiti v svojo korist.

Druga slabost teorije iger je, da mora vsak od igralcev poznati vse možne nasprotnikove akcije (strategije), ve se le, katere od njih bo uporabil v dani igri. V resničnem spopadu običajno ni tako: seznam vseh možnih sovražnikovih strategij je natančno neznan in najboljša rešitev v konfliktni situaciji bo pogosto preseči sovražnikove znane strategije in ga »omamiti« z nekaj povsem novega, nepredvidenega.

Teorija iger ne vključuje elementov tveganja, ki neizogibno spremljajo razumne odločitve v resničnih konfliktih. Določa najbolj previdno, pozavarovalno vedenje udeležencev v konfliktu.

Poleg tega se v teoriji iger najdejo optimalne strategije glede na en indikator (merilo). V praktičnih situacijah je pogosto treba upoštevati ne eno, ampak več številčnih meril. Strategija, ki je optimalna v enem merilu, morda ni optimalna v drugem.

Če se zavedamo teh omejitev in se torej ne držimo slepo priporočil, ki jih dajejo teorije iger, je še vedno mogoče razviti povsem sprejemljivo strategijo za številne resnične konfliktne situacije.

Trenutno se izvajajo znanstvene raziskave, katerih cilj je razširiti področja uporabe teorije iger.

V literaturi najdemo naslednje definicije elementov, ki sestavljajo igro.

Igralci- to so subjekti, vključeni v interakcijo, predstavljeni v obliki igre. V našem primeru so to gospodinjstva, podjetja, država. Vendar pa je v primeru negotovosti zunanjih okoliščin precej priročno predstaviti naključne komponente igre, ki niso odvisne od vedenja igralcev, kot dejanja "narave".

Pravila igre. Pravila igre so nizi dejanj ali potez, ki so na voljo igralcem. V tem primeru so lahko dejanja zelo raznolika: odločitve kupcev o količini kupljenega blaga ali storitev; podjetja - glede obsega proizvodnje; raven davkov, ki jih uvede vlada.

Določitev izida (rezultata) igre. Za vsako kombinacijo dejanj igralcev se izid igre določi skoraj mehansko. Rezultat je lahko: sestava potrošniške košarice, vektor outputov podjetja ali niz drugih kvantitativnih indikatorjev.

Dobitki. Pomen, pripisan konceptu zmage, se lahko razlikuje za različne vrste iger. Hkrati je treba jasno razlikovati med dobički, merjenimi na ordinalni lestvici (na primer raven uporabnosti), in vrednostmi, za katere je smiselna intervalna primerjava (na primer dobiček, raven blaginje).

Informacije in pričakovanja. Negotovost in stalno spreminjajoče se informacije lahko zelo resno vplivajo na možne rezultate interakcije. Zato je treba upoštevati vlogo informacije pri razvoju igre. V zvezi s tem koncept nabor informacij igralec, tj. celoto vseh informacij o stanju igre, ki jih ima v ključnih trenutkih.

Ko razmišljamo o dostopu igralcev do informacij, je intuitivna ideja splošnega znanja oz publiciteta, kar pomeni naslednje: dejstvo je dobro znano, če se ga vsi igralci zavedajo in vsi igralci vedo, da zanj vedo tudi drugi igralci.

Za primere, ko uporaba koncepta splošnega znanja ni dovolj, se uporablja koncept individualnega pričakovanja udeleženci - ideje o tem, kakšna je situacija v igri na tej stopnji.

V teoriji iger se predpostavlja, da je igra sestavljena iz premika, izvajajo igralci hkrati ali zaporedno.

Poteze so osebne in naključne. Premik se imenuje osebno,če jo igralec zavestno izbere iz nabora možnih možnosti za dejanje in jo izvede (na primer katera koli poteza v šahovski igri). Premik se imenuje naključen,če njegove izbire ne opravi igralec, temveč nek naključni izbirni mehanizem (na primer na podlagi rezultatov metanja kovanca).

Imenuje se niz potez, ki so jih igralci naredili od začetka do konca igre zabava.

Eden od osnovnih konceptov teorije iger je koncept strategije. strategijo igralec se imenuje niz pravil, ki določajo izbiro različice dejanja za vsako osebno potezo, odvisno od situacije, ki se je razvila med igro. Pri enostavnih igrah (z eno potezo), ko lahko igralec naredi samo eno potezo v vsaki igri, koncepta strategije in možnega poteka dejanj sovpadata. V tem primeru celota igralčevih strategij zajema vse njegove možne akcije in vse možne za igralca jaz akcija je njegova strategija. V zapletenih igrah (z več potezami) se lahko pojma "različica možnih dejanj" in "strategija" med seboj razlikujeta.

Igralčeva strategija se imenuje optimalno,če danemu igralcu zagotovi največji možni povprečni dobiček ali najmanjšo možno povprečno izgubo, ne glede na to, katere strategije uporablja nasprotnik, ko se igra večkrat ponovi. Uporabimo lahko tudi druge kriterije optimalnosti.

Možno je, da strategija, ki zagotavlja največji izkupiček, nima druge pomembne predstavitve optimalnosti, kot je stabilnost (ravnovesje) rešitve. Rešitev igre je trajnostno(ravnovesje), če strategije, ki ustrezajo tej odločitvi, tvorijo situacijo, ki je noben od igralcev ne želi spremeniti.

Ponavljamo, da je naloga teorije iger iskanje optimalnih strategij.

Razvrstitev iger je prikazana na sl. 8.1.

  • 1. Glede na vrste potez se igre delijo na strateške in igre na srečo. igre na srečo igre so sestavljene le iz naključnih potez, s katerimi pa se teorija iger ne ukvarja. Če poleg naključnih potez obstajajo osebne poteze ali so vse poteze osebne, se takšne igre imenujejo strateško.
  • 2. Glede na število igralcev se igre delijo na igre dvojic in večkratnikov. IN igra dvojicštevilo udeležencev je dva večkraten- več kot dva.
  • 3. Udeleženci v večkratni igri lahko tvorijo koalicije, stalne ali začasne. Glede na naravo odnosa med igralci se igre delijo na nekooperativne, koalicijske in kooperativne.

Nekoalicijski imenovane igre, pri katerih igralci nimajo pravice sklepati dogovorov, sklepati koalicij, cilj vsakega igralca pa je pridobiti čim večji individualni dobiček.

Igre, pri katerih so dejanja igralcev usmerjena v maksimiranje izplačil kolektivov (koalicij) brez njihove kasnejše razdelitve med igralce, se imenujejo koalicija.

riž. 8.1.

Eksodus zadruga igra je delitev koalicijskega izplačila, ki ne nastane kot posledica določenih dejanj igralcev, ampak kot rezultat njihovih vnaprej določenih dogovorov.

V skladu s tem se v sodelovalnih igrah ne primerjajo situacije glede na prednost, kot je to v primeru nekooperativnih iger, ampak delitve; in primerjava ni omejena na upoštevanje posameznih dobičkov, ampak je bolj kompleksna.

  • 4. Glede na število strategij za posameznega igralca se igre delijo na dokončno(število strategij za vsakega igralca je končno) in neskončno(nabor strategij za vsakega igralca je neskončen).
  • 5. Glede na količino informacij, ki so igralcem na voljo glede preteklih potez, se igre delijo na igre s popolne informacije(vse informacije o prejšnjih selitvah so na voljo) in nepopolne informacije. Primeri iger s popolnimi informacijami so šah, dama ipd.
  • 6. Igre po vrsti opisa delimo na pozicijske igre (oz. igre v razširjeni obliki) in igre v običajni obliki. Pozicijske igre so podani v obliki igralnega drevesa. Toda vsako pozicijsko igro je mogoče zmanjšati na normalna oblika, pri kateri vsak igralec naredi le eno samostojno potezo. V pozicijskih igrah se poteze izvedejo ob ločenih trenutkih. obstajati diferencialne igre, v kateri se premiki izvajajo neprekinjeno. Te igre preučujejo probleme zasledovanja nadzorovanega predmeta s strani drugega nadzorovanega predmeta, pri čemer upoštevajo dinamiko njihovega obnašanja, ki je opisano z diferencialnimi enačbami.

Tukaj so tudi reflektivne igre, ki obravnavajo situacije glede na miselno reprodukcijo možnega poteka dejanj in obnašanja sovražnika.

7. Če ima katera koli možna igra neke igre ničelno vsoto izplačil vseh n players(), potem se pogovorite o igra z ničelno vsoto. V nasprotnem primeru se igre imenujejo igre z neničelno vsoto.

Jasno je, da je igra parov z ničelno vsoto antagonistično saj je dobiček enega igralca enak izgubi drugega in so posledično cilji teh igralcev direktno nasprotni.

Imenuje se končna igra z ničelno vsoto po parih matrična igra. Takšno igro opisuje matrika izplačil, v kateri so podani izkupički prvega igralca. Številka vrstice matrike ustreza številki uporabljene strategije prvega igralca, stolpec ustreza številki uporabljene strategije drugega igralca; na presečišču vrstice in stolpca je ustrezen dobiček prvega igralca (izguba drugega igralca).

Imenuje se igra končnih parov z vsoto, ki ni nič bimatrična igra. Takšno igro opisujeta dve izplačilni matriki, vsaka za ustreznega igralca.

Vzemimo naslednji primer. Igra "Record". Naj bo igralec 1 študent, ki se pripravlja na test, igralec 2 pa učitelj, ki opravlja test. Predpostavimo, da ima študent dve strategiji: A1 - dobro se pripraviti na test; A 2 - ne pripravite se. Učitelj ima tudi dve strategiji: B1 - naredi test; B 2 - ne odpravljaj se. Ocena vrednosti izplačil igralcev lahko na primer temelji na naslednjih premislekih, ki se odražajo v matrikah izplačil:

Ta igra je v skladu z zgornjo klasifikacijo strateška, parna, nekooperativna, končna, opisana v normalni obliki, z vsoto, ki ni enaka nič. Na kratko lahko to igro imenujemo bimatrix.

Naloga je določiti optimalne strategije za učenca in za učitelja.

Še en primer znane bimatrične igre Prisoner's Dilemma.

Vsak od obeh igralcev ima dve strategiji: A 2 in B 2 – strategije agresivnega vedenja, a A jaz in B i - mirno vedenje. Recimo, da je "mir" (oba igralca sta miroljubna) boljši za oba igralca kot "vojna". Primer, ko je en igralec agresiven, drugi pa miroljuben, je bolj donosen za agresorja. Naj imata izplačilni matriki igralcev 1 in 2 v tej bimatrični igri obliko

Pri obeh igralcih prevladujeta agresivni strategiji A2 in B2 nad miroljubnima strategijama Axe in B v Tako ima edino ravnotežje v prevladujočih strategijah obliko (A2, B 2), tj. domneva se, da je rezultat nekooperativnega vedenja vojna. Hkrati izid (A1, B1) (svet) daje večji izkupiček za oba igralca. Tako nekooperativno egoistično vedenje pride v nasprotje s kolektivnimi interesi. Kolektivni interesi narekujejo izbiro miroljubnih strategij. Hkrati je, če si igralca ne izmenjujeta informacij, najverjetnejši izid vojna.

V tem primeru je situacija (A1, B1) Pareto optimalna. Vendar je to stanje nestabilno, kar vodi v možnost kršitve dogovora s strani igralcev. Dejansko, če prvi igralec prekrši dogovor, drugi pa ne, se bo dobiček prvega igralca povečal na tri, drugega pa bo padel na nič in obratno. Poleg tega vsak igralec, ki ne prekrši dogovora, izgubi več, če drugi igralec prekrši dogovor, kot če oba kršita dogovor.

Obstajata dve glavni obliki igre. igra v obsežna oblika predstavljen kot diagram "drevesa" odločanja, pri čemer "koren" ustreza začetni točki igre in začetek vsake nove "veje", imenovane vozel,- doseženo stanje na tej stopnji z danimi dejanji, ki so jih igralci že izvedli. Vsakemu končnemu vozlišču - vsaki končni točki igre - je dodeljen vektor izplačila, ena komponenta za vsakega igralca.

strateško, drugače imenovano normalna, oblika Predstavitev igre ustreza večdimenzionalni matriki, pri čemer vsaka dimenzija (vrstice in stolpci v dvodimenzionalnem primeru) vključuje niz možnih dejanj za enega agenta.

Ločena celica matrike vsebuje vektor izplačil, ki ustreza dani kombinaciji strategij igralcev.

Na sl. 8.2 predstavlja obširno obliko igre, v tabeli pa. 8.1 - strateška oblika.

riž. 8.2.

Tabela 8.1. Igra s sočasnim odločanjem v strateški obliki

Obstaja dokaj podrobna klasifikacija komponent teorije iger. Eden najsplošnejših kriterijev za takšno razvrstitev je delitev teorije iger na teorijo nekooperativnih iger, v kateri so subjekti odločanja posamezniki sami, in teorijo kooperativnih iger, v kateri subjekti odločanja so skupine ali koalicije posameznikov.

Nekooperativne igre so običajno predstavljene v običajni (strateški) in razširjeni (ekstenzivni) obliki.

  • Vorobjov N. n. Teorija iger za eko-jomiste-kiberiste. Moskva: Nauka, 1985.
  • Wentzel E. S. Operacijske raziskave. Moskva: Nauka, 1980.

V vsaki situaciji se držimo določene strategije. To se običajno zgodi nezavedno, zato so pogoste napake. Lahko se jim izognete, če se naučite uganiti dejanja druge osebe.

Vzemimo za primer zmenke. Vsi izberemo eno glavno strategijo: poskušamo skriti negativne lastnosti značaja in pokazati pozitivne.

Dokler vam ne povem, da vsak večer rad poležim ob pivu na kavču. Ti povem, ko me bo bolje spoznala in ugotovila, da sem sicer v redu.

Pavel, strokovnjak za sedežne garniture

Takšna strategija ni laž, ampak molk.

Primer

Predstavljajte si situacijo: moški in ženska se srečata več mesecev in enkrat. Moški ima majhno stanovanje, zato je logično, da govorimo o selitvi v ženino stanovanje.

Moram reči, da moški dela kot ekonomist. Analiziral je situacijo in ugotovil, da zavrnitev najema stanovanja še ni donosna. Zdaj plačuje malo denarja in v primeru prekinitve odnosov ne bo našel enako dobre možnosti. Ženska, ko je izvedela za to, takoj zapusti gospoda.

Kaj je bilo narobe s tem parom? Človek, ki je pravilno izračunal situacijo z ekonomskega vidika, ni upošteval psihološkega dejavnika. Ženska je gesto s stanovanjem razumela kot lahkomiselnost namenov. Ni pa pomislila, da se njen fant - ekonomist zato odloča predvsem s položaja "donosno - nedonosno". Tako sta to igro izgubila oba udeleženca.

Kaj storiti

Izračunajte ne samo svoja dejanja, ampak tudi odziv drugih ljudi. Pogosto se vprašajte: kako si lahko razlagam svoje dejanje? Nasvet posebej za moške: razložite svoja dejanja in ne pozabite, da je vsaka zadržanost izgovor, da vaša druga polovica sanjari. Strateško razmišljanje ni samo matematika, ampak tudi psihologija!

2. Igra za 90 točk

Uganke, naloge in logika po učenju teorije iger ne bodo več problem. Naučili se boste poiskati vse obstoječe odgovore in med njimi izbrati najprimernejšega.

Primer

Dva študenta sta profesorja prosila za preložitev izpita. Povedali so srce parajočo zgodbo o vikend izletu v drugo mesto, da bi jim na poti nazaj počila guma. Pomoč so morali iskati celo noč, zato niso dovolj spali in se slabo počutili. (Pravzaprav so prijatelji praznovali konec seje in ta izpit je bil zadnji in ne najtežji.)

Profesor se je strinjal. Naslednji dan je učence razporedil po različnih učilnicah in jim razdelil list papirja, na katerem sta bili samo dve vprašanji. Prvi je stal le 10 točk, drugi pa 90 in je zvenel takole: "Katera pnevmatika je bila prazna?"

Če se zanašate na logiko, potem bo odgovor "Desno sprednje kolo": na desni, bližje robniku, najpogosteje leži kakršna koli smeti, ki jo najprej povozi sprednja pnevmatika. Ampak ne hitite.

V tej situaciji je pomembno podati ne toliko pravilen (logičen) odgovor kot odgovor, ki bo napisan na prijateljevem listu papirja.

Zato je očitno, da bosta oba učenca ugibala na podlagi predpostavke, kot misli drugi.

Lahko trdite takole: ali imajo učenci nekaj "skupnega" z enim od koles? Morda sta pred letom morala skupaj zamenjati kakšno kolo. Ali pa je ena pnevmatika prekrita z barvo in oba učenca to vesta. Če se najde tak trenutek, je treba izbrati to možnost. Tudi če drug študent ne pozna teorije iger, se lahko spomni tega primera in pokaže na pravo kolo.

Kaj storiti

Pri sklepanju se ne zanašajte le na logiko, ampak tudi na življenjske okoliščine. Ne pozabite: ni vse, kar je logično za vas, logično tudi za drugega. Pogosteje povabite prijatelje in družino k miselnim igram. To vam bo omogočilo, da razumete, kako razmišljajo ljudje, ki so vam blizu, in se v prihodnosti izognete težkim situacijam, kot je v zgornjem primeru.

3. Igrajte se sami s seboj

Poznavanje strateških iger pomaga globlje analizirati lastne odločitve.

Primer

Neka Olga se odloči, ali bo poskusila kaditi ali ne.

igralno drevo

Slika prikazuje tako imenovano drevo igre: koristno ga je narisati vsakič, ko se morate odločiti. Veje tega drevesa so možnosti za razvoj dogodkov. Številke (0, 1 in -1) - dobijo, to je, ali bo igralec zmagovalec, če izbere eno ali drugo možnost.

Kje torej začeti. Najprej morate ugotoviti, katera rešitev bo najboljša in najslabša. Predpostavimo, da je za Olgo najbolj zaželeno, da poskusi kaditi, vendar ne nadaljuje s tem. Tej različici dodelimo izplačilo 1 (prva številka spodnje leve veje). V najslabšem primeru bo deklica postala odvisna od kajenja: tej možnosti dodelimo izplačilo -1 (prva številka spodnje desne veje). Tako veja drevesa z možnostjo, da sploh ne poskusi kaditi, dobi 0.

Recimo, da se je Olga odločila poskusiti kaditi. Kaj je naslednje? Bo odnehala ali ne? O tem bo odločala Bodoča Olga, v figuri vstopi v igro na veji »Poskusi«. Če je že razvila odvisnost, potem ne bo želela opustiti kajenja, zato nastavimo možnost »Nadaljuj« na zmago 1 (druga številka spodnje desne veje).

Kaj dobimo? Trenutna Olga bo imela koristi, če bo poskušala kaditi, vendar ne bo postala odvisna. In to je po drugi strani odvisno od bodoče Olge, za katero je bolj donosno kaditi (kadi že dolgo, kar pomeni, da ima odvisnost, zato ne bo želela prenehati). Je torej vredno tvegati? Mogoče žreb: dobite dobitek 0 in sploh ne poskusite kaditi?

Kaj storiti

Strategijo lahko izračunate ne le v igri z nekom, ampak tudi v igri s seboj. Poskusite narisati drevo igre in videli boste, ali bo vaša trenutna rešitev vodila do zmage.

4. Dražbena igra

Obstajajo različne vrste dražb. Na primer, v filmu "Dvanajst stolov" je bila tako imenovana angleška dražba. Njegova shema je preprosta: zmaga tisti, ki za izpostavljeni lot ponudi največ. Običajno je določen minimalni korak za dvig cene, sicer ni omejitev.

Primer

V dražbeni epizodi iz Dvanajstih stolov je Ostap Bender naredil strateško napako. Po ponudbi 145 rubljev za lot je takoj dvignil ceno na dvesto.

Z vidika teorije iger bi moral Ostap povečati vložek, vendar minimalno, dokler ni več konkurentov. Tako je lahko prihranil denar in ne bi zašel v težave: Ostap ni imel dovolj 30 rubljev za plačilo provizije.

Kaj storiti

Obstajajo igre, kot je dražba, ki jih je treba igrati le z glavo. Vnaprej se odločite za taktiko in razmislite o največjem znesku, ki ste ga pripravljeni plačati za lot. Dajte si besedo, da ne boste presegli meje. Ta korak vam bo pomagal obvladati navdušenje, če vas nenadoma prevzame.

5. Igranje na neosebnem trgu

Neosebni trg so banke, zavarovalnice, izvajalci, konzulati. Sploh tisti udeleženci igre, ki nimajo imen in priimkov. So neosebni, vendar je zmotno verjeti, da pravila teorije iger zanje ne veljajo.

Primer

Maxim se obrne na banko v upanju, da bo dobil posojilo. Njegova kreditna zgodovina ni popolna: pred dvema letoma je šest mesecev zavračal odplačilo drugega posojila. Zaposleni, ki sprejema dokumente, pravi, da Maxim najverjetneje ne bo prejel posojila.

Nato Maxim prosi za dovoljenje, da prinese dokumente. Iz bolnišnice prinese izpisek, ki potrjuje, da je bil njegov oče v teh šestih mesecih resno bolan. Maxim napiše izjavo, v kateri navede razloge za zamudo pri plačilu prejšnjega posojila (denar je bil potreben za zdravljenje očeta). In čez nekaj časa dobi novo posojilo.

Kaj storiti

Ko poslujete z anonimnimi igralci, ne pozabite, da za njimi stojijo osebnosti. Ugotovite, kako privabiti svoje nasprotnike v igro in določite svoja pravila.

Teorija iger je nova veda, a jo že preučujejo na najboljših univerzah na svetu. Založba MIF je izdala učbenik »Strateške igre«. Prišlo vam bo prav, če se želite naučiti analizirati vsako svoje dejanje, sprejemati premišljene odločitve, bolje razumeti ne samo druge, ampak tudi sebe.

Mestna izobraževalna ustanova
srednja šola št.___

mestno okrožje - mesto Volzhsky, regija Volgograd

Mestna konferenca ustvarjalnih in raziskovalnih del študentov

"Z matematiko do življenja"

Znanstvena smer - matematika

"Teorija iger in njena praktična uporaba"

Učenka 9b razreda

MOU srednja šola №2

Znanstveni svetnik:

učiteljica matematike Grigoryeva N.D.



Uvod

Ustreznost izbrane teme je vnaprej določena s širino njenih uporabnih področij. Teorija iger igra osrednjo vlogo v teoriji industrijske organizacije, teoriji pogodb, teoriji financ podjetij in mnogih drugih področjih. Obseg teorije iger ne vključuje le ekonomskih disciplin, ampak tudi biologijo, politologijo, vojaške zadeve itd.

meriti Ta projekt je namenjen razvoju študije obstoječih vrst iger in možnosti njihove praktične uporabe v različnih panogah.

Namen projekta je vnaprej določil njegove naloge:

Seznanite se z zgodovino nastanka teorije iger;

Opredeliti pojem in bistvo teorije iger;

Opišite glavne vrste iger;

Razmislite o možnih področjih uporabe te teorije v praksi.

Predmet projekta je bila teorija iger.

Predmet študija je bistvo in uporaba teorije iger v praksi.

Teoretična osnova za pisanje dela je bila ekonomska literatura avtorjev, kot so J. von Neumann, Owen G., Vasin A.A., Morozov V.V., Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N.

1. Uvod v teorijo iger

1.1 Zgodovina

Igra kot posebna oblika prikazovanja dejavnosti je nastala nenavadno dolgo nazaj. Arheološka izkopavanja razkrivajo predmete, ki so služili igri. Skalne slike nam kažejo prve znake medplemenskih taktičnih iger. Sčasoma se je igra izboljšala in dosegla običajno obliko konflikta več strani. Družinske vezi med igro in praktično dejavnostjo so postale manj opazne, igra se je spremenila v posebno dejavnost družbe.

Če zgodovina šaha oziroma iger s kartami sega več tisočletij nazaj, potem so se prvi obrisi teorije pojavili šele pred tremi stoletji v delih Bernoullija. Sprva so dela Poincaréja in Borela delno podala informacije o naravi teorije iger, šele temeljna dela J. von Neumanna in O. Morgensterna pa so nam predstavila vso celovitost in vsestranskost te veje znanosti.

Na splošno velja, da je monografija J. Neumanna in O. Morgensterna "Teorija iger in ekonomsko vedenje" trenutek rojstva teorije iger. Po objavi leta 1944 so mnogi znanstveniki napovedovali revolucijo v ekonomiji z uporabo novega pristopa. Ta teorija je opisala racionalno vedenje pri odločanju v medsebojno povezanih situacijah in pomagala rešiti številne pereče probleme na različnih znanstvenih področjih. V monografiji je bilo poudarjeno, da so strateško vedenje, konkurenca, sodelovanje, tveganje in negotovost glavni elementi teorije iger in so neposredno povezani s problemi upravljanja.

Zgodnje delo na področju teorije iger je bilo opazno zaradi preprostosti svojih predpostavk, zaradi česar je bilo manj primerno za praktično uporabo. V zadnjih 10-15 letih so se razmere dramatično spremenile. Napredek v industriji je pokazal plodnost metod igre v uporabnih dejavnostih.

V zadnjem času so te metode prodrle v prakso managementa. Opozoriti je treba, da je M. Porter že ob koncu 20. stoletja uvedel nekatere koncepte teorije, kot sta »strateška poteza« in »igralec«, ki je kasneje postal eden ključnih.

Trenutno se je pomen teorije iger močno povečal na številnih področjih ekonomskih in družbenih ved. V ekonomiji se uporablja ne le za reševanje različnih problemov splošnega gospodarskega pomena, ampak tudi za analizo strateških problemov podjetij, razvoj struktur upravljanja in sistemov spodbud.

V letih 1958-1959. do 1965-1966 nastala je sovjetska šola teorije iger, za katero je bilo značilno kopičenje prizadevanj na področju antagonističnih iger in strogo vojaških aplikacij. Sprva je bil to razlog za zaostajanje za ameriško šolo, saj so bila takrat glavna odkritja v antagonističnih igrah že narejena. V ZSSR so matematiki do sredine 1970-ih. niso smeli na področje managementa in ekonomije. In tudi ko je sovjetski gospodarski sistem začel propadati, ekonomija ni postala glavni fokus teoretičnih raziskav iger. Specializirani inštitut, ki se je ukvarjal in se zdaj ukvarja s teorijo iger, je Inštitut za sistemsko analizo Ruske akademije znanosti.

1.2 Opredelitev teorije iger

Teorija iger je matematična metoda za preučevanje optimalnih strategij v igrah. Igro razumemo kot proces, v katerem sodelujeta dve ali več strani, ki se borita za uresničevanje svojih interesov. Vsaka stran ima svoj cilj in uporablja neko strategijo, ki lahko vodi do zmage ali izgube – odvisno od njihovega vedenja in vedenja drugih igralcev. Teorija iger pomaga izbrati najbolj donosne strategije ob upoštevanju premislekov o drugih udeležencih, njihovih virih in nameravanih dejanjih.

Ta teorija je veja matematike, ki preučuje konfliktne situacije.

Kako razdeliti pito, da jo vsi družinski člani prepoznajo kot pošteno? Kako rešiti plačni spor med športnim klubom in sindikatom igralcev? Kako preprečiti cenovne vojne med dražbami? To so le trije primeri problemov, s katerimi se ukvarja ena glavnih vej ekonomije – teorija iger.

Ta veja znanosti analizira konflikte z matematičnimi metodami. Teorija je dobila ime, ker je najenostavnejši primer konflikta igra (na primer šah ali tic-tac-toe). Tako v igri kot v konfliktu ima vsak igralec svoje cilje in jih skuša doseči z različnimi strateškimi odločitvami.

1.3 Vrste konfliktnih situacij

Ena od značilnih značilnosti katerega koli družbenega, družbeno-ekonomskega pojava je število in raznolikost interesov ter prisotnost strani, ki so sposobne izraziti te interese. Klasični primeri so situacije, ko je na eni strani en kupec, na drugi prodajalec, ko na trg vstopi več proizvajalcev z dovolj moči, da vplivajo na ceno blaga. Bolj zapletene situacije nastanejo, ko so v navzkrižju interesov vpletena združenja ali skupine oseb, na primer, ko višino plač določajo sindikati ali združenja delavcev in delodajalcev, pri analizi rezultatov glasovanja v parlamentu itd.

Konflikt lahko nastane tudi zaradi razlike v ciljih, ki odražajo interese različnih strani, pa tudi večstranske interese iste osebe. Oblikovalec politike na primer običajno zasleduje različne cilje, pri čemer usklajuje nasprotujoče si zahteve glede situacije (povečanje proizvodnje, povečanje dohodka, zmanjšanje obremenitve okolja itd.). Konflikt se lahko manifestira ne le kot posledica zavestnih dejanj različnih udeležencev, ampak tudi kot posledica delovanja določenih "elementarnih sil" (primer tako imenovanih "iger z naravo")

Igra je matematični model opisa konflikta.

Igre so strogo definirani matematični objekti. Igro sestavljajo igralci, nabor strategij za vsakega igralca in navedba izplačil ali izplačil igralcev za vsako kombinacijo strategij.

In končno, običajne igre so primeri iger: salonske, športne, igre s kartami itd. Matematična teorija iger se je začela prav z analizo takih iger; do danes služijo kot odlično gradivo za prikaz trditev in zaključkov te teorije. Te igre so še danes aktualne.

Torej mora imeti vsak matematični model družbeno-ekonomskega pojava svoje inherentne značilnosti konflikta, tj. opiši:

a) veliko zainteresiranih strani. V primeru, da je število igralcev omejeno (seveda), se le-ti ločijo po številkah ali po imenu, ki so jim dodeljeni;

b) možna dejanja vsake od strani, imenovana tudi strategije ali poteze;

c) interese strank, ki jih predstavljajo funkcije izplačila (plačila) za vsakega od igralcev.

V teoriji iger se predpostavlja, da so izplačilne funkcije in nabor strategij, ki so na voljo vsakemu od igralcev, dobro znani, tj. vsak igralec pozna svojo izplačilno funkcijo in nabor strategij, ki so mu na voljo, ter izplačilne funkcije in strategije vseh ostalih igralcev ter v skladu s temi informacijami oblikuje svoje vedenje.

2 Vrste iger

2.1 Zapornikova dilema

Eden najbolj znanih in klasičnih primerov teorije iger, ki jo je pripomogel k popularizaciji, je Zapornikova dilema. V teoriji iger zapornikova dilema(redkeje uporabljeno ime " razbojniška dilema”) je nekooperativna igra, v kateri si igralci prizadevajo pridobiti, medtem ko bodisi sodelujejo bodisi izdajo drug drugega. Kot v vseh teorija iger , se domneva, da igralec maksimizira, tj. poveča svoj izkupiček, ne da bi pri tem skrbel za korist drugih.

Poglejmo si takšno situacijo. Dva osumljenca sta v preiskavi. Preiskava ni imela dovolj dokazov, zato je bil z razdelitvijo osumljencev vsakemu posebej ponujen posel. Če bo eden od njiju molčal, drugi pa bo pričal proti njemu, bo prvi dobil 10 let, drugi pa bo zaradi omogočanja preiskave izpuščen na prostost. Če bosta oba molčala, bosta dobila vsak po 6 mesecev. Nazadnje, če bosta oba zastavila drug drugega, bosta dobila vsak po 2 leti. Vprašanje: kakšno izbiro bodo izbrali?

Tabela 1 - Matrika izplačil v igri "Prisoner's Dilemma"

Recimo, da sta ta dva razumna človeka, ki želita zmanjšati svoje izgube. Potem lahko prvi razmišlja takole: če me drugi položi, potem je bolje, da ga tudi jaz položim: tako bova dobila vsak po 2 leti, sicer bom jaz dobil 10 let. Če pa me drugi ne položi, potem je bolje, da ga vseeno položim - potem me bodo takoj izpustili. Zato je ne glede na to, kaj bo storil drugi, bolj donosno, da ga zastavim. Drugi tudi razume, da je v vsakem primeru bolje, da zastavi prvega. Zaradi tega oba dobita dve leti. Čeprav bi, če ne bi pričala drug proti drugemu, dobila le 6 mesecev.

V jetnikovi dilemi izdaja strogo prevladujejo nad sodelovanjem, zato je edino možno ravnotežje izdaja obeh udeležencev. Preprosto povedano, ne glede na to, kaj stori drugi igralec, bo vsak imel več koristi, če bo izdal. Ker je v vsaki situaciji bolje izdati kot sodelovati, se bodo vsi racionalni igralci odločili za izdajo.

Obnašajo se individualno racionalno, udeleženci skupaj pridejo do neracionalne odločitve. V tem je dilema.

Konflikti, kot je ta dilema, so pogosti v življenju, na primer v ekonomiji (določanje proračuna za oglaševanje), politiki (oboroževalna tekma), športu (uporaba steroidov). Zato je zapornikova dilema in žalostna napoved teorije iger postala splošno znana, delo na področju teorije iger pa je edina priložnost, da matematik prejme Nobelovo nagrado.

2.2 Razvrstitev iger

Razvrstitev različnih iger se izvaja po določenem principu: po številu igralcev, po številu strategij, po lastnostih izplačilnih funkcij, po možnosti predhodnih pogajanj in interakciji med igralci med igro.

Obstajajo igre z dvema, tremi ali več udeleženci - odvisno od števila igralcev. Načeloma so možne tudi igre z neskončnim številom igralcev.

Po drugem načelu klasifikacije se igre razlikujejo po številu strategij - končnih in neskončnih. Pri končnih igrah imajo udeleženci končno število možnih strategij (npr. pri igri metanja imajo igralci dve možni potezi – lahko izberejo glave ali repe). Same strategije v končnih igrah se pogosto imenujejo čiste strategije. V skladu s tem imajo igralci v neskončnih igrah neskončno število možnih strategij - na primer v situaciji prodajalec-kupec lahko vsak igralec imenuje katero koli ceno, ki mu ustreza, in količino prodanega (kupljenega) blaga.

Tretja po vrsti je metoda razvrščanja iger – po lastnostih izplačilnih funkcij (funkcij plačila). Pomemben primer v teoriji iger je situacija, ko je dobiček enega od igralcev enak izgubi drugega, tj. pride do neposrednega konflikta med igralci. Take igre imenujemo igre z ničelno vsoto ali antagonistične igre. Igre z metom ali igre z metom so značilni primeri antagonističnih iger. Neposredno nasprotje tovrstnih iger so igre s konstantno razliko, pri katerih igralci hkrati zmagujejo in izgubljajo, zato je zanje koristno sodelovati. Med temi skrajnimi primeri je veliko iger z neničelno vsoto, kjer prihaja do konfliktov in usklajenih dejanj igralcev.

Glede na možnost predhodnih pogajanj med igralci ločimo kooperativne in nekooperativne igre. Kooperativna igra je igra, pri kateri igralci pred začetkom oblikujejo koalicije in sklenejo medsebojno zavezujoče dogovore o svojih strategijah. Nesodelovalna igra je igra, v kateri igralci ne morejo uskladiti svojih strategij na ta način. Očitno so vse antagonistične igre lahko primeri nekooperativnih iger. Primer kooperativne igre je oblikovanje koalicij v parlamentu za sprejetje odločitve z glasovanjem, ki tako ali drugače vpliva na interese udeležencev glasovanja.

2.3 Vrste iger

Simetrično in asimetrično

A B
A 1, 2 0, 0
B 0, 0 1, 2
Asimetrična igra

Igra bo simetrična, ko bodo imele ustrezne strategije igralcev enake izplačila, torej bodo enake. Tisti. če se izplačila za iste poteze ne spremenijo, kljub temu, da igralca zamenjata mesta. Številne proučevane igre za dva igralca so simetrične. To so zlasti: "Zapornikova dilema", "Lov na jelene", "Jastrebi in golobi". Kot asimetrične igre lahko navedemo "Ultimatum" ali "Diktator".

V primeru na desni se igra na prvi pogled morda zdi simetrična zaradi podobnih strategij, vendar temu ni tako – navsezadnje je izplačilo drugega igralca s katero koli od strategij (1, 1) in (2) , 2) bo večji od prvega.

Ničelna in neničelna vsota

Igre z ničelno vsoto so posebna vrsta iger s konstantno vsoto, torej tiste, pri katerih igralci ne morejo povečati ali zmanjšati razpoložljivih virov ali sklada igre. V tem primeru je vsota vseh zmag enaka vsoti vseh izgub v kateri koli potezi. Poglejte na desno - številke pomenijo plačila igralcem - in njihova vsota v vsaki celici je nič. Primeri takšnih iger so poker, kjer eden dobi vse stave drugih; reversi, kjer so sovražnikovi žetoni ujeti; ali popolna tatvina.

Številne igre, ki so jih preučevali matematiki, vključno z že omenjeno Zapornikovo dilemo, so drugačne vrste: v igrah z neničelno vsoto zmaga enega igralca ne pomeni nujno izgube drugega, in obratno. Izid takšne igre je lahko manjši ali večji od nič. Takšne igre je mogoče pretvoriti v ničelno vsoto – to storimo tako, da uvedemo fiktivnega igralca, ki si »prilasti« presežek ali nadoknadi pomanjkanje sredstev.

Tudi igra z vsoto, ki ni nič, je trgovanje, kjer koristi vsak udeleženec. Ta vrsta vključuje igre, kot sta dama in šah; v zadnjih dveh lahko igralec spremeni svojo navadno figuro v močnejšo in tako pridobi prednost. V vseh teh primerih se količina igre poveča.

Kooperativni in nekooperativni

Igra se imenuje kooperativna ali koalicija, če se igralci lahko združijo v skupine, prevzamejo nekatere obveznosti do drugih igralcev in usklajujejo svoja dejanja. V tem se razlikuje od nekooperativnih iger, v katerih je vsak dolžan igrati zase. Zabavne igre so redko kooperativne, a takšni mehanizmi v vsakdanjem življenju niso nič nenavadnega.

Pogosto se domneva, da se kooperativne igre razlikujejo ravno po sposobnosti komuniciranja igralcev med seboj. Vendar to ni vedno res, saj obstajajo igre, kjer je komunikacija dovoljena, vendar udeleženci sledijo osebnim ciljem in obratno.

Od obeh vrst iger nekooperativne opisujejo situacije zelo podrobno in dajejo natančnejše rezultate. Zadruge obravnavajo proces igre kot celoto.

Hibridne igre vključujejo elemente kooperativnih in nekooperativnih iger.

Na primer, igralci lahko oblikujejo skupine, vendar bo igra potekala v slogu brez sodelovanja. To pomeni, da bo vsak igralec zasledoval interese svoje skupine, hkrati pa poskušal doseči osebno korist.

Vzporedno in zaporedno

Pri vzporednih igrah se igralci premaknejo istočasno ali pa niso obveščeni o izbiri drugih, dokler vsi ne naredijo svoje poteze. V zaporednih ali dinamičnih igrah lahko udeleženci izvajajo poteze v vnaprej določenem ali naključnem vrstnem redu, vendar pri tem prejmejo nekaj informacij o prejšnjih dejanjih drugih. Ti podatki morda niti niso popolnoma popolni, igralec lahko na primer ugotovi, da njegov nasprotnik zagotovo ni izbral pete strategije od desetih njegovih strategij, ne da bi izvedel karkoli o drugih.

S popolnimi ali nepopolnimi informacijami

Pomembna podmnožica zaporednih iger so igre s popolnimi informacijami. Pri taki igri udeleženci poznajo vse poteze do trenutnega trenutka, pa tudi možne strategije nasprotnikov, kar jim omogoča, da do neke mere predvidijo kasnejši razvoj igre. Popolne informacije niso na voljo v paralelnih igrah, saj ne poznajo trenutnih potez nasprotnikov. Večina iger, ki se preučujejo pri matematiki, ima nepopolne informacije. Na primer, bistvo Zapornikove dileme je njena nepopolnost.

Hkrati obstajajo zanimivi primeri iger s popolnimi informacijami: šah, dama in druge.

Pogosto se koncept popolne informacije zamenjuje s podobnim pojmom - popolna informacija. Za slednje zadošča le poznavanje vseh strategij, ki so na voljo nasprotnikom, poznavanje vseh njihovih potez ni potrebno.

Igre z neskončnim številom korakov

Igre v resničnem svetu ali igre, ki se preučujejo v ekonomiji, ponavadi trajajo končno število potez. Matematika ni tako omejena, še posebej pa se teorija množic ukvarja z igrami, ki se lahko nadaljujejo v nedogled. Poleg tega zmagovalec in njegov dobitek nista določena do konca vseh potez ...

Pri tem običajno ne gre za iskanje optimalne rešitve, ampak vsaj za zmagovalno strategijo. (Z uporabo aksioma izbire lahko dokažemo, da včasih celo pri igrah s popolnimi informacijami in dvema izidoma - "zmaga" ali "izguba" - nobeden od igralcev nima takšne strategije.)

Diskretne in neprekinjene igre

V večini proučevanih iger je število igralcev, potez, rezultatov in dogodkov končno; so diskretni. Vendar pa je te komponente mogoče razširiti na niz realnih (materialnih) števil. Igre, ki vključujejo takšne elemente, se pogosto imenujejo diferencialne igre. Vedno so povezani z neko realno lestvico (običajno - časovno lestvico), čeprav so dogodki, ki se dogajajo v njih, lahko diskretne narave. Diferencialne igre najdejo svojo uporabo v tehniki in tehnologiji, fiziki.

3. Uporaba teorije iger

Teorija iger je veja uporabne matematike. Najpogosteje se metode teorije iger uporabljajo v ekonomiji, nekoliko redkeje v drugih družboslovnih vedah – sociologiji, politologiji, psihologiji, etiki in drugih. Od leta 1970 so ga biologi sprejeli za preučevanje vedenja živali in teorije evolucije. Ta veja matematike je zelo pomembna za umetno inteligenco in kibernetiko, zlasti z manifestacijo zanimanja za inteligentne agente.

Neumann in Morgenstern sta napisala izvirno knjigo, ki je vsebovala predvsem ekonomske primere, saj je ekonomski konflikt najlažje kvantificirati. Med drugo svetovno vojno in takoj po njej se je za teorijo iger resno začela zanimati vojska, ki je v njej videla aparat za preiskovanje strateških odločitev. Nato je bila glavna pozornost spet namenjena gospodarskim težavam. V našem času se veliko dela, da bi razširili obseg teorije iger.

Dve glavni področji uporabe sta vojska in gospodarstvo. Teoretični razvoj iger se uporablja pri oblikovanju sistemov avtomatskega nadzora raketnega / protiraketnega orožja, izbiri oblik dražb za prodajo radijskih frekvenc, uporabnem modeliranju vzorcev denarnega obtoka v interesu centralnih bank itd. Mednarodni odnosi in strateška varnost dolgujejo teoriji iger (in teoriji odločanja) predvsem konceptu vzajemno zagotovljenega uničenja. To je zasluga galaksije briljantnih umov (vključno s tistimi, povezanimi s korporacijo RAND v Santa Monici, Kalifornija), katerih duh je dosegel najvišje vodilne položaje v osebi Roberta McNamare. Res je, treba je priznati, da McNamara sam ni zlorabil teorije iger.

3.1 V vojaških zadevah

Informacije so danes eden najpomembnejših virov. In zdaj vse

drži tudi rek "Kdor ima informacije, ima svet". Poleg tega je v ospredju potreba po učinkoviti uporabi razpoložljivih informacij. Teorija iger skupaj s teorijo optimalnega nadzora omogoča sprejemanje pravih odločitev v različnih konfliktnih in nekonfliktnih situacijah.

Teorija iger je matematična disciplina, ki se ukvarja s problemi konfliktov. Vojaški

primer je kot izrazito bistvo konflikta postal eden prvih poligonov za praktično uporabo razvoja teorije iger.

Preučevanje nalog vojaških bitk s pomočjo teorije iger (vključno z diferencialno) je obsežna in težka tema. Uporaba teorije iger na probleme vojaških zadev pomeni, da je mogoče najti učinkovite rešitve za vse udeležence - optimalne ukrepe, ki omogočajo maksimalno rešitev zastavljenih nalog.

Poskusi razstavljanja vojnih iger na namiznih modelih so bili večkrat. Toda eksperiment v vojaških zadevah (kot v kateri koli drugi znanosti) je sredstvo tako za potrditev teorije kot za iskanje novih načinov za analizo.

Vojaška analiza je z vidika zakonov, napovedi in logike stvar veliko bolj negotova kot fizične vede. Iz tega razloga modeliranje s podrobnimi in skrbno izbranimi realističnimi podrobnostmi ne more dati splošnega zanesljivega rezultata, razen če se igra ponavlja zelo velikokrat. Z vidika diferencialnih iger lahko upamo le na potrditev zaključkov teorije. Še posebej pomemben je primer, ko so takšni zaključki izpeljani iz poenostavljenega modela (nujno se to vedno zgodi).

V nekaterih primerih imajo diferencialne igre v vojaških problemih povsem očitno vlogo, ki ne zahteva posebnih komentarjev. To velja na primer za

večina modelov, vključno z zasledovanjem, umikom in drugimi tovrstnimi manevri. Tako so se v primeru vodenja avtomatiziranih komunikacijskih omrežij v kompleksnem radioelektronskem okolju poskušale uporabiti le stohastične večstopenjske antagonistične igre. Zdi se smotrno uporabiti diferencialne igre, saj njihova uporaba v mnogih primerih omogoča opisovanje potrebnih procesov z visoko stopnjo gotovosti in iskanje optimalne rešitve problema.

Pogosto se v konfliktnih situacijah nasprotne strani združijo v zavezništva, da bi dosegle boljše rezultate. Zato je treba preučiti koalicijske diferencialne igre. Poleg tega idealne situacije, ki nimajo nobenih motenj, na svetu ne obstajajo. To pomeni, da je koalicijske diferencialne igre smotrno preučevati v negotovosti. Obstajajo različni pristopi k konstruiranju rešitev diferencialnih iger.

Med drugo svetovno vojno se je von Neumannov znanstveni razvoj izkazal za neprecenljivega za ameriško vojsko – vojaški poveljniki so rekli, da je za Pentagon znanstvenik tako pomemben kot cela vojaška divizija. Tukaj je primer uporabe teorije iger v vojaških zadevah. Na ameriških trgovskih ladjah so bile nameščene protiletalske naprave. Vendar pa v celotnem času vojne te naprave niso sestrelile niti enega sovražnega letala. Postavlja se pošteno vprašanje: ali je sploh vredno s takim orožjem opremiti ladje, ki niso namenjene bojnim operacijam. Skupina znanstvenikov pod vodstvom von Neumanna, ki je preučila to vprašanje, je prišla do zaključka, da sovražnikova vednost o prisotnosti takšnih pušk na trgovskih ladjah dramatično zmanjša verjetnost in natančnost njihovega obstreljevanja in bombardiranja, zato postavitev " protiletalskih topov« na teh ladjah je v celoti dokazal svojo učinkovitost.

CIA, ameriško ministrstvo za obrambo in največje družbe Fortune 500 aktivno sodelujejo s futuristi. Seveda govorimo o strogo znanstveni futurologiji, torej o matematičnih izračunih objektivne verjetnosti prihodnjih dogodkov. To počne teorija iger - eno od novih področij matematične znanosti, uporabno na skoraj vseh področjih človeškega življenja. Morda bo računalništvo prihodnosti, ki je doslej potekalo v strogi tajnosti za »elitne« odjemalce, kmalu prišlo na javni komercialni trg. Vsaj to dokazuje dejstvo, da sta dve večji ameriški reviji hkrati objavili gradivo o tej temi in obe natisnili intervju s profesorjem Univerze v New Yorku Bruceom Bueno de Mesquita (BruceBuenodeMesquita). Profesor je lastnik svetovalnega podjetja, ki se ukvarja z računalniškimi izračuni na podlagi teorije iger. V dvajsetih letih sodelovanja s Cio je znanstvenik natančno izračunal več pomembnih in nepričakovanih dogodkov (na primer Andropov vzpon na oblast v ZSSR in zavzetje Hongkonga s strani Kitajskih). Skupaj je izračunal več kot tisoč dogodkov z več kot 90-odstotno natančnostjo. Zdaj Bruce svetuje ameriškim obveščevalnim agencijam o politiki v Iranu. Njegovi izračuni na primer kažejo, da ZDA nimajo možnosti preprečiti Iranu, da bi zagnal civilni jedrski reaktor.

3.2 Pod nadzorom

Kot primere uporabe teorije iger v upravljanju lahko navedemo odločitve o izvajanju načelne cenovne politike, vstopu na nove trge, sodelovanju in ustvarjanju skupnih podjetij, prepoznavanju voditeljev in izvajalcev na področju inovacij itd. Določbe te teorije se načeloma lahko uporabljajo za vse vrste odločitev, če na njihovo sprejemanje vplivajo drugi akterji. Ni nujno, da so te osebe ali igralci tržni tekmeci; njihova vloga so lahko poddobavitelji, vodilni kupci, zaposleni v organizacijah, pa tudi sodelavci v službi.

Kako lahko podjetjem koristi analiza, ki temelji na teoriji iger? Obstaja na primer primer navzkrižja interesov med IBM in Telexom. Telex je napovedal vstop na prodajni trg, v zvezi s tem je potekal »krizni« sestanek vodstva IBM, na katerem so analizirali ukrepe, s katerimi bi novega konkurenta prisilili, da opusti namero po prodoru na nov trg. Ta dejanja so očitno postala znana Telexu. Toda analiza na podlagi teorije iger je pokazala, da so grožnje IBM-a zaradi visokih stroškov neutemeljene. To dokazuje, da je koristno, da podjetja upoštevajo možne reakcije partnerjev v igri. Izolirane ekonomske kalkulacije, tudi na podlagi teorije odločanja, so pogosto, kot v opisani situaciji, omejene. Zunanje podjetje bi lahko na primer izbralo potezo »nevstopa«, če bi ga predhodna analiza prepričala, da bi prodor na trg izzval agresiven odziv monopolnega podjetja. V tej situaciji je smiselno izbrati potezo »nevstopa« z verjetnostjo agresivnega odziva 0,5, v skladu s kriterijem pričakovanih stroškov.

Pomemben prispevek k uporabi teorije iger daje eksperimentalno delo. Številni teoretični izračuni so izdelani v laboratoriju, dobljeni rezultati pa so pomemben element za praktike. Teoretično je bilo ugotovljeno, pod kakšnimi pogoji je koristno, da dva sebična partnerja sodelujeta in zase dosežeta boljše rezultate.

To znanje se lahko uporabi v praksi podjetij, da se dvema podjetjema pomaga doseči položaj, v katerem zmagajo vsi. Danes svetovalci, usposobljeni za igre na srečo, hitro in nedvoumno prepoznajo priložnosti, ki jih lahko podjetja izkoristijo za zagotovitev stabilnih in dolgoročnih pogodb s strankami, poddobavitelji, razvojnimi partnerji in drugimi. .

3.3 Uporaba na drugih področjih

V biologiji

Zelo pomembna usmeritev so poskusi uporabe teorije iger v biologiji in razumevanje, kako evolucija sama gradi optimalne strategije. Tukaj je v bistvu ista metoda, ki nam pomaga razložiti človeško vedenje. Navsezadnje teorija iger ne pravi, da ljudje vedno delujejo zavestno, strateško, racionalno. Namesto tega gre za razvoj določenih pravil, ki dajo bolj uporaben rezultat, če se jih upošteva. To pomeni, da ljudje pogosto ne izračunajo svoje strategije, postopoma se oblikuje, ko se nabirajo izkušnje. Ta ideja je zdaj sprejeta v biologiji.

V računalniški tehnologiji

Še bolj so iskane raziskave na področju računalniške tehnologije, na primer analize dražb, ki jih izvajajo računalniki v avtomatskem načinu. Poleg tega vam teorija iger danes omogoča, da še enkrat razmišljate o tem, kako računalniki delujejo, kako se gradi sodelovanje med njimi. Recimo, da lahko strežnike v omrežju vidimo kot igralce, ki poskušajo uskladiti svoja dejanja.

V igrah (šah)

Šah je skrajni primer teorije iger, saj je vse, kar počnete, namenjeno izključno vaši zmagi in vam ni treba skrbeti, kako se na to odzove vaš partner. Dovolj, da se prepriča, da se ne more učinkovito odzvati. To pomeni, da je igra z ničelno vsoto. In seveda, v drugih igrah ima kultura lahko določen pomen.

Primeri iz drugega področja

Pri iskanju ustreznega para darovalca in prejemnika ledvice se uporablja teorija iger. Ena oseba želi dati ledvico drugi, a se izkaže, da njuni krvni skupini nista združljivi. In kaj storiti v tem primeru? Najprej razširiti seznam darovalcev in prejemnikov, nato pa uporabiti izbirne metode, ki jih ponuja teorija iger. To je zelo podobno dogovorjeni poroki. Namesto tega sploh ni videti kot poroka, vendar je matematični model teh situacij enak, uporabljajo se iste metode in izračuni. Zdaj je na podlagi idej teoretikov, kot so David Gale, Lloyd Shapley in drugi, zrasla prava industrija - praktične uporabe teorije v sodelovalnih igrah.

3.4 Zakaj se teorija iger ne uporablja še širše

In v politiki, v ekonomiji in v vojaških zadevah so praktiki naleteli na temeljne omejitve temelja sodobne teorije iger - Nashevo racionalnost.

Prvič, človek ni tako popoln, da bi ves čas razmišljal strateško. Da bi presegli to omejitev, so teoretiki začeli raziskovati formulacije evolucijskega ravnovesja, ki imajo šibkejše predpostavke na ravni racionalnosti.

Drugič, predpostavke teorije iger o zavedanju igralcev o strukturi igre in plačilih v resničnem življenju niso opazne tako pogosto, kot bi si želeli. Teorija iger zelo boleče reagira na najmanjše (z vidika laika) spremembe pravil igre z ostrimi premiki v predvidenih ravnovesjih.

Zaradi teh težav je sodobna teorija iger v "plodoviti slepi ulici". Labod, rak in ščuka predlaganih rešitev vlečejo teorijo iger v različne smeri. Na desetine del je napisanih v vsako smer ... vendar "stvari še vedno obstajajo."

Primeri nalog

Definicije, potrebne za reševanje problemov

1. Situacija se imenuje konflikt, če vključuje strani, katerih interesi so popolnoma ali delno nasprotni.

2. Igra je realen ali formalen konflikt, v katerem sodelujeta vsaj dva udeleženca (igralca), od katerih si vsak prizadeva doseči svoje cilje.

3. Dovoljena dejanja vsakega od igralcev, namenjena doseganju nekega cilja, se imenujejo pravila igre.

4. Kvantificiranje rezultatov igre se imenuje plačilo.

5. Igra se imenuje par, če v njej sodelujeta samo dve strani (dve osebi).

6. Igra parov se imenuje igra z ničelno vsoto, če je vsota vplačil enaka nič, tj. če je izguba enega igralca enaka dobitku drugega.

7. Nedvoumen opis igralčeve izbire v vsaki od možnih situacij, v katerih mora narediti osebno potezo, imenujemo igralčeva strategija.

8. Igralčeva strategija se imenuje optimalna, če ob večkratnem ponavljanju igre igralcu zagotovi največji možni dobiček (ali, enako, najmanjšo možno povprečno izgubo).

Naj sta dva igralca, od katerih lahko eden izbere i-to strategijo izmed m možnih strategij (i=1,m), drugi pa, ne pozna izbire prvega, izbere j-to strategijo izmed n možnih. strategije (j=1,n) Posledično prvi igralec dobi vrednost aij, medtem ko drugi igralec to vrednost izgubi.

Iz števil aij sestavimo matriko

Vrstice matrike A ustrezajo strategijam prvega igralca, stolpci pa strategijam drugega. Te strategije se imenujejo čiste.

9. Matrika A se imenuje izplačilo (ali matrika igre).

10. Igro, ki jo definira matrika A z m vrsticami in n stolpci, imenujemo m x n končna igra.

11. Število se imenuje nižja cena igre ali maximin, ustrezna strategija (vrstica) pa se imenuje maximin.

12. Število se imenuje zgornja cena igre ali minimax, ustrezna strategija (stolpec) pa se imenuje minimax.

13. Če je α=β=v, se število v imenuje cena igre.

14. Igra, pri kateri je α=β, se imenuje igra s sedlom.

Za igro s sedlo je iskanje rešitve sestavljeno iz izbire strategije maximin in minimax, ki sta optimalni.

Če igra, podana z matriko, nima sedla, se za iskanje njene rešitve uporabijo mešane strategije.
Naloge

1. Orljanka. To je igra z ničelno vsoto. Načelo je, da ko igralci izberejo enake strategije, prvi dobi en rubelj, ko izberejo različne, pa izgubijo en rubelj.

Če izračunamo strategije po principu maxmin in minmax, potem vidimo, da je nemogoče izračunati optimalno strategijo, v tej igri sta verjetnosti poraza in zmage enaki.

2. Številke. Bistvo igre je, da si vsak od igralcev zamisli cela števila od 1 do 4, izkupiček prvega igralca pa je enak razliki med številom, ki ga je uganil, in številom, ki ga je uganil drugi igralec.

imena Igralec B
Igralec A strategije 1 2 3 4
1 0 -1 -2 -3
2 1 0 -1 -2
3 2 1 0 -1
4 3 2 1 0

Problem rešujemo po teoriji maxmin in minmax, podobno kot pri prejšnjem problemu se izkaže, da je maxmin = 0, minmax = 0, pojavila se je sedlna točka, ker zgornja in spodnja cena sta enaki. Strategije obeh igralcev so 4.

3. Razmislite o problemu evakuacije ljudi v primeru požara.

Požarna situacija 1: Čas požara - 10. ura, poletje.

Gostota človeškega toka D \u003d 0,2 h / m 2, hitrost toka v \u003d 60

m / min. Potreben čas evakuacije TeV = 0,5 min.

Požarna situacija 2: Čas začetka požara 20:00, poletje. Gostota človeškega toka D = 0,83 h / min. hitrost pretoka

v = 17 m / min. Potreben čas evakuacije TeV = 1,6 min.

Možne so različne možnosti evakuacije Li, ki so določene

strukturne in načrtovalne značilnosti stavbe, prisotnost

stopnišča brez dima, etažnost stavbe in drugi dejavniki.

V primeru obravnavamo možnost evakuacije kot pot, ki jo morajo ljudje ubrati pri evakuaciji stavbe. Požarna situacija 1 bo ustrezala takšni možnosti evakuacije L1, pri kateri evakuacija poteka po hodniku do dveh stopnišč. Možna pa je tudi najslabša varianta evakuacije - L2, v kateri evakuacija

poteka v enem stopnišču in evakuacijska pot je maksimalna.

Za situacijo 2 sta možnosti evakuacije L1 in L2 očitno primerni, čeprav

Prednost ima L1. Opis možnih požarnih situacij na varovanem objektu in možnosti evakuacije se sestavi v obliki plačilne matrike, pri čemer:

N - možne situacije ob požaru:

L - možnosti evakuacije;

in 11 - in nm rezultat evakuacije: "a" se spremeni iz 0 (absolutna izguba) - na 1 (največja pridobitev).

Na primer v požarnih situacijah:

N1 - pojavi se dim v skupnem hodniku in njegovo prekrivanje s plameni

po 5 min. po izbruhu požara;

N2 - pokritost hodnika z dimom in plamenom se pojavi po 7 minutah;

N3 - pokritost hodnika z dimom in plamenom se pojavi po 10 minutah.

Na voljo so naslednje možnosti evakuacije:

L1 - zagotavljanje evakuacije v 6 minutah;

L2 - zagotavljanje evakuacije v 8 minutah;

L3 - zagotavljanje evakuacije v 12 minutah.

a 11 = N1 / L1 = 5/6 = 0,83

a 12 \u003d N1 / L2 \u003d 5/ 8 \u003d 0,62

a 13 \u003d N1 / L3 \u003d 5 / 12 \u003d 0,42

in 21 = N2 / L1 = 7/6 = 1

a 22 = N2 / L2 = 7/8 = 0,87

a 23 \u003d N2 / L3 \u003d 7/ 12 \u003d 0,58

a 31 = N3 / L1 = 10/6 = 1

a 32 = N3 / L2 = 10/8 = 1

a 33 = N3 / L3 = 10/12 = 0,83

Tabela. Izplačilna matrika rezultatov evakuacije

L1 L2 L3
N1 0,83 0,6 0,42
N2 1 0,87 0,58
N3 1 1 0,83

Izračunajte potreben čas evakuacije v vodniku za postopek

ni potrebe po evakuaciji, lahko ga damo v program že pripravljenega.

Ta matrika se vnese v računalnik in glede na številčno vrednost količine in ij podsistem samodejno izbere najboljšo možnost evakuacije.

Zaključek

Na koncu je treba poudariti, da je teorija iger zelo kompleksno področje znanja. Pri ravnanju z njim je treba upoštevati določeno previdnost in jasno poznati meje uporabe. Preveč preproste interpretacije, ki jih sprejme podjetje samo ali s pomočjo svetovalcev, so polne skrite nevarnosti. Zaradi svoje kompleksnosti so analize in posvetovanja, ki temeljijo na teoriji iger, priporočljivi samo za kritična problematična področja. Izkušnje podjetij kažejo, da je uporaba ustreznih orodij boljša pri sprejemanju enkratnih, temeljno pomembnih načrtovanih strateških odločitev, tudi pri pripravi velikih pogodb o sodelovanju. Vendar pa nam uporaba teorije iger olajša razumevanje bistva dogajanja, vsestranskost te veje znanosti pa nam omogoča uspešno uporabo metod in lastnosti te teorije na različnih področjih našega delovanja.

Teorija iger človeku vcepi disciplino uma. Od odločevalca zahteva sistematično oblikovanje možnih vedenjskih alternativ, vrednotenje njihovih rezultatov in predvsem upoštevanje vedenja drugih objektov. Oseba, ki je seznanjena s teorijo iger, bo manj verjetno imela druge za neumnejše od sebe in se zato izogne ​​številnim neodpustljivim napakam. Vendar pa teorija iger ne more in ni zasnovana tako, da daje odločnost, vztrajnost pri doseganju ciljev, ne glede na negotovost in tveganje. Poznavanje osnov teorije iger nam ne daje očitne prednosti, vendar nas ščiti pred neumnimi in nepotrebnimi napakami.

Teorija iger se vedno ukvarja s posebnim tipom razmišljanja, strateškim.


Bibliografski seznam

1. J. von Neumann, O. Morgenstern. "Teorija iger in ekonomsko vedenje", Science, 1970.

2. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N. "Matematične metode v ekonomiji", Moskva 1997, ed. "DIS".

3. Owen G. "Teorija iger". – M.: Mir, 1970.

4. Raskin M. A. "Uvod v teorijo iger" // Poletna šola "Moderna matematika". - Dubna: 2008.

5. http://ru.wikipedia.org/wiki

6. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/104891

7. http://ru.wikipedia.org/wiki

8. http://www.rae.ru/zk/arj/2007/12/Stepanenko.pdf

9. http://banzay-kz.livejournal.com/13890.html

10. http://propolis.com.ua/node/21

11. http://www.cfin.ru/management/game_theory.shtml

12. http://konflickt.ru/16/

13. http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/IGR_TEORIYA.html

14. http://matmodel.ru/article.php/20081126162627533

15. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ec_cs/kokgames/prog3k.htm

Teorija iger - nabor matematičnih metod za reševanje konfliktnih situacij (kolizije interesov). V teoriji iger je igra matematični model konfliktne situacije. Teorija iger je še posebej zanimiva za preučevanje strategij odločanja udeležencev igre v pogojih negotovosti. Negotovost je posledica dejstva, da dve ali več strani zasledujeta nasprotne cilje, rezultati katerega koli dejanja vsake strani pa so odvisni od potez partnerja. Obenem si vsaka od strani prizadeva za sprejemanje optimalnih odločitev, ki v največji meri uresničujejo zastavljene cilje.

Teorija iger se najbolj dosledno uporablja v gospodarstvu, kjer prihaja do konfliktnih situacij na primer v odnosih med dobaviteljem in potrošnikom, kupcem in prodajalcem, banko in stranko. Uporabo teorije iger najdemo tudi v politiki, sociologiji, biologiji in vojaški umetnosti.

Iz zgodovine teorije iger

Zgodovina teorije iger kot samostojna disciplina se začne leta 1944, ko sta John von Neumann in Oscar Morgenstern izdala knjigo "Theory of Games and Economic Behavior" ("Teorija iger in ekonomskega vedenja"). Čeprav smo se s primeri teorije iger srečali že prej: razprava iz Babilonskega Talmuda o delitvi premoženja pokojnega moža med njegove žene, igre s kartami v 18. stoletju, razvoj teorije šahovske igre v začetku 20. stoletja, dokaz o izrek o minimaksu istega Johna von Neumanna leta 1928, brez katerega ne bi bilo teorije iger.

V petdesetih letih sta Melvin Drescher in Meryl Flood iz Rand Corporation Prvi, ki je eksperimentalno uporabil zapornikovo dilemo, je John Nash v svojem delu o stanju ravnovesja v igrah dveh oseb razvil koncept Nashevega ravnotežja.

Reinhard Salten je leta 1965 izdal knjigo »Oligopolno procesiranje v teoriji iger na zahtevo« (»Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit«), s katero je uporaba teorije iger v ekonomiji dobila novo gonilno silo. Korak naprej v razvoju teorije iger je povezan z delom Johna Maynarda Smitha "Evolucijska stabilna strategija" ("Evolutionary Stable Strategy", 1974). Zapornikova dilema je bila popularizirana v knjigi Roberta Axelroda The Evolution of Cooperation, ki je izšla leta 1984. Leta 1994 so John Nash, John Harsanyi in Reinhard Salten prejeli Nobelovo nagrado za teorijo iger.

Teorija iger v življenju in poslu

Oglejmo si podrobneje bistvo konfliktne situacije (navzkrižja interesov) v smislu, kot ga razume teorija iger za nadaljnje modeliranje različnih življenjskih in poslovnih situacij. Naj bo posameznik v položaju, ki vodi do enega od več možnih izidov, posameznik pa ima nekaj osebnih preferenc v zvezi s temi izidi. Toda čeprav lahko do neke mere nadzoruje spremenljive dejavnike, ki določajo izid, nad njimi nima popolnega nadzora. Včasih je nadzor v rokah več posameznikov, ki imajo tako kot on določene preference glede možnih rezultatov, vendar se na splošno interesi teh posameznikov ne ujemajo. V drugih primerih je lahko končni izid odvisen tako od nesreč (v pravnih znanostih jih včasih imenujemo naravne nesreče) kot od drugih posameznikov. Teorija iger sistematizira opazovanje takih situacij in oblikovanje splošnih načel za vodenje razumnega ukrepanja v takšnih situacijah.

V nekaterih pogledih je ime "teorija iger" neposrečeno, saj namiguje, da se teorija iger ukvarja le z družbeno nepomembnimi trki, ki se pojavljajo v salonskih igrah, a vseeno ima ta teorija veliko širši pomen.

Naslednje gospodarske razmere lahko dajo idejo o uporabi teorije iger. Recimo, da obstaja več podjetnikov, od katerih si vsak prizadeva povečati dobiček, medtem ko ima le omejeno moč nad spremenljivkami, ki določajo ta dobiček. Podjetnik nima nadzora nad spremenljivkami, ki jih obvladuje drug podjetnik, a lahko močno vplivajo na prihodke prvega. Razlaga te situacije kot igre lahko povzroči naslednji ugovor. Model igre predpostavlja, da se vsak podjetnik odloči za eno izbiro iz območja možnih odločitev, dobiček pa je določen s temi posameznimi odločitvami. Očitno je, da je to v realnosti skoraj nemogoče, saj v tem primeru v industriji ne bi bili potrebni zapleteni administrativni aparati. Obstaja le vrsta odločitev in sprememb teh odločitev, ki so odvisne od izbir drugih udeležencev v ekonomskem sistemu (igralcev). Načeloma pa si lahko predstavljamo, da vsak skrbnik predvidi vse možne nepredvidene dogodke in podrobno opiše ukrepe, ki jih je treba izvesti v vsakem primeru, namesto da bi vsako nalogo reševal sproti.

Vojaški konflikt je po definiciji spopad interesov, v katerem nobena stran nima popolnega nadzora nad spremenljivkami, ki določajo izid, o katerem odloča niz bitk. Rezultat lahko preprosto obravnavate kot zmago ali poraz in jima dodelite številčni vrednosti 1 in 0.

Ena najpreprostejših konfliktnih situacij, ki jih lahko zapišemo in rešimo v teoriji iger, je dvoboj, ki je konflikt med dvema igralcema 1 in 2, ki imata oz. str in q posnetki. Za vsakega igralca obstaja funkcija, ki označuje verjetnost, da bo igralec udaril jaz ob uri t bo dal zadetek, ki se bo izkazal za usodnega.

Kot rezultat, teorija iger pride do naslednje formulacije določenega razreda konfliktov interesov: obstajajo n igralcev, pri čemer mora vsak igralec izbrati eno možnost iz določenega nabora 100, pri čemer igralec pri izbiri nima nobenih informacij o izbiri drugih igralcev. Področje možnih izbir igralca lahko vsebuje elemente, kot so "premikanje pikovega asa", "proizvodnja tankov namesto avtomobilov" ali v splošnem smislu strategijo, ki opredeljuje vse ukrepe, ki jih je treba izvesti v vseh možnih okoliščinah. Vsak igralec se znajde pred nalogo: kakšno izbiro naj sprejme, da bo njegov zasebni vpliv na izid prinesel največjo možno korist?

Matematični model v teoriji iger in formalizacija problema

Kot smo že ugotovili, igra je matematični model konfliktne situacije in zahteva naslednje komponente:

  1. zainteresirane strani;
  2. možna dejanja na vsaki strani;
  3. interese strank.

Stranke, ki jih igra zanima, se imenujejo igralci. , lahko vsak izvede vsaj dve akciji (če ima igralec samo eno akcijo, potem dejansko ne sodeluje v igri, saj se vnaprej ve, kaj bo naredil). Izid igre se imenuje zmaga. .

Prava konfliktna situacija ni vedno, ampak igra (v konceptu teorije iger) - vedno - poteka določena pravila , ki natančno določajo:

  1. možnosti predvajalnika;
  2. količino informacij, ki jih ima vsak igralec o partnerjevem vedenju;
  3. izplačilo, do katerega vodi vsak niz dejanj.

Primeri formaliziranih iger so nogomet, kartanje, šah.

Toda v ekonomiji se pojavi model obnašanja igralcev, na primer, ko si več podjetij prizadeva zavzeti ugodnejše mesto na trgu, več posameznikov poskuša med seboj deliti nekaj dobrin (virov, financ), tako da vsak dobi čim več. . Igralci v konfliktnih situacijah v gospodarstvu, ki jih lahko modeliramo kot igro, so podjetja, banke, posamezniki in drugi gospodarski subjekti. V vojnih razmerah pa se model igre uporablja na primer pri izbiri najboljšega orožja (od obstoječega ali potencialno možnega) za poraz sovražnika ali obrambo pred napadom.

Za igro je značilna rezultatska negotovost . Vzroke za negotovost lahko razdelimo v naslednje skupine:

  1. kombinatorika (kot v šahu);
  2. vpliv naključnih dejavnikov (kot v igri "glava ali rep", kocke, igre s kartami);
  3. strateško (igralec ne ve, kakšno akcijo bo sprejel nasprotnik).

Strategija igralca je niz pravil, ki določajo njegova dejanja pri vsaki potezi, odvisno od situacije.

Cilj teorije iger je določiti optimalno strategijo za vsakega igralca. Določiti takšno strategijo je rešiti igro. Optimalnost strategije se doseže, ko mora eden od igralcev dobiti največji izkupiček, drugi pa se drži svoje strategije. In drugi igralec bi moral imeti minimalno izgubo, če se prvi drži svoje strategije.

Razvrstitev igre

  1. Razvrstitev po številu igralcev (igra dveh ali več oseb). Igre dveh oseb so osrednjega pomena za celotno teorijo iger. Osnovni koncept teorije iger za igre dveh oseb je posplošitev zelo bistvene ideje o ravnotežju, ki se naravno pojavlja v igrah dveh oseb. Glede iger n oseb, potem je en del teorije iger posvečen igram, pri katerih je sodelovanje med igralci prepovedano. V drugem delu teorije iger n oseb se domneva, da lahko igralci sodelujejo v obojestransko korist (glejte kasneje v tem odstavku o nekooperativnih in sodelovalnih igrah).
  2. Razvrstitev po številu igralcev in njihovih strategijah (število strategij je vsaj dve, lahko neskončno).
  3. Razvrstitev po količini informacij glede preteklih potez: igre s popolnimi in nepopolnimi informacijami. Naj bosta igralec 1 - kupec in igralec 2 - prodajalec. Če igralec 1 nima popolnih informacij o dejanjih igralca 2, potem igralec 1 morda ne bo razlikoval med dvema alternativama, med katerima mora izbirati. Na primer, izbirati med dvema vrstama določenega izdelka in ne vedeti, da je po nekaterih lastnostih izdelek A slabše od blaga B, igralec 1 morda ne vidi razlike med alternativama.
  4. Razvrstitev po načelih delitve dobitkov : zadružni, koalicijski na eni strani in nesodelujoči, nekooperativni na drugi strani. IN nekooperativna igra , ali drugače - nekooperativna igra , igralci izbirajo strategije istočasno, ne da bi vedeli, katero strategijo bo izbral drugi igralec. Komunikacija med igralci ni mogoča. IN sodelovalna igra , ali drugače - koalicijska igra , lahko igralci oblikujejo koalicije in sprejmejo skupne ukrepe za povečanje svojih dobitkov.
  5. Igra dveh oseb s končno ničelno vsoto ali antagonistična igra je strateška igra s popolnimi informacijami, v kateri sodelujejo strani z nasprotnimi interesi. Antagonistične igre so matrične igre .

Klasičen primer iz teorije iger je zapornikova dilema.

Osumljenca so pridržali in izolirali drug od drugega. Okrožna državna tožilka je prepričana, da sta zagrešila hudo kaznivo dejanje, a nima dovolj dokazov, da bi ju obtožila na sojenju. Vsakemu od zapornikov pove, da ima dve možnosti: priznati zločin, za katerega policija meni, da ga je storil, ali pa ne priznati. Če oba ne bosta priznala, ju bo okrožna državna tožilka obtožila kakšnega manjšega kaznivega dejanja, na primer manjše tatvine ali nelegalnega posedovanja orožja, in oba bosta dobila nizko kazen. Če bosta oba priznala, ju čaka kazenski pregon, ki pa ne bo zahteval najstrožje kazni. Če bo eden priznal, drugi pa ne, bo priznani dobil omilitev kazni za izročitev sostorilca, trmoglavi pa bo dobil "po polnem".

Če je ta strateška naloga oblikovana v smislu zaključka, potem se zvrsti na naslednje:

Tako bosta obsojenca, če ne bosta priznala, dobila po 1 leto zapora. Če bosta oba priznala, bo vsak prejel 8 let zapora. In če eden prizna, drugi ne, potem tisti, ki prizna, dobi tri mesece zapora, tisti, ki ne prizna, pa 10 let. Zgornja matrika pravilno odraža zapornikovo dilemo: vsak se znajde pred vprašanjem priznati ali ne priznati. Igra, ki jo okrožni državni tožilec ponuja zapornikom, je nekooperativna igra ali drugače - nekoalicijska igra . Če bi oba zapornika lahko sodelovala (tj. igra bi bila kooperativna ali drugače koalicijska igra ), potem oba nista hotela priznati in sta dobila po eno leto zapora.

Primeri uporabe matematičnih sredstev teorije iger

Zdaj se posvetimo obravnavi rešitev primerov običajnih razredov iger, za katere obstajajo metode raziskovanja in rešitve v teoriji iger.

Primer formalizacije nekooperativne (nekooperativne) igre dveh oseb

V prejšnjem odstavku smo že obravnavali primer nekooperativne (nesodelujoče) igre (ujetnikova dilema). Utrjujmo naše spretnosti. Za to je primeren tudi klasičen zaplet, ki ga je navdihnila Pustolovščine Sherlocka Holmesa Arthurja Conana Doyla. Lahko se seveda ugovarja: primer ni iz življenja, ampak iz literature, a Conan Doyle se ni uveljavil kot pisec znanstvene fantastike! Klasična tudi zato, ker je nalogo opravil Oscar Morgenstern, kot smo že ugotovili - eden od utemeljiteljev teorije iger.

Primer 1 Podan bo skrajšan odlomek iz ene od Pustolovščin Sherlocka Holmesa. V skladu z znanimi koncepti teorije iger ustvarite model konfliktne situacije in formalno zapišite igro.

Sherlock Holmes se namerava odpraviti iz Londona v Dover z nadaljnjim ciljem priti na celino (evropsko), da bi pobegnil pred profesorjem Moriartyjem, ki ga zasleduje. Ko se je vkrcal na vlak, je na peronu postaje zagledal profesorja Moriartyja. Sherlock Holmes priznava, da lahko Moriarty izbere poseben vlak in ga prehiti. Sherlock Holmes ima dve možnosti: nadaljuje pot do Dovra ali pa izstopi na postaji Canterbury, ki je edina vmesna postaja na njegovi poti. Predvidevamo, da je njegov nasprotnik dovolj inteligenten, da določi Holmesove možnosti, zato ima isti dve možnosti. Oba nasprotnika morata izbrati postajo, na kateri bosta izstopila z vlaka, ne da bi vedela, kakšno odločitev bo sprejel vsak od njiju. Če bosta zaradi odločitve oba končala na isti postaji, potem lahko zagotovo domnevamo, da bo Sherlocka Holmesa ubil profesor Moriarty. Če bo Sherlock Holmes varno prišel v Dover, bo rešen.

rešitev. Junake Conana Doyla lahko obravnavamo kot udeležence v igri, torej igralce. Na razpolago vsakemu igralcu jaz (jaz=1,2) dve čisti strategiji:

  • izstopite v Dover (strategija si1 ( jaz=1,2) );
  • izstopite na vmesni postaji (strategija si2 ( jaz=1,2) )

Glede na to, katero od obeh strategij izbere vsak od obeh igralcev, bo za par ustvarjena posebna kombinacija strategij s = (s1 , s 2 ) .

Vsako kombinacijo je mogoče povezati z dogodkom – izidom poskusa umora Sherlocka Holmesa s strani profesorja Moriartyja. Naredimo matrico te igre z možnimi dogodki.

Pod vsakim od dogodkov je naveden indeks, ki pomeni pridobitev profesorja Moriartyja in se izračuna glede na odrešitev Holmesa. Oba junaka hkrati izbereta strategijo, ne da bi vedela, kaj bo izbral nasprotnik. Tako je igra nesodelujoča, ker so, prvič, igralci na različnih vlakih, in drugič, imajo nasprotne interese.

Primer formalizacije in rešitve zadružne (koalicijske) igre n osebe

Na tem mestu bo pred praktičnim delom, torej potekom reševanja primernega problema, sledil teoretični del, v katerem se bomo seznanili s koncepti teorije iger za reševanje kooperativnih (nekooperativnih) iger. Za to nalogo teorija iger predlaga:

  • značilna funkcija (poenostavljeno povedano, odraža vrednost koristi združevanja igralcev v koalicijo);
  • koncept aditivnosti (lastnost količin, ki sestoji iz dejstva, da je vrednost količine, ki ustreza celotnemu predmetu, enaka vsoti vrednosti količin, ki ustrezajo njegovim delom, v določenem razredu delitve predmeta na dele) in superaditivnost (vrednost količine, ki ustreza celotnemu predmetu, je večja od vsote vrednosti količin, ki ustrezajo njegovim delom) značilne funkcije.

Superaditivnost karakteristične funkcije kaže, da so koalicije koristne za igralce, saj v tem primeru izkupiček koalicije narašča s številom igralcev.

Za formalizacijo igre moramo uvesti formalno notacijo za zgornje koncepte.

Za igro n označimo množico vseh njenih igralcev kot n= (1,2,...,n) Vsaka neprazna podmnožica množice n označen kot T(vključno s samim seboj n in vse podmnožice, sestavljene iz enega elementa). Na spletnem mestu poteka dejavnost Množice in operacije na množicah, ki se ob kliku na povezavo odpre v novem oknu.

Značilna funkcija je označena kot v in njegova definicijska domena je sestavljena iz možnih podmnožic množice n. v(T) - vrednost značilne funkcije za določeno podmnožico, na primer dohodek, ki ga prejme koalicija, vključno z, po možnosti, sestavljeno iz enega igralca. To je pomembno, ker teorija iger zahteva preverjanje prisotnosti superaditivnosti za vrednosti karakteristične funkcije vseh koalicij, ki se ne prekrivajo.

Za dve neprazni koaliciji podmnožic T1 in T2 aditivnost karakteristične funkcije kooperativne (koalicijske) igre zapišemo takole:

In superaditivnost je taka:

Primer 2 Trije učenci glasbene šole dodatno služijo v različnih krožkih, izkupiček dobijo od obiskovalcev kluba. Ugotovite, ali se jim izplača združiti moči (če da, pod kakšnimi pogoji), pri čemer uporabite koncepte teorije iger za reševanje kooperativnih iger. n osebe, z naslednjimi začetnimi podatki.

V povprečju je bil njihov prihodek na večer:

  • violinist ima 600 enot;
  • kitarist ima 700 enot;
  • pevec ima 900 enot.

Da bi povečali prihodke, so študenti več mesecev ustvarjali različne skupine. Rezultati so pokazali, da bi z združevanjem lahko svoj večerni prihodek povečali na naslednji način:

  • violinist + kitarist zaslužil 1500 enot;
  • violinist + pevec zaslužil 1800 enot;
  • kitarist + pevec zaslužil 1900 enot;
  • violinist + kitarist + pevec zaslužil 3000 enot.

rešitev. V tem primeru število udeležencev v igri n= 3 , zato je domena karakteristične funkcije igre sestavljena iz 2³ = 8 možnih podmnožic množice vseh igralcev. Naštejmo vse možne koalicije T:

  • koalicije enega elementa, od katerih je vsak sestavljen iz enega igralca - glasbenika: T{1} , T{2} , T{3} ;
  • koalicije dveh elementov: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
  • koalicija treh elementov: T{1,2,3} .

Vsakemu igralcu dodelimo zaporedno številko:

  • violinist - 1. igralec;
  • kitarist - 2. igralec;
  • pevec je 3. igralec.

Glede na problemske podatke določimo značilno funkcijo igre v:

v(T(1)) = 600; v(T(2)) = 700; v(T(3)) = 900; te vrednosti karakteristične funkcije so določene na podlagi izplačil prvega, drugega oziroma tretjega igralca, kadar niso združeni v koalicije;

v(T(1,2)) = 1500; v(T(1,3)) = 1800; v(T(2,3)) = 1900; te vrednosti značilne funkcije so določene s prihodki vsakega para igralcev, združenih v koalicije;

v(T(1,2,3)) = 3000; ta vrednost karakteristične funkcije je določena s povprečnim prihodkom v primeru, ko so bili igralci združeni v trojke.

Tako smo našteli vse možne koalicije igralcev, osem jih je, kot bi moralo biti, saj domeno definicije značilne funkcije igre sestavlja točno osem možnih podmnožic množice vseh igralcev. Kar zahteva teorija iger, saj moramo preveriti prisotnost superaditivnosti za vrednosti karakteristične funkcije vseh neprekrivajočih se koalicij.

Kako so v tem primeru izpolnjeni pogoji superaditivnosti? Določimo, kako igralci tvorijo neprekrivajoče se koalicije T1 in T2 . Če so nekateri igralci v koaliciji T1 , potem so vsi ostali igralci v koaliciji T2 in po definiciji je ta koalicija oblikovana kot razlika med skupnim naborom igralcev in naborom T1 . Potem, če T1 - koalicija enega igralca, nato v koaliciji T2 bosta drugi in tretji igralec, če bo v koaliciji T1 bosta prvi in ​​tretji igralec, nato koalicija T2 bo sestavljen samo iz drugega igralca in tako naprej.


Teorija iger je matematična metoda za preučevanje optimalnih strategij v igrah. Izraz "igra" je treba razumeti kot interakcijo dveh ali več strani, ki si prizadevajo uresničiti svoje interese. Vsaka stran ima svojo strategijo, ki lahko vodi do zmage ali poraza, odvisno od tega, kako se igralci obnašajo. Zahvaljujoč teoriji iger je mogoče najti najučinkovitejšo strategijo ob upoštevanju idej o drugih igralcih in njihovem potencialu.

Teorija iger je posebna veja operacijskega raziskovanja. V večini primerov se metode teorije iger uporabljajo v ekonomiji, včasih pa tudi v drugih družbenih vedah, na primer v politologiji, sociologiji, etiki in nekaterih drugih. Od sedemdesetih let prejšnjega stoletja ga uporabljajo tudi biologi za preučevanje vedenja živali in teorije evolucije. Poleg tega je danes teorija iger velikega pomena na področju kibernetike in. Zato vam želimo povedati o tem.

Zgodovina teorije iger

Najbolj optimalne strategije na področju matematičnega modeliranja so znanstveniki predlagali že v 18. stoletju. V 19. stoletju so probleme oblikovanja cen in proizvodnje na trgu z malo konkurence, ki so kasneje postali klasični primeri teorije iger, obravnavali znanstveniki, kot sta Joseph Bertrand in Antoine Cournot. In na začetku 20. stoletja sta izjemna matematika Emil Borel in Ernst Zermelo predstavila idejo o matematični teoriji navzkrižja interesov.

Začetke matematične teorije iger najdemo v neoklasični ekonomiji. Sprva so bili temelji in vidiki te teorije orisani v delu Oscarja Morgensterna in Johna von Neumanna "Teorija iger in ekonomsko vedenje" leta 1944.

Predstavljeno matematično področje se je odrazilo tudi v družbeni kulturi. Na primer, leta 1998 je Sylvia Nazar (ameriška novinarka in pisateljica) izdala knjigo, posvečeno Johnu Nashu, Nobelovemu nagrajencu za ekonomijo in specialistu za teorijo iger. Leta 2001 je bil na podlagi tega dela posnet film "Čudoviti um". Številne ameriške televizijske oddaje, kot so "NUMB3RS", "Alias" in "Friend or Foe", se v svojih oddajah občasno sklicujejo tudi na teorijo iger.

Toda ločeno je treba povedati o Johnu Nashu.

Leta 1949 je napisal diplomsko nalogo o teoriji iger, 45 let pozneje pa je prejel Nobelovo nagrado za ekonomijo. Že v prvih konceptih teorije iger so bile analizirane igre antagonističnega tipa, v katerih so igralci, ki zmagujejo na račun poražencev. Toda John Nash je razvil takšne analitične metode, da vsi igralci izgubijo ali zmagajo.

Situacije, ki jih je razvil Nash, so kasneje poimenovali "Nashevo ravnotežje". Razlikujejo se po tem, da vse strani igre uporabljajo najbolj optimalne strategije, zaradi česar se ustvari stabilno ravnotežje. Ohranjanje ravnotežja je zelo koristno za igralce, saj lahko sicer vsaka sprememba negativno vpliva na njihov položaj.

Zahvaljujoč delu Johna Nasha je teorija iger dobila močan zagon v svojem razvoju. Poleg tega so bila resno spremenjena matematična orodja ekonomskega modeliranja. Johnu Nashu je uspelo dokazati, da klasični pogled na vprašanje tekmovanja, kjer vsak igra samo zase, ni optimalen in so najučinkovitejše strategije tiste, pri katerih igralci naredijo bolje zase, na začetku pa bolje za druge.

Kljub temu, da so bili sprva ekonomski modeli tudi v vidnem polju teorije iger, je bila to vse do 50. let prejšnjega stoletja le formalna teorija, omejena z okviri matematike. Od druge polovice 20. stoletja pa so ga poskušali uporabiti v ekonomiji, antropologiji, tehnologiji, kibernetiki in biologiji. Med drugo svetovno vojno in po njej se je s teorijo iger začela ukvarjati tudi vojska, ki je v njej videla resen aparat pri razvoju strateških odločitev.

V šestdesetih in sedemdesetih letih prejšnjega stoletja je zanimanje za to teorijo zbledelo, čeprav je dala dobre matematične rezultate. Toda od 80. let se je začela aktivna uporaba teorije iger v praksi, predvsem v managementu in ekonomiji. V zadnjih nekaj desetletjih je njegova aktualnost močno narasla, nekaterih sodobnih gospodarskih trendov pa si brez nje sploh ni mogoče predstavljati.

Ne bi bilo odveč povedati, da je pomemben prispevek k razvoju teorije iger dalo delo Nobelovega nagrajenca za ekonomijo Thomasa Schellinga leta 2005 »Strategija konflikta«. V svojem delu je Schelling obravnaval različne strategije, ki jih uporabljajo udeleženci v konfliktni interakciji. Te strategije so sovpadale s taktikami in analitičnimi načeli upravljanja konfliktov, ki se uporabljajo v , kot tudi s taktikami, ki se uporabljajo za upravljanje konfliktov v organizacijah.

V psihološki znanosti in številnih drugih disciplinah ima pojem "igra" nekoliko drugačen pomen kot v matematiki. Kulturološko interpretacijo pojma »igra« je predstavil Johan Huizinga v knjigi »Homo Ludens«, kjer avtor govori o uporabi iger v etiki, kulturi in pravosodju ter poudarja, da je sama igra bistveno starejša od človek v starosti, saj so tudi živali nagnjene k igri.

Tudi koncept "igre" lahko najdemo v konceptu Erica Burna, znanega iz knjige "". Tu pa govorimo o izključno psiholoških igrah, katerih osnova je transakcijska analiza.

Uporaba teorije iger

Če govorimo o matematični teoriji iger, potem je trenutno v fazi aktivnega razvoja. Toda matematična osnova je sama po sebi zelo draga, zato se uporablja predvsem, če cilji opravičujejo sredstva, in sicer: v politiki, ekonomiji monopolov in porazdelitve tržne moči itd. Sicer pa se teorija iger uporablja pri proučevanju vedenja ljudi in živali v ogromno situacijah.

Kot že omenjeno, se je teorija iger sprva razvijala znotraj meja ekonomske znanosti, zaradi česar je postalo mogoče ugotavljati in interpretirati obnašanje gospodarskih subjektov v različnih situacijah. Kasneje pa se je obseg njegove uporabe močno razširil in začel vključevati številne družbene vede, zaradi česar s pomočjo teorije iger danes pojasnjujejo človeško vedenje v psihologiji, sociologiji in politologiji.

Strokovnjaki uporabljajo teorijo iger ne le za razlago in napovedovanje človeškega vedenja - narejenih je bilo veliko poskusov uporabe te teorije za razvoj referenčnega vedenja. Poleg tega so filozofi in ekonomisti s pomočjo tega že dolgo poskušali razumeti dobro ali vredno vedenje.

Tako lahko sklepamo, da je teorija iger postala prava prelomnica v razvoju številnih znanosti in je danes sestavni del procesa preučevanja različnih vidikov človeškega vedenja.

NAMESTO ZAKLJUČKA: Kot ste opazili, je teorija iger precej tesno povezana s konfliktologijo - znanostjo, ki preučuje vedenje ljudi v procesu konfliktne interakcije. In po našem mnenju je to področje eno najpomembnejših ne le med tistimi, na katerih je treba uporabiti teorijo iger, ampak tudi med tistimi, ki bi jih moral preučevati človek sam, saj so konflikti, karkoli že rečemo, del našega življenja. .

Če želite razumeti, kakšne strategije vedenja pri njih na splošno obstajajo, predlagamo, da se udeležite našega tečaja samospoznavanja, ki vam bo v celoti zagotovil takšne informacije. Toda poleg tega boste po zaključku našega tečaja lahko opravili celovito oceno svoje osebnosti na splošno. In to pomeni, da boste vedeli, kako se obnašati v primeru konflikta, kakšne so vaše osebne prednosti in slabosti, življenjske vrednote in prioritete, nagnjenost k delu in ustvarjalnosti in še veliko več. Na splošno je to zelo uporabno in potrebno orodje za vse, ki iščejo razvoj.

Naš tečaj se nahaja - pogumno nadaljujte s samospoznavanjem in se izboljšajte.

Želimo vam uspeh in sposobnost, da ste zmagovalec v kateri koli igri!